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सूत्र (n\(A\cap B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cup B\)) से उत्तर (26) है। परीक्षा में संघ का मान मिलने पर प्रतिच्छेद इसी तरह निकालें। / Using (n\(A\cap B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cup B\)), the answer is (26). In exams, find the intersection this way when the union is given.
एक सर्वेक्षण में (n(U)=180), (n(A)=82), (n(B)=76), (n(C)=69), (n\(A\cap B\)=34), (n\(B\cap C\)=29), (n\(C\cap A\)=27) और (n\(A\cap B\cap C\)=12) है। किसी भी समुच्चय में न आने वालों की संख्या कितनी है?
(n\(A\cup B\cup C\)=82+76+69-34-29-27+12=149), इसलिए बाहर (180-149=31) है। पहले संघ निकालें फिर पूरक लें। / (n\(A\cup B\cup C\)=82+76+69-34-29-27+12=149), so outside is (180-149=31). First find the union and then take the complement.
केवल (A) का भाग (n(A)-n\(A\cap B\)=37-19=18) है। वेन आरेख में साझा भाग को दोबारा नहीं गिनना चाहिए। / The only (A) part is (n(A)-n\(A\cap B\)=37-19=18). In a Venn diagram, the common part should not be counted twice.
यदि केवल (A) में (21), केवल (B) में (24), केवल (C) में (18), केवल \(A\cap B\) में (13), केवल \(B\cap C\) में (11), केवल \(C\cap A\) में (9) और तीनों में (7) तत्व हैं, तो ठीक दो समुच्चयों में आने वाले तत्वों की संख्या कितनी है?
ठीक दो समुच्चयों में केवल दो-दो वाले क्षेत्र आते हैं, इसलिए (13+11+9=33) है। केंद्र \(A\cap B\cap C\) को ठीक दो में न गिनें। / Exactly two sets include only the pairwise-only regions, so (13+11+9=33). Do not count the centre \(A\cap B\cap C\) in exactly two.
पहले (n\(A\cup B\)=70+65-28=107), इसलिए बाहर का भाग (150-107=43) है। पूरक निकालते समय सार्वत्रिक समुच्चय घटाना याद रखें। / First (n\(A\cup B\)=70+65-28=107), so the outside part is (150-107=43). Remember to subtract from the universal set for a complement.
सूत्र से (72=(4x+5)+(3x+8)-(2x+1)=5x+12), इसलिए (x=12) है। बीजगणितीय वेन प्रश्न में संघ का सूत्र सीधे लगाएँ। / Using the formula, (72=(4x+5)+(3x+8)-(2x+1)=5x+12), so (x=12). In algebraic Venn questions, apply the union formula directly.
तीन समुच्चयों के लिए (n(A)=48), (n(B)=50), (n(C)=44), (n\(A\cap B\)=20), (n\(B\cap C\)=18), (n\(C\cap A\)=16) और (n\(A\cap B\cap C\)=7) है। (n\(A\cup B\cup C\)) कितना होगा?
सूत्र से (48+50+44-20-18-16+7=95) मिलता है। तीन समुच्चयों में अंतिम साझा भाग को वापस जोड़ना जरूरी है। / By the formula, (48+50+44-20-18-16+7=95). In three sets, the common triple part must be added back.
(3) के गुणज (20), (4) के गुणज (15), और (12) के गुणज (5) हैं, इसलिए संघ (30) और पूरक (60-30=30) है। साझा गुणजों को एक बार घटाएँ। / Multiples of (3) are (20), multiples of (4) are (15), and multiples of (12) are (5), so the union is (30) and the complement is (60-30=30). Subtract common multiples once.
यदि (n\(A\cap B\cap C\)=9), केवल \(A\cap B\) में (14), केवल \(B\cap C\) में (11), और केवल \(C\cap A\) में (13) तत्व हैं, तो (n(\(A\cap B\)\cup\(B\cap C\)\cup\(C\cap A\))) कितना है?
कम से कम दो समुच्चयों में आने वाले तत्व (14+11+13+9=47) हैं। वेन आरेख में केंद्र को एक बार ही गिनें। / Elements in at least two sets are (14+11+13+9=47). In the Venn diagram, count the centre only once.
किसी में नहीं (n(\(A\cup B\cup C\)')=200-164=36) है। बाहर का क्षेत्र हमेशा सार्वत्रिक समुच्चय से संघ घटाकर मिलता है। / None of the sets is (n(\(A\cup B\cup C\)')=200-164=36). The outside region is always total universal set minus the union.
संघ तीन अलग भागों का योग है, इसलिए प्रतिच्छेद (76-31-27=18) है। क्षेत्र आधारित प्रश्नों में वेन आरेख को भागों में बाँटें। / The union is the sum of three disjoint parts, so the intersection is (76-31-27=18). For region-based questions, split the Venn diagram into parts.
वेन आरेख में (A) के केवल भाग में (23), (B) के केवल भाग में (17), (C) के केवल भाग में (19), केवल दो-दो के भागों में (8,9,10) और केंद्र में (5) हैं। (n\(A\cup B\cup C\)) कितना है?
संघ सभी अंदरूनी अलग क्षेत्रों का योग (23+17+19+8+9+10+5=91) है। अलग क्षेत्रों को एक-एक बार जोड़ना सही तरीका है। / The union is the sum of all disjoint inside regions (23+17+19+8+9+10+5=91). Add each separate region exactly once.
क्योंकि \(A\subseteq B\), इसलिए (B-A) में (57-32=25) तत्व होंगे। उपसमुच्चय वाले आरेख में छोटा वृत्त बड़े के भीतर होता है। / Since \(A\subseteq B\), (B-A) has (57-32=25) elements. In subset diagrams, the smaller circle lies inside the larger one.
असंबद्ध समुच्चयों में (n\(A\cup B\)=41+39=80), इसलिए पूरक (20) है। असंबद्ध होने पर प्रतिच्छेद शून्य मानें। / For disjoint sets, (n\(A\cup B\)=41+39=80), so the complement is (20). When sets are disjoint, take the intersection as zero.
केवल एक विषय ((72-38)+(64-38)=60) है। ठीक एक में साझा भाग को दोनों तरफ से घटाएँ। / Exactly one subject is ((72-38)+(64-38)=60). For exactly one, subtract the common part from both sides.
पहले (n\(A\cap B\)=45+52-73=24), फिर (n\(A\triangle B\)=73-24=49) है। सममित अंतर में साझा भाग शामिल नहीं होता। / First (n\(A\cap B\)=45+52-73=24), then (n\(A\triangle B\)=73-24=49). The symmetric difference excludes the common part.
