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विविक्तकर हमेशा \(D=b^2-4ac\) होता है। परीक्षा में सूत्र लिखने से पहले (a), (b), (c) पहचानें। / The discriminant is always \(D=b^2-4ac\). In exams identify (a), (b), and (c) before using the formula.
A. वास्तविक, परिमेय और भिन्न/Real, rational and distinct
Explanation
Simple Explanation
धनात्मक पूर्ण वर्ग (D) से वास्तविक, परिमेय और भिन्न मूल मिलते हैं। (D) का चिन्ह और पूर्ण वर्ग दोनों देखें। / A positive perfect square (D) gives real, rational and distinct roots. Check both the sign and perfect square condition of (D).
A. वास्तविक, अपरिमेय और भिन्न/Real, irrational and distinct
Explanation
Simple Explanation
धनात्मक लेकिन अपूर्ण वर्ग (D) से मूल वास्तविक, अपरिमेय और भिन्न होते हैं। केवल (D>0) से भिन्नता पता चलती है। / A positive non-perfect-square (D) gives real, irrational and distinct roots. Only (D>0) tells distinctness.
द्विघात समीकरण \\(ax^2+bx+c=0\\) में विविक्तकर का सूत्र \\(D=b^2-4ac\\) होता है। यहाँ \\(a=1, b=-3, c=2\\) हैं, इसलिए \\(D=(-3)^2-4(1)(2)=9-8=1\\)। अतः सही उत्तर 1 है। 5 प्राप्त करना सूत्र में घटाव की जगह जोड़ करने की त्रुटि है। परीक्षा में पहले \\(a,b,c\\) के मान पहचानकर सूत्र में रखने की जाँच करें। / For a quadratic equation \\(ax^2+bx+c=0\\), the discriminant is \\(D=b^2-4ac\\). Here, \\(a=1, b=-3,c=2\\), so \\(D=(-3)^2-4(1)(2)=9-8=1\\). Therefore, the correct answer is 1. The value 5 results from incorrectly adding instead of subtracting \\(4ac\\). In an exam, first identify \\(a,b,c\\) and then substitute them carefully.
A. वास्तविक, परिमेय और अलग-अलग/Real, rational and distinct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=1\), \(b=-3\), \(c=2\) हैं, इसलिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-3)^2-4(1)(2)=1\) है। चूँकि \(D>0\) और पूर्ण वर्ग है, दोनों मूल वास्तविक, परिमेय और अलग-अलग होंगे। वास्तव में, \(x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\), अतः मूल \(1\) और \(2\) हैं। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) होने पर मूल अलग-अलग होते हैं; यदि \(D\) पूर्ण वर्ग हो, तो वे परिमेय भी होते हैं। / Here \(a=1\), \(b=-3\), and \(c=2\), so the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-3)^2-4(1)(2)=1\). Since \(D>0\) and is a perfect square, the roots are real, rational, and distinct. In fact, \(x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\), giving the roots \(1\) and \(2\). Exam tip: \(D>0\) indicates distinct roots, and if \(D\) is a perfect square, those roots are rational.
दिए गए समीकरण में \(a=1\), \(b=-4\) और \(c=1\) हैं। इसलिए \(D=b^2-4ac=(-4)^2-4(1)(1)=16-4=12\)। अतः सही उत्तर 12 है। चूँकि \(D>0\), दोनों मूल वास्तविक और भिन्न होंगे; और 12 पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए वे अपरिमेय भी होंगे। परीक्षा-युक्ति: मूलों की प्रकृति जानने के लिए पहले विविक्तकर का चिह्न देखें। / For the given equation, \(a=1\), \(b=-4\), and \(c=1\). Hence, \(D=b^2-4ac=(-4)^2-4(1)(1)=16-4=12\). Therefore, the correct answer is 12. Since \(D>0\), the roots are real and distinct; because 12 is not a perfect square, they are also irrational. Exam tip: Check the sign of the discriminant first to determine the nature of the roots.
A. वास्तविक, अपरिमेय और भिन्न/Real, irrational and distinct
Explanation
Simple Explanation
इसमें (D=12>0) है और (12) पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए मूल वास्तविक, अपरिमेय और भिन्न होंगे। / Here (D=12>0) and (12) is not a perfect square. Therefore the roots are real, irrational and distinct.
