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चार से कम धनात्मक अभाज्य संख्याएं केवल (2) और (3) हैं इसलिए दोनों समुच्चय बराबर हैं। परीक्षा में गुण बताने वाली भाषा को रोस्टर रूप में बदलें। / The positive primes less than four are only (2) and (3) so the sets are equal. In exams convert descriptive form into roster form.
यहां ({3}) एक तत्व है जबकि (3) अलग तत्व है इसलिए समुच्चय बराबर नहीं हैं। परीक्षा में तत्व और उपसमुच्चय का अंतर ध्यान रखें। / Here ({3}) is one element while (3) is a different element so the sets are not equal. In exams distinguish an element from a subset.
({}) वही रिक्त समुच्चय है इसलिए (A) और (B) दोनों में एक ही तत्व है। परीक्षा में \(\emptyset\) और \({\emptyset}\) को अलग पहचानें। / The symbol ({}) is the empty set so both (A) and (B) contain the same single element. In exams identify \(\emptyset\) and \({\emptyset}\) separately.
समीकरण के मूल (2) और (3) हैं इसलिए दोनों समुच्चयों के तत्व समान हैं। परीक्षा में पहले समीकरण हल करें फिर तुलना करें। / The roots of the equation are (2) and (3) so both sets have the same elements. In exams solve the equation first and then compare the sets.
पूर्ण संख्याएं (0) से शुरू होती हैं इसलिए (x<3) पर \(B=\{0,1,2\}\) है। परीक्षा में (W) और (N) का अंतर याद रखें। / Whole numbers start from (0) so for (x<3) we get \(B=\{0,1,2\}\). In exams remember the difference between (W) and (N).
({2,4}) में (4) है जो (A) का तत्व नहीं है इसलिए यह उपसमुच्चय नहीं है। परीक्षा में हर तत्व की सदस्यता जांचें। / The set ({2,4}) contains (4) which is not an element of (A) so it is not a subset. In exams check membership of every element.
दो तत्व चुनने की संख्या \({}^4C_2=6\) है। परीक्षा में निश्चित आकार के उपसमुच्चय के लिए संयोजन का प्रयोग करें। / The number of ways to choose two elements is \({}^4C_2=6\). In exams use combinations for subsets of fixed size.
कुल उपसमुच्चय \(2^n=32\) हैं इसलिए उचित उपसमुच्चय (32-1=31) होंगे। परीक्षा में मूल समुच्चय को उचित उपसमुच्चय में न गिनें। / Total subsets are \(2^n=32\) so proper subsets are (32-1=31). In exams do not count the original set as a proper subset.
(6) के धनात्मक भाजक (1,2,3,6) हैं इसलिए दोनों समुच्चय बराबर हैं। परीक्षा में भाजकों की पूरी सूची बनाएं। / The positive divisors of (6) are (1,2,3,6) so the sets are equal. In exams list all divisors carefully.
B. \(A\subset B\) और \(A\ne B\)/\(A\subset B\) and \(A\ne B\)
Explanation
Simple Explanation
(A) के दोनों तत्व (B) में हैं पर (B) में अतिरिक्त तत्व \(\emptyset\) है। परीक्षा में अतिरिक्त तत्व बराबरी को तोड़ देता है। / Both elements of (A) are in (B) but (B) has the extra element \(\emptyset\). In exams an extra element breaks equality.
परस्पर उपसमुच्चय संबंध से हर समुच्चय के तत्व समान हो जाते हैं इसलिए (A=B=C)। परीक्षा में द्विपक्षीय समावेशन से बराबरी सिद्ध करें। / Mutual subset inclusion makes all elements the same so (A=B=C). In exams prove equality by two way inclusion.
यहां \(A=\{1,2,3\}\) है और ({1,3}) इसके अंदर है लेकिन बराबर नहीं है। परीक्षा में पहले मुख्य समुच्चय निकालें। / Here \(A=\{1,2,3\}\) and ({1,3}) lies inside it but is not equal. In exams find the main set first.
(n=1,2,3) रखने पर \(B=\{2,4,6\}\) मिलता है इसलिए दोनों बराबर हैं। परीक्षा में पैरामीटर के सभी मान लगाएं। / Putting (n=1,2,3) gives \(B=\{2,4,6\}\) so both are equal. In exams substitute all allowed parameter values.
({1,2}) इस समुच्चय में एक तत्व के रूप में मौजूद है। परीक्षा में \(\in\) और \(\subset\) को अलग पढ़ें। / The set ({1,2}) is present as one element of this set. In exams read \(\in\) and \(\subset\) differently.
(p) निश्चित है और बाकी दो तत्वों को \(2^2\) तरीकों से चुना जा सकता है। परीक्षा में निश्चित तत्व अलग रखकर बाकी पर गिनती करें। / The element (p) is fixed and the remaining two elements can be chosen in \(2^2\) ways. In exams fix the compulsory element and count the rest.
(1) को हटाने पर बचे (3) तत्वों से \(2^3=8\) उपसमुच्चय बनते हैं। परीक्षा में निषिद्ध तत्व को पहले हटाएं। / After removing (1), the remaining (3) elements form \(2^3=8\) subsets. In exams remove the forbidden element first.
शर्त \(-2\le x<2\) में (2) शामिल नहीं है इसलिए तत्व (-2,-1,0,1) हैं। परीक्षा में खुली और बंद सीमा ध्यान से देखें। / The condition \(-2\le x<2\) excludes (2), so the elements are (-2,-1,0,1). In exams watch open and closed bounds carefully.
समुच्चय में दोहराए गए तत्व केवल एक बार गिने जाते हैं इसलिए दोनों बराबर हैं। परीक्षा में आवृत्ति से नहीं बल्कि अलग तत्वों से तुलना करें। / Repeated elements in a set are counted only once so the sets are equal. In exams compare distinct elements not frequency.
समुच्चय में दोहराव हट जाता है इसलिए केवल (L,E,V) तत्व हैं। परीक्षा में शब्द से बने समुच्चय में अद्वितीय अक्षर लें। / Repetition is removed in a set so the only elements are (L,E,V). In exams take unique letters in a set made from a word.
A. (B) (A) का घात समुच्चय है/(B) is the power set of (A)
Explanation
Simple Explanation
\(x\subset A\) का अर्थ है (x) (A) का उपसमुच्चय है इसलिए (B) में सभी उपसमुच्चय हैं। परीक्षा में घात समुच्चय को तत्वों के समुच्चय के रूप में समझें। / The statement \(x\subset A\) means (x) is a subset of (A), so (B) contains all subsets. In exams understand a power set as a set of subsets.
घात समुच्चय में उपसमुच्चय तत्व होते हैं इसलिए (1) अकेला तत्व नहीं है। परीक्षा में (\mathcal{P}(A)) में सेट लिखे जाते हैं। / A power set contains subsets as elements, so (1) alone is not an element. In exams entries of (\mathcal{P}(A)) are sets.
B. \(B\subset A\) और \(B\ne A\)/\(B\subset A\) and \(B\ne A\)
Explanation
Simple Explanation
(A) में (5) शामिल है पर (B) में (5) नहीं है इसलिए (B) उचित उपसमुच्चय है। परीक्षा में \(\le\) और (<) का फर्क देखें। / (A) includes (5) but (B) does not, so (B) is a proper subset. In exams note the difference between \(\le\) and (<).
(12) के धनात्मक सम भाजक (2,4,6,12) हैं इसलिए (A=B)। परीक्षा में पहले भाजक और फिर सम होने की शर्त लगाएं। / The positive even divisors of (12) are (2,4,6,12), so (A=B). In exams list divisors first and then apply evenness.
B. (B) का हर तत्व (A) में है/Every element of (B) is in (A)
Explanation
Simple Explanation
उपसमुच्चय की परिभाषा हर तत्व के समावेशन पर आधारित है। परीक्षा में केवल कम संख्या वाले तत्व देखकर निर्णय न लें। / The definition of subset is based on inclusion of every element. In exams do not decide only by seeing fewer elements.
({1,2}) के सभी तत्व (A) में हैं इसलिए यह उपसमुच्चय है। परीक्षा में उपसमुच्चय और तत्व की जांच अलग करें। / All elements of ({1,2}) are in (A), so it is a subset. In exams check subset and element statements separately.
दो तत्वों वाले समुच्चय के \(2^2=4\) उपसमुच्चय होते हैं। परीक्षा में घात समुच्चय के तत्वों की संख्या \(2^n\) होती है। / A set with two elements has \(2^2=4\) subsets. In exams the number of elements in a power set is \(2^n\).
तीन तत्व चुनने के तरीके \({}^4C_3=4\) हैं और ये सभी उचित उपसमुच्चय हैं। परीक्षा में आकार (n) से छोटा हो तो उपसमुच्चय उचित होता है। / The number of ways to choose three elements is \({}^4C_3=4\) and all are proper subsets. In exams a subset with size less than (n) is proper.
\(x^2=4\) के वास्तविक हल (-2) और (2) दोनों हैं इसलिए (A=B)। परीक्षा में वर्ग समीकरण में ऋणात्मक हल न भूलें। / The real solutions of \(x^2=4\) are both (-2) and (2), so (A=B). In exams do not forget the negative square root.
B. \(B\subset A\) और \(B\ne A\)/\(B\subset A\) and \(B\ne A\)
Explanation
Simple Explanation
\(A=\{1,3,5,15\}\) है इसलिए (B) इसके अंदर है लेकिन बराबर नहीं है। परीक्षा में सबसे बड़ा भाजक संख्या स्वयं होती है। / \(A=\{1,3,5,15\}\), so (B) is inside it but not equal. In exams the number itself is also a divisor.
