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द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) से निर्धारित होती है। यदि \(D>0\) हो, तो दो भिन्न वास्तविक मूल; यदि \(D=0\) हो, तो दो समान वास्तविक मूल; और यदि \(D<0\) हो, तो कोई वास्तविक मूल नहीं होता। इसलिए सही राशि विविक्तकर है। परीक्षा-युक्ति: पहले समीकरण को मानक रूप में लिखकर \(a\), \(b\) और \(c\) पहचानें, फिर \(D\) का मान निकालें। / The nature of the roots of a quadratic equation is determined by its discriminant, \(D=b^2-4ac\). If \(D>0\), the roots are real and distinct; if \(D=0\), the roots are real and equal; and if \(D<0\), there are no real roots. Therefore, the discriminant is the correct quantity. Exam tip: first write the equation in standard form and identify \(a\), \(b\), and \(c\) before calculating \(D\).
A. दो वास्तविक और भिन्न मूल/Two real and distinct roots
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण में विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। जब \(D>0\), तो \(\sqrt{D}\) का मान धनात्मक और वास्तविक होता है, इसलिए सूत्र \(x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\) से दो अलग-अलग वास्तविक मूल प्राप्त होते हैं। \(D=0\) पर मूल समान और \(D<0\) पर कोई वास्तविक मूल नहीं होता। परीक्षा में मूलों की प्रकृति पहचानने के लिए सबसे पहले विविक्तकर का चिह्न देखें। / For a quadratic equation, the discriminant is \(D=b^2-4ac\). When \(D>0\), \(\sqrt{D}\) is positive and real, so the two signs in \(x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\) give two distinct real roots. Equal roots occur when \(D=0\), while no real roots occur when \(D<0\); therefore, options B and C are incorrect. In an exam, first check the sign of the discriminant to determine the nature of the roots.
द्विघात समीकरण �\(ax^2+bx+c=0�\) का विविक्तकर �\(D=b^2-4ac\)� होता है। जब �(D=0�) होता है, तब मूलों का सूत्र �\(x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\)� दोनों बार समान मान देता है, इसलिए दोनों मूल वास्तविक और समान होते हैं। �(D>0�) पर मूल वास्तविक और भिन्न होते हैं, जबकि �(D<0�) पर कोई वास्तविक मूल नहीं होता। परीक्षा में विविक्तकर के चिह्न और मूलों की प्रकृति का संबंध याद रखें। / For a quadratic equation �\(ax^2+bx+c=0�\), the discriminant is �\(D=b^2-4ac\)�. When �(D=0�), the roots formula �\(x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\)� gives the same value for both signs, so the roots are real and equal. For �(D>0�), the roots are real and distinct, while for �(D<0�), there are no real roots. Exam tip: remember the direct link between the sign of the discriminant and the nature of the roots.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) में विविक्तकर का सूत्र \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=1\), \(b=-5\) और \(c=6\), इसलिए \(D=(-5)^2-4(1)(6)=25-24=1\)। विकल्प 0 समान मूलों को दर्शाता, लेकिन यहाँ \(D=1\) है। परीक्षा-युक्ति: पहले \(a,b,c\) के चिह्न सही पहचानें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=1\), \(b=-5\), and \(c=6\), so \(D=(-5)^2-4(1)(6)=25-24=1\). The value 0 would indicate equal roots, but this equation has \(D=1\). Exam tip: identify the signs of \(a\), \(b\), and \(c\) carefully before substituting.
यहाँ \(a=1, b=-4, c=4\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-4)^2-4(1)(4)=0\) है, इसलिए दोनों मूल वास्तविक और समान होंगे। वास्तव में, \(x^2-4x+4=(x-2)^2\), अतः दोनों मूल \(x=2\) हैं। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) होने पर मूल हमेशा वास्तविक और समान होते हैं। / Here, \(a=1, b=-4, c=4\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=(-4)^2-4(1)(4)=0\), so the roots are real and equal. In fact, \(x^2-4x+4=(x-2)^2\), giving the repeated root \(x=2\). Exam tip: when \(D=0\), the roots are always real and equal.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए विविक्तकर का सूत्र \(D=b^2-4ac\) है। यहाँ \(a=2\), \(b=-3\) और \(c=1\), इसलिए \(D=(-3)^2-4(2)(1)=9-8=1\)। अतः सही उत्तर 1 है। परीक्षा में \(b\) के ऋणात्मक चिह्न को वर्ग करते समय सावधानी रखें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=2\), \(b=-3\), and \(c=1\), so \(D=(-3)^2-4(2)(1)=9-8=1\). Therefore, the correct answer is 1. In exams, be careful to square the negative value of \(b\) correctly.
