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(x)-अक्ष पर \(y=0\) होता है इसलिए \(2x-5=0\) से \(x=\frac{5}{2}\) मिलता है। ग्राफ में प्रतिच्छेद के लिए दूसरे निर्देशांक को शून्य रखें। / On the (x)-axis \(y=0\) so \(2x-5=0\) gives \(x=\frac{5}{2}\). For an intercept set the other coordinate equal to zero.
\(-3\le x\le 1\) पर योग ((x+3)+(1-x)=4) स्थिर रहता है। ऐसे मापांक योग में दोनों बिंदुओं के बीच ग्राफ क्षैतिज हो सकता है। / On \(-3\le x\le 1\), the sum ((x+3)+(1-x)=4) is constant. In such modulus sums the graph can be horizontal between the two points.
\( |x-3| \) न्यूनतम (0) तब होता है जब \(x=3\)। मापांक ग्राफ का शीर्ष अंदर वाले भाग को शून्य करने से मिलता है। / \( |x-3| \) is minimum (0) when \(x=3\). For a modulus graph set the inside expression equal to zero.
\(y=\frac{1}{x}\) में \(x\) और \(y\) को बदलने पर \(x=\frac{1}{y}\) मिलता है, जो पुनर्व्यवस्थित करने पर वही समीकरण देता है। इसलिए ग्राफ \(y=x\) के सापेक्ष सममित है। परीक्षा में इस सममिति के लिए \(x,y\) अदला-बदली करें। / On swapping \(x\) and \(y\) in \(y=\frac{1}{x}\), we get \(x=\frac{1}{y}\), which rearranges to the same equation. Hence its graph is symmetric about \(y=x\); \(y=x^2\) is not. Exam tip: swap the variables to test this symmetry.
गुणांक (-3) ऋणात्मक है इसलिए परवलय नीचे खुलता है। शीर्ष पर (y=4) अधिकतम मान है। / The coefficient (-3) is negative so the parabola opens downward. At the vertex (y=4) is the maximum value.
A. मूल बिंदु के सापेक्ष सममिति/Symmetry about the origin
Explanation
Simple Explanation
(f(-x)=\frac{-x}{x-2+1}=-f(x)) है। इसलिए यह विषम फलन है और ग्राफ मूल बिंदु के सापेक्ष सममित है। / (f(-x)=\frac{-x}{x-2+1}=-f(x)). Therefore it is an odd function and its graph is symmetric about the origin.
मापांक फलन का मानक रूप \(y=a|x-h|+k\) है, जिसका शीर्ष \((h,k)\) होता है। यहाँ \(x+2=x-(-2)\), इसलिए \(h=-2\), और \(k=5\) है। अतः शीर्ष \((-2,5)\) है। विकल्प B में \(x\)-निर्देशांक का चिह्न गलत लिया गया है। परीक्षा-युक्ति: \(|x-h|\) के अंदर \(x-h=0\) रखकर शीर्ष का \(x\)-निर्देशांक प्राप्त करें। / The standard form of a modulus function is \(y=a|x-h|+k\), whose vertex is \((h,k)\). Here, \(x+2=x-(-2)\), so \(h=-2\) and \(k=5\). Therefore, the vertex is \((-2,5)\). Option B incorrectly changes the sign of the x-coordinate. Exam tip: Set the expression inside the modulus equal to zero to find the x-coordinate of the vertex.
हर (x-4) शून्य होने पर फलन अपरिभाषित होता है। इसलिए ऊर्ध्वाधर आसम्टोट (x=4) है। / The denominator (x-4) makes the function undefined when it is zero. So the vertical asymptote is (x=4).
\(x\ge 0\) पर \(|x|=x\) रखकर \(x=3-x\) से \(x=\frac{3}{2}\) मिलता है। इसलिए प्रतिच्छेद \(\left(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right)\) है। / For \(x\ge 0\), put \(|x|=x\), so \(x=3-x\) gives \(x=\frac{3}{2}\). Hence the intersection is \(\left(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right)\).
\(\frac{2}{x+1}\) का मान बड़े (|x|) पर (0) के पास जाता है। इसलिए ग्राफ (y=-3) के पास जाता है। / The term \(\frac{2}{x+1}\) approaches (0) for large (|x|). Hence the graph approaches (y=-3).
महत्तम पूर्णांक फलन (x) से कम या बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक देता है। इसलिए \(\lfloor 2.7 \rfloor=2\)। / The greatest integer function gives the largest integer less than or equal to (x). Hence \(\lfloor 2.7 \rfloor=2\).
A. ग्राफ में छलांग-असांतत्य होता है/The graph has a jump discontinuity
Explanation
Simple Explanation
महत्तम पूर्णांक फलन \(f(x)=\lfloor x\rfloor\) में \(x=3\) के बाईं ओर के मान 2 के निकट आते हैं, जबकि \(f(3)=3\) और दाईं ओर के मान 3 होते हैं। इसलिए \(x=3\) पर बाएँ और दाएँ सीमा मान अलग हैं तथा वहाँ छलांग-असांतत्य होता है। फलन सभी वास्तविक \(x\) के लिए परिभाषित है, इसलिए विकल्प D गलत है। परीक्षा टिप: \(\lfloor x\rfloor\) के ग्राफ में प्रत्येक पूर्णांक पर छलांग-असांतत्य होता है। / For the greatest integer function \(f(x)=\lfloor x\rfloor\), values just to the left of \(x=3\) approach 2, whereas \(f(3)=3\) and values just to the right are 3. Thus the left-hand and right-hand limits are different, so there is a jump discontinuity at \(x=3\). The function is defined for every real \(x\), making option D incorrect. Exam tip: The graph of \(\lfloor x\rfloor\) has a jump discontinuity at every integer.
साइनम फलन के लिए \(\operatorname{sgn}(x)=-1\) जब \(x<0\), \(0\) जब \(x=0\), और \(1\) जब \(x>0\) होता है। चूँकि \(-8<0\), इसलिए \(f(-8)=-1\)। विकल्प 0 केवल \(x=0\) पर सही होता है। परीक्षा-युक्ति: साइनम फलन का मान निकालते समय पहले \(x\) का चिह्न देखें, उसका परिमाण नहीं। / For the signum function, \(\operatorname{sgn}(x)=-1\) when \(x<0\), \(0\) when \(x=0\), and \(1\) when \(x>0\). Since \(-8<0\), we get \(f(-8)=-1\). The value 0 would apply only at \(x=0\). Exam tip: For a signum function, check the sign of the input rather than its magnitude.
\(\operatorname{sgn}(x-2)\) का मान \(x-2<0\) होने पर \(-1\) और \(x-2>0\) होने पर \(1\) होता है। अंदर की अभिव्यक्ति \(x-2=0\) पर, अर्थात् \(x=2\) पर, इसका मान बदलता है; इसलिए बाईं और दाईं सीमाएँ अलग हैं और वहाँ छलांग-युक्त असांतत्य होता है। \(x=0\) केवल \(\operatorname{sgn}(x)\) के लिए परिवर्तन-बिंदु होता। परीक्षा-युक्ति: \(\operatorname{sgn}(g(x))\) के ग्राफ में संभावित छलांग के लिए पहले \(g(x)=0\) हल करें। / The function \(\operatorname{sgn}(x-2)\) equals \(-1\) when \(x-2<0\) and \(1\) when \(x-2>0\). Its value changes when \(x-2=0\), giving \(x=2\); the unequal one-sided limits therefore produce a jump discontinuity there. \(x=0\) would be the change point for \(\operatorname{sgn}(x)\), not for this shifted function. Exam tip: for \(\operatorname{sgn}(g(x))\), first solve \(g(x)=0\) to locate possible jumps.
A. यह मूल बिंदु के सापेक्ष सममित है/It is symmetric about the origin
Explanation
Simple Explanation
\(y=x^3\) विषम फलन है क्योंकि (f(-x)=-f(x))। विषम फलन का ग्राफ मूल बिंदु के सापेक्ष सममित होता है। / \(y=x^3\) is an odd function because (f(-x)=-f(x)). The graph of an odd function is symmetric about the origin.
वर्ग पूर्ण करने पर \(y=x^2-6x+11=(x-3)^2+2\) प्राप्त होता है। मानक रूप \(y=(x-h)^2+k\) में शीर्ष बिंदु \((h,k)\) होता है, इसलिए शीर्ष \((3,2)\) है। विकल्प B में x-निर्देशांक का चिन्ह गलत है, जबकि विकल्प C मूल समीकरण के गुणांकों को सीधे पढ़ने की त्रुटि दर्शाता है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात फलन को पहले \(y=a(x-h)^2+k\) के रूप में लिखें। / Completing the square gives \(y=x^2-6x+11=(x-3)^2+2\). In the standard form \(y=(x-h)^2+k\), the vertex is \((h,k)\); hence it is \((3,2)\). Option B has the wrong sign for the x-coordinate, while option C results from incorrectly reading the coefficients as coordinates. Exam tip: rewrite a quadratic in the form \(y=a(x-h)^2+k\) to identify its vertex directly.
यह व्यंजक संख्या रेखा पर x की −1 और 3 से दूरियों का योग दर्शाता है। इन दोनों बिंदुओं के बीच, अर्थात् −1≤x≤3 के लिए, दूरियों का योग स्थिर रूप से 3−(−1)=4 रहता है। अतः न्यूनतम मान 4 है। 0 नहीं हो सकता, क्योंकि दोनों निरपेक्ष मान एक साथ शून्य नहीं हो सकते। परीक्षा-युक्ति: |x−a|+|x−b| का न्यूनतम मान |a−b| होता है। / The expression represents the sum of the distances of x from −1 and 3 on the number line. For −1≤x≤3, this sum remains constant at 3−(−1)=4, so the minimum value is 4. It cannot be 0 because both absolute-value terms cannot be zero simultaneously. Exam tip: the minimum of |x−a|+|x−b| is |a−b|.
\(x\)-अक्ष पर किसी बिंदु के लिए \(y=0\) होता है। अतः \(|2x-6|=0\), और निरपेक्ष मान केवल तभी शून्य होता है जब \(2x-6=0\)। इससे \(x=3\) तथा प्रतिच्छेद बिंदु \((3,0)\) मिलता है। विकल्प D में \(x=6\) लेने पर \(y=|12-6|=6\), इसलिए वह \(x\)-अक्ष पर नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(x\)-अक्ष का प्रतिच्छेद ज्ञात करने के लिए हमेशा \(y=0\) रखें। / At any point on the x-axis, \(y=0\). Therefore, \(|2x-6|=0\), and an absolute value is zero only when its inside expression is zero: \(2x-6=0\). Thus \(x=3\), giving the intercept \((3,0)\). Option D is incorrect because for \(x=6\), \(y=|12-6|=6\), not zero. Exam tip: To find an x-intercept, set \(y=0\).
