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A. शीर्ष ((2,3)) और न्यूनतम (3)/vertex ((2,3)) and minimum (3)
Explanation
Simple Explanation
(|x-2|) का न्यूनतम (0) (x=2) पर होता है इसलिए (y=3) है। परीक्षा में मापांक के अंदर को (0) रखें। / The minimum of (|x-2|) is (0) at (x=2), so (y=3). In exams, set the inside of the modulus equal to (0).
परवलय नीचे खुलता है और शीर्ष ((-4,5)) है। परीक्षा में (y=a(x-h)2+k) में शीर्ष ((h,k)) पहचानें। / The parabola opens downward and its vertex is ((-4,5)). In exams, identify the vertex ((h,k)) in (y=a(x-h)2+k).
वर्गमूल के लिए \(7-2x\ge 0\) इसलिए \(x\le \frac{7}{2}\)। परीक्षा में वर्गमूल के अंदर की राशि अनऋणात्मक रखें। / For the square root, \(7-2x\ge 0\), so \(x\le \frac{7}{2}\). In exams, keep the expression inside the square root non-negative.
हर (x-1) शून्य होने पर (x=1) लंबवत आसमापी है और बाहरी (-2) से (y=-2) क्षैतिज आसमापी है। परीक्षा में हर और ऊर्ध्व विस्थापन दोनों देखें। / The denominator (x-1) gives vertical asymptote (x=1), and the outside (-2) gives horizontal asymptote (y=-2). In exams, check both the denominator and vertical shift.
\(x\ge 1\) पर (|x+3|=x+3) और (|x-1|=x-1) इसलिए (y=4)। परीक्षा में मापांक को अंतराल के अनुसार खोलें। / For \(x\ge 1\), (|x+3|=x+3) and (|x-1|=x-1), so (y=4). In exams, open modulus expressions interval-wise.
हर \(x\in[-2,-1\)) के लिए सबसे बड़ा पूर्णांक (-2) है। परीक्षा में ऋणात्मक दशमलवों में नीचे वाले पूर्णांक को चुनें। / For every \(x\in[-2,-1\)), the greatest integer is (-2). In exams, for negative decimals choose the lower integer.
(x=5) पर (x-5=0) इसलिए साइनम मान (0) है। परीक्षा में साइनम में शून्य वाली स्थिति अलग रखें। / At (x=5), (x-5=0), so the signum value is (0). In exams, handle the zero case separately in signum functions.
(x-2-6x+8=(x-2)(x-4)) इसलिए शून्य (x=2) और (x=4) हैं। परीक्षा में (x)-अवरोध के लिए (y=0) रखें। / Since (x-2-6x+8=(x-2)(x-4)), the zeroes are (x=2) and (x=4). In exams, set (y=0) for (x)-intercepts.
(2|x|-6=0) से (|x|=3) मिलता है इसलिए \(x=\pm3\)। परीक्षा में मापांक समीकरण में दोनों चिह्न लें। / From (2|x|-6=0), (|x|=3), so \(x=\pm3\). In exams, take both signs in modulus equations.
\(\sqrt{x+2}\ge0\) इसलिए (f(x)\ge -4)। परीक्षा में वर्गमूल का न्यूनतम (0) लेकर ऊर्ध्व विस्थापन जोड़ें। / Since \(\sqrt{x+2}\ge0\), (f(x)\ge -4). In exams, take the square-root minimum (0) and add the vertical shift.
(x-2) दाईं ओर (2) इकाई और (+1) ऊपर (1) इकाई खिसकाता है। परीक्षा में (x-a) को दाईं ओर मानें। / (x-2) shifts the graph (2) units right and (+1) shifts it (1) unit up. In exams, read (x-a) as a right shift.
समान करने पर \(x^2=2x+3\) यानी \(x^2-2x-3=0\) मिलता है। परीक्षा में प्रतिच्छेद के लिए दोनों (y)-मान बराबर रखें। / Equating gives \(x^2=2x+3\), that is \(x^2-2x-3=0\). In exams, set the two (y)-values equal for intersections.
हर (x+3) शून्य होने पर (x=-3) मिलता है। परीक्षा में पारस्परिक ग्राफ का लंबवत आसमापी हर से निकालें। / The denominator (x+3) becomes zero at (x=-3). In exams, find the vertical asymptote of a reciprocal graph from the denominator.
(2x+6=0) से (x=-3) और न्यूनतम (0) मिलता है। परीक्षा में मापांक के अंदर को (0) रखकर शीर्ष खोजें। / From (2x+6=0), (x=-3) and the minimum is (0). In exams, find the vertex by setting the inside of the modulus to (0).
\(x\in[5,6\)) होने पर \(x-2\in[3,4\)) इसलिए \(\lfloor x-2\rfloor=3\)। परीक्षा में पहले अंदर का अंतराल बदलें। / When \(x\in[5,6\)), \(x-2\in[3,4\)), so \(\lfloor x-2\rfloor=3\). In exams, first transform the inside interval.
A. केंद्र ((0,0)) और त्रिज्या (3) वाला वृत्त/circle with centre ((0,0)) and radius (3)
Explanation
Simple Explanation
वर्ग करने पर \(x^2+y^2=9\) और \(y\ge0\) मिलता है। परीक्षा में \(\sqrt{r^2-x^2}\) को ऊपरी अर्धवृत्त पहचानें। / Squaring gives \(x^2+y^2=9\) with \(y\ge0\). In exams, identify \(\sqrt{r^2-x^2}\) as the upper semicircle.
(x<0) पर (|x|=-x) इसलिए (f(x)=-x-x=-2x)। परीक्षा में मापांक को चिह्न के अनुसार खोलें। / For (x<0), (|x|=-x), so (f(x)=-x-x=-2x). In exams, open modulus according to the sign.
(x)-अक्ष के लिए \(x^3-8=0\) इसलिए (x=2)। परीक्षा में घन समीकरण में वास्तविक मूल ध्यान से निकालें। / For the (x)-axis, \(x^3-8=0\), so (x=2). In exams, find the real root of a cubic carefully.
\(\frac{x}{|x|}=1\) जब (x>0) और (-1) जब (x<0) होता है। परीक्षा में (x=0) को प्रांत से हटाना न भूलें। / \(\frac{x}{|x|}=1\) for (x>0) and (-1) for (x<0). In exams, remember to exclude (x=0) from the domain.