(W) में (0) शामिल है और (n=0,1,2,3) देने पर \(B=\{0,2,4,6\}\) है। परीक्षा में (W) की शुरुआत (0) से मानें। / (W) includes (0), and (n=0,1,2,3) gives \(B=\{0,2,4,6\}\). In exams take (W) as starting from (0).
(A) में \(\emptyset\) एक तत्व है इसलिए \({\emptyset}\) इसका उपसमुच्चय है। परीक्षा में रिक्त समुच्चय को तत्व के रूप में भी पहचाने। / \(\emptyset\) is an element of (A), so \({\emptyset}\) is a subset of it. In exams identify the empty set when it appears as an element.
B. दोनों में वही तत्व हैं/Both have the same elements
Explanation
Simple Explanation
समुच्चय में क्रम महत्व नहीं रखता और समान तत्व होने पर समुच्चय बराबर होते हैं। परीक्षा में क्रम बदलने से समुच्चय नहीं बदलता। / Order does not matter in a set and sets are equal when they have the same elements. In exams changing order does not change a set.
(9) से कम विषम प्राकृतिक संख्याएं (1,3,5,7) हैं इसलिए दोनों बराबर हैं। परीक्षा में सीमा के बराबर संख्या तभी लें जब शर्त अनुमति दे। / The odd natural numbers less than (9) are (1,3,5,7), so both are equal. In exams include the boundary only when the condition allows it.
पूरा समुच्चय अपने आप का उपसमुच्चय है लेकिन उचित उपसमुच्चय नहीं है। परीक्षा में उचित उपसमुच्चय में बराबरी हटती है। / The whole set is a subset of itself but not a proper subset. In exams proper subset excludes equality.
दो तत्वों वाले (3) और तीन तत्वों वाला (1) उपसमुच्चय है इसलिए कुल (4) हैं। परीक्षा में "कम से कम" में सभी बड़े आकार जोड़ें। / There are (3) subsets with two elements and (1) subset with three elements, so the total is (4). In exams add all larger sizes for "at least".
(2) और (5) निश्चित हैं और बाकी (3) तत्व स्वतंत्र हैं इसलिए \(2^3=8\)। परीक्षा में अनिवार्य तत्वों को पहले निश्चित करें। / The elements (2) and (5) are fixed and the remaining (3) elements are free, so \(2^3=8\). In exams fix compulsory elements first.
(1) निश्चित है और (4) हट गया है इसलिए (2,3) स्वतंत्र हैं और \(2^2=4\) उपसमुच्चय बनते हैं। परीक्षा में शामिल और निष्कासित शर्तें अलग करें। / (1) is fixed and (4) is removed, so (2,3) are free and form \(2^2=4\) subsets. In exams separate included and excluded conditions.
पूर्णांक हल (-1) और (1) दोनों हैं इसलिए (A) और (B) बराबर हैं। परीक्षा में वर्ग की शर्त में दोनों चिन्ह देखें। / The integer solutions are both (-1) and (1), so (A) and (B) are equal. In exams check both signs in square conditions.
A. \(A\subset B\) और \(C\subset A\)/\(A\subset B\) and \(C\subset A\)
Explanation
Simple Explanation
(A) का हर तत्व (B) में है और (C) का हर तत्व (A) में है। परीक्षा में हर समावेशन अलग जांचें। / Every element of (A) is in (B) and every element of (C) is in (A). In exams check each inclusion separately.
(20) से कम (5) के धनात्मक गुणज (5,10,15) हैं इसलिए दोनों बराबर हैं। परीक्षा में "से कम" में सीमा को शामिल न करें। / The positive multiples of (5) less than (20) are (5,10,15), so the sets are equal. In exams do not include the boundary in "less than".
A. \({1}\in A\) और \({1}\subset A\) दोनों सत्य हैं/Both \({1}\in A\) and \({1}\subset A\) are true
Explanation
Simple Explanation
({1}) तत्व के रूप में भी है और उसका तत्व (1) भी (A) में है इसलिए दोनों कथन सत्य हैं। परीक्षा में एक ही वस्तु तत्व और उपसमुच्चय दोनों हो सकती है। / ({1}) is present as an element and its element (1) is also in (A), so both statements are true. In exams the same object can be both an element and a subset.
(A) के तत्व ({1,2}) और (3) हैं इसलिए ({{1,2}}) इसका उपसमुच्चय है। परीक्षा में बड़े ब्रैकेट के अंदर के पूरे तत्व पहचानें। / The elements of (A) are ({1,2}) and (3), so ({{1,2}}) is a subset of it. In exams identify complete objects inside the outer braces.
विषम संख्याएं (1,3) हैं जिनमें से एक चुनें और सम संख्याएं (2,4) स्वतंत्र हैं इसलिए \({}^2C_1\times2^2=8\)। परीक्षा में शर्त वाले तत्व और स्वतंत्र तत्व अलग करें। / The odd numbers are (1,3); choose one of them and let even numbers (2,4) be free, so \({}^2C_1\times2^2=8\). In exams separate restricted and free elements.
B. \(B\subset A\) और \(B\ne A\)/\(B\subset A\) and \(B\ne A\)
Explanation
Simple Explanation
\(A\) में वे सभी प्राकृतिक अभाज्य संख्याएँ हैं जो 10 से छोटी हैं, अतः \(A=\{2,3,5,7\}\). \(B=\{2,3,5\}\) है, इसलिए प्रत्येक सदस्यता वाले नियम से \(B\subset A\) और \(B\ne A\) (क्योंकि 7 \(A\) में है पर \(B\) में नहीं)। विकल्प A गलत है क्योंकि \(7\) \(B\) में नहीं है। विकल्प C गलत है क्योंकि \(A\) के सदस्य \(B\) के बाहर भी हैं। विकल्प D गलत है क्योंकि \(A\) और \(B\) के सामान्य सदस्य हैं (2,3,5)। परीक्षा टिप: सेट संबंध का निर्णय करने के लिए पहले सेट के वास्तविक सदस्यों को लिख लें। / By definition \(A\) is the set of prime natural numbers less than 10, so \(A=\{2,3,5,7\}\). Since \(B=\{2,3,5\}\) contains some but not all elements of \(A\), we have \(B\subset A\) and \(B\ne A\). Option A is false because 7 is in \(A\) but not in \(B\). Option C is false because \(A\) has an element (7) not in \(B\). Option D is false because \(A\) and \(B\) share elements 2, 3 and 5. Exam tip: list elements of each set before testing subset or equality relations.
सम तत्व (2,4,6) हैं और इनके सभी उपसमुच्चय \(2^3=8\) होंगे। परीक्षा में "केवल" का अर्थ है बाकी तत्वों को पूरी तरह हटाना। / The even elements are (2,4,6), and all their subsets are \(2^3=8\). In exams "only" means all other elements are excluded.
सीमित समुच्चयों में उपसमुच्चय और समान सदस्य संख्या होने पर कोई अतिरिक्त तत्व नहीं बचता इसलिए (A=B)। परीक्षा में सीमितता की शर्त महत्वपूर्ण है। / For finite sets, if one is a subset of the other and both have equal cardinality, no extra element remains so (A=B). In exams the finiteness condition is important.
सेट की परिभाषा के अनुसार क्रम और पुनरावृत्ति मायने नहीं रखते। \(B\) में अरेंजमेंट और एक अतिरिक्त बार "4" लिखा गया है, पर वास्तविक अनोखे सदस्य केवल \{2,4,6\} ही हैं। चूँकि दोनों में एक ही सदस्य हैं, इसलिए \(A=B\), यानी दोनों सेट बराबर हैं। निकटतम भ्रमित विकल्प B गलत है क्योंकि वह बताता है कि एक सेट केवल उपसमुच्चय है पर बराबर नहीं — यहाँ \(A\subseteq B\) भी और \(B\subseteq A\) भी सत्य है। परीक्षा टिप: किसी दिए गए सेट में से एक-एक सदस्य लिखकर अनोखे तत्व निकालें ताकि डुप्लीकेट हट जाएं। / By the definition of a set, order and repetition do not matter. In \(B\) the element "4" is repeated, but the distinct elements are still \{2,4,6\}. Since both \(A\) and \(B\) have exactly the same distinct members, \(A=B\). The closest distractor (Subset only) is incorrect because it implies one set is a proper subset of the other; here both \(A\subseteq B\) and \(B\subseteq A\) hold, so they are equal. Exam tip: list unique elements of each set (remove duplicates) before comparing.
\({\emptyset,1}\), (A) का उपसमुच्चय है, इसलिए यह (\mathcal{P}(A)) का तत्व है। लेकिन यह (A) में सदस्य के रूप में नहीं दिया है। / The set \({\emptyset,1}\) is a subset of (A), so it is an element of (\mathcal{P}(A)). But it is not listed as an element of (A).
(12) के (5) से छोटे धनात्मक भाजक (1,2,3,4) हैं। सदस्य समान हों तो सेट बराबर होते हैं। / The positive divisors of (12) less than (5) are (1,2,3,4). Sets are equal when all members match.
(6) से छोटी विषम प्राकृतिक संख्याएँ (1,3,5) हैं। परिभाषा को सूची में बदलना परीक्षा में सबसे सुरक्षित तरीका है। / The odd natural numbers less than (6) are (1,3,5). Converting set-builder form to roster form is safest in exams.