A. यह \(x\)-अक्ष के समानांतर एक रेखा है/It is a line parallel to the \(x\)-axis
Explanation
Simple Explanation
फलन \(y=5\) में प्रत्येक \(x\) के लिए \(y\) का मान स्थिर 5 रहता है। इसलिए इसके सभी बिंदु \((x,5)\) के रूप में होते हैं और ग्राफ \(x\)-अक्ष के समानांतर क्षैतिज रेखा है। यह मूल बिंदु से नहीं गुजरता, क्योंकि \(x=0\) पर भी \(y=5\) होता है। परीक्षा-युक्ति: \(y=c\) का ग्राफ हमेशा \(x\)-अक्ष के समानांतर रेखा होता है। / In the function \(y=5\), the value of \(y\) remains fixed at 5 for every \(x\). Thus, all points are of the form \((x,5)\), giving a horizontal line parallel to the \(x\)-axis. It does not pass through the origin because when \(x=0\), \(y=5\). Exam tip: the graph of \(y=c\) is always a line parallel to the \(x\)-axis.
पहचान फलन \(f(x)=x\) के लिए प्रत्येक बिंदु \((x,y)\) में \(y=x\) होना आवश्यक है। विकल्प A में \((-4,-4)\) के दोनों निर्देशांक बराबर हैं, इसलिए यह बिंदु ग्राफ पर स्थित है। अन्य विकल्पों में \(x\) और \(y\) के मान समान नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: पहचान फलन का ग्राफ मूलबिंदु से गुजरने वाली रेखा \(y=x\) होता है। / For the identity function \(f(x)=x\), every point \((x,y)\) on the graph must satisfy \(y=x\). In option A, both coordinates of \((-4,-4)\) are equal, so the point lies on the graph. In the other options, the x- and y-coordinates are unequal. Exam tip: The graph of the identity function is the straight line \(y=x\) passing through the origin.
प्रतिच्छेद बिंदुओं पर दोनों फलनों के \(y\)-मान समान होंगे, इसलिए \(x^2=2x+3\)। इससे \(x^2-2x-3=0\), अर्थात् \((x-3)(x+1)=0\)। अतः \(x=3\) या \(x=-1\), इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा-टिप: ग्राफों के प्रतिच्छेद के लिए उनके समीकरणों को बराबर करके प्राप्त मूलों की जाँच करें। / At an intersection, both functions have the same \(y\)-value, so set \(x^2=2x+3\). This gives \(x^2-2x-3=0\), or \((x-3)(x+1)=0\). Hence \(x=3\) or \(x=-1\), making option A correct. Exam tip: To find intersection coordinates, first equate the two function expressions and solve for \(x\).
प्रतिच्छेद बिंदुओं पर दोनों फलनों के y-मान समान होंगे, इसलिए \(x^2=|x|\)। यदि \(x=0\), तो एक हल मिलता है। \(x\neq 0\) के लिए दोनों पक्षों को \(|x|\) से भाग देने पर \(|x|=1\), अतः \(x=-1
deवा?\) या \(x=1\)। इसलिए x-मान \(-1,0,1\) हैं। परीक्षा-युक्ति: \(x^2=|x|\) जैसे प्रश्नों में पहले \(x=0\) अलग से जाँचें, फिर \(x\neq0\) मानकर भाग दें। / At an intersection, the two functions have the same y-value, so \(x^2=|x|\). One solution is \(x=0\). For \(x\ne0\), divide by \(|x|\) to obtain \(|x|=1\), which gives \(x=-1\) or \(x=1\). Thus the x-values are \(-1,0,1\). Exam tip: when dividing by \(|x|\), check \(x=0\) separately first.
जब \(x>0\), तब \(|x|=x\), इसलिए \(f(x)=\frac{x}{|x|}=\frac{x}{x}=1\)। अतः सभी धनात्मक \(x\) के लिए ग्राफ क्षैतिज रेखा \(y=1\) पर स्थित होता है। ध्यान रखें कि \(x<0\) होने पर \(|x|=-x\) और फलन का मान \(-1\) होता है; इसलिए \(y=-1\) इस स्थिति के लिए सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(\frac{x}{|x|}\) का मान \(x\) के चिह्न के बराबर होता है। / When \(x>0\), \(|x|=x\). Hence, \(f(x)=\frac{x}{|x|}=\frac{x}{x}=1\), so the graph lies on the horizontal line \(y=1\) for all positive values of \(x\). The line \(y=-1\) applies when \(x<0\), not in the given interval. Exam tip: \(\frac{x}{|x|}\) gives the sign of \(x\), with values \(1\) for positive \(x\) and \(-1\) for negative \(x\).
जब \(x>-1\), तब \(x\) का मान \(-1\) से बड़ा होता है। इसलिए \(x\) और \(-1\) में छोटा मान हमेशा \(-1\) होगा और \(y=\min(x,-1)=-1\)। विकल्प B गलत है, क्योंकि \(y=x\) तभी होगा जब \(x\leq -1\)। परीक्षा-युक्ति: न्यूनतम फलन में दिए गए मानों में छोटा मान चुनें और सीमा-बिंदु \(x=-1\) की जाँच करें। / When \(x>-1\), the value of \(x\) is greater than \(-1\). Therefore, the smaller of \(x\) and \(-1\) is always \(-1\), so \(y=\min(x,-1)=-1\). Option B is incorrect because \(y=x\) applies when \(x\leq -1\). Exam tip: For a minimum function, select the smaller expression and check the boundary value \(x=-1\).
A. यह \(y\)-अक्ष के सापेक्ष सममित है/It is symmetric about the \(y\)-axis
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(f(x)=x^4\) है। इसलिए \(f(-x)=(-x)^4=x^4=f(x)\), अतः यह सम फलन है और इसका ग्राफ \(y\)-अक्ष के सापेक्ष सममित होता है। विकल्प B विषम फलन की सममिति बताता है, जबकि \(x^4\) के लिए \(f(-x)=-f(x)\) नहीं है। परीक्षा-युक्ति: सम फलन के ग्राफ में \(y\)-अक्षीय सममिति और विषम फलन के ग्राफ में मूलबिंदुीय सममिति होती है। / Here, \(f(x)=x^4\). Thus, \(f(-x)=(-x)^4=x^4=f(x)\), so the function is even and its graph is symmetric about the \(y\)-axis. Option B describes the symmetry of an odd function, but \(x^4\) does not satisfy \(f(-x)=-f(x)\). Exam tip: an even function has \(y\)-axis symmetry, whereas an odd function has symmetry about the origin.
हर वास्तविक \(x\) के लिए \(|x|\ge 0\), इसलिए \(y=-|x|\le 0\)। जब \(x=0\), तब \(y=0\), और \(|x|\) के बढ़ने पर \(y\) बिना सीमा के ऋणात्मक होता जाता है। अतः परास \((- infty,0]\) है। विकल्प B, \(|x|\) का परास है, \(-|x|\) का नहीं। परीक्षा टिप: ऋण चिह्न ग्राफ को \(x\)-अक्ष के नीचे प्रतिबिंबित करता है। / For every real \(x\), \(|x|\ge 0\), so \(y=-|x|\le 0\). At \(x=0\), \(y=0\), and as \(|x|\) increases, \(y\) decreases without bound. Therefore, the range is \((- infty,0]\). Option B is the range of \(|x|\), not of \(-|x|\). Exam tip: the negative sign reflects the graph of \(y=|x|\) across the x-axis.
A. यह y-अक्ष के सापेक्ष सममित है/It is symmetric about the y-axis
Explanation
Simple Explanation
यदि \(f(x)=\frac{1}{x^2}\), तो \(f(-x)=\frac{1}{(-x)^2}=\frac{1}{x^2}=f(x)\)। अतः यह एक सम फलन है और इसका ग्राफ y-अक्ष के सापेक्ष सममित होता है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(x=0\) पर फलन अपरिभाषित है, इसलिए ग्राफ मूल बिंदु से नहीं गुजरता। साथ ही, इसका डोमेन \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) और रेंज \((0,\infty)\) है, न कि \(\mathbb{R}\)। परीक्षा टिप: \(f(-x)=f(x)\) मिलने पर ग्राफ की y-अक्षीय सममिति पहचानें। / For \(f(x)=\frac{1}{x^2}\), we have \(f(-x)=\frac{1}{(-x)^2}=\frac{1}{x^2}=f(x)\). Therefore, the function is even and its graph is symmetric about the y-axis. Option B is incorrect because the function is undefined at \(x=0\), so the graph does not pass through the origin. Its domain is \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) and its range is \((0,\infty)\), not \(\mathbb{R}\). Exam tip: If \(f(-x)=f(x)\), the graph has symmetry about the y-axis.
A. यह मूल बिंदु के सापेक्ष सममित है/It is symmetric about the origin
Explanation
Simple Explanation
फलन \(f(x)=\frac{1}{x}\) का प्रांत \(x\ne 0\) है। \(f(-x)=-\frac{1}{x}=-f(x)\), इसलिए यह विषम फलन है और इसका ग्राफ मूल बिंदु के सापेक्ष सममित होता है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(y\)-अक्षीय सममिति के लिए फलन सम होना चाहिए। \(x=0\) पर फलन अपरिभाषित है, और ग्राफ प्रथम तथा तृतीय दोनों चतुर्थांशों में स्थित होता है। परीक्षा-टिप: \(f(-x)=-f(x)\) मिले तो ग्राफ मूल बिंदु के सापेक्ष सममित होता है। / The domain of \(f(x)=\frac{1}{x}\) is \(x\ne 0\). Since \(f(-x)=-\frac{1}{x}=-f(x)\), the function is odd and its graph is symmetric about the origin. Option B is incorrect because symmetry about the \(y\)-axis requires an even function. The function is undefined at \(x=0\), and its graph lies in both the first and third quadrants. Exam tip: if \(f(-x)=-f(x)\), the graph is symmetric about the origin.
