\(867=255\times3+102\), and (102<255), so the quotient is 3 and the remainder is 102.
Step 3
Exam Tip
In exams, always check that the remainder is smaller than the divisor. चरण 1: बड़े अंक को छोटे अंक से विभाजित करें। चरण 2: \(867=255\times3+102\) और (102<255), इसलिए भागफल 3 और शेषफल 102 है। चरण 3: परीक्षा में हमेशा जांचें कि शेषफल भाजक से छोटा हो।
By the division lemma, number \(=37\times18+r\), where \(0\le r<37\).
Step 2
Why this answer is correct
The greatest remainder is 36, so the number is (666+36=702).
Step 3
Exam Tip
The greatest remainder is always one less than the divisor. चरण 1: यूक्लिड प्रमेय से संख्या \(=37\times18+r\), जहाँ \(0\le r<37\)। चरण 2: अधिकतम संख्या के लिए शेषफल 36 होगा, इसलिए संख्या (666+36=702) नहीं, बल्कि \(37\times18=666\) और (666+36=702)। चरण 3: अधिकतम शेषफल हमेशा भाजक से 1 कम होता है।
A. क्योंकि शेषफल भाजक से छोटा होना चाहिए/Because the remainder must be less than the divisor
Step 1
Concept
In Euclid’s division lemma, \(0\le r<b\).
Step 2
Why this answer is correct
Here the divisor is 49, so the remainder can only be from 0 to 48.
Step 3
Exam Tip
If the remainder is equal to or greater than the divisor, reject it immediately. चरण 1: यूक्लिड विभाजन प्रमेय में \(0\le r<b\) होता है। चरण 2: यहाँ भाजक 49 है, इसलिए शेषफल 0 से 48 तक ही हो सकता है। चरण 3: शेषफल भाजक के बराबर या उससे बड़ा दिखे तो उत्तर तुरंत गलत मानें।
Here the divisor is 17 and the remainder is 16, which is less than 17.
Step 3
Exam Tip
Always compare the remainder with the divisor to check validity. चरण 1: मानक रूप (a=bq+r) से तुलना करें। चरण 2: यहाँ भाजक 17 है और शेषफल 16 है, जो 17 से छोटा है। चरण 3: शेषफल की वैधता देखने के लिए उसे भाजक से जरूर मिलाएं।
In Euclidean form, the remainder is non-negative and smaller than the divisor.
Step 2
Why this answer is correct
\(19\times22=418\), so (431=418+13) and (13<19).
Step 3
Exam Tip
A form with a negative remainder is not the standard Euclidean form. चरण 1: यूक्लिड रूप में शेषफल ऋणात्मक नहीं होता और भाजक से छोटा होता है। चरण 2: \(19\times22=418\), इसलिए (431=418+13) और (13<19)। चरण 3: ऋणात्मक शेषफल वाला रूप मानक यूक्लिड रूप नहीं माना जाता।
Here (b=12), so possible remainders are from 0 to 11.
Step 3
Exam Tip
Do not forget that 0 is also a possible remainder. चरण 1: यूक्लिड प्रमेय कहता है कि \(0\le r<b\)। चरण 2: यहाँ (b=12), इसलिए शेषफल 0 से 11 तक हो सकते हैं। चरण 3: शेषफल की सूची बनाते समय 0 को न भूलें।
When divided by 2, the remainder can only be 0 or 1.
Step 2
Why this answer is correct
An odd number is not exactly divisible by 2, so the remainder is 1 and the form is (a=2q+1).
Step 3
Exam Tip
For even-odd questions, take 2 as the divisor. चरण 1: 2 से भाग देने पर शेषफल 0 या 1 ही हो सकता है। चरण 2: विषम संख्या 2 से पूरी तरह विभाजित नहीं होती, इसलिए शेषफल 1 होगा और रूप (a=2q+1) बनेगा। चरण 3: सम और विषम के सवालों में 2 को भाजक मानना उपयोगी रहता है।
Here (r=3), and (3<5), so it is a valid remainder.
Step 3
Exam Tip
In such questions, treat the multiple part as the quotient part. चरण 1: मानक रूप (n=5q+r) से मिलाएं। चरण 2: यहाँ (r=3) है और (3<5), इसलिए यह वैध शेषफल है। चरण 3: ऐसे सवालों में गुणा वाले पद को भागफल वाला भाग मानें।
The correct condition is \(0\le r<b\), because the remainder can also be zero.
Step 3
Exam Tip
Be careful with (0<r), because it excludes exact division. चरण 1: प्रमेय का मुख्य नियम है (a=bq+r)। चरण 2: शेषफल के लिए सही सीमा \(0\le r<b\) होती है, क्योंकि शेषफल शून्य भी हो सकता है। चरण 3: परीक्षा में (0<r) देखकर सावधान रहें, क्योंकि वह शून्य शेषफल को छोड़ देता है।
B. निर्धारित (a,b) के लिए वैध भागफल और शेषफल केवल एक ही जोड़ी होती है/For fixed (a,b), the valid quotient and remainder form only one pair
Step 1
Concept
The lemma gives existence as well as uniqueness.
Step 2
Why this answer is correct
For fixed (a) and (b), only one valid pair (q,r) satisfies the condition.
Step 3
Exam Tip
Many algebraic forms may be written, but only the form with a valid remainder is correct. चरण 1: प्रमेय केवल अस्तित्व नहीं, अद्वितीयता भी बताता है। चरण 2: निर्धारित (a) और (b) के लिए (q) और (r) की एक ही वैध जोड़ी होती है। चरण 3: कई रूप लिखे जा सकते हैं, पर वैध शेषफल की शर्त पूरी करने वाला रूप ही सही है।
The greatest multiple not exceeding 314 is 297, so the remainder is 17.
Step 3
Exam Tip
Do not accept a negative remainder or a remainder greater than the divisor. चरण 1: \(27\times11=297\) और \(27\times12=324\) है। चरण 2: 314 से कम सबसे बड़ा गुणज 297 है, इसलिए शेषफल 17 है। चरण 3: ऋणात्मक शेषफल या भाजक से बड़ा शेषफल स्वीकार न करें।
Remainder 0 means the number is exactly divisible by the divisor. चरण 1: यूक्लिड रूप (a=bq+r) है। चरण 2: यदि शेषफल 0 है, तो (a=23q+0=23q) होगा। चरण 3: शेषफल 0 होने का अर्थ है कि संख्या भाजक से पूर्णतः विभाजित है।
In a valid form, the remainder must be from 0 to 14.
Step 2
Why this answer is correct
\(15\times6=90\), so (98=90+8), and 8 is valid.
Step 3
Exam Tip
Check both the calculation and the remainder limit. चरण 1: वैध रूप में शेषफल 0 से 14 के बीच होना चाहिए। चरण 2: \(15\times6=90\), इसलिए (98=90+8) और 8 वैध शेषफल है। चरण 3: गणना के साथ शेषफल की सीमा भी जांचें।
The possible values are 0 through 8, so there are 9 values.
Step 3
Exam Tip
The number of possible remainders is equal to the divisor. चरण 1: शेषफल के लिए \(0\le r<9\) होगा। चरण 2: संभव मान 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 हैं, कुल 9 मान। चरण 3: संभव शेषफलों की संख्या हमेशा भाजक के बराबर होती है।
For large numbers, reaching the nearest lower multiple is a fast method. चरण 1: 64 के गुणज देखें: \(64\times15=960\)। चरण 2: (1000-960=40), इसलिए शेषफल 40 है। चरण 3: बड़े अंकों में निकटतम छोटे गुणज तक पहुंचना तेज तरीका है।
When divided by 4, the remainder can be 0, 1, 2, or 3.
Step 2
Why this answer is correct
In (4q+4), the remainder is 4, equal to the divisor, so it is not a standard form.
Step 3
Exam Tip
A remainder is never equal to the divisor. चरण 1: 4 से भाग देने पर शेषफल 0, 1, 2, 3 में से होगा। चरण 2: (4q+4) में शेषफल 4 है, जो भाजक के बराबर है, इसलिए यह मानक रूप नहीं है। चरण 3: शेषफल कभी भी भाजक के बराबर नहीं होता।
The number has remainder 5, so the square has the same remainder as \(5^2=25\) divided by 6.
Step 2
Why this answer is correct
\(25=6\times4+1\), so the remainder is 1.
Step 3
Exam Tip
In square questions, first square the smaller remainder. चरण 1: संख्या का शेषफल 5 है, इसलिए वर्ग का शेषफल \(5^2=25\) को 6 से भाग देकर मिलेगा। चरण 2: \(25=6\times4+1\), इसलिए शेषफल 1 है। चरण 3: वर्ग वाले सवालों में पहले छोटे शेषफल का वर्ग लें।
Adding 1 gives (7q+7=7(q+1)), so the remainder is 0.
Step 3
Exam Tip
If the remainder is one less than the divisor and 1 is added, divisibility becomes exact. चरण 1: संख्या को (7q+6) लिखें। चरण 2: 1 जोड़ने पर (7q+7=7(q+1)), इसलिए शेषफल 0 होगा। चरण 3: शेषफल भाजक से 1 कम हो और 1 जोड़ा जाए, तो संख्या पूर्णतः विभाजित हो जाती है।
Adding 11 gives (8q+16=8(q+2)), so the remainder is 0.
Step 3
Exam Tip
Reduce the added number by the divisor and combine remainders. चरण 1: संख्या (8q+5) है। चरण 2: 11 जोड़ने पर (8q+16=8(q+2)), इसलिए शेषफल 0 है। चरण 3: जोड़ी गई संख्या को भी भाजक से भाग देकर शेषफल के साथ मिलाएं।
Adding 20 gives total remainder (9+20=29), and \(29=13\times2+3\).
Step 3
Exam Tip
When the total remainder exceeds the divisor, reduce it again. चरण 1: (a) का शेषफल 9 है। चरण 2: 20 जोड़ने पर कुल शेषफल (9+20=29), और \(29=13\times2+3\)। चरण 3: नया शेषफल निकालते समय कुल शेषफल को फिर से भाजक से घटाएं।
In multiplication questions, multiply the remainder and reduce it by the divisor. चरण 1: (x=10q+7) लिखें। चरण 2: (3x=30q+21=10(3q+2)+1), इसलिए शेषफल 1 है। चरण 3: गुणा के सवालों में शेषफल को गुणा करके फिर भाजक से घटाएं।
Twice the number is (22q+16=11(2q+1)+5), so the remainder is 5.
Step 3
Exam Tip
The final remainder must always be less than 11. चरण 1: संख्या (11q+8) मानें। चरण 2: दुगुनी संख्या (22q+16=11(2q+1)+5), इसलिए शेषफल 5 होगा। चरण 3: अंतिम शेषफल हमेशा 11 से छोटा होना चाहिए।
In (a=5q+r), the remainder must satisfy \(0\le r<5\).
Step 2
Why this answer is correct
5 is equal to the divisor, so it cannot be a remainder.
Step 3
Exam Tip
Valid remainders start from 0 and end at one less than the divisor. चरण 1: (a=5q+r) में शेषफल की सीमा \(0\le r<5\) है। चरण 2: 5 भाजक के बराबर है, इसलिए यह शेषफल नहीं हो सकता। चरण 3: वैध शेषफल 0 से शुरू होता है और भाजक से एक कम पर खत्म होता है।
The remainder of \(p^2\) is the remainder of \(4^2=16\) divided by 6, and \(16=6\times2+4\).
