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द्विघात समीकरण \\(ax^2+bx+c=0\\) का विविक्तकर \\(D=b^2-4ac\\) होता है। इसी के आधार पर मूलों की प्रकृति निर्धारित होती है: \\(D>0\\) पर दो भिन्न वास्तविक मूल, \\(D=0\\) पर समान वास्तविक मूल और \\(D<0\\) पर कोई वास्तविक मूल नहीं होता। इसलिए सही विकल्प A है; अन्य व्यंजक विविक्तकर का सूत्र नहीं हैं। परीक्षा में पहले \\(a,b,c\\) के सही मान पहचानें। / The discriminant of \\(ax^2+bx+c=0\\) is \\(D=b^2-4ac\\). It determines the nature of the roots: \\(D>0\\) gives two distinct real roots, \\(D=0\\) gives equal real roots, and \\(D<0\\) gives no real roots. Therefore, option A is correct; the other expressions are not the discriminant formula. Exam tip: identify the coefficients \\(a,b,c\\) correctly before substituting their values.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) का विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। जब (D>0), तब x=\((-b\pm\sqrt{D})/(2a)\) से दो वास्तविक और भिन्न मूल प्राप्त होते हैं। विकल्प B तब सही होता है जब (D=0) हो, जबकि (D<0) पर कोई वास्तविक मूल नहीं होता। परीक्षा-युक्ति: विविक्तकर के चिह्न से मूलों की प्रकृति तुरंत निर्धारित करें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). When (D>0), the term \(\sqrt{D}\) is real and non-zero, so the two roots \((-b+\sqrt{D})/(2a)\) and \((-b-\sqrt{D})/(2a)\) are real and distinct. Option B applies when (D=0), while (D<0) gives no real roots. Exam tip: determine the nature of roots by checking the sign of the discriminant first.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के मूलों की प्रकृति विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) से निर्धारित होती है। जब \(D=0\), तब मूलों का सूत्र \(x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\) दोनों बार एक ही मान देता है; इसलिए दो समान वास्तविक मूल प्राप्त होते हैं। विकल्प B तब सही होता है जब \(D>0\), जबकि मूलों का धनात्मक होना केवल \(D\) से तय नहीं होता। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) को “समान वास्तविक मूल” से याद रखें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant \(D=b^2-4ac\) determines the nature of the roots. When \(D=0\), the term \(\sqrt{D}\) is zero, so both values from \(x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\) are identical; hence the roots are real and equal. Option B applies when \(D>0\), and the roots are not necessarily positive. Exam tip: remember \(D=0\) as “equal real roots.”
यहाँ \(a=1, b=-5, c=6\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-5)^2-4(1)(6)=25-24=1\) है, और \(D>0\) होने पर द्विघात समीकरण के दो वास्तविक और असमान मूल होते हैं। वास्तव में, समीकरण के मूल \(2\) और \(3\) हैं। याद रखें: \(D>0\) के लिए मूल वास्तविक और असमान, \(D=0\) के लिए समान तथा \(D<0\) के लिए अवास्तविक होते हैं। / Here, \(a=1, b=-5, c=6\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=(-5)^2-4(1)(6)=25-24=1\). Since \(D>0\), the quadratic equation has two real and distinct roots; in fact, the roots are \(2\) and \(3\). Remember: \(D>0\) gives real and distinct roots, \(D=0\) gives equal roots, and \(D<0\) gives no real roots.
A. दो वास्तविक और समान मूल/two real and equal roots
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=1\), \(b=-4\) और \(c=4\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-4)^2-4(1)(4)=0\) है। इसलिए दोनों मूल वास्तविक और समान होंगे; वास्तव में समीकरण \((x-2)^2=0\) है, अतः दोनों मूल \(2\) हैं। परीक्षा में याद रखें: \(D=0\) होने पर मूल वास्तविक और समान होते हैं। / Here, \(a=1\), \(b=-4\), and \(c=4\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=(-4)^2-4(1)(4)=0\). Therefore, the roots are real and equal; in fact, the equation is \((x-2)^2=0\), so both roots are \(2\). Exam tip: when \(D=0\), a quadratic equation has real and equal roots.
यहाँ \(a=1\), \(b=2\) और \(c=5\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=2^2-4(1)(5)=4-20=-16\) है। चूँकि \(D<0\), इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। अतः विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में \(D<0\) होने पर मूल काल्पनिक या सम्मिश्र होते हैं, वास्तविक नहीं। / Here, \(a=1\), \(b=2\), and \(c=5\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=2^2-4(1)(5)=4-20=-16\). Since \(D<0\), the equation has no real roots, so option A is correct. Exam tip: For a quadratic equation, \(D<0\) indicates non-real complex roots; equal real roots occur only when \(D=0\).