इसमें (D=1>0) है इसलिए दो वास्तविक और भिन्न मूल होंगे। (D) धनात्मक हो तो यही नियम लगाएँ। / Here (D=1>0), so the roots will be two real and distinct. Apply this rule when (D) is positive.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=3, b=6, c=3\), इसलिए \(D=6^2-4(3)(3)=0\)। जब \(D=0\) होता है, तो दोनों मूल वास्तविक और समान होते हैं; वास्तव में दोनों मूल \(-1\) हैं। अतः सही उत्तर A है। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) का अर्थ हमेशा समान वास्तविक मूल होता है। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=3, b=6, c=3\), so \(D=6^2-4(3)(3)=0\). When \(D=0\), the roots are real and equal; in fact, both roots are \(-1\). Therefore, option A is correct. Exam tip: \(D=0\) always indicates equal real roots.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) में \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=1,b=1,c=1\), इसलिए \(D=1^2-4(1)(1)=-3\), जो ऋणात्मक है। अतः सही उत्तर A है। \(D=0\) होने पर ही विविक्तकर शून्य होता है; यहाँ \(D=-3\) है। परीक्षा-युक्ति: \(D<0\) होने पर समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होते। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=1,b=1,c=1\), so \(D=1^2-4(1)(1)=-3\), which is negative. Therefore, option A is correct. The discriminant would be zero only if \(D=0\), which is not the case here. Exam tip: when \(D<0\), the quadratic equation has no real roots.
द्विघात समीकरण में विविक्तकर \\(D=b^2-4ac\\) होता है। यहाँ \\(D=9>0\\), इसलिए दोनों मूल वास्तविक और एक-दूसरे से भिन्न होंगे। समान वास्तविक मूल के लिए \\(D=0\\) होना चाहिए, इसलिए विकल्प B गलत है। परीक्षा में याद रखें: \\(D>0\\) पर मूल वास्तविक और भिन्न होते हैं। / For a quadratic equation, the discriminant is \\(D=b^2-4ac\\). Here, \\(D=9>0\\), so the two roots are real and distinct. Equal real roots require \\(D=0\\), so option B is incorrect. Exam tip: \\(D>0\\) indicates real and distinct roots.
द्विघात समीकरण में विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(D=-7<0\), इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होंगे; इसके मूल सम्मिश्र होंगे। विकल्प B के लिए \(D>0\) और विकल्प C के लिए \(D=0\) होना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: \(D<0\) देखते ही “कोई वास्तविक मूल नहीं” चुनें। / For a quadratic equation, the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(D=-7<0\), so the equation has no real roots; its roots are complex. Option B requires \(D>0\), while option C requires \(D=0\). Exam tip: whenever \(D<0\), conclude that there are no real roots.
(D=0) होने पर दोनों मूल समान होते हैं इसलिए अलग वास्तविक मूल (1) होता है। समान और भिन्न में अंतर याद रखें। / When (D=0), both roots are equal, so there is (1) different real root. Remember the difference between equal and distinct.
द्विघात समीकरण \\(ax^2+bx+c=0\\) के लिए \\(D=b^2-4ac\\) होता है। यहाँ \\(a=4, b=4, c=1\\), इसलिए \\(D=4^2-4(4)(1)=16-16=0\\)। अतः सही उत्तर 0 है और मूल बराबर होंगे। 8 या 16 लेने पर सूत्र में \\(4ac\\) घटाने की गणना गलत हो जाती है। परीक्षा-युक्ति: \\(D=0\\) होने पर दो समान वास्तविक मूल होते हैं। / For a quadratic equation \\(ax^2+bx+c=0\\), the discriminant is \\(D=b^2-4ac\\). Here, \\(a=4, b=4, c=1\\), so \\(D=4^2-4(4)(1)=16-16=0\\). Therefore, the correct answer is 0, and the roots are equal. Choosing 8 or 16 results from an incorrect subtraction in the formula. Exam tip: when \\(D=0\\), the quadratic equation has two equal real roots.