यहाँ \(a=2\), \(b=4\) और \(c=2\) हैं। विविक्तकर का सूत्र \(D=b^2-4ac\) होता है, इसलिए \(D=(4)^2-4(2)(2)=16-16=0\)। अतः सही उत्तर 0 है और समीकरण के दोनों मूल समान होंगे। विकल्प 4 केवल \(b^2\) का मान है, पूरा विविक्तकर नहीं। परीक्षा में पहले \(a,b,c\) पहचानकर सूत्र में उनके चिह्नों सहित मान रखें। / Here, \(a=2\), \(b=4\), and \(c=2\). Using the discriminant formula \(D=b^2-4ac\), we get \(D=(4)^2-4(2)(2)=16-16=0\). Therefore, the correct answer is 0, and the equation has equal roots. Option 4 is only the value of \(b^2\), not the complete discriminant. In an exam, identify \(a,b,c\) first and substitute them carefully into the formula.
यहाँ \(a=2\), \(b=4\) और \(c=2\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=4^2-4(2)(2)=16-16=0\) है। जब \(D=0\) होता है, तो दोनों मूल वास्तविक और समान होते हैं; वास्तव में दोनों मूल \(-1\) हैं। इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) को हमेशा वास्तविक और समान मूलों से जोड़कर याद रखें। / Here, \(a=2\), \(b=4\), and \(c=2\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=4^2-4(2)(2)=16-16=0\). When \(D=0\), the roots are real and equal; in fact, both roots are \(-1\). Therefore, option A is correct. Exam tip: remember that \(D=0\) indicates real and equal roots.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) में विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=1, b=3, c=7\), इसलिए \(D=3^2-4(1)(7)=9-28=-19\)। अतः सही उत्तर A है। ध्यान रखें कि ऋणात्मक विविक्तकर का अर्थ है कि समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं; विकल्प 19 में ऋण चिह्न की गलती है। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=1, b=3, c=7\), so \(D=3^2-4(1)(7)=9-28=-19\). Therefore, option A is correct. Exam tip: a negative discriminant means that the equation has no real roots; 19 results from missing the negative sign.
यहाँ \(a=1, b=3, c=7\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=3^2-4(1)(7)=9-28=-19<0\) है। इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं और सही उत्तर 0 है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में \(D<0\) होने पर वास्तविक मूलों की संख्या हमेशा 0 होती है। / Here, \(a=1, b=3, c=7\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=3^2-4(1)(7)=9-28=-19<0\). Therefore, the equation has no real roots, so the correct answer is 0. Exam tip: For a quadratic equation, \(D<0\) means there are zero real roots.
द्विघात समीकरण \\(ax^2+bx+c=0\\) के लिए विविक्तकर का सूत्र \\(D=b^2-4ac\\) है। यहाँ \\(a=3, b=-5, c=2\\\), इसलिए \\(D=(-5)^2-4(3)(2)=25-24=1\\\)। चूँकि \\(D>0\\\), इसके दो भिन्न वास्तविक मूल होंगे। परीक्षा में \\(b\\\) के ऋणात्मक चिह्न को वर्ग करते समय सही रूप से \\((-5)^2\\\) लिखें। / For a quadratic equation \\(ax^2+bx+c=0\\\), the discriminant is given by \\(D=b^2-4ac\\\). Here, \\(a=3, b=-5, c=2\\\), so \\(D=(-5)^2-4(3)(2)=25-24=1\\\). Since \\(D>0\\\), the equation has two distinct real roots. In an exam, remember to include the negative sign of \\(b\\\) before squaring it.
A. वास्तविक, परिमेय और भिन्न/Real, rational and distinct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=3, b=-5, c=2\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-5)^2-4(3)(2)=25-24=1\) है। चूँकि \(D\) धनात्मक पूर्ण वर्ग है, दोनों मूल वास्तविक, परिमेय और भिन्न होंगे। वास्तव में मूल \(x=1\) और \(x=\frac{2}{3}\) हैं। परीक्षा में याद रखें: \(D>0\) से मूल भिन्न, और \(D\) का पूर्ण वर्ग होना उन्हें परिमेय बनाता है। / Here, \(a=3, b=-5, c=2\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=(-5)^2-4(3)(2)=25-24=1\). Since \(D\) is positive and a perfect square, the two roots are real, rational, and distinct. In fact, the roots are \(x=1\) and \(x=\frac{2}{3}\). Exam tip: \(D>0\) indicates distinct roots, while a perfect-square discriminant makes them rational.
यहाँ \(a=2\), \(b=-1\) और \(c=4\) हैं। इसलिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-1)^2-4(2)(4)=1-32=-31\) है। चूँकि \(D<0\), इसका चिन्ह ऋणात्मक है और समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। परीक्षा में पहले \(b^2-4ac\) में \(b\) का चिह्न सही रखने की जाँच करें। / Here, \(a=2\), \(b=-1\), and \(c=4\). Thus, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-1)^2-4(2)(4)=1-32=-31\). Since \(D<0\), its sign is negative, and the equation has no real roots. In an exam, check the sign of \(b\) carefully before substituting in \(b^2-4ac\).