द्विघात समीकरण \\(ax^2+bx+c=0\\) का विविक्तकर \\(\Delta=b^2-4ac\\) होता है। यहाँ \\(a=2, b=-3, c=1\\), इसलिए \\(\Delta=(-3)^2-4(2)(1)=9-8=1\\)। अतः सही उत्तर 1 है। परीक्षा-युक्ति: पहले \\(a,b,c\\) के चिह्न सही पहचानकर सूत्र में रखें। / For a quadratic equation \\(ax^2+bx+c=0\\), the discriminant is \\(\Delta=b^2-4ac\\). Here, \\(a=2, b=-3, c=1\\), so \\(\Delta=(-3)^2-4(2)(1)=9-8=1\\). Therefore, the correct answer is 1. Exam tip: Identify the signs of \\(a\\), \\(b\\), and \\(c\\) carefully before substituting them.
यहाँ \(a=3, b=6, c=3\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=6^2-4(3)(3)=0\) है। जब \(D=0\), तब द्विघात समीकरण के दो वास्तविक और समान मूल होते हैं। वास्तव में, \(3x^2+6x+3=3(x+1)^2\), इसलिए दोनों मूल \(-1\) हैं। परीक्षा में याद रखें: \(D=0\) का अर्थ समान वास्तविक मूल होता है। / Here, \(a=3, b=6, c=3\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=6^2-4(3)(3)=0\). When \(D=0\), a quadratic equation has two real and equal roots. In fact, \(3x^2+6x+3=3(x+1)^2\), so both roots are \(-1\). Exam tip: remember that \(D=0\) indicates equal real roots.
यहाँ \(a=5\), \(b=1\) और \(c=1\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=1^2-4(5)(1)=-19<0\) है। इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। यदि \(D>0\) होता, तो मूल वास्तविक और असमान होते, इसलिए विकल्प B सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: विविक्तकर का चिन्ह मूलों की प्रकृति बताता है—\(D<0\) पर कोई वास्तविक मूल नहीं होता। / Here, \(a=5\), \(b=1\), and \(c=1\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=1^2-4(5)(1)=-19<0\). Therefore, the equation has no real roots. Option B is incorrect because real and distinct roots occur only when \(D>0\). Exam tip: use the sign of the discriminant—\(D<0\) means that the quadratic has no real roots.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के समान वास्तविक मूल होने की शर्त विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) है। यहाँ \(a=1\), \(b=6\) और \(c=k\), इसलिए \(D=6^2-4(1)(k)=0\), अर्थात \(36-4k=0\) और \(k=9\)। अतः सही उत्तर 9 है। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों के प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) लगाएँ। / A quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\) has equal real roots when its discriminant \(D=b^2-4ac\) is zero. Here, \(a=1\), \(b=6\), and \(c=k\), so \(D=6^2-4(1)(k)=0\), giving \(36-4k=0\) and hence \(k=9\). Therefore, 9 is correct. Exam tip: For equal roots, immediately use the condition \(D=0\).
द्विघात समीकरण \\(ax^2+bx+c=0\\) के समान वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \\(D=b^2-4ac\\) शून्य होता है। यहाँ \\(a=1, b=-8, c=m\\), इसलिए \\(D=(-8)^2-4(1)(m)=0\\), अर्थात \\(64-4m=0\\) और \\(m=16\\)। अतः सही उत्तर 16 है। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों के प्रश्नों में तुरंत \\(D=0\\) रखें। / For a quadratic equation \\(ax^2+bx+c=0\\), equal real roots occur when the discriminant \\(D=b^2-4ac\\) is zero. Here, \\(a=1, b=-8, c=m\\), so \\(D=(-8)^2-4(1)(m)=0\\), giving \\(64-4m=0\\) and hence \\(m=16\\). Therefore, 16 is correct. Exam tip: For equal roots, set the discriminant directly to zero.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के समान वास्तविक मूल होने की शर्त \(D=b^2-4ac=0\) है। यहाँ \(a=1\), \(b=k\) और \(c=16\), इसलिए \(D=k^2-64=0\), अर्थात \(k=\pm 8\)। दिए गए विकल्पों में केवल 8 उपस्थित है, इसलिए सही उत्तर A है। परीक्षा में समान मूलों के लिए सबसे पहले विविक्तकर को शून्य रखें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\) to have equal real roots, its discriminant must be zero: \(D=b^2-4ac=0\). Here \(a=1\), \(b=k\), and \(c=16\), so \(D=k^2-64=0\), giving \(k=\pm 8\). Since only 8 appears among the options, option A is correct. Exam tip: set the discriminant equal to zero whenever equal roots are required.