\(\sqrt{x-1}\ge0\) और सबसे छोटा मान (0) (x=1) पर है इसलिए \(y\le3\)। परीक्षा में ऋणात्मक वर्गमूल वाले ग्राफ का अधिकतम आरंभिक बिंदु पर देखें। / Since \(\sqrt{x-1}\ge0\) and its least value is (0) at (x=1), \(y\le3\). In exams, for a negative square-root graph, check the starting point for maximum.
सममिति अक्ष \(x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2}=-2\) है। परीक्षा में द्विघात ग्राफ की अक्ष सूत्र से निकालें। / The axis of symmetry is \(x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2}=-2\). In exams, use the formula for the axis of a quadratic graph.
अंश और हर की घात समान है इसलिए अग्र गुणांकों का अनुपात \(\frac{2}{1}=2\) है। परीक्षा में समान घातों पर अग्र गुणांक का अनुपात लें। / The degrees of numerator and denominator are equal, so the ratio of leading coefficients is \(\frac{2}{1}=2\). In exams, use the ratio of leading coefficients for equal degrees.
\(\lfloor3.1\rfloor+1=4\) इसलिए ((3.1,3)) ग्राफ पर नहीं है। परीक्षा में बिंदु जांचते समय पहले (x) का महत्तम पूर्णांक निकालें। / \(\lfloor3.1\rfloor+1=4\), so ((3.1,3)) is not on the graph. In exams, first find the greatest integer of (x) while checking a point.
दो बिंदुओं (4) और (-2) के बीच दूरी (6) है इसलिए योग का न्यूनतम (6) है। परीक्षा में (|x-a|+|x-b|) का न्यूनतम (|a-b|) याद रखें। / The distance between (4) and (-2) is (6), so the minimum sum is (6). In exams, remember the minimum of (|x-a|+|x-b|) is (|a-b|).
\(x^3=x\) से (x(x-1)(x+1)=0) मिलता है। परीक्षा में प्रतिच्छेद के लिए दोनों फलनों को बराबर करें। / From \(x^3=x\), we get (x(x-1)(x+1)=0). In exams, equate the two functions for intersections.
(|x+1|) का न्यूनतम (0) (x=-1) पर है इसलिए (y=6) अधिकतम है। परीक्षा में ऋणात्मक गुणक वाले मापांक में शीर्ष अधिकतम होता है। / The minimum of (|x+1|) is (0) at (x=-1), so (y=6) is maximum. In exams, a modulus graph with a negative multiplier has its maximum at the vertex.
\(\sqrt{x^2}=|x|\) होता है सभी वास्तविक (x) के लिए। परीक्षा में वर्गमूल और वर्ग साथ हों तो मापांक याद रखें। / \(\sqrt{x^2}=|x|\) for all real (x). In exams, remember modulus when square root and square appear together.
\(x^2+1\) सम फलन है और इसका न्यूनतम (1) है इसलिए (x)-अक्ष नहीं कटता। परीक्षा में सममिति और न्यूनतम दोनों जांचें। / \(x^2+1\) is an even function and its minimum is (1), so it does not cut the (x)-axis. In exams, check both symmetry and minimum value.
हर (|x|) (x=0) पर शून्य हो जाता है इसलिए (0) हटता है। परीक्षा में हर को शून्य बनाने वाला मान प्रांत से निकालें। / The denominator (|x|) becomes zero at (x=0), so (0) is excluded. In exams, remove values that make the denominator zero.
(x+5) बाईं ओर (5) इकाई और (-2) नीचे खिसकाता है। परीक्षा में (x+a) को बाईं ओर विस्थापन समझें। / (x+5) shifts the graph (5) units left and (-2) shifts it downward. In exams, read (x+a) as a left shift.
\(\lfloor2.3\rfloor=2\) और \(\lfloor-2.3\rfloor=-3\) इसलिए मान (5) है। परीक्षा में ऋणात्मक महत्तम पूर्णांक में गलती न करें। / \(\lfloor2.3\rfloor=2\) and \(\lfloor-2.3\rfloor=-3\), so the value is (5). In exams, avoid mistakes with greatest integers of negative numbers.
(x>2) पर दोनों (x+2) और (x-2) धनात्मक हैं इसलिए दोनों साइनम मान (1) हैं। परीक्षा में हर साइनम पद का चिह्न अलग जांचें। / For (x>2), both (x+2) and (x-2) are positive, so both signum values are (1). In exams, check the sign of each signum term separately.
हर (x-2-9=(x-3)(x+3)) शून्य होने पर \(x=\pm3\) मिलता है। परीक्षा में हर के शून्यों से लंबवत आसमापी खोजें। / The denominator (x-2-9=(x-3)(x+3)) is zero at \(x=\pm3\). In exams, find vertical asymptotes from the zeroes of the denominator.
\(x\ge2\) पर (|x|=x) और (|x-2|=x-2) इसलिए (y=2)। परीक्षा में मापांक को सही अंतराल में खोलें। / For \(x\ge2\), (|x|=x) and (|x-2|=x-2), so (y=2). In exams, open modulus correctly in the given interval.
A. प्रांत \([-1,\infty\)) और परिसर (\(-\infty,0]\)/domain \([-1,\infty\)) and range (\(-\infty,0]\)
Explanation
Simple Explanation
\(x+1\ge0\) से प्रांत \([-1,\infty\)) है और ऋण चिह्न से \(y\le0\)। परीक्षा में वर्गमूल और बाहरी ऋण दोनों का प्रभाव देखें। / From \(x+1\ge0\), the domain is \([-1,\infty\)), and the negative sign gives \(y\le0\). In exams, check both the square root and the outside negative sign.
\(|x^2-4|=0\) तब \(x^2-4=0\) होता है इसलिए \(x=\pm2\)। परीक्षा में मापांक शून्य तभी होता है जब अंदर की राशि शून्य हो। / \(|x^2-4|=0\) when \(x^2-4=0\), so \(x=\pm2\). In exams, modulus is zero only when the inside expression is zero.