A. इसके कोई वास्तविक मूल नहीं हैं/It has no real roots
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=2\), \(b=-1\) और \(c=4\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-1)^2-4(2)(4)=1-32=-31\) है। चूँकि \(D<0\), समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा में द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति जानने के लिए सबसे पहले विविक्तकर का चिन्ह जाँचें। / Here, \(a=2\), \(b=-1\), and \(c=4\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=(-1)^2-4(2)(4)=1-32=-31\). Since \(D<0\), the equation has no real roots, so option A is correct. Exam tip: Check the sign of the discriminant first to determine the nature of the roots.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) में विविक्तकर का सूत्र \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=1\), \(b=-6\) और \(c=8\), इसलिए \(D=(-6)^2-4(1)(8)=36-32=4\)। अतः सही उत्तर 4 है। 0 लेने पर मूल समान हो जाते, जबकि यहाँ विविक्तकर धनात्मक है। परीक्षा-युक्ति: पहले \(a,b,c\) के चिह्न सही पहचानें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=1\), \(b=-6\), and \(c=8\), so \(D=(-6)^2-4(1)(8)=36-32=4\). Therefore, the correct answer is 4. A discriminant of 0 would indicate equal roots, which is not the case here. Exam tip: identify the signs of \(a\), \(b\), and \(c\) carefully before substituting.
A. वास्तविक, परिमेय और अलग-अलग/Real, rational and distinct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=1, b=-6, c=8\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-6)^2-4(1)(8)=36-32=4\) है। चूँकि \(D>0\), दोनों मूल वास्तविक और अलग-अलग हैं; तथा \(D=4\) पूर्ण वर्ग है, इसलिए वे परिमेय भी हैं। वास्तव में मूल \(2\) और \(4\) हैं। अतः विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) और पूर्ण वर्ग होने पर मूल वास्तविक, परिमेय और अलग-अलग होते हैं। / Here, \(a=1, b=-6, c=8\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=(-6)^2-4(1)(8)=36-32=4\). Since \(D>0\), the roots are real and distinct; since \(D=4\) is a perfect square, they are also rational. In fact, the roots are \(2\) and \(4\). Therefore, option A is correct. Exam tip: If \(D>0\) and is a perfect square, the roots are real, rational and distinct.
द्विघात समीकरण 8ax-2+bx+c=0\u00029 में विभेदक का सूत्र 8D=b-2-4ac\u00029 होता है। यहाँ 8a=1, b=-2, c=-1\u00029 हैं, इसलिए 8D=(-2)2-4(1)(-1)=4+4=8\u00029। ध्यान रखें कि 8c=-1\u00029 होने के कारण 8-4ac\u00029 का मान धनात्मक जुड़ता है। परीक्षा-युक्ति: पहले 8a,b,c\u00029 के चिह्न सही लिखकर ही सूत्र में रखें। / For a quadratic equation 8ax-2+bx+c=0\u00029, the discriminant is 8D=b-2-4ac\u00029. Here, 8a=1, b=-2, c=-1\u00029, so 8D=(-2)2-4(1)(-1)=4+4=8\u00029. Since 8c=-1\u00029, subtracting 8-4ac\u00029 results in adding 4; therefore, 4 is not the discriminant. Exam tip: identify the signs of 8a,b,c\u00029 before substitution.
A. वास्तविक, अपरिमेय और अलग-अलग/Real, irrational and distinct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=1, b=-2, c=-1\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-2)^2-4(1)(-1)=8\) है। चूँकि \(D>0\), दोनों मूल वास्तविक और अलग-अलग हैं। साथ ही, \(8\) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए मूल अपरिमेय हैं। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) और \(D\) पूर्ण वर्ग न हो, तो मूल वास्तविक, अपरिमेय और अलग-अलग होते हैं। / Here, \(a=1, b=-2, c=-1\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-2)^2-4(1)(-1)=8\). Since \(D>0\), the roots are real and distinct. Also, 8 is not a perfect square, so the roots are irrational. Exam tip: If \(D>0\) and \(D\) is not a perfect square, the roots are real, irrational, and distinct.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=5\), \(b=-20\) और \(c=20\) हैं, इसलिए \(D=(-20)^2-4(5)(20)=400-400=0\)। अतः सही उत्तर 0 है। \(D=0\) होने पर दोनों मूल समान होते हैं। परीक्षा-युक्ति: विविक्तकर निकालते समय \(b\) के ऋण चिह्न को वर्ग करने से पहले अवश्य लिखें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=5\), \(b=-20\), and \(c=20\), so \(D=(-20)^2-4(5)(20)=400-400=0\). Therefore, the correct answer is 0. When \(D=0\), the two roots are equal. Exam tip: Always substitute the signed value of \(b\) before squaring it.