समुच्चय \(A\) के हर तत्व (\(a\) और \(b\)) समुच्चय \(B\) में मौजूद हैं, और \(B\) में एक अतिरिक्त तत्व \(c\) है। इसलिए \(A\) समुचित उपसमुच्चय है और इसे \(A\subset B\) से दर्शाया जाता है। विकल्प (B) गलत है क्योंकि \(B\) का तत्व \(c\) \(A\) में नहीं है; विकल्प (C) गलत है क्योंकि दोनों समुच्चय एक जैसे नहीं हैं; विकल्प (D) गलत है क्योंकि \(A\) वास्तव में \(B\) का उपसमुच्चय है। परीक्षा टिप: किसी भी उपसमुच्चय संबंध की जाँच के लिए छोटे समुच्चय के हर तत्व का उपस्थित होना देखें और असमानता के लिए अतिरिक्त तत्व खोजें। / Every element of \(A\) (namely \(a\) and \(b\)) is present in \(B\), and \(B\) has an extra element \(c\). Thus \(A\) is a proper subset of \(B\), written \(A\subset B\). Option B is false because \(c\in B\) but \(c\notin A\); option C is false because the sets are not identical; option D is false because \(A\) is indeed a subset of \(B\). Exam tip: To verify subset relations, check each element of the smaller set is in the larger set and look for any extra elements to distinguish proper subset from equality.
कुल उपसमुच्चय \(2^4=16\) हैं और पूरा सेट हटाने पर (15) उचित उपसमुच्चय बचते हैं। अंतिम उत्तर में पूरा सेट घटाना न भूलें। / Total subsets are \(2^4=16\), and removing the whole set leaves (15) proper subsets. Do not forget to subtract the set itself.
A. \(A\subseteq B\) और \(B\subseteq A\)/\(A\subseteq B\) and \(B\subseteq A\)
Explanation
Simple Explanation
दोनों दिशाओं में उपसमुच्चय संबंध होने पर हर सदस्य समान होता है। केवल सदस्यों की संख्या बराबर होना काफी नहीं है। / If each set is a subset of the other, every member matches. Equal cardinality alone is not enough.
रिक्त समुच्चय हर समुच्चय का उपसमुच्चय होता है। इसमें कोई सदस्य नहीं होता, इसलिए विरोधी उदाहरण नहीं मिल सकता। / The empty set is a subset of every set. It has no element, so no counterexample exists.
A. यदि \(A\subseteq B\) और \(B\subseteq A\), तो \(A=B\)
Explanation
Simple Explanation
यदि \(A\) का प्रत्येक अवयव \(B\) में और \(B\) का प्रत्येक अवयव \(A\) में हो, तो दोनों में ठीक वही अवयव हैं; अतः \(A=B\)। विकल्प B में \(A=B\) भी संभव है। परीक्षा टिप: बराबर समुच्चय सिद्ध करने हेतु दोनों दिशाओं में उपसमुच्चयता जाँचें। / If every element of \(A\) lies in \(B\) and every element of \(B\) lies in \(A\), the two sets have exactly the same elements; hence \(A=B\). Option B fails when \(A=B\). Exam tip: prove equal sets by checking inclusion in both directions.
समुच्चय \(A\) के सदस्य हैं: संख्याएँ \(1\), \(2\) और एक ही सदस्य के रूप में समुच्चय \(\{1,2\}\)। इसलिए \(\{1,2\}\in A\) सत्य है। \(\{1,2\}=A\) असत्य है क्योंकि \(A\) में दो संख्यात्मक तत्त्वों के अलावा स्वयं \(\{1,2\}\) भी एक अतिरिक्त तत्व है, अतः समतुल्य नहीं। \(3\in A\) गलत है क्योंकि \(3\) \(A\) का सदस्य नहीं है। \(\{1,2,3\}\subseteq A\) तब ही सत्य होता यदि \(3\in A\) होता, जो नहीं है। परीक्षण सुझाव: ब्रेसेस पर ध्यान दें — बड़े ब्रेसेस के अंदर क्या एक तत्त्व है और कितने तत्त्व हैं, यह लिखकर जाँचें। / The elements of \(A\) are: the numbers \(1\), \(2\), and the set \(\{1,2\}\) as a single element. Hence \(\{1,2\}\in A\) is true. \(\{1,2\}=A\) is false because \(A\) contains \(1\) and \(2\) as separate elements in addition to the element \(\{1,2\}\), so the two sets are not equal. \(3\in A\) is false since \(3\) is not an element of \(A\). \(\{1,2,3\}\subseteq A\) is false because \(3\) must belong to \(A\) for that subset relation to hold. Exam tip: explicitly list the elements of the set and check membership versus subset — element braces matter.
(X) में (A) के सदस्य निश्चित हैं और (4,5) वैकल्पिक हैं। इसलिए \(2^2=4\) समुच्चय बनेंगे। / The elements of (A) are fixed in (X), while (4,5) are optional. Hence \(2^2=4\) sets are possible.
तत्व 2 को शामिल करना अनिवार्य है, इसलिए शेष तीन तत्व 1, 3 और 4 प्रत्येक या तो उपसमुच्चय में होंगे या नहीं होंगे — यह दो विकल्प देता है। कुल विकल्पों की संख्या \(2^3=8\) है। विकल्प (6) इसलिए गलत है क्योंकि वह कुछ चयन गणनाएँ ग़लत लागू करता है; उदाहरण के लिए किसी एक या दो तत्व चुनने की गिनती यहाँ प्रासंगिक नहीं है। परीक्षा-टिप: किसी n-तत्त्वीय संपूर्ण समूह में किसी निश्चित तत्व को शामिल करने वाले उपसमुच्चयों की संख्या हमेशा \(2^{n-1}\) होती है। / Element 2 is required to be in each subset, so the remaining three elements (1, 3, 4) each have two possibilities (in or out). Thus the number of subsets is \(2^3=8\). Option 6 is incorrect because it counts only some combinations instead of all independent in/out choices; option 16 is the total number of all subsets without restriction. Exam tip: For a set of n elements, the number of subsets containing a fixed element is \(2^{n-1}\).
तर्क: \(1\) और \(2\) अनिवार्य रूप से शामिल हैं और \(5\) निषिद्ध है, इसलिए शेष स्वतंत्र तत्व केवल \(3\) और \(4\) हैं। प्रत्येक स्वतंत्र तत्व के दो विकल्प हैं (शामिल या नहीं), अतः कुल उपसमुच्चय = \(2^2=4\)। विकल्प C (8) तब आएगा यदि तीन तत्व स्वतंत्र माने जाएँ (उदा. यदि 5 निषिद्ध न हो)। विकल्प A (2) और D (16) क्रमशः एक स्वतंत्र तत्व या चार स्वतंत्र तत्व मानकर हुई गलत गणनाएँ हैं। परीक्षा सुझाव: पहले अनिवार्य और निषिद्ध तत्व अलग कर लें; फिर शेष तत्वों पर \(2^n\) लागू करें। / Reasoning: 1 and 2 must be included and 5 must be excluded, so the only free elements are 3 and 4. Each free element can be either present or absent, giving \(2^2=4\) subsets. Option C (8) would result if three elements were treated as free (for example, if 5 were not excluded). Options A (2) and D (16) reflect incorrect counts assuming one or four free elements respectively. Exam tip: first fix required/forbidden elements, then count subsets of the remaining elements as \(2^n\).
दिया गया बहुपद \(x^{2}-5x+6\) को गुणनखंडों में लिखें: \(x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)\)। इसलिए समीकरण \(x^{2}-5x+6=0\) के हल \(x=2\) और \(x=3\) हैं और समुच्चय \(A=\{2,3\}\) बनता है। यह समुच्चय बिलकुल \(B\) के समान है, अतः \(A=B\)। विकल्प \(A\subset B\) और \(B\subset A\) गलत हैं क्योंकि दोनों समुच्चय बराबर हैं न कि एक सही उपसमुच्चय; विकल्प \(A\cap B=\emptyset\) भी गलत है क्योंकि उनका चौरस (intersection) \(\{2,3\}\) है, शून्य समुच्चय नहीं। परीक्षा-सुझाव: किसी भी समीकरण के लिए पहले गुणनखंड करके मूल (roots) निकालें और सीधे दोनों समुच्चयों की तुलना करें — बराबरी और उपसमुच्चय में फर्क पर ध्यान दें। / Factor the quadratic: \(x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)\). The roots are \(x=2\) and \(x=3\), so \(A=\{2,3\}\). Since \(B=\{2,3\}\) as well, we have \(A=B\). Options \(A\subset B\) and \(B\subset A\) are incorrect because they imply a proper subset relation whereas the sets are equal; option \(A\cap B=\emptyset\) is wrong because the intersection is \(\{2,3\}\), not empty. Exam tip: always solve the equation first to get the explicit set and then compare membership and equality — distinguish equal sets from proper subsets.
समस्या में हमें पूर्णांकों पर शर्त दी गई है: \(x^2=9\) का पूर्णांक हल \(x=3\) और \(x=-3\) दोनों हैं। अतः \(A=\{-3,3\}\) जो ठीक उसी तरह है जैसे \(B\)। इसलिए \(A=B\) सत्य है। निकटतम विचलन (option B) केवल धनात्मक जड़ \(3\) को ही रखता है और \(-3\) को छोड़ देता है, इसलिए वह गलत है। (option C) में \(B\) को \(A\) का proper subset माना गया है, परंतु दोनों सेट बराबर हैं इसलिए वह भी गलत है। परीक्षा टिप: वर्गसमाधान लेते समय हमेशा दोनों ± जड़ों की जाँच करें और दिए गए डोमेन (यहाँ \(\mathbb{Z}\)) को ध्यान में रखें। / Solving \(x^2=9\) over the integers gives \(x=3\) and \(x=-3\), so \(A=\{-3,3\}\), which is exactly \(B\). Hence \(A=B\) is correct. The closest distractor, \(A=\{3\}\), wrongly omits \(-3\). The option claiming a proper subset (\(B\subsetneq A\)) is false because the sets are equal. Exam tip: When solving \(x^2=a\) always check both \(\pm\sqrt{a}\) and the specified domain (e.g. \(\mathbb{Z}\)).
