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सेट की परिभाषा के अनुसार क्रम और पुनरावृत्ति मायने नहीं रखते। \(B\) में अरेंजमेंट और एक अतिरिक्त बार "4" लिखा गया है, पर वास्तविक अनोखे सदस्य केवल \{2,4,6\} ही हैं। चूँकि दोनों में एक ही सदस्य हैं, इसलिए \(A=B\), यानी दोनों सेट बराबर हैं। निकटतम भ्रमित विकल्प B गलत है क्योंकि वह बताता है कि एक सेट केवल उपसमुच्चय है पर बराबर नहीं — यहाँ \(A\subseteq B\) भी और \(B\subseteq A\) भी सत्य है। परीक्षा टिप: किसी दिए गए सेट में से एक-एक सदस्य लिखकर अनोखे तत्व निकालें ताकि डुप्लीकेट हट जाएं। / By the definition of a set, order and repetition do not matter. In \(B\) the element "4" is repeated, but the distinct elements are still \{2,4,6\}. Since both \(A\) and \(B\) have exactly the same distinct members, \(A=B\). The closest distractor (Subset only) is incorrect because it implies one set is a proper subset of the other; here both \(A\subseteq B\) and \(B\subseteq A\) hold, so they are equal. Exam tip: list unique elements of each set (remove duplicates) before comparing.
\({\emptyset,1}\), (A) का उपसमुच्चय है, इसलिए यह (\mathcal{P}(A)) का तत्व है। लेकिन यह (A) में सदस्य के रूप में नहीं दिया है। / The set \({\emptyset,1}\) is a subset of (A), so it is an element of (\mathcal{P}(A)). But it is not listed as an element of (A).
(12) के (5) से छोटे धनात्मक भाजक (1,2,3,4) हैं। सदस्य समान हों तो सेट बराबर होते हैं। / The positive divisors of (12) less than (5) are (1,2,3,4). Sets are equal when all members match.
(6) से छोटी विषम प्राकृतिक संख्याएँ (1,3,5) हैं। परिभाषा को सूची में बदलना परीक्षा में सबसे सुरक्षित तरीका है। / The odd natural numbers less than (6) are (1,3,5). Converting set-builder form to roster form is safest in exams.
समुच्चय \(A\) के हर तत्व (\(a\) और \(b\)) समुच्चय \(B\) में मौजूद हैं, और \(B\) में एक अतिरिक्त तत्व \(c\) है। इसलिए \(A\) समुचित उपसमुच्चय है और इसे \(A\subset B\) से दर्शाया जाता है। विकल्प (B) गलत है क्योंकि \(B\) का तत्व \(c\) \(A\) में नहीं है; विकल्प (C) गलत है क्योंकि दोनों समुच्चय एक जैसे नहीं हैं; विकल्प (D) गलत है क्योंकि \(A\) वास्तव में \(B\) का उपसमुच्चय है। परीक्षा टिप: किसी भी उपसमुच्चय संबंध की जाँच के लिए छोटे समुच्चय के हर तत्व का उपस्थित होना देखें और असमानता के लिए अतिरिक्त तत्व खोजें। / Every element of \(A\) (namely \(a\) and \(b\)) is present in \(B\), and \(B\) has an extra element \(c\). Thus \(A\) is a proper subset of \(B\), written \(A\subset B\). Option B is false because \(c\in B\) but \(c\notin A\); option C is false because the sets are not identical; option D is false because \(A\) is indeed a subset of \(B\). Exam tip: To verify subset relations, check each element of the smaller set is in the larger set and look for any extra elements to distinguish proper subset from equality.
कुल उपसमुच्चय \(2^4=16\) हैं और पूरा सेट हटाने पर (15) उचित उपसमुच्चय बचते हैं। अंतिम उत्तर में पूरा सेट घटाना न भूलें। / Total subsets are \(2^4=16\), and removing the whole set leaves (15) proper subsets. Do not forget to subtract the set itself.
A. \(A\subseteq B\) और \(B\subseteq A\)/\(A\subseteq B\) and \(B\subseteq A\)
Explanation
Simple Explanation
दोनों दिशाओं में उपसमुच्चय संबंध होने पर हर सदस्य समान होता है। केवल सदस्यों की संख्या बराबर होना काफी नहीं है। / If each set is a subset of the other, every member matches. Equal cardinality alone is not enough.