(n\(A\cap B\)=58-21=37), इसलिए (n\(A\cup B\)=58+49-37=70) और बाहर (40) नहीं बल्कि (110-70=40) होगा। सही विकल्पों में त्रुटि से बचने के लिए गणना जाँचें। / (n\(A\cap B\)=58-21=37), so (n\(A\cup B\)=58+49-37=70) and outside is (110-70=40). Check calculations carefully to avoid option traps.
\(A\cap B\) में (58-21=37) तत्व हैं, इसलिए संघ (70) और पूरक (40) है। पहले आरेख के अंदर के क्षेत्र भरें फिर बाहर का भाग निकालें। / \(A\cap B\) has (58-21=37) elements, so the union is (70) and the complement is (40). Fill inner regions first and then find the outside part.
तीन विषयों के सर्वे में (n(M)=60), (n(P)=54), (n(C)=50), (n\(M\cap P\)=25), (n\(P\cap C\)=22), (n\(C\cap M\)=20), (n\(M\cap P\cap C\)=10) है। केवल (M) पढ़ने वाले कितने हैं?
केवल (M=60-25-20+10=25) है। तीन समुच्चयों में केंद्र को घटाने के बाद वापस जोड़ना पड़ता है। / Only (M=60-25-20+10=25). In three sets, the centre is subtracted twice and must be added back.
यदि केवल (A) में (12), केवल (B) में (15), केवल (C) में (18), केवल \(A\cap B\) में (9), केवल \(B\cap C\) में (7), केवल \(C\cap A\) में (6), और \(A\cap B\cap C\) में (4) हैं, तो (n(A\cap\(B\cup C\))) कितना है?
(A\cap\(B\cup C\)) में \(A\cap B\), \(A\cap C\) और केंद्र आते हैं, इसलिए (9+6+4=19) है। केवल (A) इसमें शामिल नहीं होगा। / (A\cap\(B\cup C\)) includes \(A\cap B\), \(A\cap C\), and the centre, so (9+6+4=19). The only (A) region is not included.
(A-\(B\cup C\)) का अर्थ (A) में रहकर (B) और (C) से बाहर होना है। वेन आरेख में यह केवल (A) वाला क्षेत्र है। / (A-\(B\cup C\)) means being in (A) but outside both (B) and (C). In the Venn diagram, it is the only (A) region.
A. (A) और (B) दोनों वृत्तों का पूरा अंदरूनी भाग/Entire inside of both (A) and (B) circles
Explanation
Simple Explanation
\(A\cup B\) का अर्थ (A) या (B) या दोनों है। इसलिए दोनों वृत्तों के सभी अंदरूनी क्षेत्र छायांकित होंगे। / \(A\cup B\) means (A) or (B) or both. Therefore, all inside regions of both circles are shaded.
यदि (A) का पूरा भाग (B) से साझा है, तो (A) पूरी तरह (B) के अंदर है। इसलिए \(A\subseteq B\) सही है। / If all of (A) is common with (B), then (A) lies completely inside (B). Hence \(A\subseteq B\) is correct.
(n(A)=95-47=48) और (n(B)=95-52=43), इसलिए संघ (48+43-18=73) नहीं बल्कि (73) है। विकल्पों से मिलान करते समय सूत्र दोबारा देखें। / (n(A)=95-47=48) and (n(B)=95-52=43), so the union is (48+43-18=73), not (66). Recheck the formula before matching options.
(n(A)=48), (n(B)=43), इसलिए (n\(A\cup B\)=48+43-18=73) है। पूरक से मूल समुच्चय निकालना पहला कदम रखें। / (n(A)=48), (n(B)=43), so (n\(A\cup B\)=48+43-18=73). First obtain the original set sizes from complements.
संघ के तीन अलग भाग (24), (31) और (16) हैं, जिनका योग (71) है। वेन आरेख में अलग-अलग क्षेत्रों को सीधे जोड़ सकते हैं। / The three disjoint parts of the union are (24), (31), and (16), whose sum is (71). In a Venn diagram, separate regions can be added directly.
संघ (52+47-25=74) है, इसलिए बाहर (90-74=16) है। ऐसे प्रश्नों में किसी भी नहीं का अर्थ पूरक होता है। / The union is (52+47-25=74), so outside is (90-74=16). In such questions, neither means the complement.
कम से कम एक का अर्थ संघ है, इसलिए (40+28+12=80) है। केवल और दोनों वाले भागों को अलग-अलग जोड़ें। / At least one means the union, so (40+28+12=80). Add the only regions and the both region separately.
तीन समुच्चयों का संघ (30+34+36-8-10-6+0=76) है। यदि केंद्र खाली हो तो अंतिम जोड़ (0) रखें। / The union of three sets is (30+34+36-8-10-6+0=76). If the centre is empty, keep the final addition as (0).
सूत्र में (118=45+50+55-18-20-16+x), इसलिए (x=22) है। अज्ञात केंद्र को (x) मानकर समीकरण बनाना आसान है। / Using the formula (118=45+50+55-18-20-16+x), so (x=22). Let the unknown centre be (x) to form an equation easily.
(30=(3x+2)+(2x+5)-(x+1)=4x+6), इसलिए (x=6) है। बीजगणितीय वेन प्रश्न में पहले संघ का सूत्र लगाएँ। / (30=(3x+2)+(2x+5)-(x+1)=4x+6), so (x=6). In algebraic Venn questions, first apply the union formula.
संघ (2x+3+x+7+x-1=4x+9=45), इसलिए (x=9) है। अलग क्षेत्रों का योग सीधे संघ देता है। / The union is (2x+3+x+7+x-1=4x+9=45), so (x=9). The sum of disjoint regions directly gives the union.
\(B\cap C\) में (6) और (12) हैं, इसलिए संख्या (2) है। प्रतिच्छेद के लिए दोनों शर्तें साथ में पूरी होनी चाहिए। / \(B\cap C\) contains (6) and (12), so the count is (2). For intersection, both conditions must be satisfied together.
(A-B) में वे अभाज्य होंगे जो विषम नहीं हैं, इसलिए केवल (2) बचेगा। समुच्चय अंतर में दूसरे समुच्चय के तत्व हटा दें। / (A-B) contains primes that are not odd, so only (2) remains. In set difference, remove the elements of the second set.
(2) के गुणज (15), (5) के गुणज (6), और (10) के गुणज (3) हैं, इसलिए संघ (15+6-3=18) है। साझा गुणजों को एक बार घटाएँ। / Multiples of (2) are (15), multiples of (5) are (6), and multiples of (10) are (3), so the union is (15+6-3=18). Subtract common multiples once.