हर सदस्य की जाँच करें: \(1,2,3\) में से प्रत्येक संख्या 3 से कम या बराबर है, अतः वे सभी सदस्य \(B\) में भी समाविष्ट होंगे। इसलिए \(B\) के सदस्य ठीक वही हैं जो \(A\) के हैं, यानी \(A=B\)। निकटतम विक्षेप — \(B\subsetneq A\) या \(A\subset B\) — गलत हैं क्योंकि दोनों में 'proper subset' का अर्थ है कि एक समुच्चय में कम सदस्य हों; यहाँ दोनों के सदस्य समान संख्या में हैं। \(B=\emptyset\) गलत है क्योंकि \(B\) में सदस्य मौजूद हैं। परीक्षात्मक सुझाव: शाब्दिक शर्त ("3 से छोटे या बराबर") को प्रत्येक तत्व पर लागू करके तुरंत सत्यापन कर लें। / Check elements: each element of \(A\), namely 1, 2 and 3, is ≤3, so all elements of \(A\) belong to \(B\). Thus \(B\) contains exactly the same elements as \(A\), i.e. \(A=B\). Closest distractors like \(B\subsetneq A\) or \(A\subset B\) are wrong because they assert a proper subset relation (strict inequality of membership), but here the two sets have identical members. \(B=\emptyset\) is false since \(B\) is not empty. Exam tip: verify set relations by testing each element rather than relying on intuition about wording.
उपसमुच्चय सम्बन्ध संक्रमणीय होता है। किसी भी तत्त्व \(x\) के लिए यदि \(x\in A\) है तो दिया गया है कि \(A\subseteq B\) होने पर \(x\in B\) और फिर \(B\subseteq C\) होने पर \(x\in C\)। इसलिए हर तत्त्व जो \(A\) में है, वह \(C\) में भी होगा — अतः \(A\subseteq C\) सदैव सत्य है। अन्य विकल्प गलत क्यों: (B) \(C\subseteq A\) तब ही सत्य होगा जब \(A\) और \(C\) बराबर हों; ऐसा निर्धारित नहीं है। (C) \(A=C\) तभी सत्य होगा जब दोनों दिशाओं में समावेशन दिया या सिद्ध किया जाए; केवल दिए हुए कथनों से यह आवश्यक नहीं है। (D) \(B=\emptyset\) आवश्यक नहीं है — B खाली भी हो सकता है या न भी हो; उदाहरण के लिये \(A=\{1\},B=\{1\},C=\{1,2\}\) में शर्तें पूरी होती हैं पर \(B\) खाली नहीं है। परीक्षा-सूत्र: उपसमुच्चय सिद्ध करने के लिये किसी भी तत्त्व \(x\) को लेकर उसे पूर्ववर्ती समुच्चयों के माध्यम से आगे बढ़ाएँ। / The subset relation is transitive. For any element \(x\), if \(x\in A\) and \(A\subseteq B\), then \(x\in B\); since \(B\subseteq C\), it follows \(x\in C\). Hence every element of \(A\) is in \(C\), so \(A\subseteq C\) always holds. Why other options fail: (B) \(C\subseteq A\) need not hold unless \(A\) and \(C\) are equal. (C) \(A=C\) requires both \(A\subseteq C\) and \(C\subseteq A\); only the first is given. (D) \(B=\emptyset\) is not implied — B may be empty or non-empty. Exam tip: To prove subset statements, take an arbitrary element of the assumed subset and follow membership through the given inclusions (element-chasing).
दो उचित बढ़ाव होने से (C) में (A) से अधिक सदस्य जरूर होंगे। इसलिए (A) (C) का उचित उपसमुच्चय है। / With two proper inclusions, (C) must have more than (A). Hence (A) is a proper subset of (C).
सीमित समुच्चयों में उपसमुच्चय की सदस्य संख्या बराबर हो तो कोई अतिरिक्त सदस्य नहीं बचता। इसलिए समुच्चय बराबर हैं। / For finite sets, if a subset has the same number of elements, no extra element remains. Therefore the sets are equal.
सदस्यों की संख्या बराबर होने से सदस्य समान होना जरूरी नहीं है। जैसे ({1,2}) और ({3,4}) बराबर नहीं हैं। / Equal number of elements does not mean the elements are the same. For example, ({1,2}) and ({3,4}) are not equal.
घात समुच्चय में सभी उपसमुच्चय सदस्य बनते हैं। रिक्त समुच्चय और पूरा समुच्चय दोनों शामिल करें। / The power set contains all subsets as elements. Include both the empty set and the whole set.
(\mathcal{P}(A)) के सदस्य (A) के उपसमुच्चय होते हैं। \({1,3}\subseteq A\) है, इसलिए यह सदस्य है। / Elements of (\mathcal{P}(A)) are subsets of (A). Since \({1,3}\subseteq A\), it is an element.
किसी समुच्चय का पूरा समुच्चय स्वयं उसके घात समुच्चय में आता है। बराबर घात समुच्चय मूल समुच्चय भी बराबर बनाते हैं। / A set itself appears in its power set. Equal power sets force the original sets to be equal.
(A) का हर सदस्य (B) में है, इसलिए साझा भाग (A) ही है। चित्र बनाकर यह पहचान जल्दी होती है। / Every element of (A) is in (B), so the common part is (A). A quick Venn diagram helps identify this.
यदि \(A\cap B = A\), तो हर तत्व \(x\in A\) के लिए \(x\in A\cap B\) भी होगा, इसका अर्थ है कि वह \(x\) \(B\) में भी है। इसलिए हर तत्व \(A\) का सदस्य \(B\) में है, अर्थात् \(A\subseteq B\)। विकल्प B (\(B\subseteq A\)) हमेशा सही नहीं है — उदाहरण के लिये \(A=\{1\},\;B=\{1,2\}\) में \(B\subseteq A\) असत्य है। विकल्प C केवल तब सही होगा जब \(A\) शून्यसमुच्चय हो; सामान्यतः गलत। विकल्प D का कोई सामान्य कारण नहीं है और अधिकतर मामलों में असत्य रहेगा। परीक्षा टिप: उपसमुच्चय सिद्ध करने के लिये तत्व-स्तर पर दिखाएँ — 'यदि \(x\in A\) तो ...' तरीका तेज और सुरक्षित रहता है। / If \(A\cap B = A\), then for every element \(x\in A\) we also have \(x\in A\cap B\), which implies \(x\in B\). Hence every element of \(A\) is in \(B\), i.e. \(A\subseteq B\). Option B (\(B\subseteq A\)) need not hold (counterexample: \(A=\{1\},B=\{1,2\}\)). Option C holds only if \(A\) is empty, so it is not generally true. Option D (\(A=B^{c}\)) is unrelated and usually false. Exam tip: Prove subset claims by element-wise argument — assume \(x\in A\) and show \(x\in B\).
सममित अंतर रिक्त है तो कोई सदस्य केवल एक ही सेट में नहीं है। इसलिए दोनों सेटों के सदस्य समान हैं। / If the symmetric difference is empty, no element belongs to exactly one set. Thus the sets have identical elements.
(18) के अभाज्य भाजक केवल (2) और (3) हैं। भाजक और अभाज्य भाजक में अंतर ध्यान रखें। / The prime divisors of (18) are only (2) and (3). Note the difference between divisors and prime divisors.
24 के सभी भाजक हैं {1,2,3,4,6,8,12,24} और इनके सम (even) भाजक A = {2,4,6,8,12,24} होंगे। विकल्प {2,4,6,8} के सभी तत्व A में मौजूद हैं, अतः वह A का उपसमुच्चय है। निकटवर्ती गलती करने वाले विकल्पों में {1,2,4} है — इसमें 1 है जो सम भाजक नहीं है और इसलिए A में नहीं है; इसी तरह {2,4,5} में 5, और {10,12} में 10 A में नहीं है। परीक्षा संकेत: पहले मूल सेट A लिखें और फिर हर विकल्प का प्रत्येक सदस्य A में है या नहीं यह क्रम से जाँचें। / Divisors of 24 are {1,2,3,4,6,8,12,24}; the even divisors (set A) are {2,4,6,8,12,24}. Every element of {2,4,6,8} belongs to A, so it is a subset. A close distractor is {1,2,4} — 1 is not an even divisor and thus not in A. Similarly {2,4,5} contains 5 (not a divisor) and {10,12} contains 10 (not a divisor). Exam tip: list A first, then verify each element of the candidate subset belongs to A one by one.
हर सदस्य के लिए तीन स्थितियां हैं: दोनों में नहीं, केवल (Y) में, या दोनों में। इसलिए कुल \(3^3=27\) है। / Each element has three choices: in neither set, in (Y) only, or in both. Thus the total is \(3^3=27\).
यहाँ \(B-A\) में केवल एक तत्व \(9\) है, इसलिए किसी भी समुच्चय \(X\) को \(A\) के सभी तत्व अवश्य रखने होंगे और केवल यह तय करना होगा कि \(9\) को रखा जाए या नहीं। इसलिए संभावनाएँ दो हैं: \(X=A\) या \(X=A\cup\{9\}=B\)। सामान्य सूत्र से भी: संभव \(X\) की संख्या = \(2^{|B-A|}=2^{1}=2\)। सबसे नज़दीकी भ्रामक विकल्प (3) गलत है क्योंकि केवल एक वैकल्पिक तत्व होने पर तीन भिन्न उपसमुच्चय बनना संभव नहीं है। परीक्षात्मक सुझाव: जब पूछे कि कितने \(X\) के लिए \(A\subseteq X\subseteq B\), तब सीधे \(2^{|B-A|}\) का प्रयोग करें। / Since \(B-A\) contains exactly one element (9), any set \(X\) must include all elements of \(A\) and may either exclude or include 9. Thus there are two possibilities: \(X=A\) or \(X=A\cup\{9\}=B\). Using the general formula, number of such \(X\)=\(2^{|B-A|}=2^{1}=2\). The nearest distractor (3) is incorrect because a single optional element yields only two distinct choices, not three. Exam tip: use the formula \(2^{|B-A|}\) for counting sets satisfying \(A\subseteq X\subseteq B\).