A. (x=0) और (x=1) और (x=-1)/(x=0) and (x=1) and (x=-1)
Explanation
Simple Explanation
समीकरण \(x^2=|x|\) से \(|x|^2=|x|\) मिलता है इसलिए (|x|=0) या (|x|=1)। परीक्षा में \(x^2=|x|^2\) का उपयोग करें। / The equation \(x^2=|x|\) gives \(|x|^2=|x|\), so (|x|=0) or (|x|=1). In exams, use \(x^2=|x|^2\).
हर (x+2=0) से (x=-2) और समान घातों के अग्र गुणांकों का अनुपात (1) है। परीक्षा में दोनों आसमापी अलग नियम से निकालें। / The denominator (x+2=0) gives (x=-2), and the ratio of leading coefficients is (1). In exams, find the two asymptotes using different rules.
मापांक ग्राफ शीर्ष (x=3) तक घटता और फिर बढ़ता है। परीक्षा में (V)-ग्राफ का बायां भाग घटता हुआ याद रखें। / The modulus graph decreases up to the vertex (x=3) and then increases. In exams, remember the left arm of a (V)-graph is decreasing.
मान लें \(t=|x|\ge0\) तब (f=t-2-2t=(t-1)2-1) है। परीक्षा में (|x|) को नए चर की तरह लेकर न्यूनतम निकालें। / Let \(t=|x|\ge0\), then (f=t-2-2t=(t-1)2-1). In exams, use (|x|) as a new variable to find the minimum.
\(\sqrt{x}=x-2\) में \(x\ge2\) और (x=4) रखने पर दोनों (2) होते हैं। परीक्षा में वर्ग करने से पहले शर्त \(x-2\ge0\) देखें। / In \(\sqrt{x}=x-2\), \(x\ge2\), and for (x=4) both sides are (2). In exams, check \(x-2\ge0\) before squaring.
हर \(x^2+1\) का न्यूनतम (1) (x=0) पर है इसलिए भिन्न का अधिकतम (1) है। परीक्षा में हर को छोटा करने से भिन्न बड़ा होता है। / The denominator \(x^2+1\) has minimum (1) at (x=0), so the fraction has maximum (1). In exams, a smaller positive denominator gives a larger fraction.
(0=-|x-2|+4) से (|x-2|=4) इसलिए (x=-2) या (x=6)। परीक्षा में मापांक के बाद दोनों दिशाओं में दूरी जोड़ें। / From (0=-|x-2|+4), (|x-2|=4), so (x=-2) or (x=6). In exams, add the distance in both directions after modulus.
(x)-अक्ष में परावर्तन से \(y=-x^2\) और (3) ऊपर से \(y=-x^2+3\) मिलता है। परीक्षा में परावर्तन और विस्थापन का क्रम ध्यान रखें। / Reflection in the (x)-axis gives \(y=-x^2\), and shifting (3) up gives \(y=-x^2+3\). In exams, track reflection and shift carefully.
\(\frac{1}{x^2}>0\) जब \(x\ne0\) इसलिए ग्राफ ऊपर रहता है और (x=0) पर परिभाषित नहीं। परीक्षा में हर में \(x^2\) होने पर दोनों ओर धनात्मक शाखाएं याद रखें। / \(\frac{1}{x^2}>0\) for \(x\ne0\), so the graph stays above and is undefined at (x=0). In exams, remember positive branches on both sides when \(x^2\) is in the denominator.
(-1) और (3) के बीच दोनों बिंदुओं से कुल दूरी स्थिर (4) रहती है। परीक्षा में दो मापांकों के योग को दूरी की तरह समझें। / Between (-1) and (3), the total distance from both points remains constant (4). In exams, interpret the sum of two moduli as distance.
A. बाएं से मान (2) के पास और बिंदु (3) पर मान (3)/left value near (2) and value (3) at the point
Explanation
Simple Explanation
([2,3)) पर मान (2) है लेकिन \(\lfloor3\rfloor=3\)। परीक्षा में सीढ़ीनुमा ग्राफ में बंद और खुले बिंदु ध्यान से देखें। / On ([2,3)), the value is (2), but \(\lfloor3\rfloor=3\). In exams, watch open and closed endpoints in a step graph.
\(\sqrt{|{-x}|}=\sqrt{|x|}\) इसलिए फलन सम है। परीक्षा में (f(-x)=f(x)) से (y)-अक्ष सममिति पहचानें। / Since \(\sqrt{|{-x}|}=\sqrt{|x|}\), the function is even. In exams, identify (y)-axis symmetry from (f(-x)=f(x)).
(|x-1|+2=4) से (|x-1|=2) इसलिए (x=-1) या (x=3)। परीक्षा में क्षैतिज रेखा से प्रतिच्छेद के लिए (y)-मान बराबर करें। / From (|x-1|+2=4), (|x-1|=2), so (x=-1) or (x=3). In exams, set the (y)-values equal for intersection with a horizontal line.
(0) और (2) के बीच कुल दूरी न्यूनतम (2) है और बाहर बढ़ती है। परीक्षा में दूरी वाले मापांक योग से न्यूनतम दूरी निकालें। / Between (0) and (2), the total distance has minimum (2), and it increases outside. In exams, use the distance idea for sums of moduli.
A. शीर्ष ((4,-2)) और न्यूनतम (-2)/vertex ((4,-2)) and minimum (-2)
Explanation
Simple Explanation
(|x-4|) का न्यूनतम (0) (x=4) पर होता है इसलिए (y=-2)। परीक्षा में मापांक के अंदर को (0) रखकर शीर्ष निकालें। / The minimum of (|x-4|) is (0) at (x=4), so (y=-2). In exams, set the inside of the modulus to (0) to find the vertex.
हर ((x-2)2) (x=2) पर शून्य होता है और बाहरी (3) से क्षैतिज आसमापी (y=3) मिलता है। परीक्षा में वर्ग वाले हर में भी शून्य बनाने वाला मान हटाएं। / The denominator ((x-2)2) becomes zero at (x=2), and the outside (3) gives horizontal asymptote (y=3). In exams, exclude the value that makes a squared denominator zero.
परवलय नीचे खुलता है और शीर्ष का (y)-मान (-1) है। परीक्षा में नीचे खुलने वाले परवलय का शीर्ष अधिकतम होता है। / The parabola opens downward and the vertex (y)-value is (-1). In exams, the vertex of a downward parabola gives the maximum.