द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के लिए विविक्तकर D = b² − 4ac होता है। विकल्प A में D = (−7)² − 4(1)(10) = 9 > 0 है, इसलिए इसके मूल वास्तविक और असमान होंगे। विकल्प B और D में D = 0 है, इसलिए उनके मूल वास्तविक और समान हैं, जबकि विकल्प C में D = 16 − 32 = −16 है, इसलिए उसके कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: D > 0 होने पर मूल वास्तविक और असमान होते हैं। / For a quadratic equation ax² + bx + c = 0, the discriminant is D = b² − 4ac. For option A, D = (−7)² − 4(1)(10) = 9 > 0, so its roots are real and distinct. In options B and D, D = 0, giving real and equal roots, while option C has D = 16 − 32 = −16, so it has no real roots. Exam tip: D > 0 indicates two real and distinct roots.
द्विघात समीकरण में मूलों की प्रकृति विविक्तकर �(\(D=b^2-4ac\)\u0000) से निर्धारित होती है। विकल्प A के लिए \(D=10^2-4(1)(25)=100-100=0\), इसलिए इसके दो वास्तविक और समान मूल हैं; वास्तव में समीकरण \((x+5)^2=0\) है और मूल \(x=-5\) है। विकल्प B में \(D=4>0\), विकल्प C में \(D=-20<0\), तथा विकल्प D में \(D=-100<0\) है। परीक्षा-युक्ति: समान वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D=0\) जाँचें। / The nature of the roots of a quadratic equation is determined by its discriminant, \(D=b^2-4ac\). For option A, \(D=10^2-4(1)(25)=100-100=0\), so the equation has two real and equal roots; in fact, it can be written as \((x+5)^2=0\), giving \(x=-5\). Option B has \(D=4>0\), while options C and D have negative discriminants. Exam tip: for two real and equal roots, check that \(D=0\).
द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के लिए विविक्तकर D = b² − 4ac होता है। विकल्प A में D = 3² − 4(1)(5) = −11 < 0 है, इसलिए इसके कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। विकल्प B और D में D > 0 होने से दो भिन्न वास्तविक मूल मिलते हैं, जबकि विकल्प C में D = 0 होने से दो समान वास्तविक मूल मिलते हैं। परीक्षा में मूलों की प्रकृति जानने के लिए सबसे पहले विविक्तकर का चिन्ह जाँचें। / For a quadratic equation ax² + bx + c = 0, the discriminant is D = b² − 4ac. In option A, D = 3² − 4(1)(5) = −11 < 0, so the equation has no real roots. Options B and D have D > 0 and therefore two distinct real roots, while option C has D = 0 and therefore two equal real roots. Exam tip: check the sign of the discriminant first to determine the nature of the roots.
यहाँ \(a=4\), \(b=-12\) और \(c=9\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-12)^2-4(4)(9)=144-144=0\) है। इसलिए दोनों मूल वास्तविक और समान होंगे। वास्तव में, \(4x^2-12x+9=(2x-3)^2\), अतः दोनों मूल \(x=\frac{3}{2}\) हैं। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) होने पर मूल हमेशा वास्तविक और समान होते हैं। / Here, \(a=4\), \(b=-12\), and \(c=9\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=(-12)^2-4(4)(9)=144-144=0\). Therefore, the roots are real and equal. In fact, \(4x^2-12x+9=(2x-3)^2\), so both roots are \(x=\frac{3}{2}\). Exam tip: When \(D=0\), the roots are always real and equal.
A. मूल वास्तविक और असमान होंगे/The roots will be real and distinct
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण में विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। जब \(D>0\), तब दोनों मूल वास्तविक और असमान होते हैं। यहाँ \(D=25>0\), इसलिए विकल्प A सही है। \(D=0\) होने पर मूल समान होते और \(D<0\) होने पर मूल अवास्तविक होते। परीक्षा-युक्ति: मूलों की प्रकृति निर्धारित करने के लिए सबसे पहले विविक्तकर के चिन्ह को देखें। / For a quadratic equation, the discriminant is \(D=b^2-4ac\). When \(D>0\), the two roots are real and distinct. Since \(D=25>0\), option A is correct. Equal roots occur when \(D=0\), while non-real roots occur when \(D<0\). Exam tip: Check the sign of the discriminant first to determine the nature of the roots.
क्योंकि \(D=-7<0\), इसलिए द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होंगे; इसके मूल अवास्तविक समिश्र होंगे। याद रखें: \(D>0\) पर दो वास्तविक और भिन्न मूल, \(D=0\) पर दो समान वास्तविक मूल और \(D<0\) पर कोई वास्तविक मूल नहीं होता। / Since \(D=-7<0\), the quadratic equation has no real roots; its roots are non-real complex numbers. Exam tip: \(D>0\) gives two real and distinct roots, \(D=0\) gives two equal real roots, and \(D<0\) gives no real roots.