Step 3
Exam Tip
In power-based questions, work with the remainder instead of the whole number. चरण 1: (p=6q+4) मानें। चरण 2: \(p^2\) का शेषफल \(4^2=16\) को 6 से भाग देने पर मिलेगा, और \(16=6\times2+4\)। चरण 3: घात वाले सवालों में पूरे अंक की जगह शेषफल पर काम करें।
A. क्योंकि 3 से भाग देने पर शेषफल 0, 1, 2 में से एक होता है/Because division by 3 gives one of the remainders 0, 1, 2
Step 1
Concept
On division by 3, every integer is of the form (3q), (3q+1), or (3q+2).
Step 2
Why this answer is correct
Three consecutive integers cover these three remainders, so one is exactly divisible by 3.
Step 3
Exam Tip
Use the cycle of remainders for consecutive-number problems. चरण 1: 3 से भाग देने पर हर संख्या (3q), (3q+1), या (3q+2) रूप में होगी। चरण 2: तीन लगातार संख्याओं में ये तीनों शेषफल आते हैं, इसलिए एक संख्या 3 से पूर्णतः विभाजित होगी। चरण 3: लगातार संख्याओं में शेषफल चक्र का उपयोग करें।
When the remainder 3 gets 1 added, it reaches the next multiple of 4. चरण 1: (m=4q+3) में 1 जोड़ें। चरण 2: (m+1=4q+4=4(q+1)), इसलिए यह 4 से विभाज्य है। चरण 3: शेषफल 3 में 1 जोड़ने पर अगला पूरा गुणज बनता है।
Number (=) divisor \(\times\) quotient (+) remainder.
Step 2
Why this answer is correct
\(18\times24+17=432+17=449\).
Step 3
Exam Tip
Finally check that remainder 17 is less than divisor 18. चरण 1: संख्या \(=भाजक\timesभागफल+शेषफल\) होती है। चरण 2: \(18\times24+17=432+17=449\)। चरण 3: अंतिम जांच करें कि शेषफल 17, भाजक 18 से छोटा है।
For the least value, take (r=0), so the number is \(21\times31=651\).
Step 3
Exam Tip
For the least possible number, use remainder zero. चरण 1: संख्या \(=21\times31+r\), जहाँ \(0\le r<21\)। चरण 2: सबसे छोटे मान के लिए (r=0), इसलिए संख्या \(21\times31=651\) है। चरण 3: सबसे छोटा मान निकालते समय शेषफल शून्य लें।
The greatest value of (r) is 20, so the number is (651+20=671).
Step 3
Exam Tip
In such questions, take the maximum remainder as one less than the divisor. चरण 1: संख्या \(21\times31+r\) होगी। चरण 2: (r) का सबसे बड़ा मान 20 है, इसलिए संख्या (651+20=671) होगी। चरण 3: ऐसे सवालों में अधिकतम शेषफल हमेशा भाजक से एक कम लें।
B. (q) पूर्णांक और \(0\le r<b\)/(q) integer and \(0\le r<b\)
Step 1
Concept
In the lemma, (q) is an integer and (r) is the remainder.
Step 2
Why this answer is correct
The key condition is \(0\le r<b\).
Step 3
Exam Tip
In definition-based questions, the remainder condition is the most important clue. चरण 1: प्रमेय में (q) पूर्णांक हो सकता है और (r) शेषफल होता है। चरण 2: शेषफल की मुख्य शर्त \(0\le r<b\) है। चरण 3: परिभाषा आधारित प्रश्नों में शेषफल की सीमा सबसे महत्वपूर्ण संकेत है।
The square remainders are 0, 1, and the remainder of \(2^2=4\), which is 1.
Step 3
Exam Tip
For squares modulo 3, remainder 2 never appears. चरण 1: संख्या को (3q), (3q+1), (3q+2) माना जा सकता है। चरण 2: इनके वर्गों के शेषफल क्रमशः 0, 1 और \(2^2=4\) से 1 होंगे। चरण 3: वर्गों में शेषफल 2 नहीं आता, यह महत्वपूर्ण परीक्षा बिंदु है।
On division by 5, the remainder can be 0, 1, 2, 3, or 4.
Step 2
Why this answer is correct
6 is greater than divisor 5, so it cannot be a remainder.
Step 3
Exam Tip
First eliminate options equal to or greater than the divisor. चरण 1: 5 से भाग देने पर शेषफल 0, 1, 2, 3, 4 में से होगा। चरण 2: 6 भाजक 5 से बड़ा है, इसलिए यह शेषफल नहीं हो सकता। चरण 3: विकल्पों में पहले वही हटाएं जो भाजक से बड़ा या बराबर हो।
The remainder of 25 on division by 12 is 1, so total remainder (11+1=12), which becomes 0.
Step 3
Exam Tip
In addition, add the remainders and then reduce by the divisor. चरण 1: (N) का शेषफल 11 है। चरण 2: (25) को 12 से भाग देने पर शेषफल 1 है, इसलिए कुल शेषफल (11+1=12), जो 0 बन जाता है। चरण 3: जोड़ में दोनों शेषफल जोड़कर फिर भाजक से घटाएं।
For a linear expression, replace the number by its remainder and simplify. चरण 1: (y=9q+2) मानें। चरण 2: (5y+4=45q+10+4=45q+14=9(5q+1)+5)। चरण 3: रैखिक रूप में पहले शेषफल रखें, फिर सरल करें।
Subtracting 2 gives (14q+11), so the remainder is 11.
Step 3
Exam Tip
In subtraction, if the remainder does not become negative, subtract directly. चरण 1: संख्या (14q+13) है। चरण 2: 2 घटाने पर (14q+11), इसलिए शेषफल 11 है। चरण 3: घटाव में यदि शेषफल ऋणात्मक न हो तो सीधे घटा सकते हैं।
Use the remainder in the power: \(1^3=1\), so the remainder on division by 8 is still 1.
Step 3
Exam Tip
For powers, you do not need to expand the whole expression. चरण 1: (z=8q+1) मानें। चरण 2: घात में शेषफल का उपयोग करें: \(1^3=1\), इसलिए 8 से भाग देने पर शेषफल 1 ही रहेगा। चरण 3: घात वाले प्रश्नों में पूरा विस्तार करने की जरूरत नहीं होती।
The square remainder is obtained from \(15^2=225\) divided by 16. \(225=16\times14+1\).
Step 3
Exam Tip
The square of a remainder (b-1) often gives remainder 1. चरण 1: संख्या को (16q+15) मानें। चरण 2: वर्ग का शेषफल \(15^2=225\) को 16 से भाग देने पर मिलेगा। \(225=16\times14+1\)। चरण 3: (b-1) शेषफल का वर्ग अक्सर 1 शेषफल देता है।
Include remainder 0 and do not include remainder 7 in the complete list. चरण 1: 7 से भाग देने पर शेषफल 0 से 6 तक हो सकता है। चरण 2: इसलिए रूप (7q) से (7q+6) तक होंगे। चरण 3: पूर्ण सूची में 0 शेषफल शामिल करें और 7 शेषफल न लें।
Adding 1 gives (20q+20=20(q+1)), so the remainder is 0.
Step 3
Exam Tip
Adding 1 to a remainder one less than the divisor gives the next multiple. चरण 1: (a) का शेषफल 19 है। चरण 2: 1 जोड़ने पर (20q+20=20(q+1)), इसलिए शेषफल 0 है। चरण 3: भाजक से एक कम शेषफल में 1 जोड़ने पर अगला गुणज बनता है।
In powers, keep the calculation small by using the remainder. चरण 1: घन के लिए शेषफल \(2^3=8\) पर काम करें। चरण 2: \(8=6\times1+2\), इसलिए घन का शेषफल 2 है। चरण 3: घातों में शेषफल को छोटा रखकर गणना करें।
Their sum gives remainder (5+7=12), which is less than 18.
Step 3
Exam Tip
For a sum, adding the remainders first is easier. चरण 1: दोनों संख्याओं के शेषफल 5 और 7 हैं। चरण 2: जोड़ने पर शेषफल (5+7=12) होगा, जो 18 से छोटा है। चरण 3: योग का शेषफल निकालते समय पहले शेषफलों को जोड़ना आसान रहता है।
If the sum of remainders exceeds the divisor, reduce it again. चरण 1: शेषफल 14 और 11 जोड़ें। चरण 2: (14+11=25), और (25=18+7), इसलिए शेषफल 7 है। चरण 3: यदि शेषफलों का योग भाजक से बड़ा हो, तो फिर से घटाएं।
\(3\times4=12\), and 12 leaves remainder 2 on division by 10.
Step 3
Exam Tip
For products, multiply the remainders instead of the whole numbers. चरण 1: गुणन में शेषफलों को गुणा करें। चरण 2: \(3\times4=12\), और 12 को 10 से भाग देने पर शेषफल 2 है। चरण 3: गुणन वाले सवालों में पूरी संख्या की जगह शेषफल का गुणन करें।
For three times the number, the remainder part is \(3\times12=36\), and \(36=13\times2+10\).
Step 3
Exam Tip
After multiplication, reduce the remainder below the divisor. चरण 1: संख्या (13q+12) है। चरण 2: तिगुनी संख्या में शेषफल \(3\times12=36\) होगा, और \(36=13\times2+10\)। चरण 3: गुणन के बाद शेषफल को फिर से भाजक से कम करें।
\(1^2=1\) and \(3^2=9=4\times2+1\), so the remainder is 1 in both cases.
Step 3
Exam Tip
The square of an odd number leaves remainder 1 when divided by 4. चरण 1: संभावित शेषफल 1 और 3 हैं। चरण 2: \(1^2=1\) और \(3^2=9=4\times2+1\), इसलिए दोनों स्थितियों में शेषफल 1 है। चरण 3: विषम संख्या के वर्ग का 4 से शेषफल 1 होता है।
The square remainder comes from dividing \(4^2=16\) by 5.
Step 2
Why this answer is correct
\(16=5\times3+1\), so the remainder is 1.
Step 3
Exam Tip
A remainder one less than the divisor often gives square remainder 1. चरण 1: वर्ग का शेषफल \(4^2=16\) को 5 से भाग देने पर मिलेगा। चरण 2: \(16=5\times3+1\), इसलिए शेषफल 1 है। चरण 3: भाजक से एक कम शेषफल का वर्ग अक्सर 1 देता है।
If subtraction gives a negative remainder, add the divisor to make it valid. चरण 1: (a=7q+5) लिखें। चरण 2: (a-9=7q-4=7(q-1)+3), इसलिए शेषफल 3 है। चरण 3: घटाव में ऋणात्मक शेषफल आए तो भाजक जोड़कर वैध शेषफल बनाएं।
Adding 4 gives (9q+12=9(q+1)+3), so the remainder is 3.
Step 3
Exam Tip
Reduce the new remainder below the divisor by subtracting 9. चरण 1: संख्या (9q+8) है। चरण 2: 4 जोड़ने पर (9q+12=9(q+1)+3), इसलिए शेषफल 3 है। चरण 3: नया शेषफल भाजक से छोटा करने के लिए 9 घटाएं।
The nearest-multiple method saves time in large divisions. चरण 1: 45 का 728 से छोटा निकट गुणज खोजें। चरण 2: \(45\times16=720\), इसलिए (728-720=8)। चरण 3: बड़े भाग में निकटतम गुणज विधि समय बचाती है।
Adding 29 gives total remainder (7+29=36), and 36 is exactly divisible by 12.