यहाँ \(a=4, b=4, c=1\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=4^2-4(4)(1)=16-16=0\) है। इसलिए दोनों मूल वास्तविक और समान होंगे; वास्तव में प्रत्येक मूल \(-\frac{1}{2}\) है। विकल्प B के लिए \(D>0\) होना आवश्यक होता है, जबकि यहाँ \(D=0\) है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में \(D=0\) होने पर हमेशा वास्तविक और समान मूल मिलते हैं। / Here, \(a=4, b=4, c=1\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=4^2-4(4)(1)=16-16=0\). Therefore, the roots are real and equal; in fact, each root is \(-\frac{1}{2}\). Option B would require \(D>0\), but here \(D=0\). Exam tip: For a quadratic equation, \(D=0\) always indicates real and equal roots.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=1\), \(b=-2\) और \(c=-3\) हैं, इसलिए \(D=(-2)^2-4(1)(-3)=4+12=16\)। ऋणात्मक \(c\) के कारण \(-4ac\) का मान धनात्मक हो जाता है; इसी कारण \(8\) या \(-16\) सही नहीं हैं। परीक्षा में पहले \(a,b,c\) के चिह्न स्पष्ट रूप से लिखें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=1\), \(b=-2\), and \(c=-3\), so \(D=(-2)^2-4(1)(-3)=4+12=16\). Since \(c\) is negative, the term \(-4ac\) becomes positive; therefore, 8 and -16 are incorrect. In an exam, identify the signs of \(a\), \(b\), and \(c\) before substituting.
(D=16>0) है इसलिए मूल वास्तविक और भिन्न हैं। धनात्मक (D) हमेशा भिन्न वास्तविक मूल देता है। / Since (D=16>0), the roots are real and distinct. Positive (D) always gives distinct real roots.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) का विभेदक \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=5\), \(b=2\) और \(c=1\) हैं, इसलिए \(D=2^2-4(5)(1)=4-20=-16\)। अतः सही उत्तर A है और क्योंकि \(D<0\), समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: पहले \(a,b,c\) के चिह्न सहित मान पहचानकर सूत्र में रखें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=5\), \(b=2\), and \(c=1\), so \(D=2^2-4(5)(1)=4-20=-16\). Therefore, option A is correct; since \(D<0\), the equation has no real roots. Exam tip: identify \(a\), \(b\), and \(c\) carefully, including their signs, before applying the formula.
क्योंकि (D=-16<0) है इसलिए वास्तविक मूल (0) हैं। परीक्षा में (D<0) दिखते ही यही निष्कर्ष लिखें। / Because (D=-16<0), the number of real roots is (0). In exams write this conclusion as soon as (D<0) appears.
यहाँ �a=9, b=-6, c=1� हैं। विविक्तकर �D=b-2-4ac=(-6)2-4(9)(1)=0� है। इसलिए दोनों मूल वास्तविक और समान होते हैं। वास्तव में, �(3x-1)2=0� से दोनों मूल �x=\frac{1}{3}� प्राप्त होते हैं। याद रखें: �D=0� होने पर मूल समान होते हैं। / Here, �a=9, b=-6, c=1�. The discriminant is �D=b-2-4ac=(-6)2-4(9)(1)=0�. Therefore, the roots are real and equal. In fact, �(3x-1)2=0� gives both roots as �x=\frac{1}{3}�. Exam tip: when �D=0�, a quadratic equation has equal real roots.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=2, b=5, c=2\), इसलिए \(D=5^2-4(2)(2)=25-16=9\)। अतः सही उत्तर 9 है। \(D>0\) होने से इसके दो भिन्न वास्तविक मूल होंगे। परीक्षा में चिन्हों पर विशेष ध्यान दें; \(-4ac\) को गलती से \(+4ac\) न लें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=2, b=5, c=2\), so \(D=5^2-4(2)(2)=25-16=9\). Therefore, the correct answer is 9. Since \(D>0\), the equation has two distinct real roots. In exams, carefully retain the minus sign in \(b^2-4ac\); using a plus sign would incorrectly give 41.