(D=0) पर दोनों मूल समान होते हैं, इसलिए अलग-अलग वास्तविक मूलों की संख्या (1) है। ध्यान रखें मूल दो बार दोहरता है। / At (D=0), both roots are equal, so the number of distinct real roots is (1). Remember the root is repeated.
A. दो वास्तविक और असमान मूल/two real and distinct roots
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=2\), \(b=5\) और \(c=2\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=5^2-4(2)(2)=9\) है। चूँकि \(D>0\), इसलिए दोनों मूल वास्तविक और असमान होंगे। परीक्षा में मूलों की प्रकृति जानने के लिए सबसे पहले विविक्तकर का चिह्न जाँचें: \(D>0\) पर मूल वास्तविक और असमान होते हैं। / Here, \(a=2\), \(b=5\), and \(c=2\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=5^2-4(2)(2)=9\). Since \(D>0\), the equation has two real and distinct roots. Exam tip: To determine the nature of roots, first check the sign of the discriminant—\(D>0\) means real and distinct roots.
यहाँ \(a=9\), \(b=-6\) और \(c=1\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-6)^2-4(9)(1)=36-36=0\) है। जब \(D=0\), तब दोनों मूल वास्तविक और समान होते हैं; वास्तव में मूल \(x=\frac{1}{3}\) है। परीक्षा टिप: मूलों की प्रकृति जानने के लिए सबसे पहले विविक्तकर का मान निकालें। / Here, \(a=9\), \(b=-6\), and \(c=1\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=(-6)^2-4(9)(1)=36-36=0\). When \(D=0\), the roots are real and equal; in fact, the repeated root is \(x=\frac{1}{3}\). Exam tip: Use the sign of the discriminant to determine the nature of the roots.
यहाँ \(a=1\), \(b=1\) और \(c=3\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=1^2-4(1)(3)=-11\) है। क्योंकि \(D<0\), समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं; इसके मूल सम्मिश्र होंगे। परीक्षा में याद रखें: \(D<0\) होने पर वास्तविक मूल नहीं होते, जबकि \(D=0\) पर दो समान वास्तविक मूल होते हैं। / Here, \(a=1\), \(b=1\), and \(c=3\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=1^2-4(1)(3)=-11\). Since \(D<0\), the equation has no real roots; its roots are complex. Exam tip: \(D<0\) means no real roots, whereas \(D=0\) gives two equal real roots.
मानक रूप \(ax^2+bx+c=0\) से \(a=6\), \(b=-5\) और \(c=1\) हैं। इसलिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-5)^2-4(6)(1)=25-24=1\) है। चूँकि \(D>0\), समीकरण के दो वास्तविक और असमान मूल भी होंगे। परीक्षा में \(b\) के पूरे पद को पहचानकर उसका वर्ग करें; ऋण चिह्न वर्ग करने पर हट जाता है। / In the standard form \(ax^2+bx+c=0\), we have \(a=6\), \(b=-5\), and \(c=1\). Thus, the discriminant is \(D=b^2-4ac=(-5)^2-4(6)(1)=25-24=1\). Since \(D>0\), the equation also has two real and distinct roots. Exam tip: identify the complete coefficient \(b\) and square it; its negative sign disappears on squaring.
A. कोई वास्तविक मूल नहीं है/There are no real roots
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=7\), \(b=2\) और \(c=3\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=2^2-4(7)(3)=4-84=-80<0\) है। इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। याद रखें: \(D<0\) होने पर द्विघात समीकरण के वास्तविक मूल नहीं होते; \(D=0\) होने पर मूल समान होते हैं। / Here, \(a=7\), \(b=2\), and \(c=3\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=2^2-4(7)(3)=4-84=-80<0\). Therefore, the equation has no real roots. Exam tip: for a quadratic equation, \(D<0\) means no real roots, while \(D=0\) means two equal real roots.
असमान वास्तविक मूलों के लिए (D>0), इसलिए ((-2)2-4n>0) से (n<1)। असमान के लिए कड़ाई वाली असमता लगती है। / For distinct real roots (D>0), so ((-2)2-4n>0) gives (n<1). Use a strict inequality for distinct roots.
वास्तविक मूल न होने के लिए (D<0), इसलिए (16-4p<0) से (p>4)। ऋणात्मक विविक्तकर पर वास्तविक मूल नहीं होते। / For no real roots (D<0), so (16-4p<0) gives (p>4). A negative discriminant gives no real roots.