(k) भी बड़े समुच्चय का सदस्य होना चाहिए। (k=1) होने पर समुच्चय ({1}) बनता है, जो उपसमुच्चय है। / The value (k) must be an element of the larger set. If (k=1), the set becomes ({1}), which is still a subset.
(0) निश्चित है और दूसरा सदस्य (1,2,3) में से चुना जाएगा। इसलिए (3) उपसमुच्चय बनते हैं। / Element (0) is fixed, and the second element is chosen from (1,2,3). So there are (3) subsets.
(A) में दो अलग सदस्य हैं: \(\emptyset\) और \({\emptyset}\)। इसलिए उपसमुच्चय \(2^2=4\) हैं। / The set (A) has two distinct elements: \(\emptyset\) and \({\emptyset}\). Hence it has \(2^2=4\) subsets.
उपसमुच्चय होने के लिए प्रत्येक सदस्य मूल समुच्चय के सदस्य होना चाहिए। विकल्प D में संख्या 2 शामिल है, पर \(2\) समुच्चय \(A\) का सदस्य नहीं है; इसलिए \(\{1,2\}\) उपसमुच्चय नहीं है और यह सही उत्तर है। निकट भ्रामक विकल्प — विकल्प B (\(\{\{\emptyset\}\}\)) — कुछ छात्रों को भ्रमित कर सकता है, पर इसका एकमात्र सदस्य \(\{\emptyset\}\) है और वह स्पष्ट रूप से \(A\) का सदस्य है, अतः यह वास्तव में \(A\) का उपसमुच्चय है। परखने का सुझाव: सदैव जाँचें कि प्रत्येक तत्व मूल समुच्चय में मौजूद है और \(\emptyset\) तथा \(\{\emptyset\}\) में अंतर समझें। / For a set to be a subset, every element of that set must be an element of the original set. Option D contains the element 2, but 2 is not an element of \(A\); therefore \(\{1,2\}\) is not a subset and is the correct choice. A close distractor is option B (\(\{\{\emptyset\}\}\)), which may look tricky: its sole element is \(\{\emptyset\}\), and since \(\{\emptyset\}\in A\), B is actually a subset. Exam tip: check membership element-by-element and be careful to distinguish between \(\emptyset\) and \(\{\emptyset\}\).
कथन: यदि \(A\subset B\), तो (\mathcal{P}(A)\subset \mathcal{P}(B))। कारण: (A) का हर उपसमुच्चय (B) का भी उपसमुच्चय है और (B) स्वयं (\mathcal{P}(B)) में है पर (\mathcal{P}(A)) में नहीं। सही विकल्प चुनिए।
A. कथन और कारण दोनों सही हैं, कारण सही व्याख्या है/Both assertion and reason are true, and the reason explains it
Explanation
Simple Explanation
उचित उपसमुच्चय होने पर घात समुच्चय भी उचित रूप से शामिल होता है। कारण में दोनों भाग सही व्याख्या देते हैं। / A proper subset gives a proper inclusion of power sets. The reason correctly explains both inclusion and properness.
समीकरण के मूल (3) और (4) हैं, इसलिए दोनों समुच्चयों के सदस्य समान हैं। पहले हल निकालकर फिर समुच्चय मिलाएं। / The roots are (3) and (4), so both sets have the same elements. First solve, then compare the sets.
(18) के धनात्मक भाजक (1,2,3,6,9,18) हैं। सूची रूप में बदलकर सदस्य मिलाना सबसे अच्छा तरीका है। / The positive divisors of (18) are (1,2,3,6,9,18). Converting to roster form is the best way to compare elements.
(2) निश्चित है, (4) बाहर है और (1,3,5) स्वतंत्र हैं। इसलिए \(2^3=8\) उपसमुच्चय बनेंगे। / Element (2) is fixed, (4) is excluded, and (1,3,5) are free. Hence \(2^3=8\) subsets are possible.
दोनों समुच्चयों में (2) पहले से समान है, इसलिए दूसरा सदस्य (5) होना चाहिए। समुच्चय में क्रम का महत्व नहीं होता। / Both sets already share (2), so the other element must be (5). Order does not matter in sets.
समुच्चयों में किसी सदस्य की पुनरावृत्ति मायने नहीं रखती; प्रत्येक तत्व केवल एक बार गिना जाता है। इसलिए \(A\) के अलग-अलग सदस्य \(\{1,2,3\}\) हैं और \(B\) के भी अलग-अलग सदस्य \(\{1,2,3\}\) हैं। दो समुच्चय तब समान होते हैं जब प्रत्येक का हर तत्व दूसरे में भी हो — यह यहाँ सत्य है, इसलिए \(A=B\)। विकल्प (B) और (C) — "proper subset" तब होता यदि एक समुच्चय दूसरे का सख्त उपसमुच्चय हो (यानि दूसरे में अतिरिक्त तत्व हों), पर यहाँ कोई अतिरिक्त तत्व नहीं हैं; इसलिए वे गलत हैं। विकल्प (D) भी गलत है क्योंकि दोनों समुच्चय समान हैं। परीक्षात्मक सुझाव: किसी समुच्चय को लिखते समय पुनरावृत्तियों को हटाकर सूची बनाएं और तत्वों की तुलना उसी से करें। / In set theory repeated listing of an element does not change the set; elements are considered without multiplicity. So the distinct elements of \(A\) are \(\{1,2,3\}\), which equals the distinct elements of \(B\). Two sets are equal iff every element of one is an element of the other; that condition holds, hence \(A=B\). Options (B) and (C) assert a proper subset relation, which would require one set to have strictly fewer elements than the other — not true here. Option (D) is false because the sets are identical. Exam tip: remove repeated entries and compare the resulting distinct-element sets.)
क्यों सही: \(A\subset X\subseteq B\) का अर्थ है कि \(X\) में कम-से-कम \(p,q\) हों और \(X\) केवल \(B\) के तत्व ही ले सकता है। बचे हुए स्वतंत्र तत्व हैं \(r\) और \(s\) — हर एक को शामिल/न शामिल करने के दो विकल्प हैं, यानी कुल \(2^2=4\) संभाव्य समुच्चय जो \(A\) को शामिल करते हैं। परन्तु सही होना चाहिए कि \(X\neq A\), इसलिए उस एक स्थिति (जब ना \(r\) और ना \(s\) लिया गया) को हटाना होगा। अतः कुल = \(2^2-1=3\)। नज़दीकी भ्रम: 4 चुनने वालों की गलती यह है कि वे \(X=A\) को भी गिन लेते हैं। परीक्षा टिप: "मुक्त तत्वों" की संख्या निकालें और \(2^n\) में से आवश्यकतः बराबरता की स्थिति घटाएँ। / Why correct: \(A\subset X\subseteq B\) means every \(X\) must contain \(p\) and \(q\) and may include each of the remaining elements \(r,s\) independently. That gives \(2^2=4\) choices for including/excluding \(r,s\). Since \(X\) must be a proper superset of \(A\), exclude the case where neither \(r\) nor \(s\) is chosen. So total = \(2^2-1=3\). Closest trap: 4 counts \(X=A\) as well. Exam tip: Count choices for elements outside \(A\) (here \(n=2\)), compute \(2^n\) and subtract 1 if a proper superset is required.
तीन सदस्य चुनने की संख्या \(\binom{5}{3}=10\) है। उपसमुच्चय में क्रम नहीं गिना जाता। / The number of ways to choose three elements is \(\binom{5}{3}=10\). Order is not counted in subsets.
घात समुच्चय में सभी उपसमुच्चय होते हैं, इसलिए संख्या \(2^4=16\) है। (A) के सदस्य और (\mathcal{P}(A)) के सदस्य अलग सोचें। / A power set contains all subsets, so the number is \(2^4=16\). Think separately about elements of (A) and elements of (\mathcal{P}(A)).
({0}) समुच्चय (A) का उपसमुच्चय है, इसलिए यह (\mathcal{P}(A)) का सदस्य है। घात समुच्चय के सदस्य हमेशा उपसमुच्चय होते हैं। / ({0}) is a subset of (A), so it is an element of (\mathcal{P}(A)). Elements of a power set are always subsets.
\(\emptyset\) (A) का सदस्य है और हर समुच्चय का उपसमुच्चय भी है। सदस्यता और उपसमुच्चय दोनों जांचें। / \(\emptyset\) is an element of (A) and also a subset of every set. Check both membership and subset relation.
({3}) का सदस्य (3) (A) में है, इसलिए यह उपसमुच्चय है। लेकिन ({3}) (A) में सदस्य के रूप में नहीं दिया है। / ({3}) is a subset because \(3\in A\). But ({3}) is not listed as an element of (A).
यदि \(\emptyset\) सदस्य है, तो (A) में कम से कम एक सदस्य है। इसे \(\emptyset\subseteq A\) से न मिलाएं। / If \(\emptyset\) is an element, then (A) has at least one element. Do not confuse it with \(\emptyset\subseteq A\).