इसमें (D=9>0) है इसलिए दो वास्तविक और भिन्न मूल होंगे। पहले (D) निकालना सबसे सुरक्षित तरीका है। / Here (D=9>0), so there will be two real and distinct roots. Finding (D) first is the safest method.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=3\), \(b=2\) और \(c=1\), इसलिए \(D=(2)^2-4(3)(1)=4-12=-8\)। अतः सही उत्तर A है। धनात्मक 8 लेना सामान्यतः \(-4ac\) में ऋण चिह्न भूलने की गलती है। परीक्षा-युक्ति: पहले \(a,b,c\) पहचानकर सूत्र में क्रमशः रखें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=3\), \(b=2\), and \(c=1\), so \(D=(2)^2-4(3)(1)=4-12=-8\). Therefore, option A is correct. Choosing 8 usually results from missing the minus sign in \(-4ac\). Exam tip: identify \(a\), \(b\), and \(c\) first, then substitute them carefully.
यहाँ \(a=3, b=2, c=1\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=2^2-4(3)(1)=4-12=-8\) है। चूँकि \(D<0\), इसलिए इस समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं; इसके मूल सम्मिश्र होंगे। \(D>0\) होने पर मूल वास्तविक और भिन्न होते, जबकि \(D=0\) होने पर वास्तविक और समान। परीक्षा में मूलों की प्रकृति जानने के लिए पहले विविक्तकर का चिन्ह जाँचें। / Here, \(a=3, b=2, c=1\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=2^2-4(3)(1)=4-12=-8\). Since \(D<0\), the equation has no real roots; its roots are complex. Roots are real and distinct when \(D>0\), and real and equal when \(D=0\). In an exam, check the sign of the discriminant first to determine the nature of the roots.
A. विवर्तक \(D=0\) है और मूल समान हैं/The discriminant \(D=0\) and the roots are equal
Explanation
Simple Explanation
दिए गए द्विघात समीकरण में \(a=1\), \(b=6\) और \(c=9\) हैं। इसलिए विवर्तक \(D=b^2-4ac=6^2-4(1)(9)=36-36=0\) है। जब \(D=0\) होता है, तब दोनों मूल वास्तविक और समान होते हैं; वास्तव में यहाँ मूल \(x=-3,-3\) हैं। अतः विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) के लिए हमेशा समान मूल, \(D>0\) के लिए भिन्न वास्तविक मूल और \(D<0\) के लिए कोई वास्तविक मूल नहीं होता। / For the given quadratic equation, \(a=1\), \(b=6\), and \(c=9\). Thus, the discriminant is \(D=b^2-4ac=6^2-4(1)(9)=36-36=0\). When \(D=0\), the two roots are real and equal; here, both roots are \(x=-3\). Therefore, option A is correct. Exam tip: \(D=0\) indicates equal roots, \(D>0\) indicates distinct real roots, and \(D<0\) indicates no real roots.
यहाँ \\(a=1, b=7, c=10\\) हैं। इसलिए \\(D=b^2-4ac=7^2-4(1)(10)=49-40=9\\)। अतः सही उत्तर 9 है। 49 केवल \\(b^2\\) का मान है, पूरा विविक्तकर नहीं। परीक्षा-युक्ति: पहले \\(a,b,c\\) पहचानकर हमेशा \\(b^2-4ac\\) में उनके मान रखें। / Here, \\(a=1, b=7, c=10\\). Therefore, \\(D=b^2-4ac=7^2-4(1)(10)=49-40=9\\). Hence, the correct answer is 9. The value 49 is only \\(b^2\\), not the complete discriminant. Exam tip: identify \\(a,b,c\\) first and substitute them carefully into \\(b^2-4ac\\).
A. दो वास्तविक और भिन्न मूल/Two real and distinct roots
Explanation
Simple Explanation
(D=9>0) होने से दो वास्तविक और भिन्न मूल मिलेंगे। (D>0) का अर्थ दो अलग वास्तविक मूल है। / Since (D=9>0), two real and distinct roots are obtained. (D>0) means two different real roots.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) में विविक्तकर का सूत्र \(D=b^2-4ac\) है। यहाँ \(a=1\), \(b=4\) और \(c=8\), इसलिए \(D=4^2-4(1)(8)=16-32=-16\)। अतः सही उत्तर -16 है। 16 चुनना चिन्ह की गलती है। परीक्षा-युक्ति: \(D<0\) होने पर मूल वास्तविक नहीं होते। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=1\), \(b=4\), and \(c=8\), so \(D=4^2-4(1)(8)=16-32=-16\). Therefore, the correct answer is -16. Choosing 16 results from a sign error. Exam tip: when \(D<0\), the roots are not real.