वर्गमूल के लिए \(2x-5\ge0\) इसलिए \(x\ge\frac{5}{2}\)। परीक्षा में वर्गमूल के अंदर की राशि अनऋणात्मक रखें। / For the square root, \(2x-5\ge0\), so \(x\ge\frac{5}{2}\). In exams, keep the expression inside the square root non-negative.
हर (x+2) शून्य होने पर (x=-2) है और बाहरी (3) से क्षैतिज आसमापी (y=3) है। परीक्षा में हर और ऊर्ध्व विस्थापन दोनों जांचें। / The denominator (x+2) is zero at (x=-2), and the outside (3) gives horizontal asymptote (y=3). In exams, check both denominator and vertical shift.
\(x\ge5\) पर (|x-5|=x-5) और (|x+1|=x+1) इसलिए (y=-6)। परीक्षा में मापांक को अंतराल के अनुसार खोलें। / For \(x\ge5\), (|x-5|=x-5) and (|x+1|=x+1), so (y=-6). In exams, open modulus according to the interval.
\(x\in[-3,-2\)) होने पर \(x+1\in[-2,-1\)) इसलिए \(\lfloor x+1\rfloor=-2\)। परीक्षा में पहले अंदर का अंतराल बदलें। / When \(x\in[-3,-2\)), \(x+1\in[-2,-1\)), so \(\lfloor x+1\rfloor=-2\). In exams, first transform the inside interval.
(x>2) पर (2-x<0) इसलिए साइनम मान (-1) है। परीक्षा में साइनम में अंदर की राशि का चिह्न देखें। / For (x>2), (2-x<0), so the signum value is (-1). In exams, check the sign of the inside expression.
(x-2-8x+12=(x-2)(x-6)) इसलिए (x=2) और (x=6) हैं। परीक्षा में (x)-अवरोध के लिए (y=0) रखें। / Since (x-2-8x+12=(x-2)(x-6)), the values are (x=2) and (x=6). In exams, set (y=0) for (x)-intercepts.
(3|x+2|-9=0) से (|x+2|=3) मिलता है। परीक्षा में मापांक समीकरण में दोनों स्थितियां लें। / From (3|x+2|-9=0), we get (|x+2|=3). In exams, take both cases in a modulus equation.
\(\sqrt{x+4}\ge0\) इसलिए \(5-\sqrt{x+4}\le5\)। परीक्षा में ऋणात्मक वर्गमूल के कारण ग्राफ नीचे जाता है। / Since \(\sqrt{x+4}\ge0\), \(5-\sqrt{x+4}\le5\). In exams, a negative square-root term makes the graph go downward.
B. (3) बाईं ओर, (2) गुना ऊर्ध्व खिंचाव, (1) नीचे/(3) left, vertical stretch by (2), (1) down
Explanation
Simple Explanation
(x+3) बाईं ओर (3) इकाई, बाहरी (2) ऊर्ध्व खिंचाव और (-1) नीचे खिसकाता है। परीक्षा में अंदर और बाहर के परिवर्तनों को अलग पढ़ें। / (x+3) shifts (3) units left, outside (2) vertically stretches, and (-1) shifts down. In exams, read inside and outside transformations separately.
समान करने पर \(x^2-1=2x+2\) यानी \(x^2-2x-3=0\) मिलता है। परीक्षा में प्रतिच्छेद के लिए दोनों (y)-मान बराबर करें। / Equating gives \(x^2-1=2x+2\), that is \(x^2-2x-3=0\). In exams, set the two (y)-values equal for intersections.
हर (x-4) शून्य होने पर (x=4) मिलता है। परीक्षा में पारस्परिक ग्राफ का लंबवत आसमापी हर से निकालें। / The denominator (x-4) becomes zero at (x=4). In exams, find the vertical asymptote of a reciprocal graph from the denominator.
(3x-12=0) से (x=4) और न्यूनतम (0) मिलता है। परीक्षा में मापांक के अंदर को (0) रखकर शीर्ष खोजें। / From (3x-12=0), (x=4) and the minimum is (0). In exams, find the vertex by setting the inside of the modulus to (0).
इस अंतराल में \(2x\in[3,4\)) से शुरू होकर (4) के बाद मान (4) भी आता है क्योंकि (2x<4) नहीं रहता। परीक्षा में अंदर के अंतराल को उपखंडों में बांटें। / In this interval, (2x) starts in ([3,4)) and also reaches values giving (4) after \(2x\ge4\). In exams, split the inside interval into subintervals.
A. केंद्र ((0,0)) और त्रिज्या (4) वाला वृत्त/circle with centre ((0,0)) and radius (4)
Explanation
Simple Explanation
वर्ग करने पर \(x^2+y^2=16\) और \(y\ge0\) मिलता है। परीक्षा में \(\sqrt{r^2-x^2}\) को ऊपरी अर्धवृत्त पहचानें। / Squaring gives \(x^2+y^2=16\) with \(y\ge0\). In exams, identify \(\sqrt{r^2-x^2}\) as an upper semicircle.
(x)-अक्ष के लिए \(x^3+27=0\) इसलिए (x=-3)। परीक्षा में घन समीकरण का वास्तविक मूल ध्यान से निकालें। / For the (x)-axis, \(x^3+27=0\), so (x=-3). In exams, find the real root of a cubic carefully.
\(\frac{|x|}{x}=1\) जब (x>0) और (-1) जब (x<0) होता है। परीक्षा में (x=0) को प्रांत से हटाएं। / \(\frac{|x|}{x}=1\) for (x>0) and (-1) for (x<0). In exams, exclude (x=0) from the domain.
\(\sqrt{x-2}\) का न्यूनतम (0) (x=2) पर है इसलिए (y=4)। परीक्षा में ऋणात्मक वर्गमूल ग्राफ का अधिकतम आरंभिक बिंदु पर होता है। / The minimum of \(\sqrt{x-2}\) is (0) at (x=2), so (y=4). In exams, a negative square-root graph has maximum at the starting point.
सममिति अक्ष \(x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-12}{4}=3\) है। परीक्षा में द्विघात ग्राफ की अक्ष सूत्र से निकालें। / The axis of symmetry is \(x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-12}{4}=3\). In exams, use the axis formula for a quadratic graph.