यदि \(A\cup B = A\), तब किसी भी तत्व \(x\) के लिए यदि \(x\in B\) तो \(x\in A\cup B\) होगा। पर दिया है कि \(A\cup B\) बराबर \(A\) है, अतः कोई भी \(x\in B\) भी \(x\in A\) होगा। यह परिभाषा के अनुसार \(B\subseteq A\) साबित करती है। विकल्प (B) गलत है क्योंकि \(A\subseteq B\) का अर्थ है हर तत्व A का B में भी होना — यह जरूरी नहीं है (उदाहरण: \(A=\{1,2\},B=\{1\}\)). विकल्प (D) भी हमेशा सत्य नहीं है; ऊपर के उदाहरण में \(A\cap B=\{1\}\) जो खाली सेट नहीं है। विकल्प (C) (पूरक) का कोई कारण नहीं है और सार्वभौमिक सेट के संबंध पर निर्भर है। परीक्षात्मक सुझाव: ऐसे प्रश्नों के लिए 'तत्व-पश्चात' (element-chasing) विधि अपनाएँ — किसी सामान्य तत्व \(x\) के सदस्यता को देखकर तर्क करें और विरोधाभास के उदाहरण से गलत विकल्प खारिज करें। / If \(A\cup B = A\), then for any element \(x\) if \(x\in B\) it must belong to \(A\cup B\), which equals \(A\). Hence every element of \(B\) is in \(A\), so \(B\subseteq A\). Option (B) is incorrect because \(A\subseteq B\) need not hold (e.g. \(A=\{1,2\},B=\{1\}\)). Option (D) is not always true — in the same example \(A\cap B=\{1\}\), not empty. Option (C) asserting complement equality is unrelated without specifying a universal set. Exam tip: use element-chasing (take an arbitrary \(x\) and follow membership) or a simple counterexample to disprove other choices quickly.
यदि \(A\cap B = B\) है तो हर \(x\in B\) के लिए \(x\in A\cap B\) होगा, अर्थात् हर \(x\in B\) साथ ही \(x\in A\) भी है। इसलिए \(B\subseteq A\) सत्य है। विकल्प B (\(A\subseteq B\)) गलत है क्योंकि इससे मिलती-जुलती स्थिति \(A\cap B = A\) बनेगी, न कि \(B\). विकल्प C (\(A = B^{c}\)) और D (\(A\cap B = \emptyset\)) परोक्ष रूप से विरोधाभासी या असंगत हैं क्योंकि वे दिए हुए समीकरण से लागू नहीं होते। परीक्षा-सुझाव: पहचानें कि \(X\cap Y = Y\) तभी और केवल तभी जब \(Y\subseteq X\) हो — यह पहचान प्रश्नों को जल्दी हल कर देती है। / If \(A\cap B = B\), then every \(x\in B\) belongs to \(A\cap B\), so every element of \(B\) is also in \(A\). Hence \(B\subseteq A\) is true. Option B (\(A\subseteq B\)) is incorrect because that relation would imply \(A\cap B = A\), not \(B\). Options C (\(A = B^{c}\)) and D (\(A\cap B = \emptyset\)) do not follow from the given equality and are inconsistent with it. Exam tip: Use the identity — \(X\cap Y = Y\) if and only if \(Y\subseteq X\) — to answer such questions instantly.
(A) से (B) हटाने पर (A) ही बचा, यानी कोई साझा सदस्य नहीं था। इसलिए दोनों असंबद्ध हैं। / Removing (B) from (A) still leaves (A), so there was no common element. Hence they are disjoint.
(A) स्वयं (\mathcal{P}(A)) का सदस्य है, इसलिए (A) (\mathcal{P}(B)) में भी होगा। इसका अर्थ \(A\subseteq B\) है। / The set (A) itself is an element of (\mathcal{P}(A)), so it is also in (\mathcal{P}(B)). That means \(A\subseteq B\).
(\mathcal{P}(B)) में (8) और (\mathcal{P}(A)) में (4) सदस्य हैं। अंतर में (8-4=4) सदस्य होंगे। / (\mathcal{P}(B)) has (8) elements and (\mathcal{P}(A)) has (4). The difference contains (8-4=4) elements.
तीन विषम संख्याओं में से दो चुनें और तीन सम संख्याएँ वैकल्पिक हैं। संख्या \(\binom{3}{2}\times2^3=24\) है। / Choose two from the three odd numbers, and the three even numbers are optional. The count is \(\binom{3}{2}\times2^3=24\).
कम से कम 4 सदस्य वाले उपसमुच्चयों में या तो 4-सदस्यीय होंगे या 5-सदस्यीय होंगे। 4-सदस्यीय उपसमुच्चयों की संख्या है \(\binom{5}{4}=5\)। 5-सदस्यीय उपसमुच्चयों की संख्या है \(\binom{5}{5}=1\)। अतः कुल = \(5+1=6\)। सबसे नज़दीकी भ्रामक विकल्प 5 केवल 4-सदस्यीय उपसमुच्चयों की गिनती है और 10 तथा 16 अन्य आकारों के उपसमुच्चयों के मान हैं (उदा. \(\binom{5}{2}=10\) और \(2^4=16\) सम्बन्धित नहीं)। परीक्षा-सुझाव: आकार के अनुसार गिनती करें या सीधे बायनॉमियल योग (सम) का प्रयोग करें। / Subsets with at least 4 elements are those of size 4 or size 5. Number of 4-element subsets is \(\binom{5}{4}=5\), and number of 5-element subsets is \(\binom{5}{5}=1\). Therefore total = \(5+1=6\). The closest distractor 5 counts only the 4-element subsets; 10 equals \(\binom{5}{2}\) and 16 equals \(2^4\) (not relevant here). Exam tip: count by sizes using binomial coefficients or use complement counting when appropriate.
(a) को हटाकर (4) सदस्य बचते हैं, जिनके \(2^4=16\) उपसमुच्चय हैं। ये सभी (A) के उचित उपसमुच्चय हैं। / After excluding (a), (4) elements remain, giving \(2^4=16\) subsets. All of them are proper subsets of (A).
हिसाब इस प्रकार है: जोड़े {2,3} के केवल दो वैध स्थितियाँ हैं — दोनों शामिल (2 और 3 दोनों मौजूद) या दोनों बाहर (दोनों अनुपस्थित)। शेष अवयव 1 और 4 स्वतंत्र हैं और प्रत्येक के लिए दो‑दो विकल्प हैं, कुल मिलाकर दोनों स्थितियों × 22 = \(2\times2^2=8\) उपसमुच्चय। सामान्य गलती: कुछ छात्र दोनों शामिल के लिए 4 मान लेते हैं पर दोनों बाहर के साथ 2 जोड़कर 6 लिख देते हैं — पर वास्तव में दोनों बाहर होने पर भी 1 और 4 के लिए 4 विकल्प होते हैं। परीक्षा‑टिप: किसी जोड़े को एक इकाई मानकर या 'मामला‑विग्रह' करके गिनती करना तेज और कम त्रुटिपूर्ण होता है। / Count by cases on the pair {2,3}. The pair has two allowed states: both present or both absent. The remaining elements 1 and 4 are independent, giving 22 choices. Therefore total = 2×22 = \(2\times2^2=8\). Common mistake: treating the 'both absent' case as contributing fewer choices than the 'both present' case, which is incorrect because 1 and 4 still each have two options. Exam tip: treat a constrained pair as one unit or use casework to avoid double counting.
प्रतिच्छेद में केवल वे सदस्य आते हैं जो दोनों में हों। यहाँ साझा सदस्य (2) और (3) हैं। / Intersection contains only elements common to both sets. Here the common elements are (2) and (3).
\(A\subseteq B\) का अर्थ है हर तत्व जो \(A\) में है वह \(B\) में भी है। \(B - A = \emptyset\) का अर्थ है \(B\) में ऐसा कोई तत्व नहीं है जो \(A\) में न हो — यानी हर \(B\) का तत्व \(A\) में भी है। इसलिए दोनों दिशाओं में समावेशन सत्य हैं और \(A = B\)। विकल्प B (\(A \subsetneq B\)) गलत है क्योंकि उसके लिए \(B\) में कम-से-कम एक तत्व होना चाहिए जो \(A\) में न हो, पर दिया गया है कि ऐसा कोई तत्व नहीं है। परीक्षात्मक टिप: सेट-बराबरी जाँचने के लिए दोनों समावेशन \(A\subseteq B\) और \(B\subseteq A\) को प्रमाणित/निराडित करें या सेट-भेद \(B-A\) की शून्यता देखें। / \(A\subseteq B\) means every element of \(A\) is in \(B\). \(B - A = \emptyset\) means there is no element of \(B\) that is not in \(A\), i.e. every element of \(B\) is in \(A\). Thus \(A\subseteq B\) and \(B\subseteq A\) both hold, so \(A = B\). Option B (\(A \subsetneq B\)) is wrong because it requires at least one element in \(B\) outside \(A\), which contradicts \(B - A = \emptyset\). Exam tip: use element-wise definitions or check set-difference zero to decide equality quickly.
(20) से छोटे धनात्मक गुणज (4,8,12,16) हैं। सीमा और धनात्मक शर्त दोनों जांचें। / The positive multiples less than (20) are (4,8,12,16). Check both the boundary and positivity condition.
\(A=\{2,3,5\}\) है और ({2,5}) इसके अंदर है पर बराबर नहीं है। इसलिए यह उचित उपसमुच्चय है। / Here \(A=\{2,3,5\}\), and ({2,5}) lies inside it but is not equal to it. Hence it is a proper subset.
पहला चरण सेट के सदस्य गिनना है। \(x^2\le4\) होने पर पूर्णांक समाधान हैं \(\{-2,-1,0,1,2\}\), अर्थात् \(n=5\)। किसी सेट के कुल उपसमुच्चयों की संख्या \(2^n\) होती है, अतः कुल उपसमुच्चय \(2^5=32\) होंगे। "उचित उपसमुच्चय" से तात्पर्य उस सेट के वे उपसमुच्चय हैं जो स्वयं मूल सेट के बराबर न हों; इसलिए मूल सेट को निकालकर बचते हैं \(2^5-1=31\) उचित उपसमुच्चय। निकटवर्ती विकर्षक: \(32\) गलत है क्योंकि वह समपूर्ण सेट को भी गिनता है (यह कुल उपसमुच्चयों की संख्या है, उचित उपसमुच्चयों की नहीं)। परीक्षात्मक सुझाव: पहले सेट के तत्वों की संख्या निश्चित कर लें, फिर तुरंत \(2^n\) और \(2^n-1\) के सूत्र लागू करें। / Count the elements first. Solutions of \(x^2\le4\) in integers are \(\{-2,-1,0,1,2\}\), so \(n=5\). A set has \(2^n\) total subsets, hence \(2^5=32\) subsets altogether. Proper subsets exclude the set itself, so there are \(2^5-1=31\) proper subsets. Closest distractor: 32 is incorrect because it includes the set itself (total subsets), not only proper ones. Exam tip: always determine \(n\) first, then use \(2^n\) for total subsets and \(2^n-1\) for proper subsets.