A. कोई वास्तविक मूल नहीं हैं/There are no real roots
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=1\), \(b=4\) और \(c=8\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=4^2-4(1)(8)=16-32=-16<0\) है। इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। यदि \(D=0\) होता, तभी मूल वास्तविक और समान होते। परीक्षा में पहले विविक्तकर का चिह्न देखकर मूलों की प्रकृति निर्धारित करें। / Here, \(a=1\), \(b=4\), and \(c=8\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=4^2-4(1)(8)=16-32=-16<0\). Therefore, the equation has no real roots. The roots would be real and equal only if \(D=0\). In an exam, first check the sign of the discriminant to determine the nature of the roots.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के समान मूल होने की शर्त विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) है। यहाँ \(a=1\), \(b=k\) और \(c=9\), इसलिए \(D=k^2-4(1)(9)=k^2-36\)। अतः \(k^2-36=0\), यानी \(k^2=36\), सही उत्तर है। ध्यान रखें कि समान मूलों के प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) लगाएँ। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), equal roots require the discriminant \(D=b^2-4ac\) to be zero. Here, \(a=1\), \(b=k\), and \(c=9\), so \(D=k^2-4(1)(9)=k^2-36\). Therefore, \(k^2-36=0\), giving \(k^2=36\). The other options result from using an incorrect value for \(4ac\) or from ignoring the discriminant condition. Exam tip: for equal roots, immediately set \(D=0\).
समान मूल होने के लिए विविक्तकर शून्य होना चाहिए। अतः \(k^2-4(1)(9)=0\), यानी \(k^2-36=0\)। इससे \(k=6\) या \(k=-6\) प्राप्त होता है। दिए गए विकल्पों में केवल 6 मौजूद है, इसलिए विकल्प A सही है। ध्यान रखें कि समान मूलों वाले द्विघात समीकरण में हमेशा \(b^2-4ac=0\) लगाया जाता है। / For equal roots, the discriminant must be zero. Thus, \(k^2-4(1)(9)=0\), giving \(k^2-36=0\) and hence \(k=6\) or \(k=-6\). Among the given options, only 6 is listed, so option A is correct. Exam tip: For equal roots of a quadratic equation, always set \(b^2-4ac=0\).
समान मूलों के लिए विविक्तकर \(\Delta=0\) होता है। यहाँ \(a=1\), \(b=-2k\) और \(c=16\), इसलिए \(\Delta=b^2-4ac=(-2k)^2-4(1)(16)=0\)। अतः \(4k^2-64=0\), जिससे \(k^2=16\) प्राप्त होता है। विकल्प 8 सही नहीं है, क्योंकि समीकरण को 4 से सरल करने पर भी \(k^2=16\) ही मिलता है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण के समान मूलों के लिए हमेशा \(b^2-4ac=0\) लगाएँ। / For equal roots, the discriminant must be \(\Delta=0\). Here, \(a=1\), \(b=-2k\), and \(c=16\), so \(\Delta=b^2-4ac=(-2k)^2-4(1)(16)=0\). Thus, \(4k^2-64=0\), giving \(k^2=16\). The value 8 is incorrect because simplifying the equation still leads to \(k^2=16\). Exam tip: For equal roots of a quadratic equation, set \(b^2-4ac=0\).
द्विघात समीकरण �\(ax^2+bx+c=0\)� के समान मूल होने की शर्त विविक्तकर �\(D=b^2-4ac=0\)� है। यहाँ �(a=1, b=2k, c=25)�, इसलिए �(2k)2-4(1)(25)=0�, अर्थात �\(4k^2=100\)� और �\(k^2=25\)�। अतः सही उत्तर 25 है। परीक्षा-टिप: समान मूलों वाले प्रश्नों में सबसे पहले �(D=0)� लगाएँ। / For a quadratic equation �\(ax^2+bx+c=0\)�, equal roots require the discriminant �\(D=b^2-4ac\)� to be zero. Here, �(a=1, b=2k, c=25)�, so �(2k)2-4(1)(25)=0�, which gives �\(4k^2=100\)� and hence �\(k^2=25\)�. Therefore, 25 is correct. Exam tip: For equal-root questions, directly use �(D=0)�.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के समान मूल होने के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) होता है। यहाँ \(a=k\), \(b=4\) और \(c=1\) हैं। इसलिए \(4^2-4(k)(1)=0\), अर्थात \(16-4k=0\), जिससे \(k=4\) प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प A है। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों वाले प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) लगाएँ। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\) to have equal roots, its discriminant must be zero: \(D=b^2-4ac=0\). Here, \(a=k\), \(b=4\), and \(c=1\). Thus, \(4^2-4(k)(1)=0\), giving \(16-4k=0\) and hence \(k=4\). Therefore, option A is correct. Exam tip: For equal roots, immediately apply the condition \(D=0\).