साझा गुणज (\operatorname{lcm}(4,6)=12) के गुणज होंगे, जो (12,24,36,48) हैं। इसलिए संख्या (4) है। / Common multiples are multiples of (\operatorname{lcm}(4,6)=12), namely (12,24,36,48). Hence the count is (4).
सार्वत्रिक समुच्चय सभी क्षेत्रों का योग (14+22+18+11=65) है। बाहर का भाग भी (U) में शामिल होता है। / The universal set is the sum of all regions (14+22+18+11=65). The outside region is also included in (U).
दोनों केवल भागों का योग संघ से प्रतिच्छेद घटाकर (84-27=57) है। यह सममित अंतर की संख्या भी है। / The sum of the two only regions is union minus intersection (84-27=57). This is also the size of the symmetric difference.
ठीक एक (=(92-51)+(78-51)=68) है। दोनों रखने वालों को ठीक एक में नहीं गिना जाता। / Exactly one is ((92-51)+(78-51)=68). People having both are not counted in exactly one.
कम से कम एक (45+40-30=55) है। प्रतिच्छेद को दो बार गिनने से बचने के लिए घटाते हैं। / At least one is (45+40-30=55). The intersection is subtracted to avoid double counting.
जब संघ पूरे (U) के बराबर हो, तो संघ के बाहर कोई तत्व नहीं रहता। इसलिए (\(A\cup B\)') खाली होगा। / When the union equals the whole (U), no element remains outside the union. Therefore, (\(A\cup B\)') is empty.
A. नहीं, (A) और (C) अतिव्यापी हो सकते हैं/No, (A) and (C) may overlap
Explanation
Simple Explanation
(B) दोनों से अलग हो सकता है, लेकिन (A) और (C) आपस में मिल सकते हैं। वेन आरेख में स्वतंत्र संबंधों को अलग-अलग समझें। / (B) can be separate from both, while (A) and (C) may still overlap. In Venn diagrams, understand independent relations separately.
डी मॉर्गन नियम के अनुसार (\(A\cup B\)'=A'\cap B') है। यह नियम असंबद्ध और सामान्य दोनों स्थितियों में सही है। / By De Morgan's law, (\(A\cup B\)'=A'\cap B'). This rule is true for both disjoint and general cases.
न्यूनतम प्रतिच्छेद (35+32-60=7) होगा। यदि योग (U) से अधिक हो तो उतना अतिव्यापन अनिवार्य है। / The minimum intersection is (35+32-60=7). If the sum exceeds (U), that much overlap is necessary.
संघ का न्यूनतम मान बड़े समुच्चय जितना हो सकता है, यानी (64)। यह तब होगा जब \(B\subseteq A\) हो सकता है। / The minimum union can be as small as the larger set, which is (64). This happens when \(B\subseteq A\) is possible.
प्रतिच्छेद का अधिकतम मान छोटे समुच्चय से अधिक नहीं हो सकता, इसलिए (39) है। अधिकतम अतिव्यापन में छोटा समुच्चय बड़े में समा सकता है। / The maximum intersection cannot exceed the smaller set, so it is (39). In maximum overlap, the smaller set can lie inside the larger set.
पहले (n\(A\cap B\)=30+28-52=6), फिर (A-B=30-6=24) है। अंतर निकालने से पहले साझा भाग पहचानें। / First (n\(A\cap B\)=30+28-52=6), then (A-B=30-6=24). Identify the common part before finding difference.
A. नहीं, साझा क्षेत्रों की जानकारी चाहिए/No, information about common regions is needed
Explanation
Simple Explanation
इन अंतरों से सभी वेन क्षेत्रों की जानकारी नहीं मिलती। संघ के लिए साझा और केवल क्षेत्रों का पूरा विवरण चाहिए। / These differences do not give all Venn regions. To find the union, complete information about common and only regions is needed.
केवल \(A\cap B\) में (14-6=8) तत्व होंगे। दो-समुच्चय प्रतिच्छेद में केंद्र भी शामिल होता है। / Only \(A\cap B\) has (14-6=8) elements. A two-set intersection includes the centre also.
संघ (=) ठीक एक (+) ठीक दो (+) तीनों, इसलिए तीनों (140-65-51=24) है। क्षेत्र-आधारित योग प्रश्नों में हिस्सों को अलग रखें। / Union equals exactly one plus exactly two plus all three, so all three is (140-65-51=24). In region-sum questions, keep the parts separate.
एक सर्वे में (n(U)=210), (n(A)=96), (n(B)=88), (n(C)=74), (n\(A\cap B\)=39), (n\(B\cap C\)=31), (n\(C\cap A\)=28) और (n\(A\cap B\cap C\)=14) है। किसी भी समुच्चय में न आने वालों की संख्या कितनी है?
(n\(A\cup B\cup C\)=96+88+74-39-31-28+14=174), इसलिए बाहर (210-174=36) है। पहले संघ निकालकर ही पूरक लें। / (n\(A\cup B\cup C\)=96+88+74-39-31-28+14=174), so outside is (210-174=36). First find the union and then take the complement.
(n(\(A\cap C\)-B)=n\(A\cup B\)+n\(B\cup C\)-n(B)-n\(A\cup B\cup C\)=118+124-64-155=23) नहीं, इसलिए विकल्पों से पहले सूत्र जाँचें; सही क्षेत्र (155-118) और (155-124) जैसे बाहर वाले हिस्सों से नहीं निकलेगा। / (n(\(A\cap C\)-B)=n\(A\cup B\)+n\(B\cup C\)-n(B)-n\(A\cup B\cup C\)=118+124-64-155=23), not (30). Check the formula before matching options.
यदि (n(A)=78), (n(B)=69), (n(C)=63), (n\(A\cap B\)=30), (n\(B\cap C\)=25), (n\(C\cap A\)=21) और (n\(A\cap B\cap C\)=9) है, तो केवल (A) में कितने तत्व हैं?
केवल (A=78-30-21+9=36) है। तीन समुच्चयों में केंद्र दो बार घटता है इसलिए उसे वापस जोड़ें। / Only (A=78-30-21+9=36). In three sets, the centre is subtracted twice, so add it back.
किसी वेन आरेख में केवल (A) में (18), केवल (B) में (22), केवल (C) में (16), केवल \(A\cap B\) में (11), केवल \(B\cap C\) में (13), केवल \(C\cap A\) में (9) और तीनों में (6) तत्व हैं। कम से कम दो समुच्चयों में आने वाले तत्व कितने हैं?
कम से कम दो में (11+13+9+6=39) तत्व हैं। इस प्रकार के प्रश्न में तीनों वाला केंद्र भी शामिल होता है। / At least two sets contain (11+13+9+6=39) elements. In this type of question, the centre region is also included.