रिक्त समुच्चय हर समुच्चय का उपसमुच्चय होता है। इसमें कोई सदस्य नहीं होता, इसलिए विरोधी उदाहरण नहीं मिल सकता। / The empty set is a subset of every set. It has no element, so no counterexample exists.
A. यदि \(A\subseteq B\) और \(B\subseteq A\), तो \(A=B\)
Explanation
Simple Explanation
यदि \(A\) का प्रत्येक अवयव \(B\) में और \(B\) का प्रत्येक अवयव \(A\) में हो, तो दोनों में ठीक वही अवयव हैं; अतः \(A=B\)। विकल्प B में \(A=B\) भी संभव है। परीक्षा टिप: बराबर समुच्चय सिद्ध करने हेतु दोनों दिशाओं में उपसमुच्चयता जाँचें। / If every element of \(A\) lies in \(B\) and every element of \(B\) lies in \(A\), the two sets have exactly the same elements; hence \(A=B\). Option B fails when \(A=B\). Exam tip: prove equal sets by checking inclusion in both directions.
समुच्चय \(A\) के सदस्य हैं: संख्याएँ \(1\), \(2\) और एक ही सदस्य के रूप में समुच्चय \(\{1,2\}\)। इसलिए \(\{1,2\}\in A\) सत्य है। \(\{1,2\}=A\) असत्य है क्योंकि \(A\) में दो संख्यात्मक तत्त्वों के अलावा स्वयं \(\{1,2\}\) भी एक अतिरिक्त तत्व है, अतः समतुल्य नहीं। \(3\in A\) गलत है क्योंकि \(3\) \(A\) का सदस्य नहीं है। \(\{1,2,3\}\subseteq A\) तब ही सत्य होता यदि \(3\in A\) होता, जो नहीं है। परीक्षण सुझाव: ब्रेसेस पर ध्यान दें — बड़े ब्रेसेस के अंदर क्या एक तत्त्व है और कितने तत्त्व हैं, यह लिखकर जाँचें। / The elements of \(A\) are: the numbers \(1\), \(2\), and the set \(\{1,2\}\) as a single element. Hence \(\{1,2\}\in A\) is true. \(\{1,2\}=A\) is false because \(A\) contains \(1\) and \(2\) as separate elements in addition to the element \(\{1,2\}\), so the two sets are not equal. \(3\in A\) is false since \(3\) is not an element of \(A\). \(\{1,2,3\}\subseteq A\) is false because \(3\) must belong to \(A\) for that subset relation to hold. Exam tip: explicitly list the elements of the set and check membership versus subset — element braces matter.
(X) में (A) के सदस्य निश्चित हैं और (4,5) वैकल्पिक हैं। इसलिए \(2^2=4\) समुच्चय बनेंगे। / The elements of (A) are fixed in (X), while (4,5) are optional. Hence \(2^2=4\) sets are possible.
तत्व 2 को शामिल करना अनिवार्य है, इसलिए शेष तीन तत्व 1, 3 और 4 प्रत्येक या तो उपसमुच्चय में होंगे या नहीं होंगे — यह दो विकल्प देता है। कुल विकल्पों की संख्या \(2^3=8\) है। विकल्प (6) इसलिए गलत है क्योंकि वह कुछ चयन गणनाएँ ग़लत लागू करता है; उदाहरण के लिए किसी एक या दो तत्व चुनने की गिनती यहाँ प्रासंगिक नहीं है। परीक्षा-टिप: किसी n-तत्त्वीय संपूर्ण समूह में किसी निश्चित तत्व को शामिल करने वाले उपसमुच्चयों की संख्या हमेशा \(2^{n-1}\) होती है। / Element 2 is required to be in each subset, so the remaining three elements (1, 3, 4) each have two possibilities (in or out). Thus the number of subsets is \(2^3=8\). Option 6 is incorrect because it counts only some combinations instead of all independent in/out choices; option 16 is the total number of all subsets without restriction. Exam tip: For a set of n elements, the number of subsets containing a fixed element is \(2^{n-1}\).