समाधान के लिये \(x^2=16\) को पूराांकों पर हल करें। इससे \(x=4\) और \(x=-4\) मिलते हैं, अतः \(A=\{-4,4\}\)। चूँकि \(B\) भी \(\{-4,4\}\) है, इसलिए \(A=B\) सत्य है। विकल्प (B) गलत है क्योंकि वह \(-4\) को छोड़ देता है; विकल्प (C) गलत है क्योंकि \(B\) किसी उचित उपसमुच्चय के रूप में नहीं बल्कि बराबर है; विकल्प (D) गलत है क्योंकि शून्य समाधान नहीं हैं। परीक्षा टिप: द्विघात समीकरणों में धनात्मक और ऋणात्मक दोनों जड़ें जांचें, खासकर जब_DOMAIN\(\mathbb{Z}\) हो। / Solve \(x^2=16\) over the integers: the solutions are \(x=4\) and \(x=-4\), so \(A=\{-4,4\}\). Since \(B\) is exactly \(\{-4,4\}\), we have \(A=B\). Option (B) misses the solution \(-4\); option (C) is false because \(B\) is not a proper subset but equal to \(A\); option (D) is false because there are nonzero solutions. Exam tip: for even powers check both ± roots and note the specified domain (here \(\mathbb{Z}\)).
(\mathcal{P}(A)) के सदस्य (A) के उपसमुच्चय हैं, और विकल्प A के सभी सदस्य ऐसे हैं। संख्या (1) को ({1}) से अलग समझें। / Elements of (\mathcal{P}(A)) are subsets of (A), and every member in option A is such a subset. Distinguish (1) from ({1}).
यहाँ ({2}) एक सदस्य के रूप में मौजूद है, लेकिन (2) स्वयं सदस्य नहीं है। नेस्टेड सेट में कोष्ठक बहुत महत्वपूर्ण हैं। / Here ({2}) is present as one element, but (2) itself is not an element. Brackets are very important in nested sets.
A. \(A\in B\) और \(A\subseteq B\) दोनों/Both \(A\in B\) and \(A\subseteq B\)
Explanation
Simple Explanation
(B) में \(A=\{1,2\}\) सदस्य के रूप में है और (1,2) भी (B) में हैं। इसलिए दोनों संबंध सही हैं। / (B) contains \(A=\{1,2\}\) as an element, and it also contains (1,2). Hence both relations are true.
यहाँ \(A\subset B\) का अर्थ है कि A एक proper subset है यानी A में मौजूद हर तत्व B में है और दोनों बराबर नहीं हैं। इसलिए सदस्यों की संख्या के लिए \(n(A)<n(B)\) होना चाहिए। चूँकि \(n(A)=6\), इसलिए \(n(B)\) अंततः 6 नहीं हो सकता। आसन्न विकल्प 7, 8 या 10 संभव हैं — उदाहरण के लिए B में A के तत्वों के अलावा एक अतिरिक्त तत्व होने पर \(n(B)=7\) होगा। परीक्षा-सुझाव: सवाल पढ़ते समय जांचें कि \("\subset"\) को proper subset के रूप में लिया गया है या नहीं; वही तय करता है कि बराबर होने की अनुमति है या नहीं। / Here \(A\subset B\) is interpreted as a proper subset, meaning every element of A is in B and A ≠ B. Hence cardinalities satisfy \(n(A)<n(B)\). Given \(n(A)=6\), it is impossible for \(n(B)\) to be 6. The other choices (7, 8, 10) are all possible—for example adding one new element to A gives \(n(B)=7\). Exam tip: always confirm whether the subset symbol denotes a proper subset or allows equality, since that changes the inequality for cardinalities.
सीमित सेट में उपसमुच्चय और बराबर सदस्य संख्या होने पर कोई अतिरिक्त सदस्य नहीं बचता। इसलिए सेट बराबर हैं। / For finite sets, a subset with equal cardinality leaves no extra element. Therefore the sets are equal.
उपसमुच्चय की परिभाषा के अनुसार किसी सेट \(B\) को \(A\) का उपसमुच्चय तभी कहा जाएगा जब \(B\) के हर सदस्य \(A\) में भी उपस्थित हों। यहाँ \(A=\{1,2,5,10\}\)। विकल्प A, B और C के सभी तत्व \(A\) में हैं, अतः वे उपसमुच्चय हैं। विकल्प D में तत्व 4 भी है, पर 4 \(A\) का सदस्य नहीं है, इसलिए \({2,4}\) \(A\) का उपसमुच्चय नहीं है। परीक्षा टिप: किसी सेट को उपसमुच्चय जाँचना हो तो उसके हर तत्व को मूल सेट में एक‑एक करके चेक करें। / By definition, B is a subset of A only if every element of B belongs to A. Here \(A=\{1,2,5,10\}\). All elements of options A, B and C are contained in A, so they are subsets. Option D contains 4, which is not an element of A, therefore \({2,4}\) is not a subset of A. Exam tip: when checking subsets list the elements of A (e.g. divisors of 10) first and verify each candidate element individually.
कथन: \(\emptyset\subseteq A\) हर समुच्चय \(A\) के लिए सत्य है। कारण: \(\emptyset\) में ऐसा कोई तत्त्व नहीं है जो \(A\) में न हो। नीचे दिए गए विकल्पों में सही चुनिए।
A. कथन और कारण दोनों सही हैं, और कारण कथन की सही व्याख्या करता है/Both assertion and reason are true, and the reason correctly explains the assertion
Explanation
Simple Explanation
परिभाषा के अनुसार \(B\subseteq A\) तभी होगा जब प्रत्येक तत्त्व जो \(B\) में है वह \(A\) में भी हो। \(\emptyset\) में कोई तत्त्व नहीं है, अतः "प्रत्येक तत्त्व \(\emptyset\) का \(A\) में होना" सत्य है (vacuous truth)। कारण वही तथ्य सीधे बताता है: \(\emptyset\) में कोई विरोधी तत्त्व नहीं है, इसलिए यह हर समुच्चय का उपसमुच्चय है। निकटतम विचलन (विकल्प D) गलत इसलिए है कि कारण वास्तव में कथन की व्याख्या करता है; वह कोई अलग तर्क नहीं दे रहा। परीक्षा-सुझाव: उपसमुच्चय की परिभाषा को हमेशा "हर तत्त्व के लिए" के रूप में पढ़ें — खाली समुच्चय के लिए यह शून्य विरोधी देता है। / By definition, \(B\subseteq A\) iff every element of \(B\) is an element of \(A\). Since \(\emptyset\) has no elements, the statement "every element of \(\emptyset\) belongs to \(A\)" is vacuously true. The reason restates this absence of a counterexample, so it correctly explains the assertion. Closest distractor (option D) is wrong because it denies that the reason explains the assertion, whereas here the reason is exactly the justification. Exam tip: translate subset claims into "for all x in B, x in A"; for \(\emptyset\) such universal claims are always true (vacuous truth).
A. कथन और कारण दोनों सही हैं, कारण सही व्याख्या है/Both assertion and reason are true, and the reason explains it
Explanation
Simple Explanation
बराबर समुच्चय होने पर (A) का हर सदस्य (B) में होता है। इसलिए उपसमुच्चय संबंध तुरंत मिलता है। / When sets are equal, every element of (A) is in (B). So the subset relation follows directly.
D. कथन और कारण दोनों गलत हैं/Both assertion and reason are false
Explanation
Simple Explanation
सदस्य संख्या समान होने से सदस्य समान होना जरूरी नहीं है। जैसे ({1,2}) और ({3,4}) बराबर नहीं हैं। / Equal cardinality does not force identical elements. For example, ({1,2}) and ({3,4}) are not equal.
सम योग के लिए चुने गए विषम सदस्यों की संख्या सम होनी चाहिए। चार-सदस्यीय सेट में कुल (16) उपसमुच्चयों में आधे यानी (8) सम योग देते हैं। / For an even sum, the number of selected odd elements must be even. Among the (16) subsets, half, that is (8), give even sum.
हर सदस्य के लिए तीन विकल्प हैं: किसी में नहीं, केवल (Y) में, या दोनों में। इसलिए कुल \(3^3=27\) युग्म हैं। / Each element has three choices: in neither set, in (Y) only, or in both. Hence there are \(3^3=27\) pairs.
({1,2}) fixed है, इसलिए बाकी (2) तत्व ({3,4,5,6}) से चुनने हैं। संख्या \(\binom{4}{2}=6\) है। / ({1,2}) is fixed, so choose the remaining (2) elements from ({3,4,5,6}). The number is \(\binom{4}{2}=6\).