यहाँ \(a=5, b=-20, c=20\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-20)^2-4(5)(20)=400-400=0\)। इसलिए दोनों मूल वास्तविक और समान होंगे। वास्तव में, समीकरण \(5(x-2)^2=0\) है, अतः दोनों मूल \(x=2\) हैं। याद रखें: \(D=0\) होने पर मूल वास्तविक और समान होते हैं; \(D>0\) पर वे भिन्न होते हैं। / Here, \(a=5, b=-20, c=20\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=(-20)^2-4(5)(20)=400-400=0\). Therefore, the roots are real and equal. In fact, the equation becomes \(5(x-2)^2=0\), so both roots are \(x=2\). Exam tip: \(D=0\) gives real and equal roots, whereas \(D>0\) gives distinct real roots.
A. वास्तविक, परिमेय और भिन्न/Real, rational and distinct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(D=25>0\), इसलिए दोनों मूल वास्तविक और भिन्न होंगे। साथ ही, 25 एक पूर्ण वर्ग है और गुणांक परिमेय हैं, इसलिए मूल परिमेय भी होंगे। विकल्प B तब सही होता जब \(D=0\) होता, जबकि अपरिमेय मूलों के लिए धनात्मक विविक्तकर पूर्ण वर्ग नहीं होना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) से भिन्न वास्तविक मूल, \(D=0\) से समान मूल और \(D<0\) से अवास्तविक मूल मिलते हैं। / Here, \(D=25>0\), so the two roots are real and distinct. Since 25 is a perfect square and the coefficients are rational, the roots are also rational. Option B would be correct only when \(D=0\), while irrational roots occur when the positive discriminant is not a perfect square. Exam tip: \(D>0\) gives distinct real roots, \(D=0\) gives equal real roots, and \(D<0\) gives non-real roots.
A. मूल वास्तविक, अपरिमेय और भिन्न हैं/The roots are real, irrational and distinct
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण के लिए D>0 होने पर दोनों मूल वास्तविक और भिन्न होते हैं। यहाँ D=5>0 है, इसलिए मूल वास्तविक और भिन्न हैं। साथ ही, 5 पूर्ण वर्ग नहीं है और गुणांक पूर्णांक हैं, इसलिए [0mमूल अपरिमेय होंगे। अतः विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: D>0 के लिए मूल वास्तविक व भिन्न, D=0 के लिए समान और D<0 के लिए अवास्तविक होते हैं। / For a quadratic equation, D>0 means that the roots are real and distinct. Here, D=5>0, so the roots are real and distinct. Since 5 is not a perfect square and the coefficients are integers, the roots are also irrational. Therefore, option A is correct. Exam tip: D>0 gives real and distinct roots, D=0 gives equal roots, and D<0 gives non-real roots.
द्विघात समीकरण के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। जब \(D<0\), तब समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होते। यहाँ \(D=-9<0\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B के लिए \(D>0\) और विकल्प C के लिए \(D=0\) होना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: विविक्तकर का चिह्न देखकर मूलों की प्रकृति तुरंत निर्धारित करें। / For a quadratic equation, the discriminant is \(D=b^2-4ac\). If \(D<0\), the equation has no real roots. Here, \(D=-9<0\), so option A is correct. Option B requires \(D>0\), while option C requires \(D=0\). Exam tip: determine the nature of the roots by checking the sign of the discriminant.
समान मूलों के लिए विभेदक \(D=0\) होता है। यहाँ \(a=1\), \(b=k\) और \(c=16\) हैं, इसलिए \(D=b^2-4ac=k^2-4(1)(16)=k^2-64\)। अतः \(k^2-64=0\), जिससे \(k^2=64\)। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों वाले द्विघात समीकरण में सीधे \(b^2-4ac=0\) लगाएँ; केवल स्थिर पद 16 को उत्तर न मानें। / For equal roots, the discriminant must be zero. Here, \(a=1\), \(b=k\), and \(c=16\), so \(D=b^2-4ac=k^2-4(1)(16)=k^2-64\). Thus, \(k^2-64=0\), giving \(k^2=64\). Exam tip: For equal roots, immediately apply \(b^2-4ac=0\); do not confuse the constant term 16 with the required value of \(k^2\).