तर्क: \(1\) और \(2\) अनिवार्य रूप से शामिल हैं और \(5\) निषिद्ध है, इसलिए शेष स्वतंत्र तत्व केवल \(3\) और \(4\) हैं। प्रत्येक स्वतंत्र तत्व के दो विकल्प हैं (शामिल या नहीं), अतः कुल उपसमुच्चय = \(2^2=4\)। विकल्प C (8) तब आएगा यदि तीन तत्व स्वतंत्र माने जाएँ (उदा. यदि 5 निषिद्ध न हो)। विकल्प A (2) और D (16) क्रमशः एक स्वतंत्र तत्व या चार स्वतंत्र तत्व मानकर हुई गलत गणनाएँ हैं। परीक्षा सुझाव: पहले अनिवार्य और निषिद्ध तत्व अलग कर लें; फिर शेष तत्वों पर \(2^n\) लागू करें। / Reasoning: 1 and 2 must be included and 5 must be excluded, so the only free elements are 3 and 4. Each free element can be either present or absent, giving \(2^2=4\) subsets. Option C (8) would result if three elements were treated as free (for example, if 5 were not excluded). Options A (2) and D (16) reflect incorrect counts assuming one or four free elements respectively. Exam tip: first fix required/forbidden elements, then count subsets of the remaining elements as \(2^n\).
दिया गया बहुपद \(x^{2}-5x+6\) को गुणनखंडों में लिखें: \(x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)\)। इसलिए समीकरण \(x^{2}-5x+6=0\) के हल \(x=2\) और \(x=3\) हैं और समुच्चय \(A=\{2,3\}\) बनता है। यह समुच्चय बिलकुल \(B\) के समान है, अतः \(A=B\)। विकल्प \(A\subset B\) और \(B\subset A\) गलत हैं क्योंकि दोनों समुच्चय बराबर हैं न कि एक सही उपसमुच्चय; विकल्प \(A\cap B=\emptyset\) भी गलत है क्योंकि उनका चौरस (intersection) \(\{2,3\}\) है, शून्य समुच्चय नहीं। परीक्षा-सुझाव: किसी भी समीकरण के लिए पहले गुणनखंड करके मूल (roots) निकालें और सीधे दोनों समुच्चयों की तुलना करें — बराबरी और उपसमुच्चय में फर्क पर ध्यान दें। / Factor the quadratic: \(x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)\). The roots are \(x=2\) and \(x=3\), so \(A=\{2,3\}\). Since \(B=\{2,3\}\) as well, we have \(A=B\). Options \(A\subset B\) and \(B\subset A\) are incorrect because they imply a proper subset relation whereas the sets are equal; option \(A\cap B=\emptyset\) is wrong because the intersection is \(\{2,3\}\), not empty. Exam tip: always solve the equation first to get the explicit set and then compare membership and equality — distinguish equal sets from proper subsets.
समस्या में हमें पूर्णांकों पर शर्त दी गई है: \(x^2=9\) का पूर्णांक हल \(x=3\) और \(x=-3\) दोनों हैं। अतः \(A=\{-3,3\}\) जो ठीक उसी तरह है जैसे \(B\)। इसलिए \(A=B\) सत्य है। निकटतम विचलन (option B) केवल धनात्मक जड़ \(3\) को ही रखता है और \(-3\) को छोड़ देता है, इसलिए वह गलत है। (option C) में \(B\) को \(A\) का proper subset माना गया है, परंतु दोनों सेट बराबर हैं इसलिए वह भी गलत है। परीक्षा टिप: वर्गसमाधान लेते समय हमेशा दोनों ± जड़ों की जाँच करें और दिए गए डोमेन (यहाँ \(\mathbb{Z}\)) को ध्यान में रखें। / Solving \(x^2=9\) over the integers gives \(x=3\) and \(x=-3\), so \(A=\{-3,3\}\), which is exactly \(B\). Hence \(A=B\) is correct. The closest distractor, \(A=\{3\}\), wrongly omits \(-3\). The option claiming a proper subset (\(B\subsetneq A\)) is false because the sets are equal. Exam tip: When solving \(x^2=a\) always check both \(\pm\sqrt{a}\) and the specified domain (e.g. \(\mathbb{Z}\)).
