(x)-अक्ष पर \(y=0\) होता है इसलिए \(2x-5=0\) से \(x=\frac{5}{2}\) मिलता है। ग्राफ में प्रतिच्छेद के लिए दूसरे निर्देशांक को शून्य रखें। / On the (x)-axis \(y=0\) so \(2x-5=0\) gives \(x=\frac{5}{2}\). For an intercept set the other coordinate equal to zero.
\(-3\le x\le 1\) पर योग ((x+3)+(1-x)=4) स्थिर रहता है। ऐसे मापांक योग में दोनों बिंदुओं के बीच ग्राफ क्षैतिज हो सकता है। / On \(-3\le x\le 1\), the sum ((x+3)+(1-x)=4) is constant. In such modulus sums the graph can be horizontal between the two points.
\( |x-3| \) न्यूनतम (0) तब होता है जब \(x=3\)। मापांक ग्राफ का शीर्ष अंदर वाले भाग को शून्य करने से मिलता है। / \( |x-3| \) is minimum (0) when \(x=3\). For a modulus graph set the inside expression equal to zero.
\(x^2\ge 0\) होने से \(x^2+1>0\) प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए है, इसलिए वर्गमूल वास्तविक रहता है। विकल्प B में \(|x|>1\) पर मूल के भीतर मान ऋणात्मक होगा। परीक्षा टिप: वर्गमूल के भीतर का व्यंजक सदैव \(\ge0\) जाँचें। / Since \(x^2\ge 0\), we have \(x^2+1>0\) for every real \(x\), so its square root is always real. In option B, the radicand becomes negative when \(|x|>1\). Exam tip: for square-root functions, check that the radicand is always \(\ge0\).
शीर्ष-रूप \(y=(x-h)^2+k\) में परवलय की सममिति-अक्ष \(x=h\) होती है। यहाँ \(y=(x-(-2))^2-7\), इसलिए \(h=-2\) और सममिति-अक्ष \(x=-2\) है। \(y=-7\) शीर्ष का y-निर्देशांक है, सममिति-अक्ष नहीं। परीक्षा-टिप: कोष्ठक के भीतर \(x\) के साथ लिखे पद का चिह्न उलटकर \(h\) पहचानें। / For a parabola in vertex form \(y=(x-h)^2+k\), the axis of symmetry is \(x=h\). Here, \(y=(x-(-2))^2-7\), so \(h=-2\), giving the axis \(x=-2\). The value \(y=-7\) is the vertex's y-coordinate, not the axis of symmetry. Exam tip: reverse the sign of the constant appearing with \(x\) inside the square to identify \(h\).
\(y=\frac{1}{x}\) में \(x\) और \(y\) को बदलने पर \(x=\frac{1}{y}\) मिलता है, जो पुनर्व्यवस्थित करने पर वही समीकरण देता है। इसलिए ग्राफ \(y=x\) के सापेक्ष सममित है। परीक्षा में इस सममिति के लिए \(x,y\) अदला-बदली करें। / On swapping \(x\) and \(y\) in \(y=\frac{1}{x}\), we get \(x=\frac{1}{y}\), which rearranges to the same equation. Hence its graph is symmetric about \(y=x\); \(y=x^2\) is not. Exam tip: swap the variables to test this symmetry.
गुणांक (-3) ऋणात्मक है इसलिए परवलय नीचे खुलता है। शीर्ष पर (y=4) अधिकतम मान है। / The coefficient (-3) is negative so the parabola opens downward. At the vertex (y=4) is the maximum value.
A. मूल बिंदु के सापेक्ष सममिति/Symmetry about the origin
Explanation
Simple Explanation
(f(-x)=\frac{-x}{x-2+1}=-f(x)) है। इसलिए यह विषम फलन है और ग्राफ मूल बिंदु के सापेक्ष सममित है। / (f(-x)=\frac{-x}{x-2+1}=-f(x)). Therefore it is an odd function and its graph is symmetric about the origin.
वास्तविक वर्गमूल के लिए इसके अंदर का व्यंजक अशून्य या धनात्मक होना चाहिए, इसलिए \(x+5\ge 0\), अर्थात् \(x\ge -5\)। अतः डोमेन \([-5,\infty)\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(x=-5\) पर फलन का मान \(0\) परिभाषित है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन में मूल के अंदर का व्यंजक \(\ge 0\) रखकर डोमेन ज्ञात करें। / For a real square root, the expression under the radical must be non-negative. Thus, \(x+5\ge 0\), which gives \(x\ge -5\). Therefore, the domain is \([-5,\infty)\). Option B is incorrect because the endpoint \(x=-5\) is included and gives \(f(-5)=0\). Exam tip: For a square-root function, set the radicand greater than or equal to zero to find the domain.
