Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
क्योंकि किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए \((x+2)^2\ge 0\), इसलिए \(3(x+2)^2\ge 0\) और \(y=3(x+2)^2-12\ge -12\)। समानता \(x=-2\) पर मिलती है, अतः न्यूनतम \(y\)-मान \(-12\) है और रेंज \([-12,\infty)\) होगी। परीक्षा-युक्ति: \(a(x-h)^2+k\) के रूप में लिखे फलन में \(a>0\) होने पर रेंज \([k,\infty)\) होती है। / For every real \(x\), \((x+2)^2\ge 0\), so \(3(x+2)^2\ge 0\) and hence \(y=3(x+2)^2-12\ge -12\). Equality occurs at \(x=-2\), so the minimum value of \(y\) is \(-12\), giving the range \([-12,\infty)\). Exam tip: for a function in the form \(a(x-h)^2+k\), if \(a>0\), its range is \([k,\infty)\).
दिया गया द्विघात फलन \(y=-x^2+4x+5\) है। इसे पूर्ण वर्ग के रूप में लिखने पर \(y=-(x-2)^2+9\) प्राप्त होता है। चूँकि \((x-2)^2\geq 0\), इसलिए \(-(x-2)^2\leq 0\) और \(y\) का अधिकतम मान \(9\) है, जो \(x=2\) पर प्राप्त होता है। विकल्प 5 केवल \(x=0\) पर प्राप्त मान है, अधिकतम मान नहीं। परीक्षा-युक्ति: नीचे खुले परवलय में शीर्ष का \(y\)-निर्देशांक अधिकतम मान देता है। / The quadratic function is \(y=-x^2+4x+5\). Completing the square gives \(y=-(x-2)^2+9\). Since \((x-2)^2\geq 0\), we have \(-(x-2)^2\leq 0\), so the maximum value of \(y\) is \(9\), attained at \(x=2\). Option 5 is only the value at \(x=0\), not the maximum. Exam tip: for a downward-opening parabola, the y-coordinate of the vertex is the maximum value.
परवलय के शीर्ष-रूप \(y=a(x-h)^2+k\) में सममिति-अक्ष \(x=h\) होती है। यहाँ \(x+3=x-(-3)\), इसलिए \(h=-3\) और सममिति-अक्ष \(x=-3\) है। \(y=7\) शीर्ष का y-निर्देशांक है, सममिति-अक्ष नहीं। परीक्षा-युक्ति: वर्ग वाले पद को \((x-h)^2\) के रूप में लिखकर सीधे \(x=h\) पहचानें। / In the vertex form \(y=a(x-h)^2+k\), the axis of symmetry is \(x=h\). Here, \(x+3=x-(-3)\), so \(h=-3\) and the axis is \(x=-3\). The value \(y=7\) is the y-coordinate of the vertex, not the axis of symmetry. Exam tip: rewrite the squared term as \((x-h)^2\) and identify \(x=h\) directly.
शीर्ष-रूप \(y=(x-h)^2+k\) में परवलय की सममिति-अक्ष \(x=h\) होती है। यहाँ \(y=(x-(-2))^2-7\), इसलिए \(h=-2\) और सममिति-अक्ष \(x=-2\) है। \(y=-7\) शीर्ष का y-निर्देशांक है, सममिति-अक्ष नहीं। परीक्षा-टिप: कोष्ठक के भीतर \(x\) के साथ लिखे पद का चिह्न उलटकर \(h\) पहचानें। / For a parabola in vertex form \(y=(x-h)^2+k\), the axis of symmetry is \(x=h\). Here, \(y=(x-(-2))^2-7\), so \(h=-2\), giving the axis \(x=-2\). The value \(y=-7\) is the vertex's y-coordinate, not the axis of symmetry. Exam tip: reverse the sign of the constant appearing with \(x\) inside the square to identify \(h\).
परवलय के शीर्ष रूप \(y=(x-h)^2+k\) में सममिति की अक्ष \(x=h\) होती है। यहाँ \(h=3\), इसलिए \(x=3\) सममिति की अक्ष है। यह रेखा परवलय को उसके शीर्ष \((3,2)\) से गुजरते हुए दो समान दर्पण-सममित भागों में बाँटती है। ध्यान रखें: \(x=3\) ऊर्ध्वाधर असिम्पटोट नहीं, बल्कि इस परवलय की सममिति अक्ष है। / For a parabola in vertex form \(y=(x-h)^2+k\), the axis of symmetry is \(x=h\). Here, \(h=3\), so \(x=3\) is the axis of symmetry. It passes through the vertex \((3,2)\) and divides the parabola into two mirror-image halves. Exam tip: in \(y=(x-h)^2+k\), read the axis directly as \(x=h\); it is not an asymptote.