\\(x\\)-अक्ष पर प्रत्येक बिंदु का \\(y\\)-निर्देशांक 0 होता है। इसलिए \\(0=x^2-4\\), अर्थात \\(x^2=4\\) और \\(x=\\pm2\\)। अतः प्रतिच्छेद बिंदु \\((-2,0)\\) और \\((2,0)\\) हैं। विकल्प B में \\(x=0\\) होने से वे \\(y\\)-अक्ष पर स्थित बिंदु हैं। परीक्षा-युक्ति: \\(x\\)-अक्ष के प्रतिच्छेद के लिए हमेशा \\(y=0\\) रखें। / Every point on the \\(x\\)-axis has \\(y=0\\). Thus, \\(0=x^2-4\\), so \\(x^2=4\\) and \\(x=\\pm2\\). Therefore, the intersection points are \\((-2,0)\\) and \\((2,0)\\). The points in option B have \\(x=0\\), so they lie on the \\(y\\)-axis instead. Exam tip: To find intersections with the \\(x\\)-axis, set \\(y=0\\).
A. (5) इकाई दाईं ओर खिसकाकर/By shifting (5) units right
Explanation
Simple Explanation
(x) की जगह (x-5) आने पर ग्राफ दाईं ओर (5) इकाई खिसकता है। क्षैतिज खिसकाव में संकेत उल्टा पढ़ें। / Replacing (x) by (x-5) shifts the graph (5) units right. In horizontal shift read the sign oppositely.
A. 3 इकाई बाईं ओर खिसकाकर/By shifting 3 units to the left
Explanation
Simple Explanation
y = f(x + 3) का ग्राफ y = f(x) के ग्राफ को 3 इकाई बाईं ओर खिसकाने से प्राप्त होता है। यहाँ f(x) = x-2 है, इसलिए y = (x + 3)2 का शीर्ष (-3, 0) होगा। इसे दाईं ओर खिसकाना गलत होगा, क्योंकि अंदर x के साथ धनात्मक 3 होने पर क्षैतिज विस्थापन बाईं ओर होता है। परीक्षा-युक्ति: f(x - a) से ग्राफ a इकाई दाईं ओर और f(x + a) से a इकाई बाईं ओर जाता है। / The graph of y = f(x + 3) is obtained by shifting the graph of y = f(x) 3 units to the left. Here f(x) = x-2, so the vertex of y = (x + 3)2 is (-3, 0). A rightward shift is incorrect because a positive number added inside the function causes a horizontal shift to the left. Exam tip: f(x - a) shifts a graph a units right, while f(x + a) shifts it a units left.
A. 6 इकाई ऊपर खिसकाकर/By shifting it 6 units upward
Explanation
Simple Explanation
\(y=x^2+6\) में 6, पूरे फलन के बाहर जोड़ा गया है। इसलिए प्रत्येक \(x\) के लिए नया \(y\)-मान पुराने मान से 6 अधिक होगा और पूरा परवलय 6 इकाई ऊपर खिसकेगा। नीचे खिसकना \(y=x^2-6\) में होता। परीक्षा-युक्ति: \(y=f(x)+k\) में \(k>0\) होने पर ग्राफ \(k\) इकाई ऊपर जाता है। / In \(y=x^2+6\), 6 is added outside the function, so for every \(x\), the new \(y\)-value is 6 greater than before. Thus the entire parabola shifts 6 units upward. A downward shift would correspond to \(y=x^2-6\). Exam tip: in \(y=f(x)+k\), a positive \(k\) shifts the graph upward by \(k\) units.
A. (x)-अक्ष में परावर्तन/Reflection in the (x)-axis
Explanation
Simple Explanation
फलन के बाहर ऋण चिह्न सभी (y)-मानों को ऋणात्मक कर देता है। इसलिए (x)-अक्ष में परावर्तन होता है। / A negative sign outside the function makes every (y)-value negative. So it is a reflection in the (x)-axis.
A. ऊर्ध्वाधर खिंचाव, गुणक 2/Vertical stretch by a factor of 2
Explanation
Simple Explanation
\(y=2|x|\) में मूल फलन \(|x|\) के मानों को बाहर से 2 से गुणा किया गया है। इसलिए प्रत्येक \(y\)-मान दोगुना हो जाता है, जबकि \(x\)-मान वही रहते हैं; यह ऊर्ध्वाधर खिंचाव है और शीर्षबिंदु मूलबिंदु पर ही रहता है। क्षैतिज खिंचाव तब होता जब परिवर्तन इनपुट के भीतर होता, जैसे \(y=|2x|\)। परीक्षा-युक्ति: बाहर का गुणक ऊर्ध्वाधर और अंदर का गुणक क्षैतिज परिवर्तन दर्शाता है। / In \(y=2|x|\), the output of the parent function \(|x|\) is multiplied by 2. Thus every \(y\)-value doubles while the \(x\)-values remain unchanged, producing a vertical stretch; the vertex stays at the origin. A horizontal stretch would involve changing the input, as in \(y=|2x|\). Exam tip: a multiplier outside the function causes a vertical transformation, whereas one inside the function affects the horizontal scale.
\(y=|2x|\) में मूल फलन के इनपुट \(x\) के स्थान पर \(2x\) है। इसलिए समान \(y\)-मान के लिए आवश्यक \(x\)-मान आधा हो जाता है और ग्राफ \(y\)-अक्ष की ओर सिमटता है; यह क्षैतिज संपीड़न है, जिसका पैमाना \(1/2\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि ऊर्ध्वाधर परिवर्तन तब होता जब पूरे फलन को बाहर से \(1/2\) से गुणा किया जाता। परीक्षा-युक्ति: इनपुट के अंदर का गुणक क्षैतिज और फलन के बाहर का गुणक ऊर्ध्वाधर परिवर्तन करता है। / In \(y=|2x|\), the input \(x\) of the original function is replaced by \(2x\). Thus, for the same \(y\)-value, the required \(x\)-value is halved, so the graph moves toward the \(y\)-axis. This is a horizontal compression with scale factor \(1/2\). Option B is incorrect because a vertical change would result from multiplying the entire function by \(1/2\) outside the function. Exam tip: a multiplier inside the input causes a horizontal transformation, while a multiplier outside the function causes a vertical transformation.
A. 1 इकाई नीचे खिसकाकर/By shifting it down by 1 unit
Explanation
Simple Explanation
\(y=x^3-1\) में \(y=x^3\) के मानों से 1 घटाया गया है। इसलिए प्रत्येक \(y\)-निर्देशांक 1 कम हो जाता है और पूरा ग्राफ 1 इकाई नीचे खिसकता है। इसके विपरीत, \(y=(x-1)^3\) ग्राफ को 1 इकाई दाईं ओर ले जाता। परीक्षा-युक्ति: फलन के बाहर जोड़ा या घटाया गया स्थिरांक ऊर्ध्वाधर, जबकि \(x\) के अंदर का परिवर्तन क्षैतिज स्थानांतरण कराता है। / In \(y=x^3-1\), 1 is subtracted from every value of \(y=x^3\). Thus each \(y\)-coordinate decreases by 1, so the entire graph shifts 1 unit downward. In contrast, \(y=(x-1)^3\) would shift the graph 1 unit to the right. Exam tip: a constant added or subtracted outside the function causes a vertical shift, whereas a change inside the input causes a horizontal shift.
A. (2) इकाई दाईं ओर खिसकाकर/By shifting (2) units right
Explanation
Simple Explanation
(x) की जगह (x-2) आने से ग्राफ दाईं ओर (2) इकाई जाता है। घन फलन में भी यही नियम लागू होता है। / Replacing (x) by (x-2) moves the graph (2) units right. The same rule applies to the cubic function.
प्रतिच्छेद बिंदु ज्ञात करने के लिए \(x^2=4\) रखते हैं। इससे \(x=\pm2\), अर्थात् \(x=-2\) और \(x=2\) प्राप्त होते हैं। इन दोनों प्रतिच्छेदों के बीच ही परवलय और रेखा एक सीमित क्षेत्र बनाते हैं, इसलिए सीमा \(-2\le x\le2\) है। विकल्प B में ऋणात्मक \(x\)-मान छूट जाते हैं। परीक्षा-युक्ति: ऐसी सीमा ज्ञात करने के लिए पहले दोनों वक्रों के प्रतिच्छेद हल करें। / At the intersection points, the two curves have equal \(y\)-values, so \(x^2=4\). Thus, \(x=-2\) and \(x=2\). The finite region lies between these two intersection points, giving \(-2\le x\le2\). Option B incorrectly excludes the negative \(x\)-values. Exam tip: To find the horizontal extent of a bounded region, first solve the equations of the two boundaries simultaneously.
जब \(0\le x\le 4\), तब \(|x|=x\) और \(|x-4|=4-x\)। अतः \(y=x+(4-x)=4\), जो एक स्थिर मान है; इसलिए ग्राफ इस पूरे अंतराल पर क्षैतिज रहता है। \(x<0\) और \(x>4\) पर फलन के ढाल क्रमशः \(-2\) और \(2\) हैं, इसलिए वहाँ ग्राफ क्षैतिज नहीं है। परीक्षा-युक्ति: निरपेक्ष मान वाले फलन में पहले उन बिंदुओं को पहचानें जहाँ उनके अंदर का व्यंजक शून्य होता है। / For \(0\le x\le 4\), we have \(|x|=x\) and \(|x-4|=4-x\). Hence \(y=x+(4-x)=4\), a constant value, so the graph is horizontal throughout this interval. For \(x<0\) and \(x>4\), the slopes are \(-2\) and \(2\), respectively, so the graph is not horizontal there. Exam tip: For a function involving absolute values, first identify the points where the expressions inside the modulus signs become zero.
(|x-2|) का न्यूनतम मान (0) है इसलिए (y) का अधिकतम मान (3) है। उल्टा मापांक ग्राफ शीर्ष पर अधिकतम देता है। / The minimum value of (|x-2|) is (0), so the maximum value of (y) is (3). An inverted modulus graph gives its maximum at the vertex.
A. यह (y)-अक्ष के सापेक्ष सममित है/It is symmetric about the (y)-axis
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि (|-x|=|x|) है इसलिए (f(-x)=f(x)) मिलता है। इसलिए ग्राफ (y)-अक्ष के सापेक्ष सममित होता है। / Since (|-x|=|x|), we get (f(-x)=f(x)). Therefore the graph is symmetric about the (y)-axis.
मापांक फलन का शीर्ष तब मिलता है जब उसके अंदर का व्यंजक शून्य हो: \(x+4=0\), इसलिए \(x=-4\)। इस मान पर \(f(-4)=|-4+4|-2=-2\), अतः शीर्ष-बिंदु \((-4,-2)\) है। विकल्प B में \(x\) का चिह्न गलत लिया गया है। परीक्षा-युक्ति: \(|x-a|+b\) का शीर्ष \((a,b)\) होता है। / The vertex of an absolute-value function occurs where the expression inside the modulus is zero: \(x+4=0\), giving \(x=-4\). Then \(f(-4)=|-4+4|-2=-2\), so the vertex is \((-4,-2)\). Option B results from taking the sign of the horizontal shift incorrectly. Exam tip: the vertex of \(|x-a|+b\) is \((a,b)\).