मापांक फलन का मानक रूप \(y=a|x-h|+k\) है, जिसका शीर्ष \((h,k)\) होता है। यहाँ \(x+2=x-(-2)\), इसलिए \(h=-2\), और \(k=5\) है। अतः शीर्ष \((-2,5)\) है। विकल्प B में \(x\)-निर्देशांक का चिह्न गलत लिया गया है। परीक्षा-युक्ति: \(|x-h|\) के अंदर \(x-h=0\) रखकर शीर्ष का \(x\)-निर्देशांक प्राप्त करें। / The standard form of a modulus function is \(y=a|x-h|+k\), whose vertex is \((h,k)\). Here, \(x+2=x-(-2)\), so \(h=-2\) and \(k=5\). Therefore, the vertex is \((-2,5)\). Option B incorrectly changes the sign of the x-coordinate. Exam tip: Set the expression inside the modulus equal to zero to find the x-coordinate of the vertex.
हर (x-4) शून्य होने पर फलन अपरिभाषित होता है। इसलिए ऊर्ध्वाधर आसम्टोट (x=4) है। / The denominator (x-4) makes the function undefined when it is zero. So the vertical asymptote is (x=4).
\(x\ge 0\) पर \(|x|=x\) रखकर \(x=3-x\) से \(x=\frac{3}{2}\) मिलता है। इसलिए प्रतिच्छेद \(\left(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right)\) है। / For \(x\ge 0\), put \(|x|=x\), so \(x=3-x\) gives \(x=\frac{3}{2}\). Hence the intersection is \(\left(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right)\).
\(\frac{2}{x+1}\) का मान बड़े (|x|) पर (0) के पास जाता है। इसलिए ग्राफ (y=-3) के पास जाता है। / The term \(\frac{2}{x+1}\) approaches (0) for large (|x|). Hence the graph approaches (y=-3).
महत्तम पूर्णांक फलन (x) से कम या बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक देता है। इसलिए \(\lfloor 2.7 \rfloor=2\)। / The greatest integer function gives the largest integer less than or equal to (x). Hence \(\lfloor 2.7 \rfloor=2\).
A. ग्राफ में छलांग-असांतत्य होता है/The graph has a jump discontinuity
Explanation
Simple Explanation
महत्तम पूर्णांक फलन \(f(x)=\lfloor x\rfloor\) में \(x=3\) के बाईं ओर के मान 2 के निकट आते हैं, जबकि \(f(3)=3\) और दाईं ओर के मान 3 होते हैं। इसलिए \(x=3\) पर बाएँ और दाएँ सीमा मान अलग हैं तथा वहाँ छलांग-असांतत्य होता है। फलन सभी वास्तविक \(x\) के लिए परिभाषित है, इसलिए विकल्प D गलत है। परीक्षा टिप: \(\lfloor x\rfloor\) के ग्राफ में प्रत्येक पूर्णांक पर छलांग-असांतत्य होता है। / For the greatest integer function \(f(x)=\lfloor x\rfloor\), values just to the left of \(x=3\) approach 2, whereas \(f(3)=3\) and values just to the right are 3. Thus the left-hand and right-hand limits are different, so there is a jump discontinuity at \(x=3\). The function is defined for every real \(x\), making option D incorrect. Exam tip: The graph of \(\lfloor x\rfloor\) has a jump discontinuity at every integer.
साइनम फलन के लिए \(\operatorname{sgn}(x)=-1\) जब \(x<0\), \(0\) जब \(x=0\), और \(1\) जब \(x>0\) होता है। चूँकि \(-8<0\), इसलिए \(f(-8)=-1\)। विकल्प 0 केवल \(x=0\) पर सही होता है। परीक्षा-युक्ति: साइनम फलन का मान निकालते समय पहले \(x\) का चिह्न देखें, उसका परिमाण नहीं। / For the signum function, \(\operatorname{sgn}(x)=-1\) when \(x<0\), \(0\) when \(x=0\), and \(1\) when \(x>0\). Since \(-8<0\), we get \(f(-8)=-1\). The value 0 would apply only at \(x=0\). Exam tip: For a signum function, check the sign of the input rather than its magnitude.
\(\operatorname{sgn}(x-2)\) का मान \(x-2<0\) होने पर \(-1\) और \(x-2>0\) होने पर \(1\) होता है। अंदर की अभिव्यक्ति \(x-2=0\) पर, अर्थात् \(x=2\) पर, इसका मान बदलता है; इसलिए बाईं और दाईं सीमाएँ अलग हैं और वहाँ छलांग-युक्त असांतत्य होता है। \(x=0\) केवल \(\operatorname{sgn}(x)\) के लिए परिवर्तन-बिंदु होता। परीक्षा-युक्ति: \(\operatorname{sgn}(g(x))\) के ग्राफ में संभावित छलांग के लिए पहले \(g(x)=0\) हल करें। / The function \(\operatorname{sgn}(x-2)\) equals \(-1\) when \(x-2<0\) and \(1\) when \(x-2>0\). Its value changes when \(x-2=0\), giving \(x=2\); the unequal one-sided limits therefore produce a jump discontinuity there. \(x=0\) would be the change point for \(\operatorname{sgn}(x)\), not for this shifted function. Exam tip: for \(\operatorname{sgn}(g(x))\), first solve \(g(x)=0\) to locate possible jumps.
