दिया गया फलन \(f(x)=x^2-6x+9=(x-3)^2\) है। मानक रूप \(y=(x-h)^2+k\) में \(h=3\) और \(k=0\), इसलिए परवलय का शीर्ष \((3,0)\) है। \((0,9)\) शीर्ष नहीं, बल्कि y-अवरोध है। परीक्षा-युक्ति: पूर्ण वर्ग बनाकर शीर्ष सीधे पहचानें। / The function can be written as \(f(x)=x^2-6x+9=(x-3)^2\). Comparing it with the standard form \(y=(x-h)^2+k\), we get \(h=3\) and \(k=0\), so the vertex is \((3,0)\). The point \((0,9)\) is the y-intercept, not the vertex. Exam tip: Complete the square to identify the vertex quickly.
परवलय के शीर्ष रूप \(y=(x-h)^2+k\) में सममिति की अक्ष \(x=h\) होती है। यहाँ \(h=3\), इसलिए \(x=3\) सममिति की अक्ष है। यह रेखा परवलय को उसके शीर्ष \((3,2)\) से गुजरते हुए दो समान दर्पण-सममित भागों में बाँटती है। ध्यान रखें: \(x=3\) ऊर्ध्वाधर असिम्पटोट नहीं, बल्कि इस परवलय की सममिति अक्ष है। / For a parabola in vertex form \(y=(x-h)^2+k\), the axis of symmetry is \(x=h\). Here, \(h=3\), so \(x=3\) is the axis of symmetry. It passes through the vertex \((3,2)\) and divides the parabola into two mirror-image halves. Exam tip: in \(y=(x-h)^2+k\), read the axis directly as \(x=h\); it is not an asymptote.
शीर्ष-रूप \(y=(x-h)^2+k\) में परवलय की सममिति-अक्ष \(x=h\) होती है। यहाँ \(y=(x-(-2))^2-7\), इसलिए \(h=-2\) और सममिति-अक्ष \(x=-2\) है। \(y=-7\) शीर्ष का y-निर्देशांक है, सममिति-अक्ष नहीं। परीक्षा-टिप: कोष्ठक के भीतर \(x\) के साथ लिखे पद का चिह्न उलटकर \(h\) पहचानें। / For a parabola in vertex form \(y=(x-h)^2+k\), the axis of symmetry is \(x=h\). Here, \(y=(x-(-2))^2-7\), so \(h=-2\), giving the axis \(x=-2\). The value \(y=-7\) is the vertex's y-coordinate, not the axis of symmetry. Exam tip: reverse the sign of the constant appearing with \(x\) inside the square to identify \(h\).
परवलय के शीर्ष-रूप \(y=a(x-h)^2+k\) में सममिति-अक्ष \(x=h\) होती है। यहाँ \(x+3=x-(-3)\), इसलिए \(h=-3\) और सममिति-अक्ष \(x=-3\) है। \(y=7\) शीर्ष का y-निर्देशांक है, सममिति-अक्ष नहीं। परीक्षा-युक्ति: वर्ग वाले पद को \((x-h)^2\) के रूप में लिखकर सीधे \(x=h\) पहचानें। / In the vertex form \(y=a(x-h)^2+k\), the axis of symmetry is \(x=h\). Here, \(x+3=x-(-3)\), so \(h=-3\) and the axis is \(x=-3\). The value \(y=7\) is the y-coordinate of the vertex, not the axis of symmetry. Exam tip: rewrite the squared term as \((x-h)^2\) and identify \(x=h\) directly.
\(y\)-अक्ष पर प्रत्येक बिंदु के लिए \(x=0\) होता है। इसलिए \(y=(0+1)^2-9=1-9=-8\), अतः प्रतिच्छेद-बिंदु \((0,-8)\) है। विकल्प B परवलय का शीर्ष है, \(y\)-अक्ष पर प्रतिच्छेद नहीं। परीक्षा-युक्ति: \(y\)-अक्ष का प्रतिच्छेद ज्ञात करने के लिए हमेशा \(x=0\) रखें। / Every point on the \(y\)-axis has \(x=0\). Thus, \(y=(0+1)^2-9=1-9=-8\), so the point of intersection is \((0,-8)\). Option B is the vertex of the parabola, not its \(y\)-intercept. Exam tip: To find a graph’s \(y\)-intercept, substitute \(x=0\).
दिए गए द्विघात फलन में \(a=2\) और \(b=-12\) हैं। शीर्ष का x-निर्देशांक \(x=-\frac{b}{2a}=\frac{12}{4}=3\) होगा। अब \(x=3\) रखने पर \(y=2(3)^2-12(3)+13=-5\), इसलिए शीर्ष \((3,-5)\) है। विकल्प B में x-निर्देशांक का चिह्न गलत है, जबकि विकल्प D में y-निर्देशांक का चिह्न गलत है। परीक्षा-युक्ति: \(y=ax^2+bx+c\) के लिए शीर्ष का x-निर्देशांक हमेशा \(-\frac{b}{2a}\) से निकालें। / For the quadratic, \(a=2\) and \(b=-12\). The x-coordinate of the vertex is \(x=-\frac{b}{2a}=\frac{12}{4}=3\). Substituting \(x=3\) gives \(y=2(3)^2-12(3)+13=-5\), so the vertex is \((3,-5)\). Option B has the wrong sign for the x-coordinate, while option D has the wrong sign for the y-coordinate. Exam tip: for \(y=ax^2+bx+c\), first find the vertex’s x-coordinate using \(-\frac{b}{2a}\).
क्योंकि \((x-3)^2\ge 0\), इसलिए \(y=(x-3)^2+5\ge 5\)। परंतु \(x\)-अक्ष पर \(y=0\) होता है, इसलिए यह परवलय \(x\)-अक्ष को नहीं काटता और प्रतिच्छेदों की संख्या 0 है। इसका शीर्ष \((3,5)\) है, जो \(x\)-अक्ष के ऊपर स्थित है। परीक्षा-युक्ति: \(x\)-अक्ष से प्रतिच्छेद ज्ञात करने के लिए \(y=0\) रखकर समीकरण के वास्तविक हलों की संख्या गिनें। / Since \((x-3)^2\ge 0\), we have \(y=(x-3)^2+5\ge 5\). The \(x\)-axis is defined by \(y=0\), so the parabola never reaches or intersects it; hence, there are 0 intersections. Its vertex is \((3,5)\), which lies above the \(x\)-axis. Exam tip: To find intersections with the \(x\)-axis, set \(y=0\) and count the real solutions.