अंश और हर की घात समान है इसलिए अग्र गुणांकों का अनुपात \(\frac{5}{2}\) है। परीक्षा में समान घातों पर अग्र गुणांक का अनुपात लें। / The degrees of numerator and denominator are equal, so the ratio of leading coefficients is \(\frac{5}{2}\). In exams, use the ratio of leading coefficients for equal degrees.
\(\lfloor3.8\rfloor-2=1\) इसलिए ((3.8,0)) ग्राफ पर नहीं है। परीक्षा में पहले (x) का महत्तम पूर्णांक निकालें। / \(\lfloor3.8\rfloor-2=1\), so ((3.8,0)) is not on the graph. In exams, first find the greatest integer of (x).
दो बिंदुओं (7) और (2) के बीच दूरी (5) है इसलिए योग का न्यूनतम (5) है। परीक्षा में (|x-a|+|x-b|) का न्यूनतम (|a-b|) याद रखें। / The distance between (7) and (2) is (5), so the minimum sum is (5). In exams, remember the minimum of (|x-a|+|x-b|) is (|a-b|).
\(x^3=4x\) से (x\(x^2-4\)=0) मिलता है। परीक्षा में प्रतिच्छेद के लिए दोनों फलनों को बराबर करें। / From \(x^3=4x\), we get (x\(x^2-4\)=0). In exams, equate the two functions for intersections.
(|x-2|) का न्यूनतम (0) (x=2) पर है इसलिए (y=9) अधिकतम है। परीक्षा में ऋणात्मक गुणक वाले मापांक में शीर्ष अधिकतम होता है। / The minimum of (|x-2|) is (0) at (x=2), so (y=9) is maximum. In exams, a modulus graph with a negative multiplier has maximum at the vertex.
(\sqrt{(x-1)2}=|x-1|) होता है। परीक्षा में वर्गमूल और वर्ग साथ हों तो मापांक का उपयोग करें। / (\sqrt{(x-1)2}=|x-1|). In exams, use modulus when square root and square appear together.
\(x^2+2\) सम फलन है और इसका न्यूनतम (2) है। परीक्षा में सममिति के लिए (f(-x)=f(x)) जांचें। / \(x^2+2\) is even and its minimum is (2). In exams, check (f(-x)=f(x)) for symmetry.
हर (|x-1|) (x=1) पर शून्य हो जाता है इसलिए (1) हटता है। परीक्षा में हर को शून्य बनाने वाला मान प्रांत से निकालें। / The denominator (|x-1|) becomes zero at (x=1), so (1) is excluded. In exams, remove values that make the denominator zero.
(x-6) दाईं ओर (6) इकाई और (+4) ऊपर खिसकाता है। परीक्षा में (x-a) को दाईं ओर विस्थापन समझें। / (x-6) shifts the graph (6) units right and (+4) shifts it up. In exams, read (x-a) as a right shift.
\(\lfloor1.7\rfloor=1\) और \(\lfloor-1.7\rfloor=-2\) इसलिए मान (-1) है। परीक्षा में ऋणात्मक महत्तम पूर्णांक में गलती न करें। / \(\lfloor1.7\rfloor=1\) and \(\lfloor-1.7\rfloor=-2\), so the value is (-1). In exams, avoid mistakes with greatest integers of negative numbers.
(1<x<4) पर (\operatorname{sgn}(x-1)=1) और (\operatorname{sgn}(x-4)=-1) है। परीक्षा में हर साइनम पद का चिह्न अलग जांचें। / For (1<x<4), (\operatorname{sgn}(x-1)=1) and (\operatorname{sgn}(x-4)=-1). In exams, check the sign of each signum term separately.
हर (x-2-4x+3=(x-1)(x-3)) शून्य होने पर (x=1) और (x=3) हैं। परीक्षा में हर के शून्यों से लंबवत आसमापी खोजें। / The denominator (x-2-4x+3=(x-1)(x-3)) is zero at (x=1) and (x=3). In exams, find vertical asymptotes from the zeroes of the denominator.
\(x\ge4\) पर (|x-1|=x-1) और (|x-4|=x-4) इसलिए (y=3)। परीक्षा में मापांक को सही अंतराल में खोलें। / For \(x\ge4\), (|x-1|=x-1) and (|x-4|=x-4), so (y=3). In exams, open modulus correctly in the given interval.
A. प्रांत \([3,\infty\)) और परिसर (\(-\infty,2]\)/domain \([3,\infty\)) and range (\(-\infty,2]\)
Explanation
Simple Explanation
\(x-3\ge0\) से प्रांत \([3,\infty\)) है और ऋण चिह्न से \(y\le2\)। परीक्षा में वर्गमूल और बाहरी ऋण दोनों का प्रभाव देखें। / From \(x-3\ge0\), the domain is \([3,\infty\)), and the negative sign gives \(y\le2\). In exams, check both the square root and the outside negative sign.
\(|x^2-9|=0\) तब \(x^2-9=0\) होता है इसलिए \(x=\pm3\)। परीक्षा में मापांक शून्य तभी होता है जब अंदर की राशि शून्य हो। / \(|x^2-9|=0\) when \(x^2-9=0\), so \(x=\pm3\). In exams, modulus is zero only when the inside expression is zero.
\(x^2=2|x|\) में (t=|x|) रखने पर \(t^2=2t\) मिलता है। परीक्षा में \(x^2=|x|^2\) का उपयोग करें। / In \(x^2=2|x|\), putting (t=|x|) gives \(t^2=2t\). In exams, use \(x^2=|x|^2\).
हर (x-5=0) से (x=5) और समान घातों के अग्र गुणांकों का अनुपात (3) है। परीक्षा में दोनों आसमापी अलग नियम से निकालें। / The denominator (x-5=0) gives (x=5), and the ratio of leading coefficients is (3). In exams, find the two asymptotes using different rules.
मापांक ग्राफ का शीर्ष (x=-4) है और उसके बाद ग्राफ बढ़ता है। परीक्षा में (V)-ग्राफ का दायां भाग बढ़ता हुआ याद रखें। / The modulus graph has vertex at (x=-4), and after that it increases. In exams, remember the right arm of a (V)-graph is increasing.
मान लें \(t=|x|\ge0\) तब (f=t-2-4t=(t-2)2-4) है। परीक्षा में (|x|) को नए चर की तरह लेकर न्यूनतम निकालें। / Let \(t=|x|\ge0\), then (f=t-2-4t=(t-2)2-4). In exams, use (|x|) as a new variable to find the minimum.