A. यह मूल बिंदु के सापेक्ष सममित है/It is symmetric about the origin
Explanation
Simple Explanation
\(y=x^3\) विषम फलन है क्योंकि (f(-x)=-f(x))। विषम फलन का ग्राफ मूल बिंदु के सापेक्ष सममित होता है। / \(y=x^3\) is an odd function because (f(-x)=-f(x)). The graph of an odd function is symmetric about the origin.
वर्ग पूर्ण करने पर \(y=x^2-6x+11=(x-3)^2+2\) प्राप्त होता है। मानक रूप \(y=(x-h)^2+k\) में शीर्ष बिंदु \((h,k)\) होता है, इसलिए शीर्ष \((3,2)\) है। विकल्प B में x-निर्देशांक का चिन्ह गलत है, जबकि विकल्प C मूल समीकरण के गुणांकों को सीधे पढ़ने की त्रुटि दर्शाता है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात फलन को पहले \(y=a(x-h)^2+k\) के रूप में लिखें। / Completing the square gives \(y=x^2-6x+11=(x-3)^2+2\). In the standard form \(y=(x-h)^2+k\), the vertex is \((h,k)\); hence it is \((3,2)\). Option B has the wrong sign for the x-coordinate, while option C results from incorrectly reading the coefficients as coordinates. Exam tip: rewrite a quadratic in the form \(y=a(x-h)^2+k\) to identify its vertex directly.
यह व्यंजक संख्या रेखा पर x की −1 और 3 से दूरियों का योग दर्शाता है। इन दोनों बिंदुओं के बीच, अर्थात् −1≤x≤3 के लिए, दूरियों का योग स्थिर रूप से 3−(−1)=4 रहता है। अतः न्यूनतम मान 4 है। 0 नहीं हो सकता, क्योंकि दोनों निरपेक्ष मान एक साथ शून्य नहीं हो सकते। परीक्षा-युक्ति: |x−a|+|x−b| का न्यूनतम मान |a−b| होता है। / The expression represents the sum of the distances of x from −1 and 3 on the number line. For −1≤x≤3, this sum remains constant at 3−(−1)=4, so the minimum value is 4. It cannot be 0 because both absolute-value terms cannot be zero simultaneously. Exam tip: the minimum of |x−a|+|x−b| is |a−b|.
\(x\)-अक्ष पर किसी बिंदु के लिए \(y=0\) होता है। अतः \(|2x-6|=0\), और निरपेक्ष मान केवल तभी शून्य होता है जब \(2x-6=0\)। इससे \(x=3\) तथा प्रतिच्छेद बिंदु \((3,0)\) मिलता है। विकल्प D में \(x=6\) लेने पर \(y=|12-6|=6\), इसलिए वह \(x\)-अक्ष पर नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(x\)-अक्ष का प्रतिच्छेद ज्ञात करने के लिए हमेशा \(y=0\) रखें। / At any point on the x-axis, \(y=0\). Therefore, \(|2x-6|=0\), and an absolute value is zero only when its inside expression is zero: \(2x-6=0\). Thus \(x=3\), giving the intercept \((3,0)\). Option D is incorrect because for \(x=6\), \(y=|12-6|=6\), not zero. Exam tip: To find an x-intercept, set \(y=0\).
समीकरण को ढाल-अवरोध रूप में लिखने पर \(2y=-3x+12\), अतः \(y=-\frac{3}{2}x+6\) प्राप्त होता है। \(y=mx+c\) में \(x\) का गुणांक \(m\) ढाल होता है, इसलिए ढाल \(-\frac{3}{2}\) है। विकल्प B में ऋणात्मक चिह्न छूट गया है। परीक्षा-युक्ति: सामान्य रूप \(ax+by+c=0\) में ढाल \(-\frac{a}{b}\) होती है। / Rearranging the equation gives \(2y=-3x+12\), so \(y=-\frac{3}{2}x+6\). In the slope-intercept form \(y=mx+c\), the coefficient of \(x\) is the slope; hence the slope is \(-\frac{3}{2}\). Option B has the wrong sign. Exam tip: For a line \(ax+by+c=0\), its slope is \(-\frac{a}{b}\).
A. यह \(x\)-अक्ष के समानांतर एक रेखा है/It is a line parallel to the \(x\)-axis
Explanation
Simple Explanation
फलन \(y=5\) में प्रत्येक \(x\) के लिए \(y\) का मान स्थिर 5 रहता है। इसलिए इसके सभी बिंदु \((x,5)\) के रूप में होते हैं और ग्राफ \(x\)-अक्ष के समानांतर क्षैतिज रेखा है। यह मूल बिंदु से नहीं गुजरता, क्योंकि \(x=0\) पर भी \(y=5\) होता है। परीक्षा-युक्ति: \(y=c\) का ग्राफ हमेशा \(x\)-अक्ष के समानांतर रेखा होता है। / In the function \(y=5\), the value of \(y\) remains fixed at 5 for every \(x\). Thus, all points are of the form \((x,5)\), giving a horizontal line parallel to the \(x\)-axis. It does not pass through the origin because when \(x=0\), \(y=5\). Exam tip: the graph of \(y=c\) is always a line parallel to the \(x\)-axis.
