Which value of k can give equal real roots for the equation 3x² + kx + 12 = 0?समीकरण 3x² + kx + 12 = 0 के समान वास्तविक मूलों के लिए k का कौन-सा मान सही हो सकता है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: 1212
For a quadratic equation ax²+bx+c=0, equal real roots occur precisely when the discriminant is zero: Δ=b²−4ac=0. In this equation, a=3, b=k, and c=12. Substitution gives k²−4(3)(12)=0, so k²−144=0 and hence k=±12. Among the listed choices, only 12 appears, so option A is the valid answer. Direct verification is also possible: for k=12, the equation becomes 3x²+12x+12=0, which factors as 3(x+2)²=0 and has the repeated real root x=−2. The value −12 would also work mathematically, but it is not offered. Values 6, 9, and 3 give nonzero discriminants, so their roots are not equal.द्विघात समीकरण ax²+bx+c=0 के समान वास्तविक मूल होने की आवश्यक और पर्याप्त शर्त उसका विविक्तकर शून्य होना है। अर्थात Δ=b²−4ac=0 होना चाहिए। दिए गए समीकरण में a=3, b=k और c=12 हैं। इसलिए k²−4(3)(12)=0, अर्थात k²−144=0। इससे k=±12 प्राप्त होता है। दिए गए विकल्पों में केवल 12 मौजूद है, इसलिए विकल्प A सही है। इसकी प्रत्यक्ष जाँच भी की जा सकती है: k=12 रखने पर 3x²+12x+12=0 मिलता है, जिसे 3(x+2)²=0 लिखा जा सकता है; अतः दोहराया हुआ वास्तविक मूल x=−2 है। −12 भी गणितीय रूप से सही मान होता, लेकिन वह विकल्पों में नहीं है। 6, 9 और 3 के लिए विविक्तकर शून्य नहीं होगा, इसलिए उनके मूल समान नहीं होंगे।
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