समान मूलों के लिए विविक्तकर शून्य होना चाहिए: (D=b-2-4ac=k-2-4(1)(16)=k-2-64=0। इसलिए \(k^2=64\\), अर्थात (k=8 या (k=-8। दिए गए विकल्पों में 8 सही है। परीक्षा-टिप: द्विघात समीकरण के समान मूलों के लिए हमेशा (D=0 लगाएँ। / For equal roots, the discriminant must be zero: (D=b-2-4ac=k-2-4(1)(16)=k-2-64=0। Thus, \(k^2=64\\), so (k=8 or (k=-8। Among the given options, 8 is correct. Exam tip: For equal roots of a quadratic equation, set (D=0।
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) का मान शून्य से अधिक होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=p\) और \(c=6\) हैं, इसलिए \(D=p^2-24\)। अतः \(p^2-24>0\), अर्थात \(p^2>24\)। \(p^2=24\) होने पर मूल वास्तविक लेकिन समान होंगे। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए हमेशा \(D>0\) याद रखें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the roots are real and distinct when the discriminant \(D=b^2-4ac\) is positive. Here, \(a=1\), \(b=p\), and \(c=6\), so \(D=p^2-24\). Therefore, \(p^2-24>0\), which gives \(p^2>24\). If \(p^2=24\), the roots are real but equal. Exam tip: remember that real and distinct roots require \(D>0\).
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac<0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1\), \(b=q\) और \(c=10\) हैं, इसलिए \(D=q^2-40\)। अतः \(q^2-40<0\), अर्थात \(q^2<40\)। ध्यान रखें कि \(q^2=40\) होने पर दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं, इसलिए वह सही विकल्प नहीं है। / A quadratic equation has no real roots when its discriminant \(D=b^2-4ac\) is negative. Here, \(a=1\), \(b=q\), and \(c=10\), so \(D=q^2-40\). Therefore, \(q^2-40<0\), which gives \(q^2<40\). Remember that \(q^2=40\) gives equal real roots, not no real roots.
समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) का मान शून्य होता है। यहाँ \(a=m\), \(b=6\) और \(c=3\), इसलिए \(D=6^2-4(m)(3)=0\)। इससे \(36-12m=0\), अतः \(m=3\)। इसलिए सही विकल्प A है। परीक्षा-टिप: समान मूलों वाले प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) लगाएँ। / For equal roots, the discriminant \(D=b^2-4ac\) must be zero. Here, \(a=m\), \(b=6\), and \(c=3\), so \(6^2-4(m)(3)=0\). Thus, \(36-12m=0\), giving \(m=3\). Therefore, option A is correct. Exam tip: For equal-root questions, immediately apply the condition \(D=0\).
समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) होता है। यहाँ \(a=2\), \(b=n\) और \(c=8\), इसलिए \(n^2-4(2)(8)=0\), अर्थात \(n^2=64\)। ध्यान रखें कि प्रश्न \(n\) नहीं, बल्कि \(n^2\) पूछ रहा है। / For equal roots, the discriminant \(D=b^2-4ac\) must be zero. Here, \(a=2\), \(b=n\), and \(c=8\), so \(n^2-4(2)(8)=0\), giving \(n^2=64\). Remember that the question asks for \(n^2\), not \(n\).
विकल्प A के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-9)^2-4(1)(20)=1\) है। चूँकि \(D>0\) और 1 पूर्ण वर्ग है, इसलिए दोनों मूल वास्तविक, परिमेय और अलग-अलग होंगे। वास्तव में समीकरण \((x-4)(x-5)=0\) है, इसलिए मूल 4 और 5 हैं। विकल्प B, C और D के विविक्तकर क्रमशः \(-3,-39,-16\) हैं, इसलिए उनके मूल वास्तविक नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) और पूर्ण वर्ग होने पर द्विघात समीकरण के मूल वास्तविक, परिमेय और भिन्न होते हैं। / For option A, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-9)^2-4(1)(20)=1\). Since \(D>0\) and 1 is a perfect square, the roots are real, rational, and distinct. In fact, the equation factors as \((x-4)(x-5)=0\), giving roots 4 and 5. The discriminants of options B, C, and D are \(-3,-39,-16\), respectively, so their roots are not real. Exam tip: For a quadratic equation, \(D>0\) and a perfect-square discriminant indicate distinct real rational roots.