(\frac{x-2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}) है पर (x=2) निषिद्ध रहता है। इसलिए ग्राफ (y=x+2) जैसा है लेकिन (x=2) पर छिद्र है। / (\frac{x-2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}), but (x=2) remains excluded. So the graph is like (y=x+2) with a hole at (x=2).
जब \(x>1\), तब \(x-1>0\) और \(x+3>0\), इसलिए \(|x-1|=x-1\) तथा \(|x+3|=x+3\)। अतः \(y=(x-1)-(x+3)=-4\)। विकल्प B में ऋण चिह्न की उपेक्षा हो गई है, जबकि सही उत्तर सभी \(x>1\) के लिए स्थिर मान \(-4\) है। परीक्षा-युक्ति: मॉड्यूलस खोलने से पहले संबंधित व्यंजक का चिह्न अवश्य जाँचें। / For \(x>1\), both \(x-1\) and \(x+3\) are positive. Hence, \(|x-1|=x-1\) and \(|x+3|=x+3\). Therefore, \(y=(x-1)-(x+3)=-4\). Option B results from ignoring the negative sign, while the correct value is the constant \(-4\) for every \(x>1\). Exam tip: Always determine the sign of each expression before removing modulus bars.
\(x\)-अक्ष पर किसी भी बिंदु का \(y\)-निर्देशांक 0 होता है। इसलिए \(2|x+1|-6=0\), जिससे \(|x+1|=3\) प्राप्त होता है। अतः \(x+1=3\) या \(x+1=-3\), यानी \(x=2\) या \(x=-4\)। इसलिए प्रतिच्छेद बिंदु \((-4,0)\) और \((2,0)\) हैं। विकल्प B में \(x\)-मान इस समीकरण को संतुष्ट नहीं करते। परीक्षा-युक्ति: \(x\)-अक्ष के प्रतिच्छेद के लिए हमेशा \(y=0\) रखें। / Every point on the \(x\)-axis has a \(y\)-coordinate of 0. Thus, \(2|x+1|-6=0\), giving \(|x+1|=3\). Hence, \(x+1=3\) or \(x+1=-3\), so \(x=2\) or \(x=-4\). Therefore, the intersection points are \((-4,0)\) and \((2,0)\). The values in option B do not satisfy the equation. Exam tip: To find an \(x\)-intercept, set \(y=0\).
\(-5\le x\le 1\) पर योग ((x+5)+(1-x)=6) होता है। ऐसे ग्राफ में दोनों शून्य बिंदुओं के बीच भाग क्षैतिज होता है। / On \(-5\le x\le 1\), the sum is ((x+5)+(1-x)=6). In such graphs, the part between the two zero points is horizontal.
किसी भी वास्तविक संख्या का मापांक सदैव गैर-ऋणात्मक होता है, इसलिए \(y=|x^2-9|\) का न्यूनतम संभव मान \(0\) है। यह मान तब प्राप्त होता है जब \(x^2-9=0\), अर्थात् \(x=\pm3\)। अतः सही उत्तर A है। परीक्षा-युक्ति: मापांक वाले फलन का न्यूनतम मान पहले \(0\) जाँचकर निर्धारित करें; यदि अंदर का व्यंजक शून्य हो सकता है, तो न्यूनतम मान \(0\) ही होगा। / The modulus of any real number is non-negative, so \(y=|x^2-9|\) cannot be less than \(0\). This value is attained when \(x^2-9=0\), giving \(x=\pm3\). Hence, the correct answer is A. Exam tip: For a modulus function, first check whether the expression inside the modulus can equal zero; if it can, the minimum value is \(0\).
पूर्ण वर्ग बनाने पर \(y=x^2+4x+1=(x+2)^2-3\) प्राप्त होता है। मानक रूप \(y=(x-h)^2+k\) में शीर्ष बिंदु \((h,k)\) होता है, इसलिए यहाँ शीर्ष \((-2,-3)\) है। विकल्प B में \(x\)-निर्देशांक का चिह्न गलत है। परीक्षा-युक्ति: \(x^2+bx+c\) के लिए शीर्ष का \(x\)-निर्देशांक \(-\frac{b}{2}\) होता है। / Completing the square gives \(y=x^2+4x+1=(x+2)^2-3\). In the standard form \(y=(x-h)^2+k\), the vertex is \((h,k)\); hence the vertex is \((-2,-3)\). Option B has the wrong sign for the \(x\)-coordinate. Exam tip: for \(x^2+bx+c\), the x-coordinate of the vertex is \(-\frac{b}{2}\).
(-(x-1)2\le 0) होता है इसलिए \(y\le 4\) है। नीचे खुलने वाले परवलय में शीर्ष अधिकतम देता है। / Since (-(x-1)2\le 0), we get \(y\le 4\). A downward parabola gives its maximum at the vertex.
x-अक्ष पर y का मान 0 होता है। इसलिए \(x^2-8x+15=0\), जिसे \((x-3)(x-5)=0\) लिखा जा सकता है। अतः \(x=3\) या \(x=5\), इसलिए सही विकल्प A है। विकल्प B में मूलों के चिह्न गलत हैं। परीक्षा-युक्ति: x-अक्ष से प्रतिच्छेद ज्ञात करने के लिए हमेशा \(y=0\) रखें। / On the x-axis, the y-coordinate is 0. Thus, \(x^2-8x+15=0\), which factors as \((x-3)(x-5)=0\). Therefore, \(x=3\) or \(x=5\), so option A is correct. Option B has incorrect signs for the roots. Exam tip: To find where a graph meets the x-axis, set \(y=0\).
A. यह \(y\)-अक्ष के समानांतर एक ऊर्ध्वाधर रेखा है/It is a vertical line parallel to the \(y\)-axis
Explanation
Simple Explanation
समीकरण \(x=-7\) में प्रत्येक बिंदु का \(x\)-निर्देशांक \(-7\) स्थिर रहता है, जबकि \(y\) का मान कोई भी वास्तविक संख्या हो सकता है। इसलिए इसका ग्राफ \((-7,0)\) से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा है, जो \(y\)-अक्ष के समानांतर होती है। विकल्प B क्षैतिज रेखा के लिए होता, जब समीकरण \(y=\text{स्थिरांक}\) के रूप में हो। परीक्षा युक्ति: \(x=\text{स्थिरांक}\) को ऊर्ध्वाधर और \(y=\text{स्थिरांक}\) को क्षैतिज रेखा के रूप में पहचानें। / In the equation \(x=-7\), the \(x\)-coordinate remains fixed at \(-7\), while \(y\) can be any real number. Therefore, its graph is a vertical line passing through \((-7,0)\), parallel to the \(y\)-axis. Option B would describe a horizontal line of the form \(y=\text{constant}\). Exam tip: remember that \(x=\text{constant}\) represents a vertical line, whereas \(y=\text{constant}\) represents a horizontal line.
फलन \(y=0\) में प्रत्येक \(x\) के लिए \(y\) का मान शून्य होता है। इसलिए इसके सभी बिंदु \((x,0)\) के रूप में होते हैं, जो x-अक्ष पर स्थित होते हैं। अतः इसका आलेख x-अक्ष है। ध्यान रखें: \(x=0\) y-अक्ष को दर्शाता है, जबकि \(y=0\) x-अक्ष को। / For the function \(y=0\), the value of \(y\) is zero for every \(x\). Thus, all its points are of the form \((x,0)\), which lie on the x-axis. Therefore, its graph is the x-axis. Remember that \(x=0\) represents the y-axis, whereas \(y=0\) represents the x-axis.
वर्गमूल फलन के लिए \(x+2\geq 0\) होना आवश्यक है। ग्राफ का प्रारंभिक बिंदु तब मिलता है जब \(x+2=0\), अर्थात् \(x=-2\)। इस पर \(y=5-\sqrt{0}=5\), इसलिए बिंदु \((-2,5)\) है। विकल्प B में \(x=2\) लिया गया है, जो प्रारंभिक मान नहीं है। परीक्षा-टिप: \(\sqrt{x-a}\) का ग्राफ \((a,0)\) से शुरू होता है; बाहर का स्थिर पद ऊर्ध्वाधर स्थानांतरण करता है। / For a square-root function, the radicand must satisfy \(x+2\geq 0\). The graph begins where the radicand is zero: \(x+2=0\), giving \(x=-2\). At this value, \(y=5-\sqrt{0}=5\), so the starting point is \((-2,5)\). Option B incorrectly uses \(x=2\), which is not the endpoint of the domain. Exam tip: a graph of \(\sqrt{x-a}\) starts at \((a,0)\), while an added constant shifts it vertically.
हर (x+5) शून्य होने पर फलन अपरिभाषित हो जाता है। इसलिए (x=-5) ऊर्ध्वाधर आसम्टोट है। / The denominator (x+5) makes the function undefined when it is zero. Therefore (x=-5) is the vertical asymptote.
जब \(|x|\) बहुत बड़ा होता है, तब \(\frac{3}{x-2}\) का मान \(0\) के बहुत निकट हो जाता है। इसलिए \(y=\frac{3}{x-2}+4\) का मान \(4\) के निकट पहुँचता है और क्षैतिज आसमटोट \(y=4\) होती है। \(x=2\) ऊर्ध्वाधर आसमटोट है, क्षैतिज नहीं। परीक्षा-युक्ति: \(y=\frac{a}{x-h}+k\) के लिए क्षैतिज आसमटोट सीधे \(y=k\) होती है। / As \(|x|\) becomes very large, \(\frac{3}{x-2}\) approaches \(0\). Thus, \(y=\frac{3}{x-2}+4\) approaches \(4\), so the horizontal asymptote is \(y=4\). The line \(x=2\) is the vertical asymptote, not the horizontal one. Exam tip: For \(y=\frac{a}{x-h}+k\), the horizontal asymptote is directly \(y=k\).
अंश और हर की डिग्री समान है इसलिए प्रमुख गुणांकों का अनुपात लें। \(\frac{2}{1}=2\) से आसम्टोट (y=2) है। / The numerator and denominator have equal degree, so take the ratio of leading coefficients. Since \(\frac{2}{1}=2\), the asymptote is (y=2).
\(x^2+4\ge 4\) इसलिए अधिकतम मान \(\frac{1}{4}\) है। ग्राफ (0) के पास जाता है पर (0) नहीं लेता। / Since \(x^2+4\ge 4\), the maximum value is \(\frac{1}{4}\). The graph approaches (0) but never takes (0).