\(\sqrt{x+1}=x-1\) में \(x\ge1\) और (x=3) रखने पर दोनों (2) हैं। परीक्षा में वर्ग करने से पहले दाईं ओर अनऋणात्मक होनी चाहिए। / In \(\sqrt{x+1}=x-1\), \(x\ge1\), and at (x=3) both sides are (2). In exams, the right side must be non-negative before squaring.
हर \(x^2+4\) का न्यूनतम (4) (x=0) पर है इसलिए अधिकतम \(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\) है। परीक्षा में हर छोटा होने पर भिन्न बड़ा होता है। / The denominator \(x^2+4\) has minimum (4) at (x=0), so the maximum is \(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\). In exams, a smaller denominator makes the fraction larger.
(0=-|x+3|+5) से (|x+3|=5) इसलिए (x=-8) या (x=2)। परीक्षा में मापांक के बाद दोनों दिशाओं में दूरी जोड़ें। / From (0=-|x+3|+5), (|x+3|=5), so (x=-8) or (x=2). In exams, add the distance in both directions after modulus.
(x)-अक्ष में परावर्तन से (y=-|x|) और (2) ऊपर से (y=-|x|+2) मिलता है। परीक्षा में परावर्तन और विस्थापन को अलग लिखें। / Reflection in the (x)-axis gives (y=-|x|), and shifting (2) up gives (y=-|x|+2). In exams, write reflection and shift separately.
\(y=-\frac{1}{x}\) में (x) और (y) के चिह्न विपरीत होते हैं। परीक्षा में ऋणात्मक पारस्परिक ग्राफ को दूसरे और चौथे चतुर्थांश से जोड़ें। / In \(y=-\frac{1}{x}\), (x) and (y) have opposite signs. In exams, connect the negative reciprocal graph with the second and fourth quadrants.
(2) और (8) के बीच दोनों बिंदुओं से कुल दूरी स्थिर (6) रहती है। परीक्षा में दो मापांकों के योग को दूरी की तरह समझें। / Between (2) and (8), the total distance from both points remains constant (6). In exams, interpret the sum of two moduli as distance.
A. बाएं से मान (-2) के पास और बिंदु पर मान (-1)/left value near (-2) and value (-1) at the point
Explanation
Simple Explanation
([-2,-1)) पर मान (-2) है लेकिन \(\lfloor-1\rfloor=-1\)। परीक्षा में सीढ़ीनुमा ग्राफ के खुले और बंद बिंदु देखें। / On ([-2,-1)), the value is (-2), but \(\lfloor-1\rfloor=-1\). In exams, watch open and closed points on a step graph.
(|x-2|) में (x=2) से समान दूरी वाले मान समान (y) देते हैं। परीक्षा में (|x-a|) वाले ग्राफ की सममिति रेखा (x=a) होती है। / In (|x-2|), points equally distant from (x=2) give the same (y). In exams, the symmetry line of a (|x-a|) graph is (x=a).
(|x+2|+1=6) से (|x+2|=5) इसलिए (x=-7) या (x=3)। परीक्षा में क्षैतिज रेखा से प्रतिच्छेद के लिए (y)-मान बराबर करें। / From (|x+2|+1=6), (|x+2|=5), so (x=-7) or (x=3). In exams, set the (y)-values equal for intersection with a horizontal line.
(-3) और (1) के बीच कुल दूरी न्यूनतम (4) है और बाहर बढ़ती है। परीक्षा में दूरी वाले मापांक योग से न्यूनतम दूरी निकालें। / Between (-3) and (1), the total distance has minimum (4), and it increases outside. In exams, use the distance idea for sums of moduli.
(|x-a|+b) का शीर्ष ((a,b)) होता है। परीक्षा में पहले क्षैतिज और फिर ऊर्ध्वाधर खिसकाव पहचानें। / The vertex of (|x-a|+b) is ((a,b)). In exams, identify horizontal shift first and vertical shift next.
वर्गमूल के अंदर \(x+4\ge0\) होना चाहिए। ऐसे प्रश्नों में वर्गमूल के अंदर का भाग पहले जाँचें। / The radicand must satisfy \(x+4\ge0\). For such questions, check the expression inside the square root first.
हर शून्य होने पर (x-3=0) से (x=3) मिलता है। भिन्न वाले ग्राफ में हर को शून्य रखकर असिम्पटोट निकालें। / The denominator becomes zero when (x-3=0), so (x=3). For reciprocal graphs, set the denominator equal to zero.
((x+1)2) का न्यूनतम मान (0) है, इसलिए \(y_{\min}=-4\) है। पूर्ण वर्ग देखकर न्यूनतम मान तुरंत मिल सकता है। / The minimum of ((x+1)2) is (0), hence \(y_{\min}=-4\). A completed square often gives the minimum directly.
ऋण चिह्न के कारण ग्राफ नीचे खुलता है और अधिकतम मान (2) है। परिसर निकालते समय शीर्ष और खुलने की दिशा देखें। / The negative sign makes the graph open downward, and the maximum value is (2). For range, check the vertex and opening direction.
दाएँ खिसकाव में (x) की जगह (x-2) और ऊपर खिसकाव में (+5) जुड़ता है। ग्राफ रूपांतरण में अंदर का चिन्ह उलटा होता है। / A right shift replaces (x) by (x-2), and an upward shift adds (5). In transformations, the inside sign works oppositely.
जब (x>0), तब (|x|=x), इसलिए (y=x-x=0)। मापांक वाले ग्राफ में क्षेत्र के अनुसार परिभाषा बदलें। / When (x>0), (|x|=x), so (y=x-x=0). For modulus graphs, split the definition by intervals.
महत्तम पूर्णांक फलन में \(2\le x<3\) पर मान (2) रहता है। सीढ़ीनुमा ग्राफ में बायाँ सिरा बंद और दायाँ खुला होता है। / For the greatest integer function, the value is (2) on \(2\le x<3\). Its step graph has a closed left end and open right end.
भिन्नांश भाग हमेशा (0) से (1) से कम होता है। ध्यान रखें कि (1) परिसर में शामिल नहीं होता। / The fractional part is always from (0) up to but not including (1). Remember that (1) is not included in the range.