द्विघात समीकरण के समान मूल होने की शर्त विविक्तकर \(D=0\) है। यहाँ \(a=2\), \(b=k\) और \(c=2\), इसलिए \(D=b^2-4ac=k^2-4(2)(2)=k^2-16\)। अतः \(k^2-16=0\), जिससे \(k^2=16\) प्राप्त होता है। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों के प्रश्नों में सबसे पहले \(b^2-4ac=0\) लगाएँ। / For a quadratic equation to have equal roots, its discriminant must be zero. Here, \(a=2\), \(b=k\), and \(c=2\), so \(D=b^2-4ac=k^2-4(2)(2)=k^2-16\). Thus, \(k^2-16=0\), giving \(k^2=16\). Exam tip: For equal-root questions, immediately use the condition \(b^2-4ac=0\).
द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के लिए विविक्तकर Δ = b² − 4ac होता है। विकल्प A में Δ = (−3)² − 4(1)(2) = 1 > 0, इसलिए इसके मूल वास्तविक और भिन्न हैं। विकल्प B और D में Δ = 0 है, इसलिए उनके मूल समान हैं, जबकि विकल्प C में Δ = −3 < 0 है, इसलिए उसके मूल वास्तविक नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: Δ > 0 होने पर मूल वास्तविक और भिन्न होते हैं। / For a quadratic equation ax² + bx + c = 0, the discriminant is Δ = b² − 4ac. In option A, Δ = (−3)² − 4(1)(2) = 1 > 0, so its roots are real and distinct. Options B and D have Δ = 0, giving equal roots, while option C has Δ = −3 < 0, so its roots are not real. Exam tip: Δ > 0 indicates real and distinct roots.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। विकल्प A में \(D=(-8)^2-4(1)(16)=64-64=0\), इसलिए इसके दोनों मूल वास्तविक और समान हैं। विकल्प B और D में \(D>0\) है, इसलिए उनके मूल वास्तविक लेकिन अलग-अलग हैं, जबकि विकल्प C में \(D<0\) है। परीक्षा-युक्ति: समान वास्तविक मूल के लिए हमेशा \(D=0\) जाँचें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). In option A, \(D=(-8)^2-4(1)(16)=64-64=0\), so its roots are real and equal. Options B and D have \(D>0\), giving two distinct real roots, while option C has \(D<0\), so it has no real roots. Exam tip: equal real roots occur exactly when \(D=0\).
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के मूलों की प्रकृति विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) से निर्धारित होती है। विकल्प A में \(D=2^2-4(1)(10)=-36<0\), इसलिए इसके कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। विकल्प B में \(D=0\) और विकल्प C तथा D में \(D>0\) है, इसलिए उनमें वास्तविक मूल हैं। परीक्षा-युक्ति: \(D<0\) होने पर मूल वास्तविक नहीं होते। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the nature of the roots is determined by the discriminant \(D=b^2-4ac\). For option A, \(D=2^2-4(1)(10)=-36<0\), so it has no real roots. Option B has \(D=0\), while options C and D have \(D>0\), so they have real roots. Exam tip: roots are non-real when \(D<0\).
A. \(D=0\) और दोनों मूल समान हैं/\(D=0\) and the roots are equal
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=1, b=-10, c=25\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-10)^2-4(1)(25)=100-100=0\) है। इसलिए दोनों मूल वास्तविक और समान होंगे; वास्तव में समीकरण \((x-5)^2=0\) है और मूल \(x=5,5\) हैं। विकल्प B गलत है क्योंकि भिन्न मूलों के लिए \(D>0\) होना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में \(D=0\) दिखे तो समान मूल तुरंत पहचानें। / Here, \(a=1, b=-10, c=25\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-10)^2-4(1)(25)=100-100=0\). Hence the roots are real and equal; in fact, the equation becomes \((x-5)^2=0\), giving the repeated root \(x=5\). Option B is incorrect because distinct real roots require \(D>0\). Exam tip: In a quadratic equation, \(D=0\) indicates equal roots immediately.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=2, b=-7, c=3\), इसलिए \(D=(-7)^2-4(2)(3)=49-24=25>0\)। अतः दोनों मूल वास्तविक और भिन्न हैं। विकल्प B तब सही होता जब \(D=0\), जबकि विकल्प C के लिए \(D<0\) होना चाहिए। परीक्षा में मूलों की प्रकृति निर्धारित करने के लिए पहले विविक्तकर का चिह्न जाँचें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=2, b=-7, c=3\), so \(D=(-7)^2-4(2)(3)=49-24=25>0\). Therefore, the roots are real and distinct. Option B would apply if \(D=0\), while option C would require \(D<0\). In an exam, first check the sign of the discriminant to determine the nature of the roots.