द्विघात समीकरण \\(ax^2+bx+c=0\\) में समान वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर \\(D=b^2-4ac=0\\) होता है। यहाँ \\(a=1, b=-10, c=r\\) हैं, इसलिए \\(D=(-10)^2-4(1)(r)=100-4r=0\\), जिससे \\(r=25\\) प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प A है। परीक्षा-युक्ति: समान मूल दिखाई दे तो सबसे पहले \\(D=0\\) लगाएँ। / For a quadratic equation \\(ax^2+bx+c=0\\), equal real roots occur when the discriminant \\(D=b^2-4ac\\) is zero. Here, \\(a=1, b=-10, c=r\\), so \\(D=(-10)^2-4(1)(r)=100-4r=0\\), giving \\(r=25\\). Therefore, option A is correct. Exam tip: Whenever equal roots are mentioned, immediately use the condition \\(D=0\\).
समान मूलों के लिए (k-2-4(3)(12)=0), इसलिए (k=12) या (k=-12)। दिए विकल्पों में (12) सही है। / For equal roots (k-2-4(3)(12)=0), so (k=12) or (k=-12). Among the options, (12) is correct.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के वास्तविक और असमान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac>0\) होना चाहिए। यहाँ \(a=2\), \(b=3\) और \(c=\lambda\) हैं, इसलिए \(D=3^2-4(2)(\lambda)=9-8\lambda\)। अतः \(9-8\lambda>0\), जिससे \(\lambda<\frac{9}{8}\) प्राप्त होता है। \(\lambda=\frac{9}{8}\) पर मूल समान होते हैं, इसलिए वह विकल्प B सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: असमान वास्तविक मूलों के लिए हमेशा \(D>0\) जाँचें। / A quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\) has real and distinct roots when its discriminant satisfies \(D=b^2-4ac>0\). Here, \(a=2\), \(b=3\), and \(c=\lambda\), so \(D=3^2-4(2)(\lambda)=9-8\lambda\). Thus, \(9-8\lambda>0\), which gives \(\lambda<\frac{9}{8}\). When \(\lambda=\frac{9}{8}\), the roots are equal, so option B is not correct. Exam tip: For two distinct real roots, always use the condition \(D>0\).
A. इसकी समान वास्तविक जड़ें हैं/It has equal real roots
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=1, b=12, c=36\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=12^2-4(1)(36)=0\) है, इसलिए दोनों जड़ें वास्तविक और समान हैं। वास्तव में, \(x^2+12x+36=(x+6)^2\), अतः दोनों जड़ें \(x=-6\) हैं। इसलिए विकल्प C गलत है, क्योंकि जड़ें असमान नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) होने पर द्विघात समीकरण की समान वास्तविक जड़ें होती हैं। / Here, \(a=1, b=12, c=36\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=12^2-4(1)(36)=0\), so the two roots are real and equal. In fact, \(x^2+12x+36=(x+6)^2\), giving both roots as \(x=-6\). Therefore, option C is incorrect because the roots are not distinct. Exam tip: For a quadratic equation, \(D=0\) indicates equal real roots.
A. दो वास्तविक और असमान मूल/two real and distinct roots
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=1\), \(b=0\) और \(c=-9\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0^2-4(1)(-9)=36>0\) है। इसलिए दोनों मूल वास्तविक और असमान होंगे; वास्तव में मूल \(3\) और \(-3\) हैं। समान मूल के लिए \(D=0\) होना चाहिए, इसलिए विकल्प B गलत है। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) से वास्तविक और असमान मूल, \(D=0\) से समान मूल तथा \(D<0\) से अवास्तविक मूल मिलते हैं। / Here, \(a=1\), \(b=0\), and \(c=-9\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=0^2-4(1)(-9)=36>0\). Therefore, the roots are real and distinct; in fact, they are \(3\) and \(-3\). Equal roots require \(D=0\), so option B is incorrect. Exam tip: \(D>0\) indicates real and distinct roots, \(D=0\) indicates equal roots, and \(D<0\) indicates non-real roots.
यहाँ \(a=1\), \(b=0\) और \(c=9\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0^2-4(1)(9)=-36<0\) है, इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। वास्तव में इसके मूल \(\pm 3i\) हैं, जो सम्मिश्र हैं। परीक्षा-युक्ति: द्विघात समीकरण में \(D<0\) होने पर वास्तविक मूल नहीं होते। / Here, \(a=1\), \(b=0\), and \(c=9\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=0^2-4(1)(9)=-36<0\), so the equation has no real roots. In fact, its roots are \(\pm 3i\), which are complex. Exam tip: For a quadratic equation, \(D<0\) indicates that there are no real roots.
यहाँ \(a=4\), \(b=0\) और \(c=-1\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0^2-4(4)(-1)=16>0\) है, इसलिए मूल दो वास्तविक और असमान होंगे। वास्तव में मूल \(x=\frac{1}{2}\) और \(x=-\frac{1}{2}\) हैं। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) होने पर हमेशा दो असमान वास्तविक मूल होते हैं। / Here, \(a=4\), \(b=0\), and \(c=-1\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=0^2-4(4)(-1)=16>0\), so the equation has two real and distinct roots. In fact, the roots are \(x=\frac{1}{2}\) and \(x=-\frac{1}{2}\). Exam tip: \(D>0\) always indicates two distinct real roots.