पहचान फलन \(f(x)=x\) के लिए प्रत्येक बिंदु \((x,y)\) में \(y=x\) होना आवश्यक है। विकल्प A में \((-4,-4)\) के दोनों निर्देशांक बराबर हैं, इसलिए यह बिंदु ग्राफ पर स्थित है। अन्य विकल्पों में \(x\) और \(y\) के मान समान नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: पहचान फलन का ग्राफ मूलबिंदु से गुजरने वाली रेखा \(y=x\) होता है। / For the identity function \(f(x)=x\), every point \((x,y)\) on the graph must satisfy \(y=x\). In option A, both coordinates of \((-4,-4)\) are equal, so the point lies on the graph. In the other options, the x- and y-coordinates are unequal. Exam tip: The graph of the identity function is the straight line \(y=x\) passing through the origin.
प्रतिच्छेद बिंदुओं पर दोनों फलनों के \(y\)-मान समान होंगे, इसलिए \(x^2=2x+3\)। इससे \(x^2-2x-3=0\), अर्थात् \((x-3)(x+1)=0\)। अतः \(x=3\) या \(x=-1\), इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा-टिप: ग्राफों के प्रतिच्छेद के लिए उनके समीकरणों को बराबर करके प्राप्त मूलों की जाँच करें। / At an intersection, both functions have the same \(y\)-value, so set \(x^2=2x+3\). This gives \(x^2-2x-3=0\), or \((x-3)(x+1)=0\). Hence \(x=3\) or \(x=-1\), making option A correct. Exam tip: To find intersection coordinates, first equate the two function expressions and solve for \(x\).
प्रतिच्छेद बिंदुओं पर दोनों फलनों के y-मान समान होंगे, इसलिए \(x^2=|x|\)। यदि \(x=0\), तो एक हल मिलता है। \(x\neq 0\) के लिए दोनों पक्षों को \(|x|\) से भाग देने पर \(|x|=1\), अतः \(x=-1
deवा?\) या \(x=1\)। इसलिए x-मान \(-1,0,1\) हैं। परीक्षा-युक्ति: \(x^2=|x|\) जैसे प्रश्नों में पहले \(x=0\) अलग से जाँचें, फिर \(x\neq0\) मानकर भाग दें। / At an intersection, the two functions have the same y-value, so \(x^2=|x|\). One solution is \(x=0\). For \(x\ne0\), divide by \(|x|\) to obtain \(|x|=1\), which gives \(x=-1\) or \(x=1\). Thus the x-values are \(-1,0,1\). Exam tip: when dividing by \(|x|\), check \(x=0\) separately first.
जब \(x>0\), तब \(|x|=x\), इसलिए \(f(x)=\frac{x}{|x|}=\frac{x}{x}=1\)। अतः सभी धनात्मक \(x\) के लिए ग्राफ क्षैतिज रेखा \(y=1\) पर स्थित होता है। ध्यान रखें कि \(x<0\) होने पर \(|x|=-x\) और फलन का मान \(-1\) होता है; इसलिए \(y=-1\) इस स्थिति के लिए सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(\frac{x}{|x|}\) का मान \(x\) के चिह्न के बराबर होता है। / When \(x>0\), \(|x|=x\). Hence, \(f(x)=\frac{x}{|x|}=\frac{x}{x}=1\), so the graph lies on the horizontal line \(y=1\) for all positive values of \(x\). The line \(y=-1\) applies when \(x<0\), not in the given interval. Exam tip: \(\frac{x}{|x|}\) gives the sign of \(x\), with values \(1\) for positive \(x\) and \(-1\) for negative \(x\).
जब \(x>-1\), तब \(x\) का मान \(-1\) से बड़ा होता है। इसलिए \(x\) और \(-1\) में छोटा मान हमेशा \(-1\) होगा और \(y=\min(x,-1)=-1\)। विकल्प B गलत है, क्योंकि \(y=x\) तभी होगा जब \(x\leq -1\)। परीक्षा-युक्ति: न्यूनतम फलन में दिए गए मानों में छोटा मान चुनें और सीमा-बिंदु \(x=-1\) की जाँच करें। / When \(x>-1\), the value of \(x\) is greater than \(-1\). Therefore, the smaller of \(x\) and \(-1\) is always \(-1\), so \(y=\min(x,-1)=-1\). Option B is incorrect because \(y=x\) applies when \(x\leq -1\). Exam tip: For a minimum function, select the smaller expression and check the boundary value \(x=-1\).
क्योंकि \(|x-2|\geq 0\) सभी वास्तविक \(x\) के लिए, इसलिए \(y=|x-2|+1\geq 1\)। जब \(x=2\), तब \(|x-2|=0\) और \(y=1\) प्राप्त होता है। अतः फलन की परास \([1,\infty)\) है। परीक्षा-युक्ति: \(|x-a|+b\) का न्यूनतम मान \(b\) होता है और इसकी परास \([b,\infty)\) होती है। / Since \(|x-2|\geq 0\) for every real \(x\), we have \(y=|x-2|+1\geq 1\). At \(x=2\), \(|x-2|=0\), so \(y=1\) is attained. Therefore, the range is \([1,\infty)\). Exam tip: A function of the form \(|x-a|+b\) has minimum value \(b\) and range \([b,\infty)\).