Step 3
Exam Tip
You may add the given number directly, then find the final remainder. चरण 1: संख्या (12q+7) है। चरण 2: 29 जोड़ने पर कुल शेषफल (7+29=36), और 36, 12 से पूर्णतः विभाजित है। चरण 3: जोड़े गए अंक को सीधे जोड़ सकते हैं, फिर अंतिम शेषफल निकालें।
\(84\times12=1008\), so the remainder is (1025-1008=17).
Step 3
Exam Tip
The final remainder must be less than 84 for the form to be valid. चरण 1: 84 का 1025 से छोटा निकट गुणज खोजें। चरण 2: \(84\times12=1008\), इसलिए शेषफल (1025-1008=17) है। चरण 3: अंतिम शेषफल 84 से छोटा होना चाहिए, तभी रूप वैध है।
The number is of the form \(31\times27+r\), where \(0\le r<31\).
Step 2
Why this answer is correct
The greatest remainder is 30, so the number is (837+30=867).
Step 3
Exam Tip
For the greatest value, take the remainder as one less than the divisor. चरण 1: संख्या \(31\times27+r\) के रूप में होगी, जहाँ \(0\le r<31\)। चरण 2: सबसे बड़ा शेषफल 30 होगा, इसलिए संख्या (837+30=867) है। चरण 3: अधिकतम मान के लिए शेषफल हमेशा भाजक से एक कम लें।
For the least value, take remainder 0, so the number is \(46\times19=874\).
Step 3
Exam Tip
For minimum value questions, taking remainder zero is the safest method. चरण 1: संख्या \(46\times19+r\) होगी। चरण 2: सबसे छोटे मान के लिए शेषफल 0 लें, इसलिए संख्या \(46\times19=874\) है। चरण 3: न्यूनतम मान में शेषफल शून्य लेना सबसे सुरक्षित तरीका है।
\(58\times12=696\), so (703=696+7), and 7 is valid.
Step 3
Exam Tip
Along with calculation, also check the range of the remainder. चरण 1: वैध शेषफल 0 से 57 के बीच होना चाहिए। चरण 2: \(58\times12=696\), इसलिए (703=696+7) और 7 वैध शेषफल है। चरण 3: गणना सही होने के साथ शेषफल की सीमा भी जांचनी चाहिए।
Adding 16 gives total remainder (14+16=30), which is exactly divisible by 15.
Step 3
Exam Tip
After addition, reduce the remainder again by the divisor. चरण 1: (x) का शेषफल 14 है। चरण 2: 16 जोड़ने पर कुल शेषफल (14+16=30), जो 15 से पूर्णतः विभाजित है। चरण 3: जोड़ के बाद शेषफल को फिर से भाजक से घटाकर छोटा करें।
In a linear expression, first multiply the remainder and then reduce by the divisor. चरण 1: (n=17q+6) मानें। चरण 2: (4n+5=68q+24+5=68q+29=17(4q+1)+12)। चरण 3: रैखिक रूप में पहले शेषफल को गुणा करें और फिर भाजक से घटाएं।
The square remainder comes from dividing \(7^2=49\) by 9.
Step 2
Why this answer is correct
\(49=9\times5+4\), so the remainder is 4.
Step 3
Exam Tip
In square questions, squaring only the remainder is faster than using the whole number. चरण 1: वर्ग का शेषफल \(7^2=49\) को 9 से भाग देकर मिलेगा। चरण 2: \(49=9\times5+4\), इसलिए शेषफल 4 है। चरण 3: वर्ग में पूरी संख्या की जगह केवल शेषफल का वर्ग लेना तेज होता है।
On division by 6, possible remainders are 0, 1, 2, 3, 4, and 5.
Step 2
Why this answer is correct
So the forms are from (6q) to (6q+5).
Step 3
Exam Tip
Include remainder 0 and do not include 6 in the complete list. चरण 1: 6 से भाग देने पर शेषफल 0, 1, 2, 3, 4, 5 हो सकते हैं। चरण 2: इसलिए रूप (6q) से (6q+5) तक होंगे। चरण 3: पूरी सूची में शेषफल 0 शामिल करें और 6 शामिल न करें।
Adding 1 gives (23q+23=23(q+1)), so the remainder is 0.
Step 3
Exam Tip
Adding 1 to a remainder one less than the divisor takes the number to the next multiple. चरण 1: (a) का शेषफल 22 है, जो 23 से एक कम है। चरण 2: 1 जोड़ने पर (23q+23=23(q+1)), इसलिए शेषफल 0 है। चरण 3: भाजक से एक कम शेषफल में 1 जोड़ने पर संख्या अगले गुणज पर पहुंच जाती है।
If subtraction gives a negative remainder, add the divisor enough times to make it valid. चरण 1: (m=12q+5) लिखें। चरण 2: (m-19=12q-14=12(q-2)+10), इसलिए शेषफल 10 है। चरण 3: घटाव में ऋणात्मक शेषफल आए तो भाजक को उचित बार जोड़कर वैध शेषफल बनाएं।
If (b=28), the greatest possible value of (r) is 27.
Step 3
Exam Tip
The remainder can never be equal to the divisor. चरण 1: शेषफल की शर्त \(0\le r<b\) होती है। चरण 2: (b=28) होने पर (r) का सबसे बड़ा मान 27 होगा। चरण 3: शेषफल कभी भी भाजक के बराबर नहीं हो सकता।
For twice the number, the remainder part is \(2\times24=48\), and (48=25+23).
Step 3
Exam Tip
After multiplication, reduce the remainder below 25. चरण 1: संख्या (25q+24) मानें। चरण 2: दुगुनी संख्या में शेषफल \(2\times24=48\) होगा, और (48=25+23)। चरण 3: गुणा के बाद शेषफल को 25 से छोटा करना जरूरी है।
\(36\times16=576\), so the remainder is (589-576=13).
Step 3
Exam Tip
For larger numbers, use the nearest lower multiple. चरण 1: 36 का 589 से छोटा निकट गुणज निकालें। चरण 2: \(36\times16=576\), इसलिए शेषफल (589-576=13) है। चरण 3: बड़े अंकों में निकटतम छोटे गुणज का उपयोग करें।
In power questions, keep the calculation small by using the remainder. चरण 1: घन का शेषफल \(3^3=27\) से मिलेगा। चरण 2: \(27=8\times3+3\), इसलिए शेषफल 3 है। चरण 3: घात वाले प्रश्नों में शेषफल को छोटा रखकर गणना करें।
B. शेषफल 0 से 9 तक हो सकता है/The remainder can be from 0 to 9
Step 1
Concept
In Euclid’s lemma, the remainder starts from 0.
Step 2
Why this answer is correct
When divided by 10, possible remainders are 0 through 9.
Step 3
Exam Tip
Do not include the divisor itself in the list of remainders. चरण 1: यूक्लिड प्रमेय में शेषफल 0 से शुरू होता है। चरण 2: 10 से भाग देने पर शेषफल 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 हो सकते हैं। चरण 3: शेषफल की सूची में भाजक को शामिल न करें।
For (3p-7), the remainder part is \(3\times8-7=17\), and (17=11+6).
Step 3
Exam Tip
In a linear expression, always reduce the final remainder below the divisor. चरण 1: (p) का शेषफल 8 है। चरण 2: (3p-7) में शेषफल \(3\times8-7=17\) होगा, और (17=11+6)। चरण 3: रैखिक व्यंजक में अंतिम शेषफल हमेशा भाजक से छोटा करें।
The sum has remainder (4+5=9), and (9=7+2), so the remainder is 2.
Step 3
Exam Tip
If the sum of remainders is greater than the divisor, reduce it again. चरण 1: दोनों शेषफल 4 और 5 हैं। चरण 2: योग का शेषफल (4+5=9), और (9=7+2), इसलिए शेषफल 2 है। चरण 3: शेषफलों का योग भाजक से बड़ा हो तो फिर से घटाएं।
For multiplication, multiply the remainders 10 and 9.
Step 2
Why this answer is correct
\(10\times9=90\), and \(90=13\times6+12\).
Step 3
Exam Tip
In products, using remainders instead of whole numbers saves time. चरण 1: गुणन के लिए शेषफल 10 और 9 को गुणा करें। चरण 2: \(10\times9=90\), और \(90=13\times6+12\)। चरण 3: गुणन में पूरी संख्या की जगह शेषफलों का उपयोग करने से समय बचता है।
In powers, first raise the small remainder to the power. चरण 1: घन के लिए \(2^3=8\) देखें। चरण 2: \(8=5\times1+3\), इसलिए घन का शेषफल 3 है। चरण 3: घातों में पहले छोटे शेषफल की घात निकालें।
The possible remainders of a number are 0, 1, 2, and 3.
Step 2
Why this answer is correct
The square remainders are respectively 0, 1, 0, and 1.
Step 3
Exam Tip
A square divided by 4 never leaves remainder 2 or 3. चरण 1: संख्या के संभावित शेषफल 0, 1, 2, 3 हैं। चरण 2: इनके वर्गों के शेषफल क्रमशः 0, 1, 0, 1 मिलते हैं। चरण 3: 4 से भाग देने पर किसी वर्ग का शेषफल 2 या 3 नहीं होता।
Adding 25 gives total remainder (11+25=36), and 36 is exactly divisible by 18.
Step 3
Exam Tip
After addition, divide the total remainder again by the divisor. चरण 1: (N) का शेषफल 11 है। चरण 2: 25 जोड़ने पर कुल शेषफल (11+25=36), और 36, 18 से पूर्णतः विभाजित है। चरण 3: जोड़ के बाद कुल शेषफल को भाजक से फिर भाग दें।
When the divisor is 19, the remainder can be from 0 to 18.
Step 2
Why this answer is correct
19 is equal to the divisor, so it cannot be a remainder.
Step 3
Exam Tip
In remainder-range questions, watch carefully for the option equal to the divisor. चरण 1: भाजक 19 होने पर शेषफल 0 से 18 तक हो सकता है। चरण 2: 19 भाजक के बराबर है, इसलिए यह शेषफल नहीं हो सकता। चरण 3: शेषफल की सीमा पर आधारित सवालों में बराबर वाले विकल्प को सावधानी से देखें।
While dividing, choose the multiple that does not exceed the number. चरण 1: \(53\times27=1431\) है। चरण 2: (1441-1431=10), इसलिए शेषफल 10 है। चरण 3: भाग करते समय उस गुणज को चुनें जो संख्या से बड़ा न हो।
The remainder part of (2t+3) is \(2\times9+3=21\), and (21=16+5).
Step 3
Exam Tip
Do not forget to reduce the final remainder below 16. चरण 1: (t) का शेषफल 9 है। चरण 2: (2t+3) का शेषफल \(2\times9+3=21\) होगा, और (21=16+5)। चरण 3: अंतिम शेषफल को 16 से कम करना न भूलें।
For five times the number, the remainder is \(5\times3=15\), which is less than 20.
Step 3
Exam Tip
In multiplication, multiply the remainder and check the limit. चरण 1: संख्या को (20q+3) मानें। चरण 2: पांच गुनी संख्या में शेषफल \(5\times3=15\) होगा, जो 20 से छोटा है। चरण 3: गुणा में शेषफल को ही गुणा करें और सीमा जांचें।
A. क्योंकि उनमें एक 2 से और एक 3 से विभाज्य होता है/Because one of them is divisible by 2 and one is divisible by 3
Step 1
Concept
Among two consecutive integers, one is even, so a factor 2 is present.
Step 2
Why this answer is correct
Among three consecutive integers, one is divisible by 3, so a factor 3 is present.