यहाँ \(a=2\), \(b=0\) और \(c=8\) हैं। अतः विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0^2-4(2)(8)=-64<0\) है। जब \(D<0\) होता है, तब द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होते। इसलिए विकल्प A सही है; विकल्प C के लिए \(D=0\) होना आवश्यक होता है। परीक्षा-युक्ति: विविक्तकर का चिन्ह देखकर मूलों की प्रकृति तुरंत निर्धारित करें। / Here, \(a=2\), \(b=0\), and \(c=8\). Therefore, the discriminant is \(D=b^2-4ac=0^2-4(2)(8)=-64<0\). When \(D<0\), a quadratic equation has no real roots. Hence, option A is correct; option C would require \(D=0\). Exam tip: Determine the nature of the roots directly from the sign of the discriminant.
द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति विविक्तकर �\(D=b^2-4ac\)� से निर्धारित होती है। दो समान वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर शून्य होना चाहिए, अर्थात �D=0�। �1�, �-1� और �4� जैसे मान क्रमशः अलग-अलग मूलों या कोई वास्तविक मूल न होने जैसी स्थितियों से संबंधित हो सकते हैं, इसलिए वे सही नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: समान वास्तविक मूल �� विविक्तकर शून्य याद रखें। / The nature of the roots of a quadratic equation is determined by the discriminant �\(D=b^2-4ac\)�. For two equal real roots, the discriminant must be zero, so �D=0�. Values such as �1�, �-1� and �4� do not represent the condition for equal real roots. Exam tip: remember the rule �� for equal real roots.
द्विघात समीकरण के असमान वास्तविक मूल तब प्राप्त होते हैं जब विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) धनात्मक हो, अर्थात \(D>0\)। \(D=0\) होने पर दोनों मूल समान होते हैं, जबकि \(D<0\) होने पर वास्तविक मूल नहीं होते। परीक्षा में असमान वास्तविक मूल के लिए सीधे \(D>0\) याद रखें। / A quadratic equation has two distinct real roots when its discriminant \(D=b^2-4ac\) is positive, that is, \(D>0\). When \(D=0\), the roots are equal, and when \(D<0\), there are no real roots. In an exam, remember the direct correspondence: distinct real roots mean \(D>0\).
द्विघात समीकरण में विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। जब \(D<0\), तब वर्गमूल \(\sqrt{D}\) वास्तविक नहीं होता, इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होते। \(D=0\) होने पर दो समान वास्तविक मूल और \(D>0\) होने पर दो भिन्न वास्तविक मूल मिलते हैं। परीक्षा-युक्ति: वास्तविक मूलों के लिए \(D\geq0\) और कोई वास्तविक मूल न होने के लिए \(D<0\) याद रखें। / For a quadratic equation, the discriminant is \(D=b^2-4ac\). If \(D<0\), then \(\sqrt{D}\) is not real, so the equation has no real roots. When \(D=0\), there are two equal real roots, while \(D>0\) gives two distinct real roots. Exam tip: remember that real roots require \(D\geq0\), whereas no real roots require \(D<0\).
A. दो समान वास्तविक मूल हैं/It has two equal real roots
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \\(a=1, b=-6, c=9\\) हैं। इसलिए विविक्तकर \\(D=b^2-4ac=(-6)^2-4(1)(9)=0\\) है। जब \\(D=0\\) होता है, तब द्विघात समीकरण के दो समान वास्तविक मूल होते हैं; वास्तव में, \\(x^2-6x+9=(x-3)^2\\), इसलिए दोनों मूल 3 हैं। परीक्षा में याद रखें: \\(D=0\\) का अर्थ समान वास्तविक मूल होता है, जबकि विकल्प D में दिया गया 9, सही विविक्तकर नहीं है। / Here, \\(a=1, b=-6, c=9\\). Thus, the discriminant is \\(D=b^2-4ac=(-6)^2-4(1)(9)=0\\). When \\(D=0\\), a quadratic equation has two equal real roots. In fact, \\(x^2-6x+9=(x-3)^2\\), so both roots are 3. Exam tip: remember that \\(D=0\\) indicates equal real roots; option D is incorrect because the discriminant is 0, not 9.