हर सदस्य की जाँच करें: \(1,2,3\) में से प्रत्येक संख्या 3 से कम या बराबर है, अतः वे सभी सदस्य \(B\) में भी समाविष्ट होंगे। इसलिए \(B\) के सदस्य ठीक वही हैं जो \(A\) के हैं, यानी \(A=B\)। निकटतम विक्षेप — \(B\subsetneq A\) या \(A\subset B\) — गलत हैं क्योंकि दोनों में 'proper subset' का अर्थ है कि एक समुच्चय में कम सदस्य हों; यहाँ दोनों के सदस्य समान संख्या में हैं। \(B=\emptyset\) गलत है क्योंकि \(B\) में सदस्य मौजूद हैं। परीक्षात्मक सुझाव: शाब्दिक शर्त ("3 से छोटे या बराबर") को प्रत्येक तत्व पर लागू करके तुरंत सत्यापन कर लें। / Check elements: each element of \(A\), namely 1, 2 and 3, is ≤3, so all elements of \(A\) belong to \(B\). Thus \(B\) contains exactly the same elements as \(A\), i.e. \(A=B\). Closest distractors like \(B\subsetneq A\) or \(A\subset B\) are wrong because they assert a proper subset relation (strict inequality of membership), but here the two sets have identical members. \(B=\emptyset\) is false since \(B\) is not empty. Exam tip: verify set relations by testing each element rather than relying on intuition about wording.
उपसमुच्चय सम्बन्ध संक्रमणीय होता है। किसी भी तत्त्व \(x\) के लिए यदि \(x\in A\) है तो दिया गया है कि \(A\subseteq B\) होने पर \(x\in B\) और फिर \(B\subseteq C\) होने पर \(x\in C\)। इसलिए हर तत्त्व जो \(A\) में है, वह \(C\) में भी होगा — अतः \(A\subseteq C\) सदैव सत्य है। अन्य विकल्प गलत क्यों: (B) \(C\subseteq A\) तब ही सत्य होगा जब \(A\) और \(C\) बराबर हों; ऐसा निर्धारित नहीं है। (C) \(A=C\) तभी सत्य होगा जब दोनों दिशाओं में समावेशन दिया या सिद्ध किया जाए; केवल दिए हुए कथनों से यह आवश्यक नहीं है। (D) \(B=\emptyset\) आवश्यक नहीं है — B खाली भी हो सकता है या न भी हो; उदाहरण के लिये \(A=\{1\},B=\{1\},C=\{1,2\}\) में शर्तें पूरी होती हैं पर \(B\) खाली नहीं है। परीक्षा-सूत्र: उपसमुच्चय सिद्ध करने के लिये किसी भी तत्त्व \(x\) को लेकर उसे पूर्ववर्ती समुच्चयों के माध्यम से आगे बढ़ाएँ। / The subset relation is transitive. For any element \(x\), if \(x\in A\) and \(A\subseteq B\), then \(x\in B\); since \(B\subseteq C\), it follows \(x\in C\). Hence every element of \(A\) is in \(C\), so \(A\subseteq C\) always holds. Why other options fail: (B) \(C\subseteq A\) need not hold unless \(A\) and \(C\) are equal. (C) \(A=C\) requires both \(A\subseteq C\) and \(C\subseteq A\); only the first is given. (D) \(B=\emptyset\) is not implied — B may be empty or non-empty. Exam tip: To prove subset statements, take an arbitrary element of the assumed subset and follow membership through the given inclusions (element-chasing).
दो उचित बढ़ाव होने से (C) में (A) से अधिक सदस्य जरूर होंगे। इसलिए (A) (C) का उचित उपसमुच्चय है। / With two proper inclusions, (C) must have more than (A). Hence (A) is a proper subset of (C).
सीमित समुच्चयों में उपसमुच्चय की सदस्य संख्या बराबर हो तो कोई अतिरिक्त सदस्य नहीं बचता। इसलिए समुच्चय बराबर हैं। / For finite sets, if a subset has the same number of elements, no extra element remains. Therefore the sets are equal.
सदस्यों की संख्या बराबर होने से सदस्य समान होना जरूरी नहीं है। जैसे ({1,2}) और ({3,4}) बराबर नहीं हैं। / Equal number of elements does not mean the elements are the same. For example, ({1,2}) and ({3,4}) are not equal.
घात समुच्चय में सभी उपसमुच्चय सदस्य बनते हैं। रिक्त समुच्चय और पूरा समुच्चय दोनों शामिल करें। / The power set contains all subsets as elements. Include both the empty set and the whole set.