विकल्प B में \(a=1, b=-2, c=-2\) हैं। अतः विविक्तकर \(\Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4(1)(-2)=12\) है। चूँकि \(\Delta>0\), मूल वास्तविक और भिन्न हैं; और 12 पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए मूल अपरिमेय हैं। वास्तव में मूल \(1\pm\sqrt{3}\) हैं। विकल्प A में विविक्तकर 16 है, इसलिए मूल परिमेय हैं; C में विविक्तकर 0 है और D में यह ऋणात्मक है। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक, भिन्न और अपरिमेय मूलों के लिए \(\Delta>0\) तथा \(\Delta\) का पूर्ण वर्ग न होना आवश्यक है। / For option B, \(a=1, b=-2, c=-2\). Therefore, the discriminant is \(\Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4(1)(-2)=12\). Since \(\Delta>0\), the roots are real and distinct; since 12 is not a perfect square, the roots are irrational. In fact, the roots are \(1\pm\sqrt{3}\). Option A has discriminant 16, giving rational roots; option C has discriminant 0, giving equal roots; and option D has a negative discriminant, so it has no real roots. Exam tip: real, distinct, irrational roots require \(\Delta>0\) and \(\Delta\) not to be a perfect square.
द्विघात समीकरण में (D=0) होने पर दोनों मूल समान होते हैं। यह मूलों की प्रकृति का सीधा नियम है। / In a quadratic equation, (D=0) means both roots are equal. This is a direct rule of nature of roots.
द्विघात समीकरण में विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। जब \(D<0\), तब समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होते, इसलिए दो वास्तविक और भिन्न मूल मिलने वाला कथन असत्य है। दो वास्तविक और भिन्न मूल \(D>0\) होने पर मिलते हैं; \(D=0\) पर दोनों मूल समान होते हैं। परीक्षा-युक्ति: मूलों की प्रकृति याद रखने के लिए \(D>0\), \(D=0\), और \(D<0\) के क्रम को अवश्य जाँचें। / For a quadratic equation, the discriminant is \(D=b^2-4ac\). When \(D<0\), the equation has no real roots, so the statement claiming two real and distinct roots is false. Two real and distinct roots occur when \(D>0\), while \(D=0\) gives equal real roots. Exam tip: Always check the three cases \(D>0\), \(D=0\), and \(D<0\) to determine the nature of the roots.
कथन गलत है। द्विघात समीकरण में \(D>0\) होने पर दो वास्तविक और भिन्न मूल प्राप्त होते हैं, समान मूल नहीं। समान मूल केवल \(D=0\) होने पर मिलते हैं, जबकि \(D<0\) पर कोई वास्तविक मूल नहीं होता। परीक्षा-युक्ति: विविक्तकर के लिए याद रखें—\(D>0\): वास्तविक और भिन्न मूल, \(D=0\): समान मूल, \(D<0\): अवास्तविक मूल। / The statement is incorrect. For a quadratic equation, \(D>0\) gives two real and distinct roots, not equal roots. Equal roots occur only when \(D=0\), while \(D<0\) gives no real roots. Exam tip: remember the sequence—\(D>0\): real and distinct roots, \(D=0\): equal roots, \(D<0\): non-real roots.
यहाँ \(a=4\), \(b=-4\) और \(c=3\) हैं। विविक्तकर \(\Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4(4)(3)=16-48=-32<0\) है। इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। विकल्प D गलत है, क्योंकि अपरिमेय और भिन्न वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर धनात्मक होना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: \(\Delta<0\) होने पर द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होते। / Here, \(a=4\), \(b=-4\), and \(c=3\). The discriminant is \(\Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4(4)(3)=16-48=-32<0\). Therefore, the equation has no real roots. Option D is incorrect because irrational and distinct roots are real roots and require a positive discriminant. Exam tip: For a quadratic equation, \(\Delta<0\) means that it has no real roots.
मानक रूप \(ax^2+bx+c=0\) से \(a=6\), \(b=-5\) और \(c=1\) हैं। इसलिए \(D=b^2-4ac=(-5)^2-4(6)(1)=25-24=1\), अतः सही उत्तर A है। \(D>0\) होने से मूल वास्तविक और भिन्न होंगे; तथा \(D\) पूर्ण वर्ग होने के कारण वे परिमेय भी होंगे। परीक्षा-युक्ति: विविक्तकर निकालते समय \(b\) के ऋण चिह्न को कोष्ठक में रखें। / In the standard form \(ax^2+bx+c=0\), \(a=6\), \(b=-5\), and \(c=1\). Thus, \(D=b^2-4ac=(-5)^2-4(6)(1)=25-24=1\), so option A is correct. Since \(D>0\), the roots are real and distinct; because \(D\) is also a perfect square, they are rational. Exam tip: always place the signed value of \(b\) in parentheses when calculating the discriminant.