यह शीर्ष-रूप \(y=-(x+4)^2+9\) में दिया गया परवलय है। ऋणात्मक गुणांक के कारण यह नीचे की ओर खुलता है और इसका शीर्ष \((-4,9)\) है। इसलिए अधिकतम \(y\)-मान 9 है, जबकि नीचे की ओर मान अनंत तक जा सकते हैं; अतः रेंज \((- infty,9]\) है। विकल्प B ऊपर की ओर खुलने वाले परवलय की रेंज जैसा है। परीक्षा-युक्ति: \(y=a(x-h)^2+k\) में \(a<0\) होने पर रेंज \((- infty,k]\) होती है। / The equation is in vertex form, \(y=-(x+4)^2+9\). Since the coefficient of the squared term is negative, the parabola opens downward and has vertex \((-4,9)\). Thus, 9 is the maximum value of \(y\), while the values extend indefinitely downward, so the range is \((- infty,9]\). Option B would describe the range of an upward-opening parabola. Exam tip: for \(y=a(x-h)^2+k\), if \(a<0\), the range is \((- infty,k]\).
वास्तविक वर्गमूल के लिए मूलांक के अंदर का व्यंजक गैर-ऋणात्मक होना चाहिए: \(4-x\ge 0\)। इससे \(x\le 4\) प्राप्त होता है, इसलिए डोमेन \((- infty,4]\) है। विकल्प B में असमानता की दिशा उलट गई है, जबकि विकल्प C अनावश्यक रूप से \(x\ge 0\) भी मानता है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन में पहले मूलांक \(\ge 0\) रखकर डोमेन ज्ञात करें। / For a real square root, the radicand must be non-negative: \(4-x\ge 0\). Thus \(x\le 4\), so the domain is \((- infty,4]\). Option B reverses the inequality, while option C incorrectly adds the unnecessary restriction \(x\ge 0\). Exam tip: For a square-root function, set its radicand greater than or equal to zero to find the domain.
परिमेय फलन में हर शून्य नहीं हो सकता। यहाँ हर \(x-1\) है, इसलिए \(x-1=0\) रखने पर \(x=1\) मिलता है। अतः \(x=1\) डोमेन से बाहर है, जबकि अन्य दिए गए मानों पर हर शून्य नहीं होता। परीक्षा में याद रखें: परिमेय फलन का डोमेन पाने के लिए हर को शून्य करने वाले मान को अवश्य हटाएँ। / The denominator of a rational function cannot be zero. Here the denominator is \(x-1\), and solving \(x-1=0\) gives \(x=1\). Therefore, \(x=1\) is excluded from the domain; the other listed values do not make the denominator zero. Exam tip: to find the domain of a rational function, exclude the values that make its denominator zero.
A. यह \(y\)-अक्ष के सापेक्ष सममित है/It is symmetric about the \(y\)-axis
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(f(x)=x^4\) है। इसलिए \(f(-x)=(-x)^4=x^4=f(x)\), अतः यह सम फलन है और इसका ग्राफ \(y\)-अक्ष के सापेक्ष सममित होता है। विकल्प B विषम फलन की सममिति बताता है, जबकि \(x^4\) के लिए \(f(-x)=-f(x)\) नहीं है। परीक्षा-युक्ति: सम फलन के ग्राफ में \(y\)-अक्षीय सममिति और विषम फलन के ग्राफ में मूलबिंदुीय सममिति होती है। / Here, \(f(x)=x^4\). Thus, \(f(-x)=(-x)^4=x^4=f(x)\), so the function is even and its graph is symmetric about the \(y\)-axis. Option B describes the symmetry of an odd function, but \(x^4\) does not satisfy \(f(-x)=-f(x)\). Exam tip: an even function has \(y\)-axis symmetry, whereas an odd function has symmetry about the origin.
हर वास्तविक \(x\) के लिए \(|x|\ge 0\), इसलिए \(y=-|x|\le 0\)। जब \(x=0\), तब \(y=0\), और \(|x|\) के बढ़ने पर \(y\) बिना सीमा के ऋणात्मक होता जाता है। अतः परास \((- infty,0]\) है। विकल्प B, \(|x|\) का परास है, \(-|x|\) का नहीं। परीक्षा टिप: ऋण चिह्न ग्राफ को \(x\)-अक्ष के नीचे प्रतिबिंबित करता है। / For every real \(x\), \(|x|\ge 0\), so \(y=-|x|\le 0\). At \(x=0\), \(y=0\), and as \(|x|\) increases, \(y\) decreases without bound. Therefore, the range is \((- infty,0]\). Option B is the range of \(|x|\), not of \(-|x|\). Exam tip: the negative sign reflects the graph of \(y=|x|\) across the x-axis.