(\mathcal{P}(A)) के सदस्य (A) के उपसमुच्चय होते हैं। \({1,3}\subseteq A\) है, इसलिए यह सदस्य है। / Elements of (\mathcal{P}(A)) are subsets of (A). Since \({1,3}\subseteq A\), it is an element.
किसी समुच्चय का पूरा समुच्चय स्वयं उसके घात समुच्चय में आता है। बराबर घात समुच्चय मूल समुच्चय भी बराबर बनाते हैं। / A set itself appears in its power set. Equal power sets force the original sets to be equal.
(A) का हर सदस्य (B) में है, इसलिए साझा भाग (A) ही है। चित्र बनाकर यह पहचान जल्दी होती है। / Every element of (A) is in (B), so the common part is (A). A quick Venn diagram helps identify this.
यदि \(A\cap B = A\), तो हर तत्व \(x\in A\) के लिए \(x\in A\cap B\) भी होगा, इसका अर्थ है कि वह \(x\) \(B\) में भी है। इसलिए हर तत्व \(A\) का सदस्य \(B\) में है, अर्थात् \(A\subseteq B\)। विकल्प B (\(B\subseteq A\)) हमेशा सही नहीं है — उदाहरण के लिये \(A=\{1\},\;B=\{1,2\}\) में \(B\subseteq A\) असत्य है। विकल्प C केवल तब सही होगा जब \(A\) शून्यसमुच्चय हो; सामान्यतः गलत। विकल्प D का कोई सामान्य कारण नहीं है और अधिकतर मामलों में असत्य रहेगा। परीक्षा टिप: उपसमुच्चय सिद्ध करने के लिये तत्व-स्तर पर दिखाएँ — 'यदि \(x\in A\) तो ...' तरीका तेज और सुरक्षित रहता है। / If \(A\cap B = A\), then for every element \(x\in A\) we also have \(x\in A\cap B\), which implies \(x\in B\). Hence every element of \(A\) is in \(B\), i.e. \(A\subseteq B\). Option B (\(B\subseteq A\)) need not hold (counterexample: \(A=\{1\},B=\{1,2\}\)). Option C holds only if \(A\) is empty, so it is not generally true. Option D (\(A=B^{c}\)) is unrelated and usually false. Exam tip: Prove subset claims by element-wise argument — assume \(x\in A\) and show \(x\in B\).
सममित अंतर रिक्त है तो कोई सदस्य केवल एक ही सेट में नहीं है। इसलिए दोनों सेटों के सदस्य समान हैं। / If the symmetric difference is empty, no element belongs to exactly one set. Thus the sets have identical elements.
(18) के अभाज्य भाजक केवल (2) और (3) हैं। भाजक और अभाज्य भाजक में अंतर ध्यान रखें। / The prime divisors of (18) are only (2) and (3). Note the difference between divisors and prime divisors.
24 के सभी भाजक हैं {1,2,3,4,6,8,12,24} और इनके सम (even) भाजक A = {2,4,6,8,12,24} होंगे। विकल्प {2,4,6,8} के सभी तत्व A में मौजूद हैं, अतः वह A का उपसमुच्चय है। निकटवर्ती गलती करने वाले विकल्पों में {1,2,4} है — इसमें 1 है जो सम भाजक नहीं है और इसलिए A में नहीं है; इसी तरह {2,4,5} में 5, और {10,12} में 10 A में नहीं है। परीक्षा संकेत: पहले मूल सेट A लिखें और फिर हर विकल्प का प्रत्येक सदस्य A में है या नहीं यह क्रम से जाँचें। / Divisors of 24 are {1,2,3,4,6,8,12,24}; the even divisors (set A) are {2,4,6,8,12,24}. Every element of {2,4,6,8} belongs to A, so it is a subset. A close distractor is {1,2,4} — 1 is not an even divisor and thus not in A. Similarly {2,4,5} contains 5 (not a divisor) and {10,12} contains 10 (not a divisor). Exam tip: list A first, then verify each element of the candidate subset belongs to A one by one.
हर सदस्य के लिए तीन स्थितियां हैं: दोनों में नहीं, केवल (Y) में, या दोनों में। इसलिए कुल \(3^3=27\) है। / Each element has three choices: in neither set, in (Y) only, or in both. Thus the total is \(3^3=27\).