A. कोई वास्तविक मूल नहीं हैं/There are no real roots
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए विवर्तक \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(D=1^2-4(6)(1)=-23<0\), इसलिए इसके कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। विकल्प C तब सही होता जब \(D=0\) होता, जबकि यहाँ विवर्तक ऋणात्मक है। परीक्षा-टिप: \(D<0\) होने पर मूल अवास्तविक होते हैं। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(D=1^2-4(6)(1)=-23<0\), so the equation has no real roots. Option C would apply only if \(D=0\), but the discriminant here is negative. Exam tip: when \(D<0\), the roots are non-real.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) में विविक्तकर का सूत्र \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=7\), \(b=-10\) और \(c=3\) हैं, इसलिए \(D=(-10)^2-4(7)(3)=100-84=16\)। अतः सही उत्तर 16 है। विकल्प 100 केवल \(b^2\) निकालने पर मिलता है और उसमें \(4ac\) घटाया नहीं गया है। परीक्षा-युक्ति: विविक्तकर निकालते समय \(b\) के ऋणात्मक चिह्न को कोष्ठक में रखें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=7\), \(b=-10\), and \(c=3\), so \(D=(-10)^2-4(7)(3)=100-84=16\). Therefore, the correct answer is 16. The distractor 100 results from calculating only \(b^2\) and omitting \(4ac\). Exam tip: always place a negative value of \(b\) in parentheses before squaring it.
इसमें (D=16>0) है इसलिए मूल वास्तविक और भिन्न हैं। (D) धनात्मक हो तो अलग मूल मिलते हैं। / Here (D=16>0), so the roots are real and distinct. When (D) is positive, distinct roots are obtained.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=8\), \(b=8\) और \(c=2\) हैं, इसलिए \(D=8^2-4(8)(2)=64-64=0\)। अतः सही उत्तर 0 है। 64 वह मान है जो \(b^2\) से अकेले प्राप्त होता है, विविक्तकर से नहीं। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) होने पर दोनों मूल समान होते हैं। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=8\), \(b=8\), and \(c=2\), so \(D=8^2-4(8)(2)=64-64=0\). Therefore, the correct answer is 0. The value 64 is only \(b^2\), not the complete discriminant. Exam tip: when \(D=0\), the two roots are equal.
A. मूल वास्तविक और भिन्न हैं/The roots are real and distinct
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण में विविक्तकर D के आधार पर मूलों की प्रकृति ज्ञात की जाती है। यहाँ D = 4, अर्थात् D > 0 है; इसलिए दोनों मूल वास्तविक और भिन्न होंगे। D = 0 होने पर मूल वास्तविक और समान होते हैं, इसलिए विकल्प B गलत है। परीक्षा-युक्ति: D > 0, D = 0 और D < 0 को क्रमशः भिन्न वास्तविक, समान वास्तविक और अवास्तविक मूलों से जोड़कर याद रखें। / The nature of the roots of a quadratic equation is determined by its discriminant. Here, D = 4, so D > 0; therefore, the roots are real and distinct. Option B is incorrect because equal real roots occur when D = 0. Exam tip: remember D > 0, D = 0 and D < 0 as distinct real, equal real and non-real roots, respectively.
द्विघात समीकरण के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। जब \(D<0\), तब मूल वास्तविक नहीं होते; वे सम्मिश्र (complex) होते हैं। यहाँ \(D=-1<0\), इसलिए कोई वास्तविक मूल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) पर दो वास्तविक और भिन्न मूल, \(D=0\) पर दो वास्तविक और समान मूल, तथा \(D<0\) पर कोई वास्तविक मूल नहीं होता। / For a quadratic equation, the discriminant is \(D=b^2-4ac\). When \(D<0\), the roots are not real; they are complex. Since \(D=-1<0\), the equation has no real roots. Exam tip: \(D>0\) gives two real and distinct roots, \(D=0\) gives two real and equal roots, and \(D<0\) gives no real roots.