A. वास्तविक, परिमेय और भिन्न/Real, rational and distinct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-5)^2-4(6)(1)=25-24=1\) है। \(D\) धनात्मक पूर्ण वर्ग होने पर दोनों मूल वास्तविक, परिमेय और भिन्न होते हैं। वास्तव में मूल \(x=\frac{1}{2}\) और \(x=\frac{1}{3}\) हैं। परीक्षा में याद रखें: \(D>0\) और पूर्ण वर्ग होने पर मूल वास्तविक, परिमेय और अलग-अलग होते हैं। / Here, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-5)^2-4(6)(1)=25-24=1\). Since \(D\) is positive and a perfect square, the roots are real, rational, and distinct. In fact, the roots are \(x=\frac{1}{2}\) and \(x=\frac{1}{3}\). Exam tip: if \(D>0\) is a perfect square, the roots are real, rational, and distinct.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए विविक्तकर का सूत्र \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=3\), \(b=-6\) और \(c=1\), इसलिए \(D=(-6)^2-4(3)(1)=36-12=24\)। अतः सही विकल्प A है। ध्यान रखें कि धनात्मक विविक्तकर दो भिन्न वास्तविक मूलों को दर्शाता है; 36 केवल \(b^2\) का मान है, पूरा विविक्तकर नहीं। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=3\), \(b=-6\), and \(c=1\), so \(D=(-6)^2-4(3)(1)=36-12=24\). Therefore, option A is correct. Remember that a positive discriminant indicates two distinct real roots; 36 is only the value of \(b^2\), not the complete discriminant.
A. वास्तविक, अपरिमेय और भिन्न/Real, irrational and distinct
Explanation
Simple Explanation
इसमें (D=24>0) है और (24) पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए मूल वास्तविक, अपरिमेय और भिन्न हैं। / Here (D=24>0) and (24) is not a perfect square. So the roots are real, irrational and distinct.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) में विविक्तकर का सूत्र \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=1, b=8, c=16\), इसलिए \(D=8^2-4(1)(16)=64-64=0\)। अतः मूल समान होंगे। परीक्षा में पहले \(a,b,c\) के चिह्न सही पहचानकर सूत्र में रखें; \(64\) केवल \(b^2\) का मान है, पूरा विविक्तकर नहीं। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=1, b=8, c=16\), so \(D=8^2-4(1)(16)=64-64=0\). Therefore, the equation has equal roots. In an exam, identify the signs of \(a,b,c\) before substitution; \(64\) is only the value of \(b^2\), not the complete discriminant.
A. मूल वास्तविक और समान हैं/The roots are real and equal
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=1, b=8, c=16\) हैं, इसलिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=8^2-4(1)(16)=0\)। अतः दोनों मूल वास्तविक और समान होंगे। वास्तव में, \(x^2+8x+16=(x+4)^2\), इसलिए दोनों मूल \(x=-4\) हैं। परीक्षा में याद रखें: \(D=0\) होने पर मूल वास्तविक और समान होते हैं। / Here, \(a=1, b=8, c=16\), so the discriminant is \(D=b^2-4ac=8^2-4(1)(16)=0\). Therefore, the roots are real and equal. In fact, \(x^2+8x+16=(x+4)^2\), so both roots are \(x=-4\). Exam tip: when \(D=0\), a quadratic equation has real and equal roots.
मानक रूप \(ax^2+bx+c=0\) से \(a=2, b=7, c=3\) हैं। इसलिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=7^2-4(2)(3)=49-24=25\) होगा। विकल्प 49 केवल \(b^2\) है; उसमें \(4ac\) घटाया नहीं गया है। परीक्षा-टिप: मूलों की प्रकृति जानने के लिए पहले \(D\) का मान और उसका चिह्न निर्धारित करें। / Comparing the equation with \(ax^2+bx+c=0\), we get \(a=2, b=7, c=3\). Thus, \(D=b^2-4ac=7^2-4(2)(3)=49-24=25\). The distractor 49 is only \(b^2\), without subtracting \(4ac\). Exam tip: Calculate the value and sign of \(D\) first to determine the nature of the roots.
A. वास्तविक, परिमेय और अलग-अलग/Real, rational and distinct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ a = 2, b = 7 और c = 3 हैं। विविक्तकर D = b² − 4ac = 7² − 4(2)(3) = 25 है। D > 0 होने से मूल वास्तविक और अलग-अलग हैं, तथा 25 पूर्ण वर्ग होने से वे परिमेय भी हैं। वास्तव में मूल −1/2 और −3 हैं। इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: D > 0 और पूर्ण वर्ग होने पर मूल वास्तविक, परिमेय और अलग-अलग होते हैं। / Here, a = 2, b = 7 and c = 3. The discriminant is D = b² − 4ac = 7² − 4(2)(3) = 25. Since D > 0, the roots are real and distinct; since 25 is a perfect square, they are also rational. In fact, the roots are −1/2 and −3. Therefore, option A is correct. Exam tip: If D > 0 and D is a perfect square, the roots are real, rational and distinct.