संघ तीन अलग भागों का योग है, इसलिए प्रतिच्छेद (112-43-37=32) है। वेन आरेख में अलग क्षेत्रों को एक-एक बार गिनें। / The union is the sum of three disjoint parts, so the intersection is (112-43-37=32). Count each separate region once in a Venn diagram.
(n(A)=140-58=82) और (n(B)=140-71=69), इसलिए संघ (82+69-34=117) है। पूरक से मूल संख्या निकालना पहला कदम है। / (n(A)=140-58=82) and (n(B)=140-71=69), so the union is (82+69-34=117). Getting original sizes from complements is the first step.
सभी चार अलग क्षेत्रों का योग (29+33+17+21=100) है। सार्वत्रिक समुच्चय में अंदर और बाहर दोनों क्षेत्र आते हैं। / The sum of all four disjoint regions is (29+33+17+21=100). The universal set includes both inside and outside regions.
ठीक एक विषय ((56-27)+(49-27)=51) है। दोनों पढ़ने वालों को ठीक एक में शामिल न करें। / Exactly one subject is ((56-27)+(49-27)=51). Do not include those who study both in exactly one.
पहले (n\(A\cap B\)=64+59-91=32), फिर (n\(A\triangle B\)=91-32=59) है। सममित अंतर में साझा भाग नहीं आता। / First (n\(A\cap B\)=64+59-91=32), then (n\(A\triangle B\)=91-32=59). The symmetric difference does not include the common part.
क्योंकि \(A\subseteq B\), इसलिए (B-A=83-47=36) होगा। उपसमुच्चय वाले वेन आरेख में छोटा वृत्त बड़े के अंदर होता है। / Since \(A\subseteq B\), (B-A=83-47=36). In a subset Venn diagram, the smaller circle lies inside the larger one.
असंबद्ध समुच्चयों में संघ (44+52=96) है, इसलिए पूरक (130-96=34) है। असंबद्ध होने पर साझा भाग शून्य होता है। / For disjoint sets, the union is (44+52=96), so the complement is (130-96=34). Disjoint sets have zero common part.
तीन क्लबों में (n(A)=72), (n(B)=68), (n(C)=61), (n\(A\cap B\)=29), (n\(B\cap C\)=24), (n\(C\cap A\)=26) और (n\(A\cap B\cap C\)=11) है। केवल (B) में आने वाले सदस्य कितने हैं?
केवल (B=68-29-24+11=26) है। दो प्रतिच्छेद घटाते समय केंद्र दो बार घट जाता है। / Only (B=68-29-24+11=26). While subtracting two intersections, the centre is removed twice.
संघ (=) ठीक एक (+) ठीक दो (+) तीनों है, इसलिए तीनों (135-58-49=28) हैं। क्षेत्र आधारित प्रश्नों में भागों को अलग रखें। / Union equals exactly one plus exactly two plus all three, so all three is (135-58-49=28). In region-based questions, keep the parts separate.
(78=(5x+4)+(4x+7)-(2x+3)=7x+8), इसलिए (x=10) है। बीजगणितीय प्रश्न में संघ का सूत्र सीधे लगाएँ। / (78=(5x+4)+(4x+7)-(2x+3)=7x+8), so (x=10). In algebraic questions, apply the union formula directly.
संघ (3x+2+2x+5+x+4=6x+11=71), इसलिए (x=10) है। अलग क्षेत्रों का योग सीधे संघ देता है। / The union is (3x+2+2x+5+x+4=6x+11=71), so (x=10). The sum of disjoint regions directly gives the union.
साझा गुणज (\operatorname{lcm}(6,8)=24) के गुणज होंगे, जो (24,48,72) हैं। इसलिए संख्या (3) है। / Common multiples are multiples of (\operatorname{lcm}(6,8)=24), namely (24,48,72). Hence the count is (3).
(5) के गुणज (18), (9) के गुणज (10), और (45) के गुणज (2) हैं, इसलिए संघ (18+10-2=26) है। साझा गुणजों को दोबारा न गिनें। / Multiples of (5) are (18), multiples of (9) are (10), and multiples of (45) are (2), so the union is (18+10-2=26). Do not count common multiples twice.
(7) के गुणज (12), (4) के गुणज (21), और (28) के गुणज (3) हैं, इसलिए संघ (30) और पूरक (84-30=54) है। / Multiples of (7) are (12), multiples of (4) are (21), and multiples of (28) are (3), so the union is (30) and the complement is (84-30=54).
सम अभाज्य संख्या केवल (2) है, इसलिए \(A\cap B={2}\) है। प्रतिच्छेद में दोनों शर्तें साथ में पूरी होनी चाहिए। / The only even prime is (2), so \(A\cap B={2}\). In an intersection, both conditions must be satisfied together.
वर्ग संख्याएँ (1,4,9,16,25,36) हैं और (3) के गुणज वर्ग (9,36) हैं। इसलिए प्रतिच्छेद में (2) तत्व हैं। / Square numbers are (1,4,9,16,25,36), and the square multiples of (3) are (9,36). Therefore, the intersection has (2) elements.
\(B\cap C\) में (5) और (15) आते हैं, इसलिए संख्या (2) है। समुच्चय-निर्माण रूप में शर्तों को एक साथ जाँचें। / \(B\cap C\) contains (5) and (15), so the count is (2). In set-builder form, check the conditions together.
न्यूनतम प्रतिच्छेद (46+41-75=12) है। जब दोनों का योग (U) से अधिक हो तो अतिव्यापन अनिवार्य होता है। / The minimum intersection is (46+41-75=12). When the sum of two sets exceeds (U), overlap is necessary.
प्रतिच्छेद छोटे समुच्चय से बड़ा नहीं हो सकता, इसलिए अधिकतम (58) है। अधिकतम स्थिति में छोटा समुच्चय बड़े के भीतर हो सकता है। / The intersection cannot be larger than the smaller set, so the maximum is (58). In the maximum case, the smaller set may lie inside the larger set.
संघ का न्यूनतम मान बड़े समुच्चय जितना हो सकता है, यानी (91)। ऐसा तब संभव है जब \(B\subseteq A\) हो। / The minimum union can be as small as the larger set, which is (91). This is possible when \(B\subseteq A\).
\(A'\cap B\) का अर्थ (B-A) है, इसलिए (38-17=21) है। प्रतीक को वेन आरेख के केवल (B) क्षेत्र से जोड़कर देखें। / \(A'\cap B\) means (B-A), so it is (38-17=21). Connect the notation with the only (B) region in the Venn diagram.