A. दोनों मूल वास्तविक और समान हैं/Both roots are real and equal
Explanation
Simple Explanation
विभेदक \(D=b^2-4ac\) मूलों की प्रकृति निर्धारित करता है। जब \(D=0\), तो दोनों मूल वास्तविक और समान होते हैं तथा प्रत्येक मूल \(x=-\frac{b}{2a}\) होता है। इसलिए विकल्प B गलत है, क्योंकि वह अलग-अलग वास्तविक मूलों के लिए \(D>0\) की स्थिति बताता है। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) को ‘समान वास्तविक मूल’ के रूप में याद रखें। / The discriminant \(D=b^2-4ac\) determines the nature of the roots. When \(D=0\), both roots are real and equal; the repeated root is \(x=-\frac{b}{2a}\). Therefore, option B is incorrect because distinct real roots occur when \(D>0\). Exam tip: remember \(D=0\) as ‘equal real roots’.
यहाँ \(a=1\), \(b=-12\) और \(c=36\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-12)^2-4(1)(36)=144-144=0\)। जब \(D=0\) होता है, तो दोनों मूल वास्तविक और समान होते हैं। वास्तव में, \(x^2-12x+36=(x-6)^2\), इसलिए दोनों मूल \(6\) हैं। परीक्षा-युक्ति: मूलों की प्रकृति जानने के लिए सबसे पहले विविक्तकर का मान निकालें। / Here, \(a=1\), \(b=-12\), and \(c=36\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-12)^2-4(1)(36)=144-144=0\). When \(D=0\), the roots are real and equal. In fact, \(x^2-12x+36=(x-6)^2\), so both roots are \(6\). Exam tip: Find the discriminant first to determine the nature of the roots.
यहाँ \(a=1, b=-6, c=13\) हैं। अतः विभेदक \(\Delta=b^2-4ac=(-6)^2-4(1)(13)=36-52=-16<0\) है। ऋणात्मक विभेदक होने पर द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होते, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C तभी सही होता जब \(\Delta=0\) होता। परीक्षा-युक्ति: \(\Delta<0\), \(\Delta=0\) और \(\Delta>0\) क्रमशः कोई वास्तविक मूल नहीं, समान मूल और भिन्न वास्तविक मूल दर्शाते हैं। / Here, \(a=1, b=-6, c=13\). Therefore, the discriminant is \(\Delta=b^2-4ac=(-6)^2-4(1)(13)=36-52=-16<0\). A negative discriminant means that the quadratic equation has no real roots, so option A is correct. Option C would be correct only if \(\Delta=0\). Exam tip: \(\Delta<0\), \(\Delta=0\), and \(\Delta>0\) indicate no real roots, equal roots, and distinct real roots, respectively.
समीकरण \(x^2+px+4=0\) में \(a=1\), \(b=p\) और \(c=4\) हैं। मूल वास्तविक और भिन्न होने के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) का मान शून्य से अधिक होना चाहिए। इसलिए \(D=p^2-16>0\), अर्थात \(p^2>16\)। \(p^2=16\) होने पर दोनों मूल समान होते हैं, इसलिए विकल्प B सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक और भिन्न मूलों के लिए हमेशा \(D>0\) याद रखें। / For \(x^2+px+4=0\), we have \(a=1\), \(b=p\), and \(c=4\). Real and distinct roots require the discriminant \(D=b^2-4ac\) to be positive. Thus, \(D=p^2-16>0\), which gives \(p^2>16\). If \(p^2=16\), the roots are equal, so option B is incorrect. Exam tip: remember that distinct real roots require \(D>0\).
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के समान वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) होता है। यहाँ \(a=3\), \(b=m\) और \(c=12\) हैं, इसलिए \(m^2-4(3)(12)=0\), अर्थात \(m^2=144\)। परीक्षा-युक्ति: समान मूल दिखें तो सबसे पहले \(D=0\) लगाएँ। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\) to have real and equal roots, its discriminant must be zero: \(D=b^2-4ac=0\). Here, \(a=3\), \(b=m\), and \(c=12\), so \(m^2-4(3)(12)=0\), giving \(m^2=144\). Exam tip: For equal roots, immediately set the discriminant equal to zero.