Step 3
Exam Tip
Since 2 and 3 together make 6, the product is divisible by 6. चरण 1: दो लगातार पूर्णांकों में एक सम होता है, इसलिए 2 का गुणनखंड मिलता है। चरण 2: तीन लगातार पूर्णांकों में एक 3 से विभाज्य होता है, इसलिए 3 का गुणनखंड मिलता है। चरण 3: 2 और 3 मिलकर 6 बनाते हैं, इसलिए गुणनफल 6 से विभाज्य है।
The square of an odd number leaves remainder 1 when divided by 8; for example, \(1^2\) and \(5^2\) both leave remainder 1.
Step 3
Exam Tip
Remember the rule that odd squares leave remainder 1 on division by 8. चरण 1: (4q+1) रूप की संख्या विषम होती है। चरण 2: किसी विषम संख्या का वर्ग 8 से भाग देने पर शेषफल 1 देता है; उदाहरण के लिए \(1^2\) और \(5^2\) दोनों 8 से 1 शेषफल देते हैं। चरण 3: विषम वर्गों में 8 से शेषफल 1 वाला नियम याद रखें।
This can be written as (29(q-1)+14), so the remainder is 14.
Step 3
Exam Tip
Add the divisor to a negative remainder to make it valid. चरण 1: (a-35=29q+20-35=29q-15)। चरण 2: इसे (29(q-1)+14) लिखा जा सकता है, इसलिए शेषफल 14 है। चरण 3: ऋणात्मक शेषफल को वैध बनाने के लिए भाजक जोड़ें।
Do not write 64 as the final answer because a remainder must be smaller than the divisor. चरण 1: वर्ग के लिए \(8^2=64\) लें। चरण 2: \(64=13\times4+12\), इसलिए शेषफल 12 है। चरण 3: अंतिम उत्तर में 64 नहीं लिखें, क्योंकि शेषफल भाजक से छोटा होना चाहिए।
The remainder of \(x^2+x\) comes from \(5^2+5=30\), and 30 is divisible by 6.
Step 3
Exam Tip
Substitute the remainder in the expression to solve quickly. चरण 1: (x) का शेषफल 5 है। चरण 2: \(x^2+x\) का शेषफल \(5^2+5=30\) से मिलेगा, और 30, 6 से विभाज्य है। चरण 3: व्यंजक में संख्या की जगह उसका शेषफल रखकर हल करें।
The nearest lower multiple of 17 below 352 is 340, so the remainder is 12.
Step 3
Exam Tip
Do not accept a negative remainder or a remainder greater than 17. चरण 1: \(17\times20=340\) और \(17\times21=357\) है। चरण 2: 352 से छोटा निकट गुणज 340 है, इसलिए शेषफल 12 है। चरण 3: ऋणात्मक या 17 से बड़ा शेषफल स्वीकार न करें।
Number (=) divisor \(\times\) quotient (+) remainder.
Step 2
Why this answer is correct
\(32\times15+31=480+31=511\).
Step 3
Exam Tip
Remainder 31 is less than divisor 32, so the form is valid. चरण 1: संख्या \(=भाजक\timesभागफल+शेषफल\) होती है। चरण 2: \(32\times15+31=480+31=511\)। चरण 3: शेषफल 31, भाजक 32 से छोटा है, इसलिए रूप वैध है।
In subtraction, add the divisor when the remainder becomes negative. चरण 1: अंतर के लिए शेषफल (9-10=-1) मिलेगा। चरण 2: वैध शेषफल बनाने के लिए 14 जोड़ें, जिससे 13 मिलता है। चरण 3: घटाव में ऋणात्मक शेषफल आने पर भाजक जोड़ना चाहिए।
A. क्योंकि 4 से भाग देने पर शेषफल 0, 1, 2, 3 का चक्र आता है/Because division by 4 gives the cycle of remainders 0, 1, 2, 3
Step 1
Concept
Any integer divided by 4 is of the form (4q), (4q+1), (4q+2), or (4q+3).
Step 2
Why this answer is correct
Four consecutive integers cover all these four remainders.
Step 3
Exam Tip
The one with remainder 0 is divisible by 4. चरण 1: कोई भी पूर्णांक 4 से भाग देने पर (4q), (4q+1), (4q+2), या (4q+3) रूप में होता है। चरण 2: चार लगातार पूर्णांकों में ये चारों शेषफल आ जाते हैं। चरण 3: जिस संख्या का शेषफल 0 है, वही 4 से विभाज्य होगी।
Adding 28 gives total remainder (26+28=54), which is exactly divisible by 27.
Step 3
Exam Tip
It is easier to reduce the added number by the divisor and combine remainders. चरण 1: मूल शेषफल 26 है। चरण 2: 28 जोड़ने पर कुल शेषफल (26+28=54), जो 27 से पूर्णतः विभाजित है। चरण 3: जोड़ी गई संख्या को भी शेषफल के रूप में घटाकर देखना आसान रहता है।
The remainder of \(u^2-u\) comes from \(7^2-7=42\), and \(42=10\times4+2\).
Step 3
Exam Tip
Substitute the remainder first, then find the final remainder. चरण 1: (u) का शेषफल 7 है। चरण 2: \(u^2-u\) का शेषफल \(7^2-7=42\) से मिलेगा, और \(42=10\times4+2\)। चरण 3: व्यंजक में पहले शेषफल रखें, फिर अंतिम शेषफल निकालें।
For the fourth power, look at the remainder of \(4^4\).
Step 2
Why this answer is correct
\(4^2=16\), which leaves remainder 2 when divided by 7; then \(4^4\) leaves the same remainder as \(2^2=4\).
Step 3
Exam Tip
For higher powers, reduce remainders step by step. चरण 1: चौथे घात के लिए \(4^4\) का शेषफल देखें। चरण 2: \(4^2=16\), जिसका 7 से शेषफल 2 है; फिर \(4^4\) का शेषफल \(2^2=4\) होगा। चरण 3: बड़ी घातों में छोटे-छोटे चरणों में शेषफल निकालें।
Adding 5 gives (15q+15=15(q+1)), so the remainder is 0.
Step 3
Exam Tip
When the remainder and added number together make the divisor, the new remainder becomes 0. चरण 1: संख्या (15q+10) है। चरण 2: 5 जोड़ने पर (15q+15=15(q+1)), इसलिए शेषफल 0 होगा। चरण 3: जब शेषफल और जोड़ी गई संख्या मिलकर भाजक बन जाएं, तो शेषफल 0 हो जाता है।
The remainder of (ab+a) comes from \(8\times5+8=48\), and 48 is divisible by 12.
Step 3
Exam Tip
In a mixed expression, find the remainder of each part separately. चरण 1: (a) और (b) के शेषफल 8 और 5 हैं। चरण 2: (ab+a) का शेषफल \(8\times5+8=48\) से मिलेगा, और 48, 12 से विभाज्य है। चरण 3: मिश्रित व्यंजक में हर पद का शेषफल अलग निकालें।
\(100\times9=900\), so (999=900+99), and 99 is less than 100.
Step 3
Exam Tip
A form with a negative remainder may look computationally close, but it is not Euclidean form. चरण 1: मानक रूप में शेषफल नकारात्मक नहीं होता। चरण 2: \(100\times9=900\), इसलिए (999=900+99) और 99, 100 से छोटा है। चरण 3: ऋणात्मक शेषफल वाला रूप गणना जैसा दिख सकता है, पर यूक्लिडीय रूप नहीं है।
\(1^2=1\) and \(5^2=25=6\times4+1\), so the remainder is 1 in both cases.
Step 3
Exam Tip
Squares of many numbers coprime to 6 show remainder 1, but checking is always better. चरण 1: संभावित शेषफल 1 और 5 हैं। चरण 2: \(1^2=1\) और \(5^2=25=6\times4+1\), इसलिए दोनों में शेषफल 1 है। चरण 3: 6 से सहअभाज्य कई संख्याओं के वर्गों में शेषफल 1 दिखता है, पर हमेशा जांच करना अच्छा है।
For seven times the number, the remainder part is \(7\times4=28\).
Step 2
Why this answer is correct
(28=22+6), so the final remainder is 6.
Step 3
Exam Tip
If the result after multiplication is greater than the divisor, reduce it. चरण 1: सात गुना संख्या के लिए शेषफल \(7\times4=28\) होगा। चरण 2: (28=22+6), इसलिए अंतिम शेषफल 6 है। चरण 3: गुणा के बाद मिला परिणाम भाजक से बड़ा हो तो उसे घटाएं।
The remainder of \(a^2+1\) comes from \(2^2+1=5\), which is exactly divisible by 5.
Step 3
Exam Tip
After substituting the remainder in the expression, check it again by the divisor. चरण 1: (a) का शेषफल 2 है। चरण 2: \(a^2+1\) का शेषफल \(2^2+1=5\) से मिलेगा, जो 5 से पूर्णतः विभाजित है। चरण 3: व्यंजक में शेषफल रखने के बाद उत्तर को फिर भाजक से जांचें।
In (2a+b), the remainder part is \(2\times4+7=15\).
Step 2
Why this answer is correct
(15=9+6), so the remainder is 6.
Step 3
Exam Tip
In such questions, handle the remainder of each term separately. चरण 1: (2a+b) में शेषफल \(2\times4+7=15\) होगा। चरण 2: (15=9+6), इसलिए शेषफल 6 है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में प्रत्येक पद का शेषफल अलग संभालें।
61 leaves remainder 1 when divided by 30, so total remainder (29+1=30), which becomes 0.
Step 3
Exam Tip
It is useful to reduce a large added number to a smaller remainder first. चरण 1: मूल शेषफल 29 है। चरण 2: 61 का 30 से शेषफल 1 है, इसलिए कुल शेषफल (29+1=30), जो 0 बन जाता है। चरण 3: बड़ी जोड़ी गई संख्या को पहले छोटे शेषफल में बदलना उपयोगी है।
The remainder of \(n^2+n+1\) comes from \(2^2+2+1=7\), and 7 leaves remainder 1 when divided by 3.
Step 3
Exam Tip
In polynomial-like expressions, substituting the remainder makes the solution simple. चरण 1: (n) की जगह शेषफल 2 रखें। चरण 2: \(n^2+n+1\) का शेषफल \(2^2+2+1=7\) से मिलेगा, और 7 का 3 से शेषफल 1 है। चरण 3: बहुपद जैसे व्यंजकों में संख्या की जगह उसका शेषफल रखने से हल सरल हो जाता है।
For (5a), compute \(5\times17=85\), and \(85=24\times3+13\).
Step 3
Exam Tip
After multiplication, the remainder must be reduced below the divisor. चरण 1: (a) का शेषफल 17 है। चरण 2: (5a) के लिए \(5\times17=85\), और \(85=24\times3+13\)। चरण 3: गुणा के बाद शेषफल को भाजक से कम करना अनिवार्य है।
41 is equal to the divisor, so it cannot be a remainder.
Step 3
Exam Tip
In definition-based questions, (r<b) is the most important rule. चरण 1: शेषफल की सीमा \(0\le r<41\) है। चरण 2: 41 भाजक के बराबर है, इसलिए शेषफल नहीं हो सकता। चरण 3: परिभाषा आधारित प्रश्नों में (r<b) सबसे महत्वपूर्ण नियम है।
Since (n) has remainder 7, (n+1) has remainder 0, so its square is divisible by 8.