जब \(x>2\), तब \(x+2>0\) और \(x-2>0\), इसलिए \(|x+2|=x+2\) तथा \(|x-2|=x-2\)। अतः \(y=(x+2)-(x-2)=4\)। विकल्प \(2x\) तब मिलता है जब ऋणात्मक पद को सही ढंग से घटाया नहीं जाता। परीक्षा-युक्ति: मापांक वाले व्यंजक में पहले प्रत्येक अंदरूनी पद का चिह्न निर्धारित करें। / When \(x>2\), both \(x+2\) and \(x-2\) are positive. Hence, \(|x+2|=x+2\) and \(|x-2|=x-2\), so \(y=(x+2)-(x-2)=4\). The option \(2x\) results from mishandling the subtraction of the second modulus term. Exam tip: determine the sign of each expression inside an absolute value before removing the modulus.
A. यह y-अक्ष के सापेक्ष सममित है/It is symmetric about the y-axis
Explanation
Simple Explanation
यदि \(f(x)=\frac{1}{x^2}\), तो \(f(-x)=\frac{1}{(-x)^2}=\frac{1}{x^2}=f(x)\)। अतः यह एक सम फलन है और इसका ग्राफ y-अक्ष के सापेक्ष सममित होता है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(x=0\) पर फलन अपरिभाषित है, इसलिए ग्राफ मूल बिंदु से नहीं गुजरता। साथ ही, इसका डोमेन \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) और रेंज \((0,\infty)\) है, न कि \(\mathbb{R}\)। परीक्षा टिप: \(f(-x)=f(x)\) मिलने पर ग्राफ की y-अक्षीय सममिति पहचानें। / For \(f(x)=\frac{1}{x^2}\), we have \(f(-x)=\frac{1}{(-x)^2}=\frac{1}{x^2}=f(x)\). Therefore, the function is even and its graph is symmetric about the y-axis. Option B is incorrect because the function is undefined at \(x=0\), so the graph does not pass through the origin. Its domain is \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) and its range is \((0,\infty)\), not \(\mathbb{R}\). Exam tip: If \(f(-x)=f(x)\), the graph has symmetry about the y-axis.
A. यह मूल बिंदु के सापेक्ष सममित है/It is symmetric about the origin
Explanation
Simple Explanation
फलन \(f(x)=\frac{1}{x}\) का प्रांत \(x\ne 0\) है। \(f(-x)=-\frac{1}{x}=-f(x)\), इसलिए यह विषम फलन है और इसका ग्राफ मूल बिंदु के सापेक्ष सममित होता है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(y\)-अक्षीय सममिति के लिए फलन सम होना चाहिए। \(x=0\) पर फलन अपरिभाषित है, और ग्राफ प्रथम तथा तृतीय दोनों चतुर्थांशों में स्थित होता है। परीक्षा-टिप: \(f(-x)=-f(x)\) मिले तो ग्राफ मूल बिंदु के सापेक्ष सममित होता है। / The domain of \(f(x)=\frac{1}{x}\) is \(x\ne 0\). Since \(f(-x)=-\frac{1}{x}=-f(x)\), the function is odd and its graph is symmetric about the origin. Option B is incorrect because symmetry about the \(y\)-axis requires an even function. The function is undefined at \(x=0\), and its graph lies in both the first and third quadrants. Exam tip: if \(f(-x)=-f(x)\), the graph is symmetric about the origin.
\\(x\\)-अक्ष पर प्रत्येक बिंदु का \\(y\\)-निर्देशांक 0 होता है। इसलिए \\(0=x^2-4\\), अर्थात \\(x^2=4\\) और \\(x=\\pm2\\)। अतः प्रतिच्छेद बिंदु \\((-2,0)\\) और \\((2,0)\\) हैं। विकल्प B में \\(x=0\\) होने से वे \\(y\\)-अक्ष पर स्थित बिंदु हैं। परीक्षा-युक्ति: \\(x\\)-अक्ष के प्रतिच्छेद के लिए हमेशा \\(y=0\\) रखें। / Every point on the \\(x\\)-axis has \\(y=0\\). Thus, \\(0=x^2-4\\), so \\(x^2=4\\) and \\(x=\\pm2\\). Therefore, the intersection points are \\((-2,0)\\) and \\((2,0)\\). The points in option B have \\(x=0\\), so they lie on the \\(y\\)-axis instead. Exam tip: To find intersections with the \\(x\\)-axis, set \\(y=0\\).
A. (5) इकाई दाईं ओर खिसकाकर/By shifting (5) units right
Explanation
Simple Explanation
(x) की जगह (x-5) आने पर ग्राफ दाईं ओर (5) इकाई खिसकता है। क्षैतिज खिसकाव में संकेत उल्टा पढ़ें। / Replacing (x) by (x-5) shifts the graph (5) units right. In horizontal shift read the sign oppositely.
A. 3 इकाई बाईं ओर खिसकाकर/By shifting 3 units to the left
Explanation
Simple Explanation
y = f(x + 3) का ग्राफ y = f(x) के ग्राफ को 3 इकाई बाईं ओर खिसकाने से प्राप्त होता है। यहाँ f(x) = x-2 है, इसलिए y = (x + 3)2 का शीर्ष (-3, 0) होगा। इसे दाईं ओर खिसकाना गलत होगा, क्योंकि अंदर x के साथ धनात्मक 3 होने पर क्षैतिज विस्थापन बाईं ओर होता है। परीक्षा-युक्ति: f(x - a) से ग्राफ a इकाई दाईं ओर और f(x + a) से a इकाई बाईं ओर जाता है। / The graph of y = f(x + 3) is obtained by shifting the graph of y = f(x) 3 units to the left. Here f(x) = x-2, so the vertex of y = (x + 3)2 is (-3, 0). A rightward shift is incorrect because a positive number added inside the function causes a horizontal shift to the left. Exam tip: f(x - a) shifts a graph a units right, while f(x + a) shifts it a units left.