\(x^2=2x+3\) से \(x^2-2x-3=0\), जिसके दो वास्तविक मूल हैं। प्रतिच्छेदों की संख्या समीकरण के वास्तविक हलों से मिलती है। / Solving \(x^2=2x+3\) gives \(x^2-2x-3=0\), which has two real roots. Intersections equal the number of real solutions.
यह अभिव्यक्ति (x) की (1) और (-1) से दूरियों का योग है, जिसका न्यूनतम (2) है। दूरी वाले मापांक में बिंदुओं के बीच का अंतर उपयोगी होता है। / This expression is the sum of distances from (1) and (-1), whose minimum is (2). In distance-type modulus graphs, use the gap between fixed points.
(f(x-4)+1=(x-4)2+1), इसलिए शीर्ष ((4,1)) है। रूपांतरण को पहले समीकरण में लिखना गलती कम करता है। / Since (f(x-4)+1=(x-4)2+1), the vertex is ((4,1)). Writing the transformed equation first reduces mistakes.
\(\sqrt{x-2}\) का प्रारंभ (x=2) पर होता है और (y=3) मिलता है। वर्गमूल ग्राफ में प्रारंभिक बिंदु बहुत महत्वपूर्ण होता है। / The graph of \(\sqrt{x-2}\) starts at (x=2), giving (y=3). The starting point is crucial for square-root graphs.
\(\frac{1}{x+2}\) बहुत बड़े (|x|) पर (0) के निकट जाता है, इसलिए (y=-1)। बाहरी स्थिरांक क्षैतिज असिम्पटोट बदलता है। / For large (|x|), \(\frac{1}{x+2}\) approaches (0), so (y=-1). The outside constant shifts the horizontal asymptote.
(f(-x)=-f(x)), इसलिए ग्राफ मूलबिंदु के सापेक्ष सममित है। सममिति जाँचने के लिए (f(-x)) अवश्य निकालें। / Here (f(-x)=-f(x)), so the graph is symmetric about the origin. Always compute (f(-x)) to test symmetry.
(f(-x)=f(x)), इसलिए यह सम फलन है। सम फलन का ग्राफ (y)-अक्ष के सापेक्ष सममित होता है। / Since (f(-x)=f(x)), it is an even function. The graph of an even function is symmetric about the (y)-axis.
जब \(x\ge2\), तब (|x+2|=x+2) और (|x-2|=x-2), इसलिए मान (4) है। मापांक हटाने से पहले क्षेत्र तय करें। / When \(x\ge2\), (|x+2|=x+2) and (|x-2|=x-2), so the value is (4). Decide the interval before removing modulus signs.
(x=0) पर हर (|x|=0) हो जाता है। भिन्न में हर शून्य न हो, यह हमेशा जाँचें। / At (x=0), the denominator (|x|) becomes (0). Always check that a denominator is not zero.
(x)-अक्ष में परावर्तन करने पर (y) का चिन्ह बदलता है। इसलिए \(y=x^2\) से \(y=-x^2\) मिलता है। / Reflection in the (x)-axis changes the sign of (y). Hence \(y=x^2\) becomes \(y=-x^2\).
(y)-अवरोध के लिए (x=0) रखते हैं, इसलिए (y=-3)। अवरोधों में सही अक्ष का मान शून्य रखें। / For the (y)-intercept, put (x=0), so (y=-3). For intercepts, set the correct coordinate to zero.
\(y=\sqrt{9-x^2}\) से \(y^2=9-x^2\), इसलिए \(x^2+y^2=9\) और \(y\ge0\)। वर्गमूल के कारण केवल ऊपरी अर्धवृत्त मिलता है। / From \(y=\sqrt{9-x^2}\), we get \(x^2+y^2=9\) with \(y\ge0\). The square root gives only the upper semicircle.
\(\sqrt{x^2}=|x|\), न कि हमेशा (x)। यह सामान्य गलती बोर्ड परीक्षा में अक्सर होती है। / \(\sqrt{x^2}=|x|\), not always (x). This is a common exam mistake.
जब (x<0), तब (|x|=-x), इसलिए (f(x)=-1)। चिन्ह फलन में (x=0) अलग से हटता है। / When (x<0), (|x|=-x), so (f(x)=-1). In the sign function, (x=0) is excluded separately.
(x)-अवरोध के लिए \(|x^2-4|=0\), इसलिए \(x^2-4=0\)। मापांक शून्य तभी होता है जब अंदर का भाग शून्य हो। / For (x)-intercepts, \(|x^2-4|=0\), so \(x^2-4=0\). An absolute value is zero only when its inside is zero.
क्योंकि (f(|x|)=|x|2=x-2), इसलिए ग्राफ नहीं बदलता। यदि मूल फलन सम हो, तो (|x|) लगाने से ग्राफ समान रह सकता है। / Since (f(|x|)=|x|2=x-2), the graph does not change. If the original function is even, using (|x|) may keep the same graph.
\(-x^2\le0\), इसलिए \(3-x^2\le3\)। नीचे खुलने वाले परवलय में शीर्ष अधिकतम देता है। / Since \(-x^2\le0\), \(3-x^2\le3\). A downward-opening parabola has its maximum at the vertex.
A. यह (y)-अक्ष के सापेक्ष सममित है/It is symmetric about the (y)-axis
Explanation
Simple Explanation
(|x|) के कारण (f(-x)=f(x)), इसलिए ग्राफ (y)-अक्ष के सापेक्ष सममित है। मापांक अक्सर सममिति बनाता है। / Because of (|x|), (f(-x)=f(x)), so the graph is symmetric about the (y)-axis. Modulus often creates even symmetry.
मान लें (t=|x|), तब \(t^2=t+2\) से (t=2) मिलता है और \(x=\pm2\)। मापांक वाले समीकरण में (t=|x|) लेना उपयोगी है। / Let (t=|x|). Then \(t^2=t+2\), giving (t=2), so \(x=\pm2\). Substituting (t=|x|) helps in modulus equations.
(\frac{x-2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1), लेकिन (x=1) हटता है। ऐसे ग्राफ में छेद को न भूलें। / (\frac{x-2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1), but (x=1) is excluded. Do not forget the hole in such graphs.
(|x|-2=0) से \(x=\pm2\), अतः दूरी (4) है। (x)-अवरोध पाने के लिए (y=0) रखें। / From (|x|-2=0), \(x=\pm2\), so the distance is (4). Put (y=0) to find (x)-intercepts.