Step 3
Exam Tip
Recognizing the structure of the expression reduces calculation. चरण 1: व्यंजक (n-2+2n+1=(n+1)2) है। चरण 2: (n) का शेषफल 7 है, इसलिए (n+1) का शेषफल 0 होगा और वर्ग भी 8 से विभाज्य होगा। चरण 3: पहले व्यंजक की बनावट पहचानना गणना कम कर देता है।
36 is exactly divisible by 18, so the remainder is 0.
Step 3
Exam Tip
In multi-term questions, add only the remainders and then reduce at the end. चरण 1: शेषफलों को जोड़ें: (13+16+7=36)। चरण 2: 36, 18 से पूर्णतः विभाजित है, इसलिए शेषफल 0 है। चरण 3: कई पदों वाले प्रश्न में केवल शेषफलों को जोड़कर अंतिम घटाव करें।
Find the nearest lower multiple of 112 below 1365.
Step 2
Why this answer is correct
\(112\times12=1344\), so the remainder is (1365-1344=21).
Step 3
Exam Tip
In exams, always check that the final remainder is smaller than the divisor. चरण 1: 112 का 1365 से छोटा निकट गुणज खोजें। चरण 2: \(112\times12=1344\), इसलिए शेषफल (1365-1344=21) है। चरण 3: परीक्षा में अंतिम शेषफल को भाजक से छोटा जरूर जांचें।
The number has the form \(39\times22+r\), where \(0\le r<39\).
Step 2
Why this answer is correct
The greatest remainder is 38, so the number is (858+38=896).
Step 3
Exam Tip
For the greatest number, take the remainder one less than the divisor. चरण 1: संख्या \(39\times22+r\) के रूप में होगी, जहाँ \(0\le r<39\)। चरण 2: सबसे बड़ा शेषफल 38 होगा, इसलिए संख्या (858+38=896) है। चरण 3: अधिकतम संख्या के लिए शेषफल भाजक से एक कम लें।
For the least value, (r=0), so the number is \(57\times18=1026\).
Step 3
Exam Tip
For a minimum value, start with remainder zero. चरण 1: संख्या \(57\times18+r\) होगी। चरण 2: सबसे छोटे मान के लिए (r=0), इसलिए संख्या \(57\times18=1026\) है। चरण 3: न्यूनतम मान में शेषफल हमेशा शून्य मानकर शुरू करें।
\(73\times12=876\), so (947=876+71), and 71 is valid.
Step 3
Exam Tip
A form with a negative remainder may look close, but it is not Euclidean form. चरण 1: वैध शेषफल 0 से 72 के बीच होना चाहिए। चरण 2: \(73\times12=876\), इसलिए (947=876+71) और 71 वैध शेषफल है। चरण 3: ऋणात्मक शेषफल वाला रूप सही गणना जैसा लग सकता है, पर वह यूक्लिडीय रूप नहीं है।
Adding 28 gives total remainder (25+28=53), and \(53=26\times2+1\).
Step 3
Exam Tip
After addition, reduce the remainder again by the divisor. चरण 1: (x) का शेषफल 25 है। चरण 2: 28 जोड़ने पर कुल शेषफल (25+28=53), और \(53=26\times2+1\)। चरण 3: जोड़ के बाद शेषफल को फिर से भाजक से घटाकर छोटा करें।
The remainder of (5n+7) comes from \(5\times8+7=47\), and \(47=19\times2+9\).
Step 3
Exam Tip
In a linear expression, using the remainder keeps the calculation short. चरण 1: (n=19q+8) मानें। चरण 2: (5n+7) का शेषफल \(5\times8+7=47\) से मिलेगा, और \(47=19\times2+9\)। चरण 3: रैखिक व्यंजक में शेषफल रखकर गणना छोटी हो जाती है।
The square remainder comes from dividing \(9^2=81\) by 11.
Step 2
Why this answer is correct
\(81=11\times7+4\), so the remainder is 4.
Step 3
Exam Tip
In square questions, square the remainder instead of the whole number. चरण 1: वर्ग का शेषफल \(9^2=81\) को 11 से भाग देकर मिलेगा। चरण 2: \(81=11\times7+4\), इसलिए शेषफल 4 है। चरण 3: वर्ग वाले प्रश्नों में पूरी संख्या के बजाय उसके शेषफल का वर्ग लें।
On division by 9, possible remainders are from 0 to 8.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, all forms are from (9q) to (9q+8).
Step 3
Exam Tip
Include remainder 0 and do not include remainder 9. चरण 1: 9 से भाग देने पर शेषफल 0 से 8 तक हो सकता है। चरण 2: इसलिए सभी रूप (9q) से (9q+8) तक होंगे। चरण 3: पूरी सूची में 0 शेषफल रखें और 9 शेषफल न रखें।
Adding 1 gives (31q+31=31(q+1)), so the remainder is 0.
Step 3
Exam Tip
Adding 1 to a remainder one less than the divisor gives the next exact multiple. चरण 1: (a) का शेषफल 30 है, जो 31 से एक कम है। चरण 2: 1 जोड़ने पर (31q+31=31(q+1)), इसलिए शेषफल 0 है। चरण 3: भाजक से एक कम शेषफल में 1 जोड़ने पर अगला पूरा गुणज बनता है।
If subtraction gives a negative remainder, add the divisor as needed. चरण 1: (m=17q+4) लिखें। चरण 2: (m-23=17q-19=17(q-2)+15), इसलिए शेषफल 15 है। चरण 3: घटाव में ऋणात्मक शेषफल आए तो भाजक को जरूरत के अनुसार जोड़ें।
The greatest integer smaller than 52 is 51, so it is the greatest possible remainder.
Step 3
Exam Tip
A remainder can never be equal to the divisor. चरण 1: शेषफल की शर्त \(0\le r<52\) होगी। चरण 2: 52 से छोटा सबसे बड़ा पूर्णांक 51 है, इसलिए वही अधिकतम शेषफल है। चरण 3: शेषफल कभी भी भाजक के बराबर नहीं हो सकता।
For three times the number, the remainder part is \(3\times27=81\).
Step 2
Why this answer is correct
\(81=28\times2+25\), so the final remainder is 25.
Step 3
Exam Tip
After multiplication, reduce the remainder below the divisor. चरण 1: तिगुनी संख्या के लिए शेषफल \(3\times27=81\) होगा। चरण 2: \(81=28\times2+25\), इसलिए अंतिम शेषफल 25 है। चरण 3: गुणा के बाद मिले शेषफल को भाजक से छोटा करना जरूरी है।
\(41\times21=861\), so the remainder is (875-861=14).
Step 3
Exam Tip
The nearest lower multiple method saves time with larger numbers. चरण 1: 41 का 875 से छोटा निकट गुणज निकालें। चरण 2: \(41\times21=861\), इसलिए शेषफल (875-861=14) है। चरण 3: निकटतम छोटे गुणज की विधि बड़े अंकों में समय बचाती है।
In power questions, use the smaller remainder instead of the full number. चरण 1: घन के लिए \(3^3=27\) लें। चरण 2: 27 को 10 से भाग देने पर शेषफल 7 है। चरण 3: घात वाले प्रश्नों में संख्या की जगह उसके छोटे शेषफल का उपयोग करें।
B. शेषफल 0 से 13 तक हो सकता है/The remainder can be from 0 to 13
Step 1
Concept
In Euclid’s lemma, \(0\le r<b\).
Step 2
Why this answer is correct
Here (b=14), so the remainder can be from 0 to 13.
Step 3
Exam Tip
Include 0 in the list of remainders and exclude the divisor itself. चरण 1: यूक्लिड प्रमेय में \(0\le r<b\) होता है। चरण 2: यहाँ (b=14), इसलिए शेषफल 0 से 13 तक हो सकता है। चरण 3: शेषफल की सूची में 0 शामिल करें और भाजक को बाहर रखें।
The remainder of (4p-9) comes from \(4\times11-9=35\), and \(35=13\times2+9\).
Step 3
Exam Tip
Always reduce the final remainder below the divisor. चरण 1: (p) का शेषफल 11 है। चरण 2: (4p-9) का शेषफल \(4\times11-9=35\) से मिलेगा, और \(35=13\times2+9\)। चरण 3: अंतिम शेषफल को हमेशा भाजक से कम करें।
The sum remainder comes from (6+7=13), and (13=8+5).
Step 3
Exam Tip
If the sum of remainders is greater than the divisor, reduce it again. चरण 1: दोनों संख्याओं के शेषफल 6 और 7 हैं। चरण 2: योग का शेषफल (6+7=13) से मिलेगा, और (13=8+5)। चरण 3: शेषफलों का योग भाजक से बड़ा हो तो उसे फिर घटाएं।
For multiplication, multiply the remainders 12 and 15.
Step 2
Why this answer is correct
\(12\times15=180\), and \(180=17\times10+10\).
Step 3
Exam Tip
In product questions, multiply the remainders and then find the final remainder. चरण 1: गुणन के लिए शेषफल 12 और 15 को गुणा करें। चरण 2: \(12\times15=180\), और \(180=17\times10+10\)। चरण 3: गुणन वाले प्रश्नों में शेषफलों का गुणा करके अंतिम शेषफल निकालें।
In higher powers, reduce remainders along the way to keep calculation easy. चरण 1: घन के लिए \(5^3=125\) देखें। चरण 2: \(125=7\times17+6\), इसलिए शेषफल 6 है। चरण 3: बड़ी घात में बीच-बीच में शेषफल घटाकर गणना आसान रखें।
The possible remainders of a number are 0, 1, 2, 3, and 4.
Step 2
Why this answer is correct
Their square remainders are 0, 1, 4, 4, and 1 respectively.
Step 3
Exam Tip
A square divided by 5 never leaves remainder 2 or 3. चरण 1: संख्या के संभावित शेषफल 0, 1, 2, 3, 4 हैं। चरण 2: इनके वर्गों के शेषफल क्रमशः 0, 1, 4, 4, 1 मिलते हैं। चरण 3: 5 से भाग देने पर किसी वर्ग का शेषफल 2 या 3 नहीं आता।
(49) leaves remainder 5 on division by 22, so (17+5=22), which gives remainder 0.
Step 3
Exam Tip
After reducing the added number, reduce the final sum again by the divisor. चरण 1: (N) का शेषफल 17 है। चरण 2: 49 को 22 से भाग देने पर शेषफल 5 है, इसलिए कुल शेषफल (17+5=22), जो 0 होना चाहिए; पर सीधे (17+49=66), और 66 भी 22 से विभाज्य है। चरण 3: जोड़ी गई संख्या को छोटे शेषफल में बदलने के बाद अंतिम घटाव जरूर करें।
When the divisor is 24, the remainder can be from 0 to 23.
Step 2
Why this answer is correct
24 is equal to the divisor, so it cannot be a remainder.
Step 3
Exam Tip
In remainder questions, carefully check any option equal to the divisor. चरण 1: भाजक 24 होने पर शेषफल 0 से 23 तक हो सकता है। चरण 2: 24 भाजक के बराबर है, इसलिए यह शेषफल नहीं हो सकता। चरण 3: शेषफल के प्रश्न में भाजक के बराबर विकल्प को तुरंत सावधानी से देखें।
While dividing, choose a multiple that does not exceed the given number. चरण 1: \(67\times25=1675\) है। चरण 2: (1682-1675=7), इसलिए शेषफल 7 है। चरण 3: भाग करते समय ऐसा गुणज लें जो दी गई संख्या से बड़ा न हो।
The remainder part of (3t+4) is \(3\times13+4=43\), and \(43=18\times2+7\).