A. 6 इकाई ऊपर खिसकाकर/By shifting it 6 units upward
Explanation
Simple Explanation
\(y=x^2+6\) में 6, पूरे फलन के बाहर जोड़ा गया है। इसलिए प्रत्येक \(x\) के लिए नया \(y\)-मान पुराने मान से 6 अधिक होगा और पूरा परवलय 6 इकाई ऊपर खिसकेगा। नीचे खिसकना \(y=x^2-6\) में होता। परीक्षा-युक्ति: \(y=f(x)+k\) में \(k>0\) होने पर ग्राफ \(k\) इकाई ऊपर जाता है। / In \(y=x^2+6\), 6 is added outside the function, so for every \(x\), the new \(y\)-value is 6 greater than before. Thus the entire parabola shifts 6 units upward. A downward shift would correspond to \(y=x^2-6\). Exam tip: in \(y=f(x)+k\), a positive \(k\) shifts the graph upward by \(k\) units.
A. (x)-अक्ष में परावर्तन/Reflection in the (x)-axis
Explanation
Simple Explanation
फलन के बाहर ऋण चिह्न सभी (y)-मानों को ऋणात्मक कर देता है। इसलिए (x)-अक्ष में परावर्तन होता है। / A negative sign outside the function makes every (y)-value negative. So it is a reflection in the (x)-axis.
A. ऊर्ध्वाधर खिंचाव, गुणक 2/Vertical stretch by a factor of 2
Explanation
Simple Explanation
\(y=2|x|\) में मूल फलन \(|x|\) के मानों को बाहर से 2 से गुणा किया गया है। इसलिए प्रत्येक \(y\)-मान दोगुना हो जाता है, जबकि \(x\)-मान वही रहते हैं; यह ऊर्ध्वाधर खिंचाव है और शीर्षबिंदु मूलबिंदु पर ही रहता है। क्षैतिज खिंचाव तब होता जब परिवर्तन इनपुट के भीतर होता, जैसे \(y=|2x|\)। परीक्षा-युक्ति: बाहर का गुणक ऊर्ध्वाधर और अंदर का गुणक क्षैतिज परिवर्तन दर्शाता है। / In \(y=2|x|\), the output of the parent function \(|x|\) is multiplied by 2. Thus every \(y\)-value doubles while the \(x\)-values remain unchanged, producing a vertical stretch; the vertex stays at the origin. A horizontal stretch would involve changing the input, as in \(y=|2x|\). Exam tip: a multiplier outside the function causes a vertical transformation, whereas one inside the function affects the horizontal scale.
\(y=|2x|\) में मूल फलन के इनपुट \(x\) के स्थान पर \(2x\) है। इसलिए समान \(y\)-मान के लिए आवश्यक \(x\)-मान आधा हो जाता है और ग्राफ \(y\)-अक्ष की ओर सिमटता है; यह क्षैतिज संपीड़न है, जिसका पैमाना \(1/2\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि ऊर्ध्वाधर परिवर्तन तब होता जब पूरे फलन को बाहर से \(1/2\) से गुणा किया जाता। परीक्षा-युक्ति: इनपुट के अंदर का गुणक क्षैतिज और फलन के बाहर का गुणक ऊर्ध्वाधर परिवर्तन करता है। / In \(y=|2x|\), the input \(x\) of the original function is replaced by \(2x\). Thus, for the same \(y\)-value, the required \(x\)-value is halved, so the graph moves toward the \(y\)-axis. This is a horizontal compression with scale factor \(1/2\). Option B is incorrect because a vertical change would result from multiplying the entire function by \(1/2\) outside the function. Exam tip: a multiplier inside the input causes a horizontal transformation, while a multiplier outside the function causes a vertical transformation.
यह फलन बिंदु \(x=1\) और \(x=-1\) से दूरियों के योग को दर्शाता है। त्रिभुज असमता के अनुसार \(|x-1|+|x+1|\geq |(x-1)-(x+1)|=2\)। \(-1\leq x\leq 1\) के लिए दोनों दूरियों का योग ठीक 2 होता है, जबकि इस अंतराल के बाहर यह 2 से बढ़ जाता है। इसलिए परास \([2,\infty)\) है। विकल्प B में न्यूनतम मान 0 मान लिया गया है, जो संभव नहीं है। परीक्षा-युक्ति: मॉड्यूलस वाले फलन में न्यूनतम मान पाने के लिए महत्वपूर्ण बिंदुओं के बीच का अंतराल अवश्य जाँचें। / The function represents the sum of the distances of \(x\) from 1 and from \(-1\). By the triangle inequality, \(|x-1|+|x+1|\geq |(x-1)-(x+1)|=2\). For \(-1\leq x\leq 1\), this sum is exactly 2, and outside this interval it increases above 2. Hence the range is \([2,\infty)\). Option B incorrectly assumes that the minimum can be 0, although the two points are 2 units apart. Exam tip: For a sum of absolute-value terms, check the interval between their critical points to find the minimum.