(n\(A\cap B\)=55-23=32), इसलिए (n\(A\cup B\)=55+62-32=85) है। पहले साझा भाग खोजें फिर संघ निकालें। / (n\(A\cap B\)=55-23=32), so (n\(A\cup B\)=55+62-32=85). First find the common part and then the union.
दोनों केवल क्षेत्रों का योग (98-35=63) है। यह \(A\triangle B\) की संख्या भी होती है। / The sum of the two only regions is (98-35=63). This is also the size of \(A\triangle B\).
A. (A) का वह भाग जो \(B\cap C\) में नहीं है/The part of (A) not in \(B\cap C\)
Explanation
Simple Explanation
(A-\(B\cap C\)) में (A) के वे तत्व हैं जो \(B\cap C\) में नहीं हैं। वेन आरेख में घटाने वाला क्षेत्र हटाकर देखें। / (A-\(B\cap C\)) contains elements of (A) that are not in \(B\cap C\). In a Venn diagram, remove the subtracted region.
क्योंकि \(A\subseteq B\), इसलिए \(A\cup B=B\), और (\(A\cup B\)-A=B-A) है। उपसमुच्चय में पहले संघ को सरल करें। / Since \(A\subseteq B\), \(A\cup B=B\), and (\(A\cup B\)-A=B-A). In subset problems, simplify the union first.
यदि साझा भाग पूरा (A) है, तो (A) पूरी तरह (B) में है। इसलिए \(A\subseteq B\) सही है। / If the common part is the whole of (A), then (A) lies completely inside (B). Hence \(A\subseteq B\) is correct.
जब (A) और (B) में कोई साझा तत्व नहीं है, तो (B) को हटाने पर (A) वैसा ही रहता है। इसलिए (A-B=A) है। / When (A) and (B) have no common element, removing (B) from (A) leaves (A) unchanged. Therefore, (A-B=A).
संघ (A) जितना ही है, इसका अर्थ (B) से कोई नया क्षेत्र नहीं जुड़ रहा। इसलिए \(B\subseteq A\) है। / The union is the same size as (A), meaning (B) adds no new region. Therefore, \(B\subseteq A\).
असंबद्ध समुच्चयों में सममित अंतर पूरा संघ होता है, इसलिए (28+34=62) है। साझा भाग शून्य होने पर कुछ हटाना नहीं पड़ता। / For disjoint sets, the symmetric difference is the whole union, so (28+34=62). When the common part is zero, nothing needs to be removed.
कम से कम एक (120-24=96) है, इसलिए दोनों (66+58-96=28) हैं। पहले बाहर वाले भाग को हटाकर संघ निकालें। / At least one is (120-24=96), so both is (66+58-96=28). First remove the outside part to get the union.
एक परीक्षा में (150) विद्यार्थियों में (82) ने प्रश्न (A), (76) ने प्रश्न (B), (69) ने प्रश्न (C), (37) ने (A) और (B), (32) ने (B) और (C), (29) ने (C) और (A), तथा (15) ने तीनों हल किए। कम से कम एक प्रश्न हल करने वाले कितने हैं?
कम से कम एक (82+76+69-37-32-29+15=144) है। तीन समुच्चयों में केंद्र को अंत में जोड़ना न भूलें। / At least one is (82+76+69-37-32-29+15=144). In three sets, do not forget to add the centre at the end.
केवल \(A\cap B\) में (26-10=16) तत्व होंगे। दो-समुच्चय प्रतिच्छेद में तीनों वाला केंद्र भी शामिल रहता है। / Only \(A\cap B\) has (26-10=16) elements. A two-set intersection includes the central three-set region too.
यदि केवल \(A\cap B\) में (14), केवल \(B\cap C\) में (12), केवल \(C\cap A\) में (15) और \(A\cap B\cap C\) में (8) तत्व हैं, तो (n(\(A\cap B\)\cup\(B\cap C\)\cup\(C\cap A\))) कितना है?
यह क्षेत्र कम से कम दो समुच्चयों का भाग है, इसलिए (14+12+15+8=49) है। केंद्र को केवल एक बार जोड़ें। / This region is the part belonging to at least two sets, so (14+12+15+8=49). Add the centre only once.
संघ सभी अलग क्षेत्रों का योग (31+27+25+42+11=136) है। वेन आरेख में कोई क्षेत्र दो बार न जोड़ें। / The union is the sum of all disjoint regions (31+27+25+42+11=136). Do not add any region twice in a Venn diagram.
सूत्र में (128=70+65+60-27-24-22+x), इसलिए (x=6) है। अज्ञात केंद्र को (x) मानकर समीकरण बनाएं। / Using (128=70+65+60-27-24-22+x), we get (x=6). Let the unknown centre be (x) and form an equation.
(A\cap\(B\cup C\)) में केवल \(A\cap B\), केवल \(A\cap C\) और केंद्र आते हैं, इसलिए केंद्र (44-18-16=10) है। / (A\cap\(B\cup C\)) includes only \(A\cap B\), only \(A\cap C\), and the centre, so the centre is (44-18-16=10).
A. वे तत्व जो (A) और (B) में हैं पर (C) में नहीं हैं/Elements in (A) and (B) but not in (C)
Explanation
Simple Explanation
(B-C) में (B) के वे तत्व हैं जो (C) में नहीं हैं, और फिर (A) से साझा भाग लिया जाता है। इसलिए यह केवल \(A\cap B\) वाला भाग है। / (B-C) has elements of (B) not in (C), and then the common part with (A) is taken. So it is the only \(A\cap B\) region.
परस्पर असंबद्ध होने पर संघ (18+24+29=71) है, इसलिए पूरक (90-71=19) है। असंबद्ध समुच्चयों में कोई साझा भाग नहीं घटता। / For mutually disjoint sets, the union is (18+24+29=71), so the complement is (90-71=19). In disjoint sets, no common part is subtracted.
सभी समुच्चय (C) के भीतर हैं, इसलिए उनका संघ (C) ही होगा। उपसमुच्चय श्रृंखला में सबसे बड़ा समुच्चय संघ देता है। / All sets are inside (C), so their union is (C). In a subset chain, the largest set gives the union.
सबसे छोटा समुच्चय (A) तीनों में समान रूप से मौजूद है। इसलिए \(A\cap B\cap C=A\) है। / The smallest set (A) is common to all three sets. Therefore, \(A\cap B\cap C=A\).
(A-B=0) का अर्थ (A) का कोई भाग (B) से बाहर नहीं है। इसलिए \(A\subseteq B\) सही है। / (A-B=0) means no part of (A) lies outside (B). Therefore, \(A\subseteq B\) is correct.