Step 3
Exam Tip
The final remainder must be reduced below 18. चरण 1: (t) का शेषफल 13 है। चरण 2: (3t+4) का शेषफल \(3\times13+4=43\) से मिलेगा, और \(43=18\times2+7\)। चरण 3: अंतिम शेषफल को 18 से कम करना जरूरी है।
For seven times the number, the remainder part is \(7\times6=42\).
Step 2
Why this answer is correct
(42=32+10), so the final remainder is 10.
Step 3
Exam Tip
After multiplication, reduce the result again by the divisor. चरण 1: सात गुनी संख्या के लिए शेषफल \(7\times6=42\) होगा। चरण 2: (42=32+10), इसलिए अंतिम शेषफल 10 है। चरण 3: गुणा के बाद मिले परिणाम को फिर से भाजक से घटाएं।
A. क्योंकि 5 से भाग देने पर शेषफल 0, 1, 2, 3, 4 का चक्र आता है/Because division by 5 gives the cycle of remainders 0, 1, 2, 3, 4
Step 1
Concept
Any integer divided by 5 has one of the forms (5q), (5q+1), (5q+2), (5q+3), or (5q+4).
Step 2
Why this answer is correct
Five consecutive integers cover all five remainders.
Step 3
Exam Tip
The number with remainder 0 is divisible by 5. चरण 1: कोई भी पूर्णांक 5 से भाग देने पर (5q), (5q+1), (5q+2), (5q+3), या (5q+4) रूप में होता है। चरण 2: पांच लगातार पूर्णांकों में ये पांचों शेषफल आ जाते हैं। चरण 3: जिस संख्या का शेषफल 0 है, वही 5 से विभाज्य होगी।
\(1^2=1\) and \(5^2=25=6\times4+1\), so the remainder is 1 in both cases.
Step 3
Exam Tip
In such forms, work only with the remainder, not the whole number. चरण 1: संभावित शेषफल 1 और 5 हैं। चरण 2: \(1^2=1\) और \(5^2=25=6\times4+1\), इसलिए दोनों स्थितियों में शेषफल 1 है। चरण 3: ऐसे रूपों में पूरी संख्या नहीं, केवल शेषफल पर काम करें।
This can be written as (37(q-1)+18), so the remainder is 18.
Step 3
Exam Tip
Add the divisor once to make a negative remainder valid. चरण 1: (a-48=37q+29-48=37q-19)। चरण 2: इसे (37(q-1)+18) लिखा जा सकता है, इसलिए शेषफल 18 है। चरण 3: ऋणात्मक शेषफल को वैध बनाने के लिए एक बार भाजक जोड़ें।
Do not write 121 as the final answer because a remainder must be smaller than the divisor. चरण 1: वर्ग के लिए \(11^2=121\) लें। चरण 2: \(121=15\times8+1\), इसलिए शेषफल 1 है। चरण 3: अंतिम उत्तर में 121 नहीं लिखें, क्योंकि शेषफल भाजक से छोटा होना चाहिए।
The remainder of \(x^2+x\) comes from \(7^2+7=56\), and 56 is divisible by 8.
Step 3
Exam Tip
Substituting the remainder in the expression gives a quick solution. चरण 1: (x) का शेषफल 7 है। चरण 2: \(x^2+x\) का शेषफल \(7^2+7=56\) से मिलेगा, और 56, 8 से विभाज्य है। चरण 3: व्यंजक में संख्या की जगह उसका शेषफल रखने से हल तेजी से होता है।
The nearest lower multiple of 23 below 511 is 506, so the remainder is 5.
Step 3
Exam Tip
Do not accept a negative remainder or a remainder greater than the divisor. चरण 1: \(23\times22=506\) और \(23\times23=529\) है। चरण 2: 511 से छोटा निकट गुणज 506 है, इसलिए शेषफल 5 है। चरण 3: ऋणात्मक या भाजक से बड़ा शेषफल मानक रूप में स्वीकार न करें।
Number (=) divisor \(\times\) quotient (+) remainder.
Step 2
Why this answer is correct
\(45\times16+44=720+44=764\).
Step 3
Exam Tip
The remainder 44 is less than divisor 45, so the form is valid. चरण 1: संख्या \(=भाजक\timesभागफल+शेषफल\) होती है। चरण 2: \(45\times16+44=720+44=764\)। चरण 3: शेषफल 44, भाजक 45 से छोटा है, इसलिए रूप वैध है।
In subtraction, add the divisor when the remainder becomes negative. चरण 1: अंतर के लिए शेषफल (3-9=-6) मिलेगा। चरण 2: वैध शेषफल बनाने के लिए 16 जोड़ें, जिससे 10 मिलता है। चरण 3: घटाव में ऋणात्मक शेषफल आने पर भाजक जोड़ें।
A. क्योंकि 6 से भाग देने पर शेषफल 0, 1, 2, 3, 4, 5 का चक्र आता है/Because division by 6 gives the cycle of remainders 0, 1, 2, 3, 4, 5
Step 1
Concept
On division by 6, possible remainders are from 0 to 5.
Step 2
Why this answer is correct
Six consecutive integers cover all these remainders once.
Step 3
Exam Tip
The number with remainder 0 is divisible by 6. चरण 1: 6 से भाग देने पर शेषफल 0 से 5 तक हो सकते हैं। चरण 2: छह लगातार पूर्णांकों में ये सभी शेषफल एक बार आते हैं। चरण 3: जिस संख्या का शेषफल 0 है, वह 6 से विभाज्य होगी।
(71) leaves remainder 1 on division by 35, so total remainder (34+1=35), which becomes 0.
Step 3
Exam Tip
First reduce the large added number to a small remainder. चरण 1: मूल शेषफल 34 है। चरण 2: 71 को 35 से भाग देने पर शेषफल 1 है, इसलिए कुल शेषफल (34+1=35), जो 0 बन जाता है। चरण 3: बड़ी जोड़ी गई संख्या को पहले छोटे शेषफल में बदलें।
The remainder of \(u^2-u\) comes from \(5^2-5=20\), and (20=12+8).
Step 3
Exam Tip
Substitute the remainder first, then find the final remainder. चरण 1: (u) का शेषफल 5 है। चरण 2: \(u^2-u\) का शेषफल \(5^2-5=20\) से मिलेगा, और (20=12+8)। चरण 3: व्यंजक में पहले शेषफल रखें, फिर अंतिम शेषफल निकालें।
\(7^2=49\), which leaves remainder 4 on division by 9.
Step 2
Why this answer is correct
For \(7^4\), use \(4^2=16\), and 16 leaves remainder 7 on division by 9.
Step 3
Exam Tip
In higher powers, reduce the remainder after each step. चरण 1: \(7^2=49\), और 49 को 9 से भाग देने पर शेषफल 4 है। चरण 2: \(7^4\) के लिए \(4^2=16\), और 16 का 9 से शेषफल 7 नहीं, बल्कि 7 है; इसलिए सही शेषफल 7 होगा। चरण 3: बड़ी घातों में हर चरण के बाद शेषफल घटाना जरूरी है।
Adding 6 gives (18q+18=18(q+1)), so the remainder is 0.
Step 3
Exam Tip
When the remainder and the added number make the divisor, the new remainder becomes zero. चरण 1: संख्या (18q+12) है। चरण 2: 6 जोड़ने पर (18q+18=18(q+1)), इसलिए शेषफल 0 है। चरण 3: जब शेषफल और जोड़ी गई संख्या मिलकर भाजक बन जाएं, तो नया शेषफल शून्य होता है।
The remainder of (ab+a) comes from \(9\times6+9=63\), and \(63=14\times4+7\).
Step 3
Exam Tip
In a mixed expression, handle the remainder of each term separately. चरण 1: (a) और (b) के शेषफल 9 और 6 हैं। चरण 2: (ab+a) का शेषफल \(9\times6+9=63\) से मिलेगा, और \(63=14\times4+7\)। चरण 3: मिश्रित व्यंजक में प्रत्येक पद का शेषफल अलग संभालें।
In standard form, the remainder must be from 0 to 119.
Step 2
Why this answer is correct
\(120\times10=1200\), so (1201=1200+1).
Step 3
Exam Tip
Along with correct calculation, the valid range of the remainder is necessary. चरण 1: मानक रूप में शेषफल 0 से 119 के बीच होना चाहिए। चरण 2: \(120\times10=1200\), इसलिए (1201=1200+1) है। चरण 3: गणना सही होने के साथ शेषफल की वैध सीमा भी जरूरी है।
\(1^2,3^2,5^2,7^2\) all leave remainder 1 when divided by 8.
Step 3
Exam Tip
Remember that the square of an odd number leaves remainder 1 on division by 8. चरण 1: ये सभी शेषफल विषम संख्या को दिखाते हैं। चरण 2: \(1^2,3^2,5^2,7^2\) सभी को 8 से भाग देने पर शेषफल 1 मिलता है। चरण 3: विषम संख्या के वर्ग का 8 से शेषफल 1 याद रखें।
For eight times the number, the remainder part is \(8\times5=40\).
Step 2
Why this answer is correct
(40=27+13), so the final remainder is 13.
Step 3
Exam Tip
After multiplication, reduce the result below the divisor. चरण 1: आठ गुनी संख्या के लिए शेषफल \(8\times5=40\) होगा। चरण 2: (40=27+13), इसलिए अंतिम शेषफल 13 है। चरण 3: गुणा के बाद परिणाम को भाजक से छोटा करें।
The remainder of \(a^2+2\) comes from \(3^2+2=11\), and (11=7+4).
Step 3
Exam Tip
Substitute the remainder in the expression, then find the final remainder. चरण 1: (a) का शेषफल 3 है। चरण 2: \(a^2+2\) का शेषफल \(3^2+2=11\) से मिलेगा, और (11=7+4)। चरण 3: व्यंजक में शेषफल रखकर फिर अंतिम शेषफल निकालें।
In (3a+b), the remainder part is \(3\times6+8=26\).
Step 2
Why this answer is correct
\(26=11\times2+4\), so the remainder is 4.
Step 3
Exam Tip
In multi-term expressions, handle the remainder of each term separately. चरण 1: (3a+b) में शेषफल \(3\times6+8=26\) होगा। चरण 2: \(26=11\times2+4\), इसलिए शेषफल 4 है। चरण 3: कई पदों में हर पद के शेषफल को अलग संभालें।
(85) leaves remainder 1 on division by 42, so total remainder (41+1=42), which becomes 0.
Step 3
Exam Tip
When adding a large number, first find its smaller remainder. चरण 1: मूल शेषफल 41 है। चरण 2: 85 को 42 से भाग देने पर शेषफल 1 है, इसलिए कुल शेषफल (41+1=42), जो 0 बनता है। चरण 3: बड़ी संख्या जोड़ने पर पहले उसका छोटा शेषफल निकालें।
The remainder of \(n^2+n+1\) comes from \(3^2+3+1=13\), and 13 leaves remainder 1 when divided by 4.
Step 3
Exam Tip
In polynomial-like expressions, substituting the remainder makes the solution direct. चरण 1: (n) की जगह शेषफल 3 रखें। चरण 2: \(n^2+n+1\) का शेषफल \(3^2+3+1=13\) से मिलेगा, और 13 का 4 से शेषफल 1 है। चरण 3: बहुपद जैसे व्यंजकों में शेषफल रखने से हल सीधा हो जाता है।
For (6a), compute \(6\times23=138\), and \(138=30\times4+18\).