यहाँ \(B-A\) में केवल एक तत्व \(9\) है, इसलिए किसी भी समुच्चय \(X\) को \(A\) के सभी तत्व अवश्य रखने होंगे और केवल यह तय करना होगा कि \(9\) को रखा जाए या नहीं। इसलिए संभावनाएँ दो हैं: \(X=A\) या \(X=A\cup\{9\}=B\)। सामान्य सूत्र से भी: संभव \(X\) की संख्या = \(2^{|B-A|}=2^{1}=2\)। सबसे नज़दीकी भ्रामक विकल्प (3) गलत है क्योंकि केवल एक वैकल्पिक तत्व होने पर तीन भिन्न उपसमुच्चय बनना संभव नहीं है। परीक्षात्मक सुझाव: जब पूछे कि कितने \(X\) के लिए \(A\subseteq X\subseteq B\), तब सीधे \(2^{|B-A|}\) का प्रयोग करें। / Since \(B-A\) contains exactly one element (9), any set \(X\) must include all elements of \(A\) and may either exclude or include 9. Thus there are two possibilities: \(X=A\) or \(X=A\cup\{9\}=B\). Using the general formula, number of such \(X\)=\(2^{|B-A|}=2^{1}=2\). The nearest distractor (3) is incorrect because a single optional element yields only two distinct choices, not three. Exam tip: use the formula \(2^{|B-A|}\) for counting sets satisfying \(A\subseteq X\subseteq B\).
(k) भी बड़े समुच्चय का सदस्य होना चाहिए। (k=1) होने पर समुच्चय ({1}) बनता है, जो उपसमुच्चय है। / The value (k) must be an element of the larger set. If (k=1), the set becomes ({1}), which is still a subset.
(0) निश्चित है और दूसरा सदस्य (1,2,3) में से चुना जाएगा। इसलिए (3) उपसमुच्चय बनते हैं। / Element (0) is fixed, and the second element is chosen from (1,2,3). So there are (3) subsets.
(A) में दो अलग सदस्य हैं: \(\emptyset\) और \({\emptyset}\)। इसलिए उपसमुच्चय \(2^2=4\) हैं। / The set (A) has two distinct elements: \(\emptyset\) and \({\emptyset}\). Hence it has \(2^2=4\) subsets.
उपसमुच्चय होने के लिए प्रत्येक सदस्य मूल समुच्चय के सदस्य होना चाहिए। विकल्प D में संख्या 2 शामिल है, पर \(2\) समुच्चय \(A\) का सदस्य नहीं है; इसलिए \(\{1,2\}\) उपसमुच्चय नहीं है और यह सही उत्तर है। निकट भ्रामक विकल्प — विकल्प B (\(\{\{\emptyset\}\}\)) — कुछ छात्रों को भ्रमित कर सकता है, पर इसका एकमात्र सदस्य \(\{\emptyset\}\) है और वह स्पष्ट रूप से \(A\) का सदस्य है, अतः यह वास्तव में \(A\) का उपसमुच्चय है। परखने का सुझाव: सदैव जाँचें कि प्रत्येक तत्व मूल समुच्चय में मौजूद है और \(\emptyset\) तथा \(\{\emptyset\}\) में अंतर समझें। / For a set to be a subset, every element of that set must be an element of the original set. Option D contains the element 2, but 2 is not an element of \(A\); therefore \(\{1,2\}\) is not a subset and is the correct choice. A close distractor is option B (\(\{\{\emptyset\}\}\)), which may look tricky: its sole element is \(\{\emptyset\}\), and since \(\{\emptyset\}\in A\), B is actually a subset. Exam tip: check membership element-by-element and be careful to distinguish between \(\emptyset\) and \(\{\emptyset\}\).
कथन: यदि \(A\subset B\), तो (\mathcal{P}(A)\subset \mathcal{P}(B))। कारण: (A) का हर उपसमुच्चय (B) का भी उपसमुच्चय है और (B) स्वयं (\mathcal{P}(B)) में है पर (\mathcal{P}(A)) में नहीं। सही विकल्प चुनिए।
A. कथन और कारण दोनों सही हैं, कारण सही व्याख्या है/Both assertion and reason are true, and the reason explains it
Explanation
Simple Explanation
उचित उपसमुच्चय होने पर घात समुच्चय भी उचित रूप से शामिल होता है। कारण में दोनों भाग सही व्याख्या देते हैं। / A proper subset gives a proper inclusion of power sets. The reason correctly explains both inclusion and properness.