A. y-अक्ष के सापेक्ष सममिति/Symmetry about the y-axis
Explanation
Simple Explanation
दिए गए फलन के लिए \(f(-x)=\frac{(-x)^2-1}{(-x)^2+1}=\frac{x^2-1}{x^2+1}=f(x)\) है। इसलिए यह एक सम फलन है और इसके ग्राफ में y-अक्ष के सापेक्ष सममिति होती है। मूल बिंदु की सममिति के लिए \(f(-x)=-f(x)\) होना आवश्यक होता, जो यहाँ सत्य नहीं है। परीक्षा-सूत्र: \(f(-x)=f(x)\) से y-अक्षीय और \(f(-x)=-f(x)\) से मूल-बिंदुीय सममिति पहचानें। / For this function, \(f(-x)=\frac{(-x)^2-1}{(-x)^2+1}=\frac{x^2-1}{x^2+1}=f(x)\). Hence, the function is even, so its graph is symmetric about the y-axis. Symmetry about the origin would require \(f(-x)=-f(x)\), which does not hold here. Exam tip: use \(f(-x)=f(x)\) for y-axis symmetry and \(f(-x)=-f(x)\) for origin symmetry.
\(y=\frac{1}{x}\) के लिए \(f(-x)=-f(x)\), इसलिए ग्राफ मूलबिंदु के सापेक्ष सममित है। \(x=0\) और \(y=0\) इसके स्पर्शोन्मुख हैं। परीक्षा टिप: \(1/x^2\) y-अक्ष के सापेक्ष सममित होता है, मूलबिंदु के नहीं। / For \(y=\frac{1}{x}\), \(f(-x)=-f(x)\), so its graph is symmetric about the origin. The lines \(x=0\) and \(y=0\) are its asymptotes. Exam tip: \(1/x^2\) is symmetric about the y-axis, not the origin.
(x+2) ग्राफ को (2) इकाई बाईं ओर और (-1) नीचे ले जाता है। इसलिए ((0,0)) से ((-2,-1)) मिलता है। / The term (x+2) shifts the graph (2) units left and (-1) shifts it down. Hence ((0,0)) becomes ((-2,-1)).
A. (x)-अक्ष में परावर्तन/Reflection in the (x)-axis
Explanation
Simple Explanation
बाहर का ऋण चिह्न सभी (y)-मानों को विपरीत कर देता है। इसलिए (x)-अक्ष में परावर्तन होता है। / The outside negative sign reverses all (y)-values. Therefore the graph is reflected in the (x)-axis.
A. y-अक्ष के सापेक्ष परावर्तन/Reflection in the y-axis
Explanation
Simple Explanation
यदि y = f(x) का ग्राफ दिया हो, तो y = f(-x) का ग्राफ मूल ग्राफ का y-अक्ष के सापेक्ष परावर्तन होता है। यहाँ f(x) = x-3 है, इसलिए y = f(-x) = (-x)3 प्राप्त होता है। रेखा y = x के सापेक्ष परावर्तन करने पर प्रतिलोम फलन y = ∛x मिलता, जो अलग ग्राफ है। परीक्षा-युक्ति: x के स्थान पर -x रखने पर y-अक्षीय परावर्तन और y के स्थान पर -y रखने पर x-अक्षीय परावर्तन होता है। / For a graph y = f(x), replacing x by -x gives y = f(-x), which is the reflection of the original graph in the y-axis. Here f(x) = x-3, so y = f(-x) = (-x)3. Reflection in the line y = x would produce the inverse relation y = ∛x, not the given graph. Exam tip: replacing x by -x causes reflection in the y-axis, whereas replacing y by -y causes reflection in the x-axis.
A. मूल बिंदु के सापेक्ष सममिति/Symmetry about the origin
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(f(-x)=(-x)^5=-x^5=-f(x)\), इसलिए \(f(x)=x^5\) एक विषम फलन है। विषम फलन का ग्राफ मूल बिंदु के परितः सममित होता है। विकल्प B सम फलन के लिए उपयुक्त होता, जबकि यहाँ ग्राफ y-अक्ष के सापेक्ष सममित नहीं है। परीक्षा-टिप: \(f(-x)=-f(x)\) मिलने पर मूल बिंदु की सममिति पहचानें। / Since \(f(-x)=(-x)^5=-x^5=-f(x)\), the function \(f(x)=x^5\) is odd. The graph of an odd function is symmetric about the origin. Option B would describe an even function, but this graph is not symmetric about the y-axis. Exam tip: if \(f(-x)=-f(x)\), the graph has origin symmetry.
A. y-अक्ष के सापेक्ष सममिति/Symmetry about the y-axis
Explanation
Simple Explanation
किसी फलन के लिए यदि \(f(-x)=f(x)\), तो वह सम फलन होता है और उसका ग्राफ y-अक्ष के सापेक्ष सममित होता है। यहाँ \(f(-x)=(-x)^6=x^6=f(x)\), इसलिए ग्राफ y-अक्ष के सापेक्ष सममित है। मूल बिंदु के सापेक्ष सममिति विषम फलन में होती है, जबकि यहाँ फलन सम है। परीक्षा-युक्ति: घात सम हो और केवल \(x\) की घात वाला पद हो, तो ग्राफ सामान्यतः y-अक्ष के सापेक्ष सममित होता है। / A function is even when \(f(-x)=f(x)\), and the graph of an even function is symmetric about the y-axis. Here, \(f(-x)=(-x)^6=x^6=f(x)\), so the graph has y-axis symmetry. Symmetry about the origin corresponds to an odd function, which this function is not. Exam tip: a power function involving an even power of \(x\) is symmetric about the y-axis.
\(\lfloor x \rfloor\) (x) से कम या बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक देता है। (-2.3) के लिए वह (-3) है। / \(\lfloor x \rfloor\) gives the greatest integer less than or equal to (x). For (-2.3), that integer is (-3).
\(2\le x<3\) पर सबसे बड़ा पूर्णांक (2) ही रहता है। इसलिए ग्राफ इस अंतराल पर क्षैतिज है। / On \(2\le x<3\), the greatest integer remains (2). Hence the graph is horizontal on this interval.
\(\lceil x \rceil\) (x) से बड़ा या बराबर सबसे छोटा पूर्णांक देता है। (4.1) के लिए यह (5) है। / \(\lceil x \rceil\) gives the smallest integer greater than or equal to (x). For (4.1), it is (5).
साइनम फलन \(\operatorname{sgn}(u)\) का मान \(u<0\) पर \(-1\) और \(u>0\) पर \(1\) होता है, इसलिए इसमें छलांग \(u=0\) पर आती है। यहाँ \(2x-8=0\), अतः \(x=4\)। वास्तव में \(x=4\) पर फलन का मान \(0\) है, जबकि बाएँ और दाएँ सीमाएँ क्रमशः \(-1\) और \(1\) हैं। परीक्षा टिप: साइनम ग्राफ की छलांग पाने के लिए उसके अंदर की अभिव्यक्ति को शून्य रखें। / The signum function \(\operatorname{sgn}(u)\) equals \(-1\) for \(u<0\) and \(1\) for \(u>0\), so its jump occurs where \(u=0\). Here, \(2x-8=0\), giving \(x=4\). At \(x=4\), the function value is \(0\), while the left- and right-hand limits are \(-1\) and \(1\), respectively. Exam tip: To locate the jump of a signum function, set its inner expression equal to zero.
\(\min(x,4)\) का अर्थ है \(x\) और \(4\) में से छोटा मान लेना। जब \(x>4\) होता है, तब छोटा मान हमेशा \(4\) होता है; इसलिए \(y=4\) और ग्राफ इस क्षेत्र में क्षैतिज रेखा होता है। विकल्प \(y=x\) केवल \(x\leq 4\) के लिए सही है। परीक्षा-युक्ति: \(\min\) फलन में प्रत्येक अंतराल पर दिए गए मानों में छोटे मान की पहचान करें। / The expression \(\min(x,4)\) selects the smaller of \(x\) and \(4\). When \(x>4\), the smaller value is always \(4\), so \(y=4\) and the graph is horizontal in this region. The option \(y=x\) is valid only for \(x\leq 4\). Exam tip: For a minimum function, compare the expressions separately on the relevant intervals.
जब \(x\ge 3\), तब \(x-3\ge 0\), इसलिए \(|x-3|=x-3\)। अतः \(y=(x-3)-(x-3)=0\)। विकल्प B केवल तब बनता है जब मापांक को गलत रूप से \(|x-3|=-(x-3)\) लिया जाए। परीक्षा-युक्ति: मापांक वाले फलन में पहले अंदर के व्यंजक का चिह्न निर्धारित करें। / When \(x\ge 3\), we have \(x-3\ge 0\), so \(|x-3|=x-3\). Therefore, \(y=(x-3)-(x-3)=0\). Option B would result from incorrectly using \(|x-3|=-(x-3)\). Exam tip: For an absolute-value function, first determine the sign of the expression inside the modulus.
\(y=x^3\) एक विषम फलन है, क्योंकि \(f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)\)। इसलिए इसका ग्राफ़ मूलबिंदु के सापेक्ष सममित होता है। \(y=x^2\) सम फलन है और y-अक्ष के सापेक्ष सममित होता है। परीक्षा टिप: मूलबिंदु सममिति के लिए \(f(-x)=-f(x)\) जाँचें। / \(y=x^3\) is an odd function because \(f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)\). Hence, its graph is symmetric about the origin. In contrast, \(y=x^2\) is even and is symmetric about the y-axis. Exam tip: test \(f(-x)=-f(x)\) for origin symmetry.
प्रतिच्छेदन बिंदुओं पर दोनों ग्राफ़ों के \(y\)-मान समान होंगे, इसलिए \(|x+1|=5\)। अतः \(x+1=5\) या \(x+1=-5\), जिससे \(x=4\) या \(x=-6\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। याद रखें: \(|u|=a\) के लिए, जहाँ \(a>0\), \(u=\pm a\) लिया जाता है। / At an intersection, the two graphs have the same \(y\)-value, so \(|x+1|=5\). Thus, \(x+1=5\) or \(x+1=-5\), giving \(x=4\) or \(x=-6\). Therefore, option A is correct. Exam tip: for \(|u|=a\) with \(a>0\), always consider both cases \(u=\pm a\).