\(2^{x-1}\) बाएँ ओर (0) के निकट जाता है, इसलिए असिम्पटोट (y=3) है। बाहरी (+3) पूरे घातीय ग्राफ को ऊपर खिसकाता है। / As (x) goes left, \(2^{x-1}\) approaches (0), so the asymptote is (y=3). The outside (+3) shifts the exponential graph upward.
लघुगणक के अंदर (x+5>0) होना चाहिए, इसलिए (x>-5)। लॉग ग्राफ में अंदर का भाग सदैव धनात्मक रखें। / The logarithm input must satisfy (x+5>0), so (x>-5). For log graphs, the inside expression must be positive.
लॉग का अंदरूनी भाग (0) के पास आने पर असिम्पटोट बनती है, इसलिए (x-2=0)। लॉग ग्राफ में सीमा रेखा प्रांत की सीमा होती है। / The log graph has an asymptote where its input approaches (0), so (x-2=0). In log graphs, the boundary of the domain gives the asymptote.
\(\sin x\) का अधिकतम मान (1) होता है, जो \(x=\frac{\pi}{2}\) पर मिलता है। मानक त्रिकोणमितीय ग्राफ के मुख्य बिंदु याद रखें। / The maximum of \(\sin x\) is (1), attained at \(x=\frac{\pi}{2}\). Remember key points of standard trigonometric graphs.
\(\cos x\) का न्यूनतम मान (-1) होता है, जो \(x=\pi\) पर है। ग्राफ पढ़ते समय अधिकतम और न्यूनतम बिंदु अलग पहचानें। / The minimum of \(\cos x\) is (-1), which occurs at \(x=\pi\). When reading graphs, identify maximum and minimum points separately.
\(\tan x\) का ग्राफ हर \(\pi\) के बाद दोहराता है। अवधि वाले प्रश्नों में मानक ग्राफ सीधे याद रखें। / The graph of \(\tan x\) repeats after \(\pi\). For period questions, recall the standard graph directly.
\(\cos0=1\), इसलिए \(-\cos0=-1\)। ऋण चिह्न ग्राफ को (x)-अक्ष में परावर्तित करता है। / Since \(\cos0=1\), \(-\cos0=-1\). The negative sign reflects the graph in the (x)-axis.
A. \(\frac{\pi}{4}\) दाएँ खिसका/Shifted \(\frac{\pi}{4}\) right
Explanation
Simple Explanation
\(x-\frac{\pi}{4}\) अंदर है, इसलिए ग्राफ \(\frac{\pi}{4}\) दाएँ खिसकता है। अंदर वाले रूपांतरण का दिशा-चिह्न उलटा समझें। / Because \(x-\frac{\pi}{4}\) is inside, the graph shifts \(\frac{\pi}{4}\) to the right. Inner transformations move opposite to the sign.
यह (-1) और (3) से दूरियों का योग है, जो इनके बीच स्थिर न्यूनतम रहता है। दो बिंदुओं के बीच मापांक दूरी का योग न्यूनतम होता है। / It is the sum of distances from (-1) and (3), which stays minimum between them. The sum of distances to two points is minimized between those points.
A. वह (x)-अक्ष के ऊपर परावर्तित होगा/It is reflected above the (x)-axis
Explanation
Simple Explanation
(|f(x)|) ऋणात्मक (y)-मानों को धनात्मक बना देता है। इसलिए नीचे का भाग ऊपर परावर्तित हो जाता है। / (|f(x)|) changes negative (y)-values into positive ones. Hence the part below the axis is reflected upward.
A. (y)-अक्ष में परावर्तन/Reflection in the (y)-axis
Explanation
Simple Explanation
(x) की जगह (-x) रखने से क्षैतिज परावर्तन होता है। यह परावर्तन (y)-अक्ष के सापेक्ष होता है। / Replacing (x) by (-x) gives a horizontal reflection. This reflection is about the (y)-axis.
जब (x<2), तब (x) और (2) में बड़ा मान (2) है। अधिकतम फलन में प्रत्येक क्षेत्र पर बड़ा व्यंजक चुनें। / When (x<2), the larger of (x) and (2) is (2). For a maximum function, choose the larger expression on each interval.
\(|x|\ge2\) पर \(x^2\ge4\), इसलिए छोटा मान (4) है। न्यूनतम फलन में तुलना करके कम मान लें। / When \(|x|\ge2\), \(x^2\ge4\), so the smaller value is (4). For a minimum function, compare and choose the lesser value.
जब \(x^2-1\le0\), तब \(|x^2-1|=1-x^2\), इसलिए \(-1\le x\le1\)। मापांक में अंदर का चिन्ह पहले तय करें। / When \(x^2-1\le0\), \(|x^2-1|=1-x^2\), so \(-1\le x\le1\). First determine the sign inside the modulus.
हर \(x^2-4=0\) होने पर असिम्पटोट मिलती है, इसलिए \(x=\pm2\)। हर के शून्य को हमेशा जाँचें। / Asymptotes occur when the denominator \(x^2-4=0\), so \(x=\pm2\). Always check the zeros of the denominator.
A. यह शीर्ष और न्यूनतम बिंदु है/It is the vertex and minimum point
Explanation
Simple Explanation
(|x+1|+2=|x-(-1)|+2), इसलिए शीर्ष ((-1,2)) है। ऊपर खुलने वाले मापांक ग्राफ में शीर्ष न्यूनतम होता है। / Since (|x+1|+2=|x-(-1)|+2), the vertex is ((-1,2)). In an upward-opening modulus graph, the vertex is the minimum point.
व्युत्क्रम फलन का ग्राफ (y=x) रेखा में परावर्तन से मिलता है। परीक्षा में ((a,b)) बिंदु को ((b,a)) बनाकर जाँचें। / The graph of an inverse function is obtained by reflection in the line (y=x). In exams, check by changing a point ((a,b)) into ((b,a)).
यह (x) की (2) और (6) से दूरियों का योग है, जिसका न्यूनतम मान (6-2=4) है। ऐसे प्रश्नों में दोनों स्थिर बिंदुओं के बीच की दूरी देखें। / It is the sum of distances of (x) from (2) and (6), so the minimum value is (6-2=4). For such questions, look at the distance between the two fixed points.