सूत्र से (160=70+75+80-S+18), इसलिए (S=83) है। यहाँ (S) तीनों युग्म प्रतिच्छेदों का योग है। / Using the formula (160=70+75+80-S+18), so (S=83). Here (S) is the sum of the three pairwise intersections.
A. नहीं, साझा क्षेत्रों की जानकारी चाहिए/No, information about common regions is needed
Explanation
Simple Explanation
इन अंतरों से सभी क्षेत्रों की जानकारी नहीं मिलती। संघ के लिए केवल और साझा दोनों प्रकार के क्षेत्रों की जरूरत होती है। / These differences do not give information about all regions. The union needs both only-regions and common regions.
A. अभिकथन और कारण दोनों सही हैं और कारण सही व्याख्या है/Both assertion and reason are true, and the reason is the correct explanation
Explanation
Simple Explanation
दोनों कथन सही हैं और कारण बताता है कि प्रतिच्छेद क्यों घटाते हैं। वेन आरेख में साझा क्षेत्र की दोहरी गिनती पहचानना जरूरी है। / Both statements are true, and the reason explains why the intersection is subtracted. In Venn diagrams, identifying double counting of the common region is essential.
A. अभिकथन और कारण दोनों सही हैं और कारण सही व्याख्या है/Both assertion and reason are true, and the reason is the correct explanation
Explanation
Simple Explanation
असंबद्ध होने पर प्रतिच्छेद (0) होता है, इसलिए संघ सीधा योग होता है। कारण अभिकथन की सही व्याख्या करता है। / For disjoint sets, the intersection is (0), so the union is the direct sum. The reason correctly explains the assertion.
किसी वेन आरेख में (n\(A\cup B\cup C\)=190), (n(\(A\cup B\cup C\)')=25), और ठीक दो समुच्चयों में (54) तत्व हैं। यदि (n(U)) पूछा जाए, तो उत्तर क्या होगा?
सार्वत्रिक समुच्चय (U) संघ और उसके बाहर वाले भाग का योग है, इसलिए (190+25=215) है। ठीक दो वाला आंकड़ा इस प्रश्न में अनावश्यक है। / The universal set (U) is the sum of the union and the outside region, so (190+25=215). The exactly-two data is extra here.
एक सर्वे में (n(U)=240), (n(A)=112), (n(B)=104), (n(C)=93), (n\(A\cap B\)=46), (n\(B\cap C\)=38), (n\(C\cap A\)=35) और (n\(A\cap B\cap C\)=17) है। किसी भी समुच्चय में न आने वालों की संख्या कितनी है?
(n\(A\cup B\cup C\)=112+104+93-46-38-35+17=207), इसलिए बाहर (240-207=33) है। पहले संघ निकालकर पूरक लें। / (n\(A\cup B\cup C\)=112+104+93-46-38-35+17=207), so outside is (240-207=33). First find the union and then take the complement.
यदि (n(A)=92), (n(B)=85), (n(C)=78), (n\(A\cap B\)=37), (n\(B\cap C\)=34), (n\(C\cap A\)=29) और (n\(A\cap B\cap C\)=16) है, तो केवल \(B\cap C\) में कितने तत्व हैं?
केवल \(B\cap C\) में (34-16=18) तत्व होंगे। दो-समुच्चय प्रतिच्छेद में तीनों वाला केंद्र भी शामिल होता है। / Only \(B\cap C\) has (34-16=18) elements. A two-set intersection also includes the central three-set region.
यदि (n(A)=86), (n(B)=79), (n(C)=71), (n\(A\cap B\)=34), (n\(B\cap C\)=29), (n\(C\cap A\)=27) और (n\(A\cap B\cap C\)=12) है, तो केवल (C) में कितने तत्व हैं?
केवल (C=71-29-27+12=27) है। दो साझा भाग घटाने पर केंद्र दो बार घटता है, इसलिए उसे जोड़ें। / Only (C=71-29-27+12=27). When two common parts are subtracted, the centre is removed twice, so add it back.
(n\(A\cup B\cup C\)=15+12+9-3-3-3+3=30), इसलिए पूरक (180-30=150) है। गुणजों वाले प्रश्न में लघुत्तम समापवर्त्य से साझा भाग निकालें। / (n\(A\cup B\cup C\)=15+12+9-3-3-3+3=30), so the complement is (180-30=150). In multiples questions, use the least common multiple for common parts.
वेन आरेख में केवल (A) में (26), केवल (B) में (31), केवल (C) में (24), केवल \(A\cap B\) में (14), केवल \(B\cap C\) में (16), केवल \(C\cap A\) में (12) और तीनों में (9) तत्व हैं। ठीक एक समुच्चय में आने वाले तत्व कितने हैं?
ठीक एक में केवल अलग-अलग एकल भाग आते हैं, इसलिए (26+31+24=81) है। दो या तीन समुच्चयों वाले भाग न जोड़ें। / Exactly one includes only the single-only regions, so (26+31+24=81). Do not add regions belonging to two or three sets.
संघ (=) ठीक एक (+) ठीक दो (+) तीनों है, इसलिए तीनों (162-73-56=33) हैं। क्षेत्र आधारित प्रश्न में अलग भागों को अलग रखें। / The union equals exactly one plus exactly two plus all three, so all three is (162-73-56=33). Keep separate regions distinct in region-based questions.
संघ तीन अलग भागों का योग है, इसलिए साझा भाग (126-48-41=37) है। वेन आरेख में हर क्षेत्र एक बार गिनें। / The union is the sum of three disjoint parts, so the common part is (126-48-41=37). Count each Venn region once.
(n(A)=160-63=97) और (n(B)=160-72=88), इसलिए संघ (97+88-39=146) है। पूरक से मूल संख्या निकालना पहला कदम है। / (n(A)=160-63=97) and (n(B)=160-72=88), so the union is (97+88-39=146). First get the original sizes from complements.
चारों अलग क्षेत्रों का योग (36+44+25+18=123) है। सार्वत्रिक समुच्चय में अंदर और बाहर दोनों क्षेत्र आते हैं। / The sum of the four disjoint regions is (36+44+25+18=123). The universal set includes both inside and outside regions.
संघ (68+57-32=93) है, इसलिए बाहर (110-93=17) है। न दोनों का अर्थ संघ का पूरक होता है। / The union is (68+57-32=93), so outside is (110-93=17). Neither means the complement of the union.
पहले (n\(A\cap B\)=72+67-101=38), फिर (n\(A\triangle B\)=101-38=63) है। सममित अंतर में साझा भाग शामिल नहीं होता। / First (n\(A\cap B\)=72+67-101=38), then (n\(A\triangle B\)=101-38=63). The symmetric difference excludes the common part.