प्रतिच्छेद-बिंदु पर दोनों फलनों के \(y\)-मान समान होंगे, इसलिए \(\sqrt{x}=x-2\)। वर्गमूल के कारण \(x\ge 0\), और दायाँ पक्ष गैर-ऋणात्मक होने के लिए \(x\ge 2\) आवश्यक है। समीकरण को वर्ग करने पर \(x=(x-2)^2\), अर्थात् \(x^2-5x+4=0\), जिससे \(x=1\) या \(x=4\) मिलता है। लेकिन \(x=1\), \(x\ge 2\) की शर्त पूरी नहीं करता और वर्ग करने से उत्पन्न बाह्य हल है। अतः सही मान \(x=4\) है; जाँच: \(\sqrt{4}=2=4-2\)। परीक्षा-टिप: वर्ग करने के बाद प्राप्त प्रत्येक हल को मूल समीकरण में अवश्य जाँचें। / At an intersection, the two functions have the same \(y\)-value, so \(\sqrt{x}=x-2\). Since the left side is non-negative, we must have \(x-2\ge 0\), hence \(x\ge 2\). Squaring gives \(x=(x-2)^2\), or \(x^2-5x+4=0\), whose roots are \(x=1\) and \(x=4\). However, \(x=1\) violates the condition \(x\ge 2\) and is an extraneous root introduced by squaring. Therefore, \(x=4\); checking gives \(\sqrt{4}=2=4-2\). Exam tip: Always substitute the roots back into the original equation after squaring.
प्रतिच्छेद बिंदु पर दोनों ग्राफों के y-निर्देशांक समान होंगे, इसलिए \(\frac{1}{x}=x\), जहाँ \(x\neq 0\)। इससे \(x^2=1\), अतः \(x=1\) या \(x=-1\)। चूँकि \(y=x\), संबंधित बिंदु \((1,1)\) और \((-1,-1)\) हैं। परीक्षा-युक्ति: \((0,0)\) को न चुनें, क्योंकि \(\frac{1}{x}\) में \(x=0\) पर फलन अपरिभाषित है। / At an intersection point, the y-coordinates of both graphs are equal, so \(\frac{1}{x}=x\), with \(x\neq 0\). Thus \(x^2=1\), giving \(x=1\) or \(x=-1\). Since \(y=x\), the corresponding points are \((1,1)\) and \((-1,-1)\). Exam tip: Do not select \((0,0)\), because \(\frac{1}{x}\) is undefined at \(x=0\).
A. (3) इकाई दाईं ओर और (2) इकाई ऊपर/(3) units right and (2) units up
Explanation
Simple Explanation
(x-3) क्षैतिज रूप से (3) इकाई दाईं ओर खिसकाता है। बाहर (+2) ग्राफ को (2) इकाई ऊपर ले जाता है। / The term (x-3) shifts the graph (3) units right horizontally. The outside (+2) moves it (2) units up.
A. (x)-अक्ष के सापेक्ष परावर्तन और 4 इकाई ऊपर खिसकाव/Reflection in the (x)-axis followed by a shift 4 units upward
Explanation
Simple Explanation
यदि (y=f(x)) के प्रत्येक बिंदु ((x,y)) को पहले (x,-y) में बदला जाए, तो यह (x)-अक्ष के सापेक्ष परावर्तन है और इससे (y=-f(x)) मिलता है। इसके बाद (+4) जोड़ने पर सभी (y)-निर्देशांक 4 बढ़ जाते हैं, इसलिए ग्राफ 4 इकाई ऊपर खिसकता है। (y)-अक्ष में परावर्तन के लिए (f(-x)) चाहिए, न कि (-f(x))। परीक्षा-युक्ति: -f(x) ऊर्ध्वाधर परावर्तन और + c ऊर्ध्वाधर ऊपर खिसकाव दर्शाता है। / For every point ((x,y)) on (y=f(x)), replacing (y) by (-y) gives (x,-y), which is reflection in the (x)-axis and produces (y=-f(x)). Adding (4) then increases every (y)-coordinate by 4, shifting the graph 4 units upward. Reflection in the (y)-axis would require (f(-x)), not (-f(x)). Exam tip: -f(x) means reflection across the (x)-axis, while +c shifts the graph upward by (c) units.
(-x-2=-(x+2)) है। पहले (y)-अक्ष में परावर्तन और फिर क्षैतिज खिसकाव समझना आसान होता है। / (-x-2=-(x+2)). It is easier to read the graph as a reflection in the (y)-axis with a horizontal shift.
A. वे (x)-अक्ष के ऊपर परावर्तित होते हैं/They are reflected above the (x)-axis
Explanation
Simple Explanation
मापांक बाहर होने से सभी (y)-मान अऋणात्मक हो जाते हैं। इसलिए (x)-अक्ष के नीचे वाला भाग ऊपर परावर्तित होता है। / With modulus outside, all (y)-values become non-negative. Hence the part below the (x)-axis reflects upward.
A. दाईं ओर का भाग (y)-अक्ष में परावर्तित होता है/The right-side part is reflected in the (y)-axis
Explanation
Simple Explanation
(|x|) के कारण (x<0) पर भी (f) में धनात्मक इनपुट जाता है। इसलिए दाईं ओर का ग्राफ बाईं ओर परावर्तित होता है। / Because of (|x|), even for (x<0), the input to (f) is positive. Hence the right-side graph reflects to the left.
यह व्यंजक संख्या रेखा पर \(x\) की बिंदु \(-2\) और \(4\) से दूरियों का योग है। इन दोनों स्थिर बिंदुओं के बीच की दूरी \(|4-(-2)|=6\) है, इसलिए त्रिभुज असमता के अनुसार इसका न्यूनतम मान 6 होगा। वास्तव में \(-2\le x\le4\) के लिए यह योग 6 ही रहता है। परीक्षा टिप: \(|x-a|+|x-b|\) का न्यूनतम मान सामान्यतः \(|a-b|\) होता है। / The expression represents the sum of the distances of the point \(x\) from the fixed points \(-2\) and \(4\) on the number line. The distance between these points is \(|4-(-2)|=6\), so by the triangle inequality the minimum sum is 6. In fact, the sum remains 6 for every \(x\) in the interval \([-2,4]\). Exam tip: The minimum value of \(|x-a|+|x-b|\) is generally \(|a-b|\).
\(\frac{x^2-16}{x+4}=x-4\) है लेकिन (x=-4) डोमेन में नहीं है। इसलिए रेखा जैसे ग्राफ में (x=-4) पर छिद्र बनता है। / \(\frac{x^2-16}{x+4}=x-4\), but (x=-4) is not in the domain. Therefore the line-like graph has a hole at (x=-4).
यह (x) का भिन्नात्मक भाग देता है जो (0) से शुरू होकर (1) से कम रहता है। इसलिए रेंज ([0,1)) है। / It gives the fractional part of (x), which starts at (0) and stays less than (1). Hence the range is ([0,1)).
\(4\le x\le 10\) पर योग ((x-4)+(10-x)=6) है। मापांक दूरी योग में दोनों बिंदुओं के बीच ग्राफ क्षैतिज होता है। / On \(4\le x\le 10\), the sum is ((x-4)+(10-x)=6). In a modulus distance sum the graph is horizontal between the two points.
A. यह \(y\)-अक्ष के सापेक्ष सममित है और इसका परास \([0,\infty)\) है।/It is symmetric about the \(y\)-axis and has range \([0,\infty)\).
Explanation
Simple Explanation
\(f(-x)=|-x|=|x|\), इसलिए \(|x|\) एक सम फलन है और इसका ग्राफ \(y\)-अक्ष के सापेक्ष सममित होता है। क्योंकि \(|x|\ge 0\), इसका परास \([0,\infty)\) है। \(x=0\) पर ढाल बदलती है, इसलिए यह एक सीधी रेखा नहीं है। परीक्षा टिप: सम फलन के लिए \(f(-x)=f(x)\) जाँचें। / Since \(f(-x)=|-x|=|x|\), \(|x|\) is an even function, so its graph is symmetric about the \(y\)-axis. Also, \(|x|\ge0\), giving range \([0,\infty)\). It is not one straight line because the slope changes at \(x=0\). Exam tip: test evenness using \(f(-x)=f(x)\).
\(x\)-अक्ष पर \(y=0\) होता है। इसलिए \(|2x+6|-4=0\), अर्थात् \(|2x+6|=4\)। अब \(2x+6=4\) से \(x=-1\) और \(2x+6=-4\) से \(x=-5\) मिलता है। अतः सही मान \(x=-5,-1\) हैं। परीक्षा-युक्ति: मापांक वाले समीकरण \(|u|=a\) में हमेशा \(u=a\) और \(u=-a\) दोनों स्थितियाँ जाँचें। विकल्प B में मापांक समीकरण को सही ढंग से हल नहीं किया गया है। / On the \(x\)-axis, \(y=0\). Hence \(|2x+6|-4=0\), so \(|2x+6|=4\). This gives two cases: \(2x+6=4\), yielding \(x=-1\), and \(2x+6=-4\), yielding \(x=-5\). Therefore, the correct values are \(x=-5,-1\). Exam tip: for an equation \(|u|=a\), always consider both \(u=a\) and \(u=-a\). Option B does not result from correctly solving the two cases.
\(x\)-अक्ष पर किसी बिंदु के लिए \(y=0\) होना आवश्यक है। अतः \(|x^2-1|=0\), और मापांक तभी शून्य होता है जब \(x^2-1=0\)। इसलिए \(x=\pm1\), जिससे बिंदु \((-1,0)\) और \((1,0)\) प्राप्त होते हैं। ध्यान दें कि ग्राफ इन बिंदुओं पर \(x\)-अक्ष को छूता है, उसे पार नहीं करता। परीक्षा-युक्ति: \(x\)-अक्ष से प्रतिच्छेद ज्ञात करने के लिए हमेशा \(y=0\) रखें। / For a point on the \(x\)-axis, \(y=0\). Thus, \(|x^2-1|=0\), which is possible only when \(x^2-1=0\). Hence \(x=\pm1\), giving the points \((-1,0)\) and \((1,0)\). The graph touches the \(x\)-axis at these points rather than crossing it. Exam tip: To find intersections with the \(x\)-axis, set \(y=0\).
जब \(x>5\), तब \(x+1>0\) और \(x-5>0\), इसलिए \(|x+1|=x+1\) तथा \(|x-5|=x-5\)। अतः \(y=(x+1)-(x-5)=6\)। इसलिए सही उत्तर A है। ध्यान रखें कि निरपेक्ष मान को सरल करने से पहले संबंधित व्यंजक का चिह्न जाँचना आवश्यक है; \(2x-4\) केवल दोनों पदों को जोड़ने पर बनता है, जो यहाँ सही नहीं है। / For \(x>5\), both \(x+1\) and \(x-5\) are positive. Hence, \(|x+1|=x+1\) and \(|x-5|=x-5\). Therefore, \(y=(x+1)-(x-5)=6\), so option A is correct. Exam tip: check the sign of each expression before removing modulus bars; \(2x-4\) would result from adding the terms instead of subtracting them.