A. 1 इकाई नीचे खिसकाकर/By shifting it down by 1 unit
Explanation
Simple Explanation
\(y=x^3-1\) में \(y=x^3\) के मानों से 1 घटाया गया है। इसलिए प्रत्येक \(y\)-निर्देशांक 1 कम हो जाता है और पूरा ग्राफ 1 इकाई नीचे खिसकता है। इसके विपरीत, \(y=(x-1)^3\) ग्राफ को 1 इकाई दाईं ओर ले जाता। परीक्षा-युक्ति: फलन के बाहर जोड़ा या घटाया गया स्थिरांक ऊर्ध्वाधर, जबकि \(x\) के अंदर का परिवर्तन क्षैतिज स्थानांतरण कराता है। / In \(y=x^3-1\), 1 is subtracted from every value of \(y=x^3\). Thus each \(y\)-coordinate decreases by 1, so the entire graph shifts 1 unit downward. In contrast, \(y=(x-1)^3\) would shift the graph 1 unit to the right. Exam tip: a constant added or subtracted outside the function causes a vertical shift, whereas a change inside the input causes a horizontal shift.
A. (2) इकाई दाईं ओर खिसकाकर/By shifting (2) units right
Explanation
Simple Explanation
(x) की जगह (x-2) आने से ग्राफ दाईं ओर (2) इकाई जाता है। घन फलन में भी यही नियम लागू होता है। / Replacing (x) by (x-2) moves the graph (2) units right. The same rule applies to the cubic function.
फलन के लिए \(x\neq 0\), इसलिए \(|x|>0\) और \(y=\frac{1}{|x|}>0\)। जैसे-जैसे \(|x|\) बहुत बड़ा होता है, \(y\) शून्य के बहुत निकट पहुँचता है, लेकिन कभी \(0\) नहीं होता; और \(|x|\) शून्य के निकट होने पर \(y\) असीमित रूप से बढ़ सकता है। अतः रेंज \((0,\infty)\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि उसमें \(0\) शामिल है। परीक्षा-युक्ति: \(1/\text{धनात्मक संख्या}\) हमेशा धनात्मक होता है, इसलिए ऋणात्मक मान रेंज में नहीं आएँगे। / For this function, \(x\neq 0\), so \(|x|>0\) and therefore \(y=\frac{1}{|x|}>0\). As \(|x|\) becomes very large, \(y\) approaches zero but never equals it; as \(|x|\) approaches zero, \(y\) can increase without bound. Hence the range is \((0,\infty)\). Option B is incorrect because it includes \(0\). Exam tip: the reciprocal of a positive number is always positive, so negative values cannot belong to the range.
प्रतिच्छेद बिंदु ज्ञात करने के लिए \(x^2=4\) रखते हैं। इससे \(x=\pm2\), अर्थात् \(x=-2\) और \(x=2\) प्राप्त होते हैं। इन दोनों प्रतिच्छेदों के बीच ही परवलय और रेखा एक सीमित क्षेत्र बनाते हैं, इसलिए सीमा \(-2\le x\le2\) है। विकल्प B में ऋणात्मक \(x\)-मान छूट जाते हैं। परीक्षा-युक्ति: ऐसी सीमा ज्ञात करने के लिए पहले दोनों वक्रों के प्रतिच्छेद हल करें। / At the intersection points, the two curves have equal \(y\)-values, so \(x^2=4\). Thus, \(x=-2\) and \(x=2\). The finite region lies between these two intersection points, giving \(-2\le x\le2\). Option B incorrectly excludes the negative \(x\)-values. Exam tip: To find the horizontal extent of a bounded region, first solve the equations of the two boundaries simultaneously.
जब \(0\le x\le 4\), तब \(|x|=x\) और \(|x-4|=4-x\)। अतः \(y=x+(4-x)=4\), जो एक स्थिर मान है; इसलिए ग्राफ इस पूरे अंतराल पर क्षैतिज रहता है। \(x<0\) और \(x>4\) पर फलन के ढाल क्रमशः \(-2\) और \(2\) हैं, इसलिए वहाँ ग्राफ क्षैतिज नहीं है। परीक्षा-युक्ति: निरपेक्ष मान वाले फलन में पहले उन बिंदुओं को पहचानें जहाँ उनके अंदर का व्यंजक शून्य होता है। / For \(0\le x\le 4\), we have \(|x|=x\) and \(|x-4|=4-x\). Hence \(y=x+(4-x)=4\), a constant value, so the graph is horizontal throughout this interval. For \(x<0\) and \(x>4\), the slopes are \(-2\) and \(2\), respectively, so the graph is not horizontal there. Exam tip: For a function involving absolute values, first identify the points where the expressions inside the modulus signs become zero.