वर्ग पूर्ण करने पर \(f(x)=x^2+4x+7=(x+2)^2+3\) प्राप्त होता है। चूँकि \((x+2)^2\geq 0\), इसका सबसे छोटा मान 0 है, जो \(x=-2\) पर मिलता है। अतः फलन का न्यूनतम मान \(3\) है। विकल्प 7 केवल \(x=0\) पर फलन का मान है, न्यूनतम मान नहीं। परीक्षा-युक्ति: द्विघात फलन में वर्ग पूर्ण करके या शीर्ष-बिंदु से न्यूनतम/अधिकतम मान ज्ञात करें। / Completing the square gives \(f(x)=x^2+4x+7=(x+2)^2+3\). Since \((x+2)^2\geq 0\), its least value is 0, attained at \(x=-2\). Therefore, the minimum value of the function is \(3\). Option 7 is merely the value at \(x=0\), not the minimum. Exam tip: For a quadratic function, complete the square or use its vertex to find the minimum or maximum value.
दिया गया फलन \(f(x)=x^2-6x+9=(x-3)^2\) है। मानक रूप \(y=(x-h)^2+k\) में \(h=3\) और \(k=0\), इसलिए परवलय का शीर्ष \((3,0)\) है। \((0,9)\) शीर्ष नहीं, बल्कि y-अवरोध है। परीक्षा-युक्ति: पूर्ण वर्ग बनाकर शीर्ष सीधे पहचानें। / The function can be written as \(f(x)=x^2-6x+9=(x-3)^2\). Comparing it with the standard form \(y=(x-h)^2+k\), we get \(h=3\) and \(k=0\), so the vertex is \((3,0)\). The point \((0,9)\) is the y-intercept, not the vertex. Exam tip: Complete the square to identify the vertex quickly.
दिया गया फलन \(f(x)=x^2+2x+1=(x+1)^2\) है। मानक रूप \(y=(x-h)^2+k\) में \(h=-1\) और \(k=0\), इसलिए शीर्ष-बिंदु \((-1,0)\) है। विकल्प \((0,1)\) केवल y-अवरोध दर्शाता है, शीर्ष-बिंदु नहीं। परीक्षा-युक्ति: पूर्ण वर्ग बनाने पर \((x-h)^2+k\) में शीर्ष सीधे \((h,k)\) मिलता है। / The function can be written as \(f(x)=x^2+2x+1=(x+1)^2\). Comparing this with the standard form \(y=(x-h)^2+k\), we get \(h=-1\) and \(k=0\). Hence, the vertex is \((-1,0)\). The point \((0,1)\) is the y-intercept, not the vertex. Exam tip: After completing the square, read the vertex directly from \((x-h)^2+k\) as \((h,k)\).
शीर्ष-रूप \(y=(x-h)^2+k\) में शीर्ष \((h,k)\) होता है। यहाँ \(x+3=x-(-3)\), इसलिए \(h=-3\), और \(k=2\) है। अतः शीर्ष \((-3,2)\) है। विकल्प B में x-निर्देशांक का चिह्न गलत लिया गया है। परीक्षा-युक्ति: कोष्ठक के भीतर संख्या का चिह्न बदलकर x-निर्देशांक लें, जबकि बाहर की संख्या y-निर्देशांक होती है। / In the vertex form \(y=(x-h)^2+k\), the vertex is \((h,k)\). Since \(x+3=x-(-3)\), we have \(h=-3\), and the outside constant gives \(k=2\). Therefore, the vertex is \((-3,2)\). Option B incorrectly changes the sign of the x-coordinate. Exam tip: reverse the sign of the number inside the bracket for the x-coordinate; the outside constant is the y-coordinate.
यह फलन शीर्ष रूप \(y=(x-h)^2+k\) में है, जहाँ \(h=-2\) और \(k=0\)। इसलिए इसका ग्राफ \(y=x^2\) को 2 इकाई बाईं ओर खिसकाने पर प्राप्त होता है और शीर्ष \((-2,0)\) है। विकल्प A में \(x\)-निर्देशांक का चिन्ह गलत है। परीक्षा टिप: \((x+a)^2\) का शीर्ष हमेशा \((-a,0)\) होता है। / The function is in vertex form \(y=(x-h)^2+k\), where \(h=-2\) and \(k=0\). Thus, its graph is \(y=x^2\) shifted 2 units to the left, giving the vertex \((-2,0)\). Option A has the wrong sign for the x-coordinate. Exam tip: the vertex of \((x+a)^2\) is \((-a,0)\).