(B-A=91-52=39) और (B'=140-91=49), ये अलग क्षेत्र हैं, इसलिए योग (88) है। उपसमुच्चय आरेख में क्षेत्रों को अलग पहचानें। / (B-A=91-52=39) and (B'=140-91=49), and these regions are disjoint, so the sum is (88). Identify separate regions in subset diagrams.
असंबद्ध समुच्चयों का संघ (57+46=103) है, इसलिए पूरक (125-103=22) है। असंबद्ध होने पर प्रतिच्छेद (0) होता है। / The union of disjoint sets is (57+46=103), so the complement is (125-103=22). Disjoint sets have intersection (0).
तीन गतिविधियों में (n(A)=84), (n(B)=77), (n(C)=73), (n\(A\cap B\)=33), (n\(B\cap C\)=28), (n\(C\cap A\)=31) और (n\(A\cap B\cap C\)=13) है। केवल \(A\cap C\) में कितने विद्यार्थी हैं?
केवल \(A\cap C\) में (31-13=18) होंगे। दो-समुच्चय प्रतिच्छेद में केंद्र भी शामिल रहता है। / Only \(A\cap C\) has (31-13=18). A two-set intersection includes the centre also.
(106=(6x+5)+(5x+9)-(3x+4)=8x+10), इसलिए (x=12) है। बीजगणितीय वेन प्रश्न में संघ का सूत्र लगाएँ। / (106=(6x+5)+(5x+9)-(3x+4)=8x+10), so (x=12). In algebraic Venn questions, apply the union formula.
संघ (4x+1+3x+6+2x+5=9x+12=120), इसलिए (x=12) है। अलग वेन क्षेत्रों का योग सीधे संघ देता है। / The union is (4x+1+3x+6+2x+5=9x+12=120), so (x=12). The sum of disjoint Venn regions directly gives the union.
(6) के गुणज (16), (10) के गुणज (9), और (30) के गुणज (3) हैं, इसलिए संघ (16+9-3=22) नहीं बल्कि (22) होगा; विकल्प मिलाते समय गणना जाँचें। / Multiples of (6) are (16), multiples of (10) are (9), and multiples of (30) are (3), so the union is (16+9-3=22). Check calculation before matching options.
(6) के गुणज (16), (10) के गुणज (9), और साझा गुणज (3) हैं, इसलिए (n\(A\cup B\)=22) है। साझा गुणजों को एक बार घटाएँ। / Multiples of (6) are (16), multiples of (10) are (9), and common multiples are (3), so (n\(A\cup B\)=22). Subtract common multiples once.
साझा गुणज (\operatorname{lcm}(7,15)=105) के गुणज होंगे, और (105) तक केवल (105) है। इसलिए संख्या (1) है। / Common multiples are multiples of (\operatorname{lcm}(7,15)=105), and up to (105) only (105) appears. Hence the count is (1).
(8) के गुणज (15), (12) के गुणज (10), और (24) के गुणज (5) हैं, इसलिए संघ (20) और पूरक (100) नहीं बल्कि (120-20=100) है। विकल्पों से पहले फिर जाँचें। / Multiples of (8) are (15), multiples of (12) are (10), and multiples of (24) are (5), so the union is (20) and the complement is (120-20=100). Recheck before using options.
(n\(A\cup B\)=15+10-5=20), इसलिए पूरक (120-20=100) है। पहले संघ निकालें फिर (U) से घटाएँ। / (n\(A\cup B\)=15+10-5=20), so the complement is (120-20=100). First find the union and then subtract from (U).
(5) अभाज्य भी है और (5) का गुणज भी है, इसलिए प्रतिच्छेद ({5}) है। दोनों शर्तें साथ जाँचें। / (5) is both prime and a multiple of (5), so the intersection is ({5}). Check both conditions together.
सम वर्ग (4,16,36,64) हैं, इसलिए (n\(A\cap B\)=4) है। वर्गों की सूची बनाकर शर्त लगाएँ। / The even squares are (4,16,36,64), so (n\(A\cap B\)=4). List the squares and then apply the condition.
न्यूनतम प्रतिच्छेद (58+49-90=17) है। योग (U) से अधिक हो तो उतना अतिव्यापन अनिवार्य है। / The minimum intersection is (58+49-90=17). If the sum exceeds (U), that much overlap is necessary.
प्रतिच्छेद छोटे समुच्चय से बड़ा नहीं हो सकता, इसलिए अधिकतम (63) है। अधिकतम स्थिति में छोटा समुच्चय बड़े के अंदर हो सकता है। / The intersection cannot exceed the smaller set, so the maximum is (63). In the maximum case, the smaller set may lie inside the larger set.
संघ का न्यूनतम मान बड़े समुच्चय के बराबर हो सकता है, यानी (109)। ऐसा तब होगा जब छोटा समुच्चय बड़े में समा जाए। / The minimum union can equal the larger set, which is (109). This happens when the smaller set lies inside the larger set.
\(A'\cap B\) का अर्थ (B-A) है, इसलिए (53-22=31) है। इसे केवल (B) वाले क्षेत्र की तरह देखें। / \(A'\cap B\) means (B-A), so (53-22=31). View it as the only (B) region.
(n\(A\cap B\)=69-28=41), इसलिए (n\(A\cup B\)=69+74-41=102) है। पहले साझा भाग खोजें। / (n\(A\cap B\)=69-28=41), so (n\(A\cup B\)=69+74-41=102). Find the common part first.
केवल दोनों ओर के भागों का योग (115-42=73) है। यही \(A\triangle B\) की संख्या भी है। / The sum of the two only-side regions is (115-42=73). This is also the size of \(A\triangle B\).
A. (C) का वह भाग जो (A) और (B) दोनों से बाहर है/The part of (C) outside both (A) and (B)
Explanation
Simple Explanation
(\(A\cup B\)') (A) और (B) के बाहर का भाग है, और (C) से प्रतिच्छेद लेने पर केवल (C) वाला बाहरी भाग मिलता है। / (\(A\cup B\)') is outside (A) and (B), and intersecting with (C) gives the part of (C) outside both.
(A-\(B\cup C\)) का अर्थ (A) में रहकर (B) और (C) से बाहर होना है। इसलिए यह \(A\cap B'\cap C'\) है। / (A-\(B\cup C\)) means being in (A) while outside (B) and (C). Therefore it is \(A\cap B'\cap C'\).
यदि (A) (B) के अंदर है, तो (B) के बाहर का हर तत्व (A) के बाहर भी होगा। इसलिए \(B'\subseteq A'\) सही है। / If (A) is inside (B), every element outside (B) is also outside (A). Hence \(B'\subseteq A'\) is true.