Step 3
Exam Tip
After multiplication, reduce the answer below the divisor. चरण 1: (a) का शेषफल 23 है। चरण 2: (6a) के लिए \(6\times23=138\), और \(138=30\times4+18\)। चरण 3: गुणा के बाद उत्तर को भाजक से छोटा करें।
63 is equal to the divisor, so it cannot be a valid remainder.
Step 3
Exam Tip
In definition-based questions, check the condition (r<b) first. चरण 1: शेषफल की सीमा \(0\le r<63\) है। चरण 2: 63 भाजक के बराबर है, इसलिए यह वैध शेषफल नहीं हो सकता। चरण 3: (r<b) वाली शर्त को परिभाषा वाले प्रश्नों में सबसे पहले जांचें।
Since (n) has remainder 9, (n+1) has remainder 0, so its square is divisible by 10.
Step 3
Exam Tip
First recognize the structure of the expression to reduce calculation. चरण 1: (n-2+2n+1=(n+1)2) है। चरण 2: (n) का शेषफल 9 है, इसलिए (n+1) का शेषफल 0 होगा और उसका वर्ग भी 10 से विभाज्य होगा। चरण 3: पहले व्यंजक की बनावट पहचानें, इससे गणना कम होती है।
(42) is exactly divisible by 21, so the remainder should be 0.
Step 3
Exam Tip
In multi-term questions, add only the remainders and reduce at the end. चरण 1: शेषफलों को जोड़ें: (17+19+6=42)। चरण 2: 42, 21 से पूर्णतः विभाजित है, इसलिए शेषफल 0 होना चाहिए। चरण 3: कई पदों वाले प्रश्नों में केवल शेषफलों को जोड़कर अंतिम घटाव करें।
A. वे केवल क्रम में अलग होंगे/They will differ only in order
Step 1
Concept
The Fundamental Theorem of Arithmetic states uniqueness of prime factorisation.
Step 2
Why this answer is correct
The order of prime factors may change, but the prime factors themselves do not change.
Step 3
Exam Tip
In exams, do not treat a change of order as a different factorisation. चरण 1: अंकगणित का मूल प्रमेय अभाज्य गुणनखंडन की अद्वितीयता बताता है। चरण 2: एक ही संख्या के अभाज्य गुणनखंड क्रम बदलकर लिखे जा सकते हैं, पर अभाज्य गुणनखंड बदलते नहीं हैं। चरण 3: परीक्षा में क्रम को अलग गुणनखंडन मानकर गलती न करें।
Since \(2520=2^3\times3^2\times5\times7\), the full factorisation is \(2^3\times3^2\times5\times7\times11\).
Step 3
Exam Tip
Do not leave a composite factor like 2520 in the final answer. चरण 1: \(27720=2520\times11\) लिखें। चरण 2: \(2520=2^3\times3^2\times5\times7\), इसलिए पूरा गुणनखंडन \(2^3\times3^2\times5\times7\times11\) है। चरण 3: अंतिम उत्तर में 2520 जैसा संयुक्त गुणनखंड नहीं छोड़ना चाहिए।
For HCF, take the smaller powers of only the common prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
The common prime factors are 2 and 3, with smaller powers \(2^2\) and \(3^3\).
Step 3
Exam Tip
\(2^2\times3^3=4\times27=108\), so the answer is 108. चरण 1: महत्तम समापवर्तक के लिए केवल समान अभाज्य गुणनखंडों की छोटी घात लेते हैं। चरण 2: समान गुणनखंड 2 और 3 हैं, छोटी घातें \(2^2\) और \(3^3\) हैं। चरण 3: \(2^2\times3^3=4\times27=108\), इसलिए उत्तर 108 है।
For LCM, take the highest powers of all prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
The highest powers are \(2^4\), \(3^5\), \(5^2\), and (7).
Step 3
Exam Tip
\(16\times243\times25\times7=680400\), so the answer is 680400. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य के लिए सभी अभाज्य गुणनखंडों की बड़ी घात लेते हैं। चरण 2: बड़ी घातें \(2^4\), \(3^5\), \(5^2\) और (7) हैं। चरण 3: \(16\times243\times25\times7=680400\), इसलिए उत्तर 680400 है।
Use this relation directly only for two numbers. चरण 1: दो संख्याओं के लिए गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य होता है। चरण 2: इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(60480\div72=840\) होगा। चरण 3: यह संबंध केवल दो संख्याओं के लिए सीधे प्रयोग करें।
In such questions, first notice that exactly two numbers are involved. चरण 1: दो संख्याओं के लिए गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य होता है। चरण 2: \(45\times1260=56700\)। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में पहले पहचानें कि दो संख्याओं की बात हो रही है।
For a perfect square, all exponents must be even, but the exponent of 2 is 3.
Step 3
Exam Tip
Multiplying by 2 makes it 4, so the smallest number is 2. चरण 1: \(1800=18\times100=2^3\times3^2\times5^2\)। चरण 2: पूर्ण वर्ग के लिए सभी घातें सम होनी चाहिए, पर 2 की घात 3 विषम है। चरण 3: 2 से गुणा करने पर घात 4 हो जाएगी, इसलिए सबसे छोटी संख्या 2 है।
For a perfect square, all exponents must be even, but the exponent of 5 is 1.
Step 3
Exam Tip
Dividing by 5 makes all remaining exponents even, so the smallest number is 5. चरण 1: \(8820=2^2\times3^2\times5\times7^2\) होता है। चरण 2: पूर्ण वर्ग के लिए सभी घातें सम चाहिए, लेकिन 5 की घात 1 है। चरण 3: 5 से भाग देने पर शेष घातें सम रहेंगी, इसलिए सबसे छोटी संख्या 5 है।
For a perfect cube, each prime exponent must be a multiple of 3.
Step 3
Exam Tip
The exponent of 5 is 2, so one more 5 is needed; the smallest number is 5. चरण 1: \(5400=54\times100=2^3\times3^3\times5^2\)। चरण 2: पूर्ण घन के लिए हर अभाज्य घात 3 का गुणज होनी चाहिए। चरण 3: 5 की घात 2 है, इसलिए एक 5 और चाहिए; सबसे छोटी संख्या 5 है।
\(21^3\) gives the value, but 21 is not prime, so write the final prime form separately. चरण 1: \(9261=21^3\) पहचाना जा सकता है। चरण 2: \(21=3\times7\), इसलिए \(21^3=3^3\times7^3\)। चरण 3: \(21^3\) मान देता है, पर 21 अभाज्य नहीं है, इसलिए अंतिम अभाज्य रूप अलग लिखें।
For a perfect square, every exponent must be even.
Step 2
Why this answer is correct
The exponents of \(2^5\) and \(7^1\) are odd, while the others are even.
Step 3
Exam Tip
Multiplying by \(2\times7=14\) makes all exponents even. चरण 1: पूर्ण वर्ग के लिए हर घात सम होनी चाहिए। चरण 2: \(2^5\) और \(7^1\) की घातें विषम हैं, बाकी घातें सम हैं। चरण 3: \(2\times7=14\) से गुणा करने पर सभी घातें सम हो जाएंगी।
For a perfect cube, every exponent must be a multiple of 3.
Step 2
Why this answer is correct
To make powers (4,5,2) into (6,6,3), we need \(2^2\), (3), and (5).
Step 3
Exam Tip
So the smallest multiplier is \(2^2\times3\times5\). चरण 1: पूर्ण घन के लिए हर घात 3 का गुणज होनी चाहिए। चरण 2: 2 की घात 4 को 6 बनाने के लिए \(2^2\), 3 की घात 5 को 6 बनाने के लिए (3), और 5 की घात 2 को 3 बनाने के लिए (5) चाहिए। चरण 3: इसलिए सबसे छोटा गुणक \(2^2\times3\times5\) है।
In multiplication, exponents of the same prime base are added.
Step 2
Why this answer is correct
The power of 3 in (a) is 2 and in (b) is 4.
Step 3
Exam Tip
In (ab), the power of 3 will be (2+4=6). चरण 1: गुणा में समान अभाज्य आधार की घातें जुड़ती हैं। चरण 2: (a) में 3 की घात 2 है और (b) में 3 की घात 4 है। चरण 3: (ab) में 3 की घात (2+4=6) होगी।
The total power is (1+4=5). चरण 1: (xy) में समान आधार 5 की घातें जुड़ेंगी। चरण 2: (x) में 5 की घात 1 है और (y) में 5 की घात 4 है। चरण 3: कुल घात (1+4=5) होगी।
The common factors are 2 and 3; the smaller powers are \(2^5\) and \(3^4\).
Step 3
Exam Tip
Therefore, the HCF is \(2^5\times3^4\). चरण 1: महत्तम समापवर्तक में केवल समान अभाज्य गुणनखंड लिए जाते हैं। चरण 2: समान गुणनखंड 2 और 3 हैं; छोटी घातें \(2^5\) और \(3^4\) हैं। चरण 3: इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2^5\times3^4\) है।
The highest powers are \(2^8\), \(3^6\), \(5^2\), and (7).
Step 3
Exam Tip
So the correct form is \(2^8\times3^6\times5^2\times7\). चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में सभी अभाज्य गुणनखंडों की बड़ी घात ली जाती है। चरण 2: बड़ी घातें \(2^8\), \(3^6\), \(5^2\) और (7) हैं। चरण 3: इसलिए सही रूप \(2^8\times3^6\times5^2\times7\) है।
Product of the two numbers is \(18\times540=9720\).
Step 3
Exam Tip
The other number is \(9720\div90=108\). चरण 1: दो संख्याओं के लिए गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य। चरण 2: दोनों संख्याओं का गुणनफल \(18\times540=9720\) है। चरण 3: दूसरी संख्या \(9720\div90=108\) होगी।
Product of the two numbers is \(24\times840=20160\).
Step 2
Why this answer is correct
One number is 120, so the other is \(20160\div120=168\).
Step 3
Exam Tip
You can check the answer by confirming that HCF of 120 and 168 is 24. चरण 1: दोनों संख्याओं का गुणनफल \(24\times840=20160\) होगा। चरण 2: एक संख्या 120 है, इसलिए दूसरी संख्या \(20160\div120=168\) है। चरण 3: उत्तर की जांच के लिए 120 और 168 का महत्तम समापवर्तक 24 देख सकते हैं।
Comparing with the given form gives (a=4). चरण 1: 720 का अभाज्य गुणनखंडन करें। चरण 2: \(720=72\times10=2^4\times3^2\times5\)। चरण 3: दिए गए रूप से तुलना करने पर (a=4) है।
\(8=2^3\) and \(189=3^3\times7\), so \(1512=2^3\times3^3\times7\).
Step 3
Exam Tip
Comparing gives (b=3). चरण 1: \(1512=8\times189\) लिखें। चरण 2: \(8=2^3\) और \(189=3^3\times7\), इसलिए \(1512=2^3\times3^3\times7\)। चरण 3: तुलना करने पर (b=3) है।
Total (4+3+2=9), so the answer is 9. चरण 1: दोहराव सहित गिनने के लिए घातों को जोड़ते हैं। चरण 2: \(2^4\) से 4, \(3^3\) से 3 और \(5^2\) से 2 गुणनखंड मिलते हैं। चरण 3: कुल (4+3+2=9), इसलिए उत्तर 9 है।
When counting distinct prime factors, do not add exponents.
Step 2
Why this answer is correct
The prime factors here are 2, 3, and 7.