दिया गया द्विघात फलन \(y=-x^2+4x+5\) है। इसे पूर्ण वर्ग के रूप में लिखने पर \(y=-(x-2)^2+9\) प्राप्त होता है। चूँकि \((x-2)^2\geq 0\), इसलिए \(-(x-2)^2\leq 0\) और \(y\) का अधिकतम मान \(9\) है, जो \(x=2\) पर प्राप्त होता है। विकल्प 5 केवल \(x=0\) पर प्राप्त मान है, अधिकतम मान नहीं। परीक्षा-युक्ति: नीचे खुले परवलय में शीर्ष का \(y\)-निर्देशांक अधिकतम मान देता है। / The quadratic function is \(y=-x^2+4x+5\). Completing the square gives \(y=-(x-2)^2+9\). Since \((x-2)^2\geq 0\), we have \(-(x-2)^2\leq 0\), so the maximum value of \(y\) is \(9\), attained at \(x=2\). Option 5 is only the value at \(x=0\), not the maximum. Exam tip: for a downward-opening parabola, the y-coordinate of the vertex is the maximum value.
\(x\)-अक्ष पर प्रत्येक बिंदु का \(y\)-निर्देशांक \(0\) होता है। अतः \(x^2+2x-8=0\)। गुणनखंड करने पर \((x+4)(x-2)=0\), इसलिए \(x=-4\) या \(x=2\)। विकल्प B में दोनों मूलों के चिह्न उलट दिए गए हैं। परीक्षा-युक्ति: किसी ग्राफ के \(x\)-अक्ष के प्रतिच्छेद ज्ञात करने के लिए हमेशा \(y=0\) रखें। / Every point on the \(x\)-axis has \(y=0\). Therefore, \(x^2+2x-8=0\), which factors as \((x+4)(x-2)=0\). Hence, \(x=-4\) or \(x=2\). Option B reverses the signs of both roots. Exam tip: To find the \(x\)-intercepts of a graph, set \(y=0\).
दोनों रेखाओं की ढाल (2) है लेकिन अवरोध अलग हैं। समान ढाल वाली अलग रेखाएं समांतर होती हैं। / Both lines have slope (2), but different intercepts. Distinct lines with equal slope are parallel.
वर्गमूल वाले फलन का प्रारंभिक बिंदु वहाँ होता है जहाँ मूल के अंदर का व्यंजक शून्य हो जाता है। इसलिए \(x+9=0\), जिससे \(x=-9\) और \(y=\sqrt{0}-4=-4\) मिलता है। अतः बिंदु \((-9,-4)\) है। विकल्प B में क्षैतिज विस्थापन की दिशा गलत ली गई है। परीक्षा-युक्ति: \(y=\sqrt{x-h}+k\) का प्रारंभिक बिंदु \((h,k)\) होता है। / The endpoint of a square-root graph occurs when the expression under the radical becomes zero. Thus, \(x+9=0\), so \(x=-9\), and \(y=\sqrt{0}-4=-4\). Therefore, the endpoint is \((-9,-4)\). Option B reverses the horizontal shift. Exam tip: for \(y=\sqrt{x-h}+k\), the endpoint is \((h,k)\).
वर्ग करने पर \(y^2=25-x^2\) से \(x^2+y^2=25\) मिलता है। वर्गमूल के कारण केवल ऊपरी भाग आता है। / Squaring gives \(y^2=25-x^2\), so \(x^2+y^2=25\). Because of the square root only the upper part appears.
हर (x-6) शून्य होने पर फलन अपरिभाषित होता है। इसलिए (x=6) ऊर्ध्वाधर आसम्टोट है। / The denominator (x-6) makes the function undefined when it is zero. Therefore (x=6) is the vertical asymptote.
जब \(|x|\) बहुत बड़ा होता है, तब \(\frac{4}{x+2}\) का मान \(0\) के निकट पहुँचता है। इसलिए \(y\) का मान \(-5\) के निकट पहुँचता है और क्षैतिज आसमटोट \(y=-5\) है। \(x=-2\) ऊर्ध्वाधर आसमटोट है, क्षैतिज नहीं। परीक्षा-युक्ति: \(y=\frac{a}{x-h}+k\) के लिए क्षैतिज आसमटोट सीधे \(y=k\) होता है। / As \(|x|\) becomes very large, \(\frac{4}{x+2}\) approaches \(0\). Therefore, \(y\) approaches \(-5\), so the horizontal asymptote is \(y=-5\). The line \(x=-2\) is the vertical asymptote, not the horizontal one. Exam tip: For \(y=\frac{a}{x-h}+k\), the horizontal asymptote is directly \(y=k\).
अंश और हर दोनों की डिग्री 1 है। इसलिए क्षैतिज आसमटोट प्रमुख गुणांकों के अनुपात से मिलता है: \(y=\frac{1}{1}=1\)। अतः सही उत्तर \(y=1\) है। \(x=2\) ऊर्ध्वाधर आसमटोट है, क्षैतिज नहीं। परीक्षा-युक्ति: समान डिग्री वाले परिमेय फलन में क्षैतिज आसमटोट, अंश और हर के उच्चतम घात वाले पदों के गुणांकों का अनुपात होता है। / The numerator and denominator are both of degree 1. Therefore, the horizontal asymptote is determined by the ratio of the leading coefficients: \(y=\frac{1}{1}=1\). Hence, \(y=1\) is correct. The line \(x=2\) is the vertical asymptote because the denominator becomes zero there. Exam tip: For a rational function with equal numerator and denominator degrees, divide the leading coefficient of the numerator by that of the denominator to find the horizontal asymptote.
\(\frac{x^2-9}{x-3}=x+3\) है लेकिन (x=3) निषिद्ध रहता है। इसलिए रेखा जैसे ग्राफ में छिद्र होता है। / \(\frac{x^2-9}{x-3}=x+3\), but (x=3) remains excluded. Therefore the line-like graph has a hole.
यह \(y=\frac{1}{x^2}\) का (1) इकाई बाईं ओर खिसका हुआ ग्राफ है। इसलिए सममिति अक्ष (x=-1) है। / It is the graph of \(y=\frac{1}{x^2}\) shifted (1) unit left. Therefore the axis of symmetry is (x=-1).
\(x^2+9\) का न्यूनतम मान (9) है। इसलिए \(\frac{1}{x^2+9}\) का अधिकतम मान \(\frac{1}{9}\) है। / The minimum value of \(x^2+9\) is (9). Hence the maximum value of \(\frac{1}{x^2+9}\) is \(\frac{1}{9}\).
A. मूल बिंदु के सापेक्ष सममिति/Symmetry about the origin
Explanation
Simple Explanation
फलन का परिभाषा-क्षेत्र सभी वास्तविक संख्याएँ हैं, क्योंकि \(x^2+1\neq 0\)। अब \(f(-x)=\frac{(-x)^3}{(-x)^2+1}=-\frac{x^3}{x^2+1}=-f(x)\)। अतः यह विषम फलन है और इसका ग्राफ मूल बिंदु के सापेक्ष सममित होता है। y-अक्ष की सममिति के लिए \(f(-x)=f(x)\) होना चाहिए, जो यहाँ सत्य नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(f(-x)=-f(x)\) दिखे तो मूल बिंदु की सममिति चुनें। / The domain is all real numbers because \(x^2+1\neq 0\). Also, \(f(-x)=\frac{(-x)^3}{(-x)^2+1}=-\frac{x^3}{x^2+1}=-f(x)\). Therefore, the function is odd, so its graph is symmetric about the origin. It is not symmetric about the y-axis, since that would require \(f(-x)=f(x)\). Exam tip: the condition \(f(-x)=-f(x)\) indicates symmetry about the origin.
महत्तम पूर्णांक फलन \(\lfloor x\rfloor\), \(x\) से छोटा या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक होता है। चूँकि \(-4\) स्वयं एक पूर्णांक है, इसलिए \(\lfloor -4\rfloor=-4\) और अतः \(f(-4)=-4\)। विकल्प \(-5\) गलत है, क्योंकि वह \(-4\) से छोटा है; परीक्षा में याद रखें कि पूर्णांक के लिए उसका महत्तम पूर्णांक फलन मान वही पूर्णांक होता है। / The greatest integer function \(\lfloor x\rfloor\) gives the greatest integer less than or equal to \(x\). Since \(-4\) is itself an integer, \(\lfloor -4\rfloor=-4\), so \(f(-4)=-4\). The value \(-5\) is incorrect because it is less than \(-4\); in exams, remember that the greatest integer function of any integer is the integer itself.
\(\lceil x \rceil\) (x) से बड़ा या बराबर सबसे छोटा पूर्णांक देता है। (-2.2) के लिए वह (-2) है। / \(\lceil x \rceil\) gives the smallest integer greater than or equal to (x). For (-2.2), it is (-2).
साइनम फलन \(\operatorname{sgn}(t)\) का मान \(0\) तभी होता है जब \(t=0\) हो। इसलिए \(x^2-4=0\), अर्थात् \((x-2)(x+2)=0\), जिससे \(x=2\) या \(x=-2\) प्राप्त होता है। विकल्प C में \(\pm4\) लेना गलत है, क्योंकि \(4^2-4\neq0\)। परीक्षा-युक्ति: \(\operatorname{sgn}(g(x))=0\) के लिए सीधे \(g(x)=0\) हल करें। / The signum function \(\operatorname{sgn}(t)\) equals \(0\) only when \(t=0\). Hence, solve \(x^2-4=0\), or \((x-2)(x+2)=0\), giving \(x=2\) and \(x=-2\). Option C is incorrect because \(4^2-4\neq0\). Exam tip: To find where \(\operatorname{sgn}(g(x))=0\), set the inner expression \(g(x)\) equal to zero.
फलन को इस प्रकार लिखा जा सकता है: \(y=3\) जब \(x\leq 3\), और \(y=x\) जब \(x\geq 3\)। दोनों रेखाएँ \(x=3\) पर मिलती हैं और उस समय \(y=3\), इसलिए कोना \((3,3)\) पर है। \((0,3)\) उसी क्षैतिज भाग का बिंदु है, लेकिन वहाँ ढाल में परिवर्तन नहीं होता। परीक्षा-युक्ति: \(\max(x,a)\) के ग्राफ का कोना सामान्यतः \((a,a)\) पर होता है। / The function can be written as \(y=3\) for \(x\leq 3\) and \(y=x\) for \(x\geq 3\). These two lines meet at \(x=3\), where \(y=3\), so the corner is at \((3,3)\). The point \((0,3)\) lies on the horizontal part but is not a point where the slope changes. Exam tip: the graph of \(\max(x,a)\) has its corner at \((a,a)\).