मानक रूप \\(ax^2+bx+c=0\\) से \\(a=7\\), \\(b=2\\) और \\(c=3\\) हैं। इसलिए \\(D=b^2-4ac=(2)^2-4(7)(3)=4-84=-80\\)। अतः सही उत्तर -80 है। चूँकि \\(D<0\\), इस समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। परीक्षा में विविक्तकर निकालते समय \\(b\\) के चिह्न सहित उसका वर्ग अवश्य लें। / Comparing the equation with the standard form \\(ax^2+bx+c=0\\), we get \\(a=7\\), \\(b=2\\), and \\(c=3\\). Thus, \\(D=b^2-4ac=(2)^2-4(7)(3)=4-84=-80\\). Therefore, -80 is correct. Since \\(D<0\\), the equation has no real roots. In exams, remember to use the coefficient of \\(x\\), including its sign, when calculating \\(b^2\\).
यहाँ \(a=7\), \(b=2\) और \(c=3\) हैं। विविक्तकर \(\Delta=b^2-4ac=2^2-4(7)(3)=4-84=-80\) है। क्योंकि \(\Delta<0\), इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। \(\Delta=0\) होने पर ही दो वास्तविक और समान मूल मिलते हैं; अतः विकल्प B सही नहीं है। परीक्षा में मूलों की प्रकृति जानने के लिए सबसे पहले विविक्तकर का चिह्न जाँचें। / Here, \(a=7\), \(b=2\), and \(c=3\). The discriminant is \(\Delta=b^2-4ac=2^2-4(7)(3)=4-84=-80\). Since \(\Delta<0\), the equation has no real roots. Two real and equal roots occur only when \(\Delta=0\), so option B is incorrect. In an exam, first check the sign of the discriminant to determine the nature of the roots.
समान वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D=0\) होता है। यहाँ \(a=1, b=-2r, c=9\), इसलिए \(D=b^2-4ac=(-2r)^2-4(1)(9)=4r^2-36\)। अब \(4r^2-36=0\) से \(r^2=9\) प्राप्त होता है। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों वाले द्विघात समीकरण में सीधे \(D=0\) लगाएँ। / For equal real roots, the discriminant must be \(D=0\). Here, \(a=1, b=-2r, c=9\), so \(D=b^2-4ac=(-2r)^2-4(1)(9)=4r^2-36\). Thus, \(4r^2-36=0\), giving \(r^2=9\). Exam tip: For equal roots, immediately use the condition \(D=0\).
वास्तविक और समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) का मान शून्य होता है। यहाँ \(a=4\), \(b=s\) और \(c=9\), इसलिए \(s^2-4(4)(9)=0\)। अतः \(s^2=144\)। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों वाले द्विघात समीकरण में हमेशा \(D=0\) लगाएँ। / For real and equal roots, the discriminant \(D=b^2-4ac\) must be zero. Here, \(a=4\), \(b=s\), and \(c=9\), so \(s^2-4(4)(9)=0\). Therefore, \(s^2=144\). Exam tip: For equal roots of a quadratic equation, set the discriminant equal to zero.
A. वास्तविक, अपरिमेय और भिन्न/Real, irrational and distinct
Explanation
Simple Explanation
यहाँ (D=(-5)2-4(1)(3)=13) है और (13) पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए मूल वास्तविक, अपरिमेय और भिन्न हैं। / Here (D=(-5)2-4(1)(3)=13), and (13) is not a perfect square. So the roots are real, irrational and distinct.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के वास्तविक मूल न होने के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac<0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=1, b=t, c=12\), इसलिए \(D=t^2-48\) और \(t^2-48<0\), अर्थात \(t^2<48\)। \(t^2=48\) होने पर दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं, इसलिए विकल्प B गलत है। परीक्षा में मूलों की प्रकृति निर्धारित करने के लिए पहले विविक्तकर का चिह्न जाँचें। / A quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\) has no real roots when its discriminant \(D=b^2-4ac\) is negative. Here, \(a=1, b=t, c=12\), so \(D=t^2-48\). Thus, \(t^2-48<0\), which gives \(t^2<48\). If \(t^2=48\), the equation has two equal real roots, so option B is incorrect. Exam tip: determine the nature of the roots by checking the sign of the discriminant first.