Step 3
Exam Tip
Therefore, the number of distinct prime factors is 3. चरण 1: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड गिनते समय घातों को नहीं जोड़ते। चरण 2: यहां अभाज्य गुणनखंड 2, 3 और 7 हैं। चरण 3: इसलिए अलग-अलग अभाज्य गुणनखंडों की संख्या 3 है।
There is no common prime factor, so they are co-prime. चरण 1: पहली संख्या में अभाज्य गुणनखंड 2 और 3 हैं। चरण 2: दूसरी संख्या में अभाज्य गुणनखंड 5 और 7 हैं। चरण 3: कोई समान अभाज्य गुणनखंड नहीं है, इसलिए वे सह-अभाज्य हैं।
Therefore, the LCM will be (1001). चरण 1: सह-अभाज्य संख्याओं का महत्तम समापवर्तक 1 होता है। चरण 2: गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य होता है। चरण 3: इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य (1001) होगा।
\(4^6\) and \(16^3\) can give the value, but 4 and 16 are not prime. चरण 1: 4096 को बार-बार 2 से भाग दें। चरण 2: \(4096=2^{12}\) होता है। चरण 3: \(4^6\) और \(16^3\) मान दे सकते हैं, पर 4 और 16 अभाज्य नहीं हैं।
Since \(105=3\times5\times7\), \(105^2=3^2\times5^2\times7^2\).
Step 3
Exam Tip
In perfect squares, every prime exponent is even. चरण 1: \(11025=105^2\) पहचाना जा सकता है। चरण 2: \(105=3\times5\times7\), इसलिए \(105^2=3^2\times5^2\times7^2\)। चरण 3: पूर्ण वर्गों में हर अभाज्य घात सम होती है।
The prime factorisation of 315 is \(3^2\times5\times7\).
Step 2
Why this answer is correct
All these factors are present in the prime factorisation of (n).
Step 3
Exam Tip
Therefore, (n) must be divisible by 315. चरण 1: 315 का अभाज्य गुणनखंडन \(3^2\times5\times7\) है। चरण 2: ये सभी गुणनखंड (n) के अभाज्य गुणनखंडन में मौजूद हैं। चरण 3: इसलिए (n), 315 से अवश्य विभाज्य है।
In (n), the powers are \(2^4\), \(3^1\), and \(5^2\).
Step 2
Why this answer is correct
\(48=2^4\times3\), so divisibility by 48 is possible.
Step 3
Exam Tip
\(80=2^4\times5\), \(75=3\times5^2\), and \(150=2\times3\times5^2\) are also present; hence all given options divide (n). चरण 1: (n) में 2 की घात 4, 3 की घात 1 और 5 की घात 2 है। चरण 2: 48 का गुणनखंडन \(2^4\times3\) है, इसलिए 48 से विभाज्यता संभव है। चरण 3: 80 का गुणनखंडन \(2^4\times5\), 75 का \(3\times5^2\), और 150 का \(2\times3\times5^2\) भी मौजूद हैं; इसलिए दिए गए सभी विभाज्य हैं।
In larger products, evaluate powers first and then multiply. चरण 1: \(2^6=64\) और \(3^2=9\) निकालें। चरण 2: \(64\times9\times5=2880\)। चरण 3: बड़े गुणन में पहले घातों का मान निकालें, फिर गुणा करें।
Simplifying powers first keeps the calculation safe. चरण 1: \(2^3=8\), \(3^4=81\), और \(5^2=25\) निकालें। चरण 2: \(8\times81\times25=16200\)। चरण 3: घातों को पहले सरल करने से गणना सुरक्षित रहती है।
The higher power is 4, so the answer is 4. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में हर अभाज्य की बड़ी घात ली जाती है। चरण 2: 2 की घातें 2 और 4 हैं। चरण 3: बड़ी घात 4 है, इसलिए उत्तर 4 होगा।
In HCF, take the smaller power of the common prime.
Step 2
Why this answer is correct
The powers of 5 are 1 and 2.
Step 3
Exam Tip
The smaller power is 1, so the answer is 1. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य की छोटी घात ली जाती है। चरण 2: 5 की घातें 1 और 2 हैं। चरण 3: छोटी घात 1 है, इसलिए उत्तर 1 है।
\(63\times63\) gives the product, but it is not prime factorisation. चरण 1: \(3969=63^2\) है। चरण 2: \(63=3^2\times7\), इसलिए \(63^2=3^4\times7^2\)। चरण 3: \(63\times63\) सही गुणनफल है, पर अभाज्य गुणनखंडन नहीं है।
For a perfect cube, exponents must be multiples of 3.
Step 2
Why this answer is correct
We need (2), (3), and \(5^2\) to make the powers (6,3,6).
Step 3
Exam Tip
The smallest multiplier is \(2\times3\times5^2\). चरण 1: पूर्ण घन के लिए घातें 3 के गुणज होनी चाहिए। चरण 2: \(2^5\) को \(2^6\) बनाने के लिए 2, \(3^2\) को \(3^3\) बनाने के लिए 3, और \(5^4\) को \(5^6\) बनाने के लिए \(5^2\) चाहिए। चरण 3: सबसे छोटा गुणक \(2\times3\times5^2\) है।
For a perfect square, all exponents must be even, but the exponent of 2 is 3.
Step 3
Exam Tip
Dividing by 2 gives \(2^2\times3^2\times7^2\), so the smallest number is 2. चरण 1: \(3528=72\times49=2^3\times3^2\times7^2\)। चरण 2: पूर्ण वर्ग के लिए सभी घातें सम होनी चाहिए, लेकिन 2 की घात 3 है। चरण 3: 2 से भाग देने पर \(2^2\times3^2\times7^2\) मिलेगा, इसलिए सबसे छोटी संख्या 2 है।
In multiplication, add the exponents of the same prime base.
Step 2
Why this answer is correct
The power of 3 in (x) is 2 and in (y) is 3.
Step 3
Exam Tip
In (xy), the power of 3 is (2+3=5). चरण 1: गुणा में समान अभाज्य आधार की घातें जोड़ते हैं। चरण 2: (x) में 3 की घात 2 है और (y) में 3 की घात 3 है। चरण 3: (xy) में 3 की घात (2+3=5) होगी।
Powers of the same base 2 are added in multiplication.
Step 2
Why this answer is correct
The power of 2 in (x) is 5 and in (y) is 3.
Step 3
Exam Tip
The total power is (5+3=8). चरण 1: समान आधार 2 की घातें गुणा में जुड़ती हैं। चरण 2: (x) में 2 की घात 5 और (y) में 2 की घात 3 है। चरण 3: कुल घात (5+3=8) होगी।
The distinct prime factors are 2, 3, 5, 7, and 11. चरण 1: \(2310=231\times10\) लिखें। चरण 2: \(231=3\times7\times11\) और \(10=2\times5\)। चरण 3: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड 2, 3, 5, 7 और 11 हैं।
The smaller powers are \(2^2\), \(3^1\), and \(11^1\).
Step 3
Exam Tip
\(4\times3\times11=132\), so the HCF is 132. चरण 1: समान अभाज्य गुणनखंड 2, 3 और 11 हैं। चरण 2: छोटी घातें \(2^2\), \(3^1\) और \(11^1\) हैं। चरण 3: \(4\times3\times11=132\), इसलिए महत्तम समापवर्तक 132 है।
For LCM, take the highest powers of all prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
The highest powers are \(2^3\), \(3^2\), (5), and \(11^2\).
Step 3
Exam Tip
\(8\times9\times5\times121=43560\), so the answer is 43560. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में सभी अभाज्य गुणनखंडों की बड़ी घात लें। चरण 2: बड़ी घातें \(2^3\), \(3^2\), (5) और \(11^2\) हैं। चरण 3: \(8\times9\times5\times121=43560\), इसलिए उत्तर 43560 है।
\(36=2^2\times3^2\) and \(900=2^2\times3^2\times5^2\).
Step 3
Exam Tip
The power of 2 in the product is (2+2=4). चरण 1: गुणनफल \(=36\times900\) होगा। चरण 2: \(36=2^2\times3^2\) और \(900=2^2\times3^2\times5^2\)। चरण 3: गुणनफल में 2 की घात (2+2=4) होगी।
30 has no factor 11 and \(2310=2\times3\times5\times7\times11\).
Step 3
Exam Tip
Therefore, the power of 11 in the product is (0+1=1). चरण 1: गुणनफल \(=30\times2310\) होगा। चरण 2: 30 में 11 नहीं है और \(2310=2\times3\times5\times7\times11\) है। चरण 3: इसलिए गुणनफल में 11 की घात (0+1=1) होगी।
49 is composite, so \(49^2\) is not the final prime factorisation. चरण 1: \(2401=49\times49\) है। चरण 2: \(49=7^2\), इसलिए \(2401=7^4\)। चरण 3: 49 संयुक्त है, इसलिए \(49^2\) अंतिम अभाज्य गुणनखंडन नहीं है।
In a perfect cube, each exponent must be a multiple of 3.
Step 2
Why this answer is correct
\(2^2\) and \(3^5\) cause the issue; reduce them to 0 and 3.
Step 3
Exam Tip
Dividing by \(2^2\times3^2\) gives exponents (0,3,3). चरण 1: पूर्ण घन में हर घात 3 का गुणज होनी चाहिए। चरण 2: \(2^2\) और \(3^5\) समस्या देते हैं; इन्हें घटाकर क्रमशः 0 और 3 करना होगा। चरण 3: इसलिए \(2^2\times3^2\) से भाग देने पर घातें (0,3,3) बनेंगी।
To get the number from prime factorisation, multiply all factors. चरण 1: पहले \(2^3=8\) और \(3^2=9\) निकालें। चरण 2: \(8\times9\times5\times7=2520\)। चरण 3: अभाज्य गुणनखंडन से संख्या पाने के लिए सभी गुणनखंडों का गुणा करें।
For two numbers, HCF \(\times\) LCM equals the product of the two numbers.
Step 2
Why this answer is correct
This also follows from prime powers because the smaller and higher exponents together give the total exponent.
Step 3
Exam Tip
Therefore, the answer is (ab). चरण 1: दो संख्याओं के लिए महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य का गुणनफल, उन दोनों संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 2: यह संबंध अभाज्य घातों से भी समझ आता है क्योंकि छोटी और बड़ी घात मिलकर कुल घात देती हैं। चरण 3: इसलिए उत्तर (ab) है।
The ratio is \(288\div24=12\). चरण 1: महत्तम समापवर्तक \(2^3\times3=24\) है। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य \(2^5\times3^2=288\) है। चरण 3: अनुपात \(288\div24=12\) होगा।
Powers become \(2^{6}\), \(3^{4}\), and \(5^{3}\).
Step 3
Exam Tip
Counting with repetition gives (6+4+3=13). चरण 1: (xy) में समान आधारों की घातें जुड़ेंगी। चरण 2: 2 की घात (2+4=6), 3 की घात (3+1=4), और 5 की घात (1+2=3) होगी। चरण 3: दोहराव सहित कुल संख्या (6+4+3=13) है।
The higher power is 3, so the answer is 3. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में बड़ी घात लेते हैं। चरण 2: 7 की घातें 1 और 3 हैं। चरण 3: बड़ी घात 3 है, इसलिए उत्तर 3 है।
The smaller power is 2, so the answer is 2. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में छोटी घात ली जाती है। चरण 2: 3 की घातें 2 और 4 हैं। चरण 3: छोटी घात 2 है, इसलिए उत्तर 2 है।