जब \(x\leq -3\), तब \(y=x\); और जब \(x\geq -3\), तब \(y=-3\)। दोनों नियम \(x=-3\) पर मिलते हैं, जहाँ \(y=-3\) है। इसलिए कोना \((-3,-3)\) पर स्थित है। विकल्प D गलत है, क्योंकि \((0,-3)\) क्षैतिज रेखा पर तो है, लेकिन वह नियम बदलने का बिंदु नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(y=x\) और \(y=-3\) का प्रतिच्छेद ज्ञात करें। / For \(x\leq -3\), the minimum is \(x\), so \(y=x\); for \(x\geq -3\), the minimum is \(-3\), so \(y=-3\). These two rules meet at \(x=-3\), giving \(y=-3\). Hence the corner is \((-3,-3)\). Option D lies on the horizontal part of the graph but is not the point where the rule changes. Exam tip: find the intersection of \(y=x\) and \(y=-3\).
जब \(x\ge 2\), तब \(x-2\ge 0\), इसलिए \(|x-2|=x-2\)। अतः \(y=(x-2)+x=2x-2\), इसलिए सही रेखा \(y=2x-2\) है। विकल्प D केवल मॉड्यूलस वाले पद \(|x-2|\) को दर्शाता है और इसमें \(+x\) का योगदान छूट जाता है। परीक्षा-युक्ति: मॉड्यूलस के अंदर का व्यंजक धनात्मक या शून्य होने पर उसका मॉड्यूलस उसी व्यंजक के बराबर होता है। / When \(x\ge 2\), we have \(x-2\ge 0\), so \(|x-2|=x-2\). Therefore, \(y=(x-2)+x=2x-2\), making \(y=2x-2\) the correct line. Option D represents only the modulus term \(|x-2|\) and omits the added \(+x\). Exam tip: when the expression inside a modulus is non-negative, its modulus equals the expression itself.
प्रतिच्छेद बिंदुओं पर दोनों ग्राफ़ों का \(y\)-मान समान होता है, इसलिए \(x^2=3x+4\)। इसे \(x^2-3x-4=0\) लिखकर गुणनखंड करने पर \((x-4)(x+1)=0\) मिलता है। अतः \(x=4\) या \(x=-1\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में \(x=-1\) का चिह्न गलत लिया गया है। परीक्षा में दो ग्राफ़ों के प्रतिच्छेद के लिए पहले उनके \(y\)-व्यंजकों को बराबर रखें। / At an intersection point, both graphs have the same \(y\)-value, so set \(x^2=3x+4\). Rearranging and factoring gives \(x^2-3x-4=0\), or \((x-4)(x+1)=0\). Hence \(x=4\) or \(x=-1\), making option A correct. Option B results from taking the sign of the root \(-1\) incorrectly. Exam tip: to find intersections of two graphs, equate their \(y\)-expressions first.
प्रतिच्छेद बिंदुओं पर दोनों समीकरणों के \(y\) मान समान होंगे, इसलिए \(|x-2|=4\)। इससे \(x-2=4\) या \(x-2=-4\), अतः \(x=6\) या \(x=-2\)। इसलिए सही विकल्प A है। विकल्प B में \(|x-2|=4\) का सही हल नहीं मिलता। परीक्षा-युक्ति: \(|u|=a\), जहाँ \(a>0\), हो तो हमेशा \(u=\pm a\) के दोनों मामले जाँचें। / At an intersection, the two graphs have the same \(y\)-value, so \(|x-2|=4\). Thus \(x-2=4\) or \(x-2=-4\), giving \(x=6\) or \(x=-2\). Therefore, option A is correct. Option B does not satisfy \(|x-2|=4\). Exam tip: when \(|u|=a\) with \(a>0\), solve both cases \(u=a\) and \(u=-a\).
प्रतिच्छेदन बिंदु पर दोनों ग्राफ़ों के \(y\) मान समान होंगे, इसलिए \(\sqrt{x+1}=3\)। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर \(x+1=9\), अतः \(x=8\)। विकल्प \(x=9\) में \(-1\) घटाना भूलने की सामान्य गलती है। परीक्षा-युक्ति: वर्ग करने के बाद मूल समीकरण में मान रखकर जाँच करें; यहाँ \(\sqrt{8+1}=3\) है। / At the intersection, the two graphs have the same \(y\)-value, so \(\sqrt{x+1}=3\). Squaring both sides gives \(x+1=9\), hence \(x=8\). The distractor \(x=9\) results from forgetting to subtract 1. Exam tip: Always substitute the obtained value back into the original equation; here, \(\sqrt{8+1}=3\).
\(y=x^3\) एक विषम फलन है, क्योंकि \(f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)\)। इसलिए इसका ग्राफ मूलबिंदु के सापेक्ष सममित होता है। \(y=x^2\) y-अक्ष के सापेक्ष सममित है। परीक्षा टिप: विषम फलन के लिए \(f(-x)=-f(x)\) जाँचें। / \(y=x^3\) is an odd function because \(f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)\). Hence, its graph is symmetric about the origin. In contrast, \(y=x^2\) is symmetric about the y-axis. Exam tip: test \(f(-x)=-f(x)\) to identify odd functions.
A. 4 इकाई बाईं ओर और 3 इकाई नीचे/4 units left and 3 units down
Explanation
Simple Explanation
\(f(x+4)\) में इनपुट के अंदर \(+4\) होने के कारण ग्राफ क्षैतिज दिशा में 4 इकाई बाईं ओर खिसकता है; अंदर का चिह्न दिशा को उलट देता है। बाहर का \(-3\), पूरे फलन के मान से 3 घटाता है, इसलिए ग्राफ 3 इकाई नीचे जाता है। अतः विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: \(f(x-a)\) से ग्राफ a इकाई दाईं ओर और \(f(x)+b\) से b इकाई ऊपर जाता है। / In \(f(x+4)\), the input contains \(+4\), so the graph shifts 4 units horizontally to the left; the sign inside the function reverses the direction. The outside term \(-3\) subtracts 3 from every function value, shifting the graph 3 units downward. Therefore, option A is correct. Exam tip: \(f(x-a)\) shifts a graph a units right, while \(f(x)+b\) shifts it b units up.
A. ऊर्ध्वाधर खिंचाव, गुणक 2 के साथ; फिर 1 इकाई नीचे खिसकाना/Vertical stretch by a factor of 2, followed by a downward shift of 1 unit
Explanation
Simple Explanation
\(y=2f(x)-1\) में \(f(x)\) के बाहर का गुणक 2 प्रत्येक \(y\)-मान को दोगुना करता है, इसलिए ग्राफ का ऊर्ध्वाधर खिंचाव गुणक 2 होता है। इसके बाद \(-1\) सभी मानों को 1 इकाई नीचे ले जाता है। यह क्षैतिज खिंचाव नहीं है, क्योंकि क्षैतिज रूपांतरण में परिवर्तन \(f(2x)\) जैसे फलन के तर्क के अंदर होता है। परीक्षा-युक्ति: बाहर का गुणक ऊर्ध्वाधर और अंदर का गुणक क्षैतिज रूपांतरण दर्शाता है। / In \(y=2f(x)-1\), the factor 2 outside \(f(x)\) doubles every \(y\)-value, producing a vertical stretch by a factor of 2. The term \(-1\) then shifts the entire graph 1 unit downward. It is not a horizontal stretch, because horizontal transformations involve changes inside the function’s argument, such as \(f(2x)\). Exam tip: factors outside the function affect vertical changes, while factors inside its argument affect horizontal changes.
A. क्षैतिज संपीड़न (3) गुना/Horizontal compression by factor (3)
Explanation
Simple Explanation
अंदर (3x) होने से ग्राफ (y)-अक्ष की ओर सिमटता है। अंदर का गुणक क्षैतिज परिवर्तन देता है। / Having (3x) inside shrinks the graph toward the (y)-axis. An inside multiplier gives a horizontal change.
A. क्षैतिज खिंचाव (2) गुना/Horizontal stretch by factor (2)
Explanation
Simple Explanation
अंदर \(\frac{x}{2}\) होने से वही (f)-मान पाने के लिए (x) दुगुना चाहिए। इसलिए ग्राफ क्षैतिज रूप से खिंचता है। / With \(\frac{x}{2}\) inside, (x) must double to get the same (f)-value. Hence the graph stretches horizontally.
A. y-अक्ष में परावर्तन और 2 इकाई ऊपर की ओर स्थानांतरण/Reflection in the y-axis followed by a translation 2 units upward
Explanation
Simple Explanation
\(f(-x)\) में x के स्थान पर \(-x\) रखने से मूल ग्राफ y-अक्ष के सापेक्ष परावर्तित होता है। इसके बाद बाहर जोड़ा गया \(+2\) प्रत्येक y-मान में 2 जोड़ता है, इसलिए ग्राफ 2 इकाई ऊपर खिसकता है। अतः विकल्प A सही है। विकल्प B में x-अक्ष का परावर्तन \(-f(x)\) से होता, जबकि दाईं ओर 2 इकाई स्थानांतरण के लिए \(f(x-2)\) चाहिए। परीक्षा-युक्ति: अंदर का परिवर्तन क्षैतिज और बाहर का परिवर्तन ऊर्ध्वाधर होता है। / Replacing x by \(-x\) in \(f(-x)\) reflects the original graph in the y-axis. The outside term \(+2\) adds 2 to every y-value, so the graph then shifts 2 units upward. Therefore, option A is correct. Reflection in the x-axis would require \(-f(x)\), while a shift 2 units to the right would require \(f(x-2)\). Exam tip: changes inside the function affect the horizontal direction, whereas changes outside affect the vertical direction.
A. रेखा (y=2) के नीचे वाला भाग ऊपर/The part below (y=2) upward
Explanation
Simple Explanation
(|f(x)-2|) पहले (f(x)-2) को अऋणात्मक बनाता है। इसलिए (f(x)<2) वाला भाग रेखा (y=2) के सापेक्ष ऊपर मुड़ता है। / (|f(x)-2|) makes (f(x)-2) non-negative. Therefore the part with (f(x)<2) folds upward about the line (y=2).
(|x-1|) में (x=1) से समान दूरी वाले इनपुट समान होते हैं। इसलिए ग्राफ (x=1) के सापेक्ष सममित होता है। / In (|x-1|), inputs at equal distance from (x=1) become equal. Hence the graph is symmetric about (x=1).