यहाँ \(a=2\), \(b=-7\) और \(c=3\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-7)^2-4(2)(3)=49-24=25\) है। चूँकि \(D>0\), इसलिए दोनों मूल वास्तविक और असमान होंगे। विकल्प D गलत है क्योंकि मूलों का योग \(-b/a=7/2\) धनात्मक है, अतः दोनों मूल ऋणात्मक नहीं हो सकते। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) से वास्तविक और असमान, \(D=0\) से वास्तविक और समान, तथा \(D<0\) से अवास्तविक मूल मिलते हैं। / Here, \(a=2\), \(b=-7\), and \(c=3\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=(-7)^2-4(2)(3)=49-24=25\). Since \(D>0\), the equation has two real and distinct roots. Option D is incorrect because the sum of the roots is \(-b/a=7/2\), which is positive, so both roots cannot be negative. Exam tip: \(D>0\) indicates real and distinct roots, \(D=0\) indicates real and equal roots, and \(D<0\) indicates no real roots.
यहाँ \(a=4\), \(b=4\) और \(c=5\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=4^2-4(4)(5)=16-80=-64<0\) है। इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं; इसके मूल सम्मिश्र होंगे। परीक्षा में याद रखें: \(D<0\) होने पर वास्तविक मूल नहीं होते। / Here, \(a=4\), \(b=4\), and \(c=5\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=4^2-4(4)(5)=16-80=-64<0\). Hence, the equation has no real roots; its roots are complex. Exam tip: For a quadratic equation, \(D<0\) indicates no real roots.
A. \(\Delta=1\), दो वास्तविक और भिन्न मूल/\(\Delta=1\), two real and distinct roots
Explanation
Simple Explanation
दिए गए समीकरण में \(a=1\), \(b=5\) और \(c=6\) हैं। इसलिए \(\Delta=b^2-4ac=5^2-4(1)(6)=25-24=1\)। चूँकि \(\Delta>0\), इसके दो वास्तविक और भिन्न मूल होते हैं। विकल्प B तभी सही होता जब \(\Delta=0\) होता। परीक्षा में पहले विविक्तकर निकालें, फिर उसके चिह्न से मूलों की प्रकृति तय करें। / For the given equation, \(a=1\), \(b=5\), and \(c=6\). Thus, \(\Delta=b^2-4ac=5^2-4(1)(6)=25-24=1\). Since \(\Delta>0\), the equation has two real and distinct roots. Option B would be correct only if \(\Delta=0\). In exams, calculate the discriminant first and then use its sign to determine the nature of the roots.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) में विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) होता है। यहाँ \(a=3\), \(b=-2\) और \(c=4\), इसलिए \(D=(-2)^2-4(3)(4)=4-48=-44\)। चूँकि \(D<0\), विविक्तकर ऋणात्मक है और समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। इसे शून्य न समझें; शून्य विविक्तकर तभी होता है जब \(b^2=4ac\) हो। परीक्षा में पहले \(a,b,c\) पहचानकर \(D=b^2-4ac\) लगाएँ। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the discriminant is \(D=b^2-4ac\). Here, \(a=3\), \(b=-2\), and \(c=4\), so \(D=(-2)^2-4(3)(4)=4-48=-44\). Since \(D<0\), the discriminant is negative and the equation has no real roots. It is not zero; a zero discriminant occurs only when \(b^2=4ac\). In an exam, first identify \(a,b,c\) and then apply \(D=b^2-4ac\).
यहाँ \(a=2\), \(b=4\) और \(c=2\) हैं। इसलिए \(D=b^2-4ac=4^2-4(2)(2)=16-16=0\)। अतः विविक्तकर का चिन्ह शून्य है और समीकरण के दो समान वास्तविक मूल होंगे। धनात्मक या ऋणात्मक चिन्ह चुनना गलत है। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) होने पर मूल समान और वास्तविक होते हैं। / Here, \(a=2\), \(b=4\), and \(c=2\). Thus, \(D=b^2-4ac=4^2-4(2)(2)=16-16=0\). Therefore, the discriminant is zero, and the equation has two equal real roots. Choosing positive or negative is incorrect. Exam tip: when \(D=0\), the roots are real and equal.
यहाँ \(a=1\), \(b=-11\) और \(c=30\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-11)^2-4(1)(30)=121-120=1\) है। चूँकि \(D>0\), दोनों मूल वास्तविक और असमान होंगे। वास्तव में समीकरण \((x-5)(x-6)=0\) है, इसलिए मूल 5 और 6 हैं। परीक्षा-युक्ति: \(D>0\) से वास्तविक और असमान, \(D=0\) से वास्तविक और समान, तथा \(D<0\) से अवास्तविक मूल मिलते हैं। / Here, \(a=1\), \(b=-11\), and \(c=30\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=(-11)^2-4(1)(30)=121-120=1\). Since \(D>0\), the roots are real and distinct. In fact, the equation factors as \((x-5)(x-6)=0\), giving roots 5 and 6. Exam tip: \(D>0\) indicates real and distinct roots, \(D=0\) indicates real and equal roots, and \(D<0\) indicates non-real roots.