"ठीक एक" का अर्थ है या तो सिर्फ मोबाइल या सिर्फ लैपटॉप — दोनों नहीं। सिर्फ मोबाइल = 92 − 51 = 41, सिर्फ लैपटॉप = 78 − 51 = 27। इसलिए ठीक एक = 41 + 27 = \(68\)। विकल्प B (119) दरअसल कम-से-कम एक डिवाइस रखने वालों की गिनती है (92+78−51) और इसलिए गलत है। परीक्षा सुझाव: "ठीक एक" के लिए पहले हर समूह में से दोनों रखने वालों को घटाएँ, फिर शेषों को जोड़ें। / "Exactly one" means either only mobile or only laptop (not both). Only mobile = 92 − 51 = 41, only laptop = 78 − 51 = 27. So exactly one = 41 + 27 = \(68\). Option B (119) is the number with at least one device (92+78−51), not exactly one, so it is incorrect. Exam tip: subtract the intersection from each group to get "only" counts, then add them to find exactly one.
तीन क्लबों में \(n(A)=72\), \(n(B)=68\), \(n(C)=61\), \(n(A\cap B)=29\), \(n(B\cap C)=24\), \(n(C\cap A)=26\) और \(n(A\cap B\cap C)=11\) दिए हैं। केवल \(B\) में आने वाले सदस्य कितने हैं?
केवल \(B\) वाले सदस्य के लिए समावेशन–बहिष्करण का उपयोग करें: केवल \(B\)=\(n(B)-n(A\cap B)-n(B\cap C)+n(A\cap B\cap C)\)। यहाँ \(68-29-24+11=26\)। विकल्प 15 तब होता है जब त्रि-इंटरसेक्शन \(+11\) जोड़ना भूल जाएँ (यानी \(68-29-24=15\))—यह गलत है क्योंकि केंद्र भाग को दो बार घटाने पर उसे एक बार जोड़ना जरूरी है। परीक्षा टिप: एक Venn आरेख बनाकर केंद्र व किनारे के हिस्से लेबल करें; इससे केवल-एक सेट के हिस्से सीधे मिल जाते हैं। / Use inclusion–exclusion for the part only in B: only \(B\)=\(n(B)-n(A\cap B)-n(B\cap C)+n(A\cap B\cap C)\). Thus \(68-29-24+11=26\). The option 15 corresponds to forgetting to add back the triple intersection (\(68-29-24=15\)), which is incorrect because the common central region was subtracted twice and must be added once. Exam tip: sketch a three-set Venn diagram and label each region; compute the ‘only B’ region directly from the overlaps.
क्यों صحيح: \(A\subseteq B\subseteq C\) का अर्थ है कि A के सभी तत्त्व B और C में भी आते हैं। अतः तीनों का समन्वय (intersection) उन तत्त्वों का समूह होगा जो A में हैं, यानी \(A\cap B\cap C= A\)। निकटतम विचलन क्यों गलत है: विकल्प B गलत है क्योंकि B में A के अतिरिक्त अन्य तत्त्व हो सकते हैं; विकल्प C भी बड़ा हो सकता है; विकल्प D (\(C\setminus A\)) तो उन तत्त्वों का समूह है जो C में हैं पर A में नहीं — यह intersection नहीं हो सकता। परीक्षा-सुझाव: सूक्ष्मता के लिए उपसमुच्चय का पारगम्य गुण (transitivity) याद रखें: \(A\subseteq B\) एवं \(B\subseteq C\) से \(A\subseteq C\) और फिर किसी बड़े सेट के साथ intersection लेने पर छोटा सेट ही रहेगा। / Reasoning: From \(A\subseteq B\subseteq C\) every element of A belongs to B and to C, so A is contained in both B and C. Therefore the common elements of A, B and C are precisely the elements of A, i.e. \(A\cap B\cap C = A\). Why the closest distractor is wrong: option B is not necessarily equal because B may contain elements not in A; option C can be larger than A; option D (\(C\setminus A\)) consists of elements of C that are not in A, so it cannot represent the intersection. Exam tip: Use transitivity \(A\subseteq C\) and remember intersection with supersets gives the smallest set — a quick nested Venn sketch helps.
\(a^2-b^2=0\) को \((a-b)(a+b)=0\) लिखा जा सकता है। चूँकि \(a,b\) दोनों \(1\) से \(5\) तक धनात्मक हैं, इसलिए \(a+b\neq 0\), अतः \(a-b=0\), अर्थात् \(a=b\)। ऐसे क्रमित युग्म \((1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5)\) हैं, इसलिए कुल \(5\) युग्म हैं। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में पहले समीकरण को गुणनखंडित करके देखें कि कौन-सी शर्त वास्तव में संभव है। / The equation \(a^2-b^2=0\) factors as \((a-b)(a+b)=0\). Since both \(a\) and \(b\) are positive integers from \(1\) to \(5\), \(a+b\neq 0\); hence \(a=b\). The valid ordered pairs are \((1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5)\), giving a total of \(5\) pairs. Exam tip: Factor a difference of squares first, then apply the restrictions on the elements of the sets.
दो क्रमबद्ध युग्म तभी बराबर होते हैं जब उनके संगत अवयव बराबर हों। इसलिए \(2x-1=5\) और \(y+3=10\)। पहले समीकरण से \(2x=6\), अतः \(x=3\); दूसरे से \(y=7\)। इसलिए \((x,y)=(3,7)\), अर्थात् विकल्प B सही है। परीक्षा-युक्ति: क्रमबद्ध युग्मों की तुलना हमेशा समान क्रम में करें; अवयवों का स्थान बदलने पर युग्म सामान्यतः समान नहीं रहता। / Two ordered pairs are equal only when their corresponding components are equal. Hence, \(2x-1=5\) and \(y+3=10\). The first equation gives \(2x=6\), so \(x=3\), while the second gives \(y=7\). Therefore, \((x,y)=(3,7)\), making option B correct. Exam tip: Compare the components of ordered pairs in the same position; changing their order generally changes the pair.
जब x=1 है, तब अधिकतम योग 1+8=9 होता है, इसलिए कोई युग्म मान्य नहीं है। x=3 के लिए केवल y=8 लेने पर 3+8=11>9 मिलता है, अर्थात 1 युग्म। x=5 के लिए y=6 और 8 लेने पर क्रमशः 11 और 13 मिलते हैं, अर्थात 2 युग्म। इसलिए कुल 1+2=3 युग्म हैं। परीक्षा-युक्ति: प्रत्येक x के लिए B के उन मानों की गिनती करें जो 9−x से बड़े हों। / For x=1, the maximum possible sum is 1+8=9, so no pair qualifies. For x=3, only y=8 gives 3+8=11>9, contributing 1 pair. For x=5, y=6 and y=8 give sums 11 and 13, contributing 2 pairs. Hence, the total number of ordered pairs is 1+2=3. Exam tip: For each value of x, count the elements of B that are greater than 9−x.
पहले प्रतिच्छेद ज्ञात करें: \(A\cap C=\{2,3\}\) और \(B\cap C=\{3,4\}\)। दोनों समुच्चयों में 2-2 अवयव हैं। इसलिए कार्तीय गुणनफल में अवयवों की संख्या \(|A\cap C|\times|B\cap C|=2\times2=4\) होगी। 6 या 8 जैसे विकल्प प्रतिच्छेदों के आकारों का गलत गुणन या अनावश्यक जोड़ दर्शाते हैं। परीक्षा-युक्ति: \(|X\times Y|=|X|\,|Y|\) सूत्र याद रखें। / First find the intersections: \(A\cap C=\{2,3\}\) and \(B\cap C=\{3,4\}\). Each intersection has 2 elements, so the Cartesian product has \(|A\cap C|\times|B\cap C|=2\times2=4\) elements. The options 6 and 8 result from incorrectly combining the set sizes rather than multiplying them. Exam tip: remember \(|X\times Y|=|X|\,|Y|\).
यदि \(A=\{0,2,4\}\) और \(B=\{1,3,5\}\) हैं, तो \(A\times B\) में ऐसे क्रमित युग्मों की संख्या कितनी है जिनका दूसरा निर्देशांक पहले निर्देशांक से 1 अधिक है?
शर्त है कि दूसरे निर्देशांक \(y\) का मान पहले निर्देशांक \(x\) से 1 अधिक हो, अर्थात \(y=x+1\)। \(A\times B\) में इस शर्त को संतुष्ट करने वाले युग्म \((0,1),(2,3),(4,5)\) हैं। इसलिए ऐसे कुल 3 युग्म हैं। विकल्प 4 इसलिए गलत है क्योंकि \(A\) के प्रत्येक तत्व के साथ \(B\) का तत्व 1 अधिक नहीं बनता। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में पहले शर्त को समीकरण के रूप में लिखकर प्रत्येक संभावित \(x\) के लिए \(y\) जाँचें। / The condition is that the second coordinate \(y\) is exactly 1 greater than the first coordinate \(x\), so \(y=x+1\). The pairs in \(A\times B\) satisfying this condition are \((0,1),(2,3),(4,5)\). Hence, there are 3 such pairs. Option 4 is incorrect because every element of \(A\) does not produce a corresponding element of \(B\) that is exactly 1 greater. Exam tip: Rewrite the coordinate condition as an equation and check the possible values systematically.
x = 1 के लिए y ≥ 3 होना चाहिए, इसलिए y के 3 मान (3, 4, 5) मिलते हैं। x = 2 के लिए y ≥ 4, इसलिए 2 मान (4, 5) मिलते हैं। x = 3 के लिए केवल y = 5 संभव है। अतः कुल युग्म 3 + 2 + 1 = 6 हैं। 7 का चयन अतिरिक्त युग्म गिनने के कारण गलत होगा। परीक्षा-युक्ति: प्रत्येक x के लिए B में x + 2 या उससे बड़े y मान गिनें। / For x = 1, we need y ≥ 3, giving 3 values: 3, 4, and 5. For x = 2, we need y ≥ 4, giving 2 values: 4 and 5. For x = 3, only y = 5 is possible. Therefore, the total number of ordered pairs is 3 + 2 + 1 = 6. The distractor 7 results from counting one extra pair. Exam tip: for each x, count the elements of B that are at least x + 2.