पहले \(A\subseteq B\) और \(B\subseteq C\) मिलता है, इसलिए \(A\subseteq C\)। अतः \(A\cap C=A\) है। / First \(A\subseteq B\) and \(B\subseteq C\), so \(A\subseteq C\). Therefore, \(A\cap C=A\).
असंबद्ध होने पर \(A\cup B\) से (A) हटाने पर पूरा (B) बचता है। इसलिए उत्तर (B) है। / When the sets are disjoint, removing (A) from \(A\cup B\) leaves the whole of (B). Hence the answer is (B).
संघ (B) जितना ही है, इसलिए (A) कोई नया क्षेत्र नहीं जोड़ता। इसका अर्थ \(A\subseteq B\) है। / The union is the same as (B), so (A) adds no new region. This means \(A\subseteq B\).
प्रतिच्छेद शून्य है, इसलिए सममित अंतर पूरा संघ (39+48=87) है। असंबद्ध समुच्चयों में कोई साझा भाग हटाना नहीं पड़ता। / The intersection is zero, so the symmetric difference is the whole union (39+48=87). For disjoint sets, no common part needs removal.
कम से कम एक (150-28=122) है, इसलिए दोनों (83+69-122=30) हैं। पहले संघ को बाहर वाले भाग से निकालें। / At least one is (150-28=122), so both is (83+69-122=30). First get the union from the outside part.
एक परीक्षा में (180) विद्यार्थियों में (97) ने प्रश्न (A), (88) ने प्रश्न (B), (82) ने प्रश्न (C), (41) ने (A) और (B), (36) ने (B) और (C), (34) ने (C) और (A), तथा (18) ने तीनों हल किए। कम से कम एक प्रश्न हल करने वाले कितने हैं?
कम से कम एक (97+88+82-41-36-34+18=174) है। तीन समुच्चयों में केंद्र को अंत में जोड़ना जरूरी है। / At least one is (97+88+82-41-36-34+18=174). In three sets, the centre must be added at the end.
यदि केवल \(A\cap B\) में (19), केवल \(B\cap C\) में (17), केवल \(C\cap A\) में (21) और \(A\cap B\cap C\) में (11) तत्व हैं, तो कम से कम दो समुच्चयों में आने वाले तत्व कितने हैं?
कम से कम दो में केवल दो-दो वाले भाग और केंद्र शामिल हैं, इसलिए (19+17+21+11=68) है। केंद्र को एक बार गिनें। / At least two includes the pairwise-only regions and the centre, so (19+17+21+11=68). Count the centre once.
यदि केवल (A) में (38), केवल (B) में (35), केवल (C) में (29), ठीक दो समुच्चयों में कुल (47) और तीनों में (14) तत्व हैं, तो (n\(A\cup B\cup C\)) कितना है?
संघ सभी अलग क्षेत्रों का योग (38+35+29+47+14=163) है। अलग वेन क्षेत्रों को दोबारा न जोड़ें। / The union is the sum of all disjoint regions (38+35+29+47+14=163). Do not add separate Venn regions twice.
सूत्र में (151=82+77+69-32-28-25+x), इसलिए (x=8) है। अज्ञात केंद्र को (x) मानकर समीकरण बनाएं। / Using (151=82+77+69-32-28-25+x), we get (x=8). Let the unknown centre be (x) and form an equation.
(A\cap\(B\cup C\)) में केवल \(A\cap B\), केवल \(A\cap C\) और केंद्र आते हैं, इसलिए केंद्र (52-23-18=11) है। / (A\cap\(B\cup C\)) includes only \(A\cap B\), only \(A\cap C\), and the centre, so the centre is (52-23-18=11).
परस्पर असंबद्ध होने पर संघ (27+34+41=102) है, इसलिए पूरक (125-102=23) है। साझा भाग घटाने की जरूरत नहीं होती। / For mutually disjoint sets, the union is (27+34+41=102), so the complement is (125-102=23). No common part needs to be subtracted.
श्रृंखला में संघ सबसे बड़ा समुच्चय (C) है, इसलिए उसका पूरक (C') होगा। पहले संघ को सरल करें। / In the chain, the union is the largest set (C), so its complement is (C'). Simplify the union first.
(A-B=0) से \(A\subseteq B\) और (B-C=0) से \(B\subseteq C\) मिलता है। इसलिए \(A\subseteq C\) अवश्य सही है। / (A-B=0) gives \(A\subseteq B\), and (B-C=0) gives \(B\subseteq C\). Therefore, \(A\subseteq C\) must be true.
सूत्र से (184=86+91+88-S+23), इसलिए (S=104) है। यहाँ (S) तीनों युग्म प्रतिच्छेदों का योग है। / Using the formula (184=86+91+88-S+23), so (S=104). Here (S) is the sum of the three pairwise intersections.
A. नहीं, साझा क्षेत्रों की जानकारी चाहिए/No, information about common regions is needed
Explanation
Simple Explanation
इन अंतरों से सभी वेन क्षेत्र नहीं मिलते। संघ निकालने के लिए केवल और साझा दोनों क्षेत्रों की जानकारी चाहिए। / These differences do not determine all Venn regions. To find the union, information about both only-regions and common regions is needed.
A. अभिकथन और कारण दोनों सही हैं और कारण सही व्याख्या है/Both assertion and reason are true, and the reason is the correct explanation
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Simple Explanation
यह डी मॉर्गन नियम है और कारण उसके वेन आरेखीय अर्थ को सही बताता है। पूरक वाले प्रश्नों में बाहर वाले क्षेत्र पर ध्यान दें। / This is De Morgan's law, and the reason correctly explains its Venn meaning. In complement questions, focus on the outside region.
A. अभिकथन और कारण दोनों सही हैं और कारण सही व्याख्या है/Both assertion and reason are true, and the reason is the correct explanation
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Simple Explanation
दोनों सही हैं क्योंकि (A) पूरा (B) के भीतर है। उपसमुच्चय में छोटा समुच्चय प्रतिच्छेद देता है। / Both are true because (A) lies completely inside (B). In a subset relation, the smaller set gives the intersection.
किसी वेन आरेख में (n\(A\cup B\cup C\)=215), (n(\(A\cup B\cup C\)')=35), और ठीक दो समुच्चयों में (62) तत्व हैं। यदि (n(U)) पूछा जाए, तो उत्तर क्या होगा?
सार्वत्रिक समुच्चय संघ और बाहरी भाग का योग है, इसलिए (215+35=250) है। ठीक दो वाला आंकड़ा इस प्रश्न में अतिरिक्त है। / The universal set is the sum of the union and outside region, so (215+35=250). The exactly-two data is extra in this question.