A. दो वास्तविक और समान मूल/two real and equal roots
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(a=1\), \(b=14\) और \(c=49\) हैं। इसलिए विभेदक \(D=b^2-4ac=14^2-4(1)(49)=196-196=0\) है। जब \(D=0\) होता है, तो दोनों मूल वास्तविक और समान होते हैं। वास्तव में, समीकरण \((x+7)^2=0\) है और इसका दोहराया हुआ मूल \(-7\) है। परीक्षा-युक्ति: \(D=0\) के लिए हमेशा समान वास्तविक मूल चुनें; \(D>0\) पर मूल असमान होते हैं। / Here, \(a=1\), \(b=14\), and \(c=49\). Thus, the discriminant is \(D=b^2-4ac=14^2-4(1)(49)=196-196=0\). When \(D=0\), the two roots are real and equal. In fact, the equation can be written as \((x+7)^2=0\), giving the repeated root \(-7\). Exam tip: choose equal real roots for \(D=0\); distinct real roots require \(D>0\).
यहाँ \(a=1\), \(b=-4\) और \(c=8\) हैं। विविक्तकर \(D=b^2-4ac=(-4)^2-4(1)(8)=16-32=-16\) है। चूँकि \(D<0\), इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। वास्तव में इसके मूल \(2+2i\) और \(2-2i\) हैं, जो गैर-वास्तविक और असमान हैं। परीक्षा में याद रखें: \(D<0\) होने पर द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होते। / Here, \(a=1\), \(b=-4\), and \(c=8\). The discriminant is \(D=b^2-4ac=(-4)^2-4(1)(8)=16-32=-16\). Since \(D<0\), the equation has no real roots. In fact, its roots are \(2+2i\) and \(2-2i\), which are non-real and distinct. Exam tip: For a quadratic equation, \(D<0\) means that there are no real roots.
समान मूलों के लिए (D=0), इसलिए ((-3)2-4s=0) से \(s=\frac{9}{4}\)। भिन्न उत्तर से न डरें। / For equal roots (D=0), so ((-3)2-4s=0) gives \(s=\frac{9}{4}\). Do not fear fractional answers.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के वास्तविक और समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) होता है। यहाँ \(a=5\), \(b=-4\) और \(c=t\), इसलिए \(D=(-4)^2-4(5)(t)=16-20t=0\)। अतः \(t=\frac{4}{5}\)। विकल्प B में अंश और हर उलट गए हैं। परीक्षा-युक्ति: समान मूलों के प्रश्नों में सबसे पहले \(D=0\) रखें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\) to have real and equal roots, its discriminant must be zero: \(D=b^2-4ac=0\). Here, \(a=5\), \(b=-4\), and \(c=t\), so \((-4)^2-4(5)t=16-20t=0\). Therefore, \(t=\frac{4}{5}\). Option B results from reversing the numerator and denominator. Exam tip: whenever roots are real and equal, immediately use \(D=0\).
समीकरण \(x^2+1=0\) में \(a=1, b=0, c=1\) हैं। इसलिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0^2-4(1)(1)=-4<0\) है। विविक्तकर ऋणात्मक होने पर द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होते, इसलिए दिया गया कथन सही है। परीक्षा-युक्ति: \(D<0\) के लिए मूलों को ‘कोई वास्तविक मूल नहीं’ लिखें। / For \(x^2+1=0\), \(a=1, b=0, c=1\). Thus, the discriminant is \(D=b^2-4ac=0^2-4(1)(1)=-4<0\). A quadratic equation with a negative discriminant has no real roots, so the statement is correct. Exam tip: For \(D<0\), write ‘no real roots.’
A. दो वास्तविक और असमान मूल/Two real and distinct roots
Explanation
Simple Explanation
द्विघात समीकरण में विविक्तकर \\(D=b^2-4ac\\) होता है। यहाँ \\(a=3, b=10, c=3\\), इसलिए \\(D=10^2-4(3)(3)=64\\)। चूँकि \\(D>0\\), दोनों मूल वास्तविक और असमान होंगे। यदि \\(D=0\\) होता, तो मूल वास्तविक और समान होते—इसलिए विकल्प B सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: विविक्तकर का चिह्न देखकर मूलों की प्रकृति तुरंत निर्धारित की जा सकती है। / For a quadratic equation, the discriminant is \\(D=b^2-4ac\\). Here, \\(a=3, b=10, c=3\\), so \\(D=10^2-4(3)(3)=64\\). Since \\(D>0\\), the two roots are real and distinct. If \\(D=0\\), the roots would be real and equal, so option B is incorrect. Exam tip: The sign of the discriminant directly determines the nature of the roots.
