Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. हर अवयव की ठीक एक छवि हो/Every element has exactly one image
Step 1
Concept
In a function, every element of the domain must be used.
Step 2
Why this answer is correct
Each element must have exactly one image, not two different images.
Step 3
Exam Tip
In exams, check the image of every domain element carefully. चरण 1: फलन में प्रान्त के प्रत्येक अवयव का उपयोग होना चाहिए। चरण 2: हर अवयव की केवल एक ही छवि होनी चाहिए, दो अलग छवियाँ नहीं। चरण 3: परीक्षा में फलन पहचानते समय प्रान्त के हर अवयव की छवि गिनें।
In such questions, substitute first and then simplify. चरण 1: दिए गए फलन में (x) के स्थान पर (4) रखें। चरण 2: (f(4)=2\cdot4+3=8+3=11)। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में पहले स्थानापन्न करें और फिर सरल गणना करें।
In the notation \(f:A\to B\), the first set is (A).
Step 2
Why this answer is correct
Inputs of the function are taken from (A), so (A) is called the domain.
Step 3
Exam Tip
Remember that (B) is the codomain, not the domain. चरण 1: संकेत \(f:A\to B\) में पहला समुच्चय (A) होता है। चरण 2: (A) से ही फलन के आगत लिए जाते हैं, इसलिए (A) प्रान्त कहलाता है। चरण 3: (B) को सहप्रान्त समझें और दोनों नामों में अंतर रखें।
The images of the function lie in (B), so (B) is called the codomain.
Step 3
Exam Tip
The range is always a subset of the codomain, so do not confuse them. चरण 1: संकेत \(f:A\to B\) में दूसरा समुच्चय (B) होता है। चरण 2: फलन की छवियाँ (B) में आती हैं, इसलिए (B) सहप्रान्त कहलाता है। चरण 3: परास हमेशा सहप्रान्त का उपसमुच्चय होता है, दोनों को समान मानकर गलती न करें।
In ordered pairs, the first component belongs to the domain.
Step 2
Why this answer is correct
The first components here are (1,2,3).
Step 3
Exam Tip
Therefore the domain is ({1,2,3}). चरण 1: क्रमित युग्मों में पहला घटक प्रान्त का अवयव होता है। चरण 2: दिए गए युग्मों के पहले घटक (1,2,3) हैं। चरण 3: इसलिए प्रान्त ({1,2,3}) है।
The range is the set of actual images obtained from the function.
Step 2
Why this answer is correct
The second components of the ordered pairs are (2,4,6).
Step 3
Exam Tip
Hence the range is ({2,4,6}). चरण 1: परास उन वास्तविक छवियों का समुच्चय होता है जो फलन से मिलती हैं। चरण 2: क्रमित युग्मों में दूसरे घटक (2,4,6) हैं। चरण 3: इसलिए परास ({2,4,6}) है।
Each element (1) and (2) of (A) must have exactly one image.
Step 2
Why this answer is correct
In the first option, (1) maps to (3) and (2) maps to (4).
Step 3
Exam Tip
In the other options, an element is missing or has two images. चरण 1: (A) के हर अवयव (1) और (2) की ठीक एक छवि होनी चाहिए। चरण 2: पहले विकल्प में (1) की छवि (3) और (2) की छवि (4) है। चरण 3: बाकी विकल्पों में या तो कोई अवयव छूट रहा है या एक अवयव की दो छवियाँ हैं।
Write repeated values only once, so the range is ({0,1,4}). चरण 1: दिए गए हर (x) का वर्ग निकालें। चरण 2: ((-2)2=4), ((-1)2=1), \(0^2=0\), \(1^2=1\), \(2^2=4\)। चरण 3: दोहराए हुए मान एक बार लिखें, इसलिए परास ({0,1,4}) है।
In a simple linear function, pay attention to the sign and constant term. चरण 1: फलन में (x=0) रखें। चरण 2: (f(0)=0+5=5)। चरण 3: सरल रैखिक फलन में चिन्ह और स्थिर पद पर ध्यान दें।
Remember that the square of a negative number is positive. चरण 1: (x) के स्थान पर (-2) रखें। चरण 2: (f(-2)=(-2)2+1=4+1=5)। चरण 3: ऋणात्मक संख्या का वर्ग धनात्मक होता है, इसे याद रखें।
Different values of (x) give different values of (2x), so the function is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
For any real (y), choosing \(x=\frac{y}{2}\) gives (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
Hence it is also onto and therefore bijective. चरण 1: अलग-अलग (x) के लिए (2x) अलग-अलग होता है, इसलिए फलन एक-एकी है। चरण 2: किसी भी वास्तविक (y) के लिए \(x=\frac{y}{2}\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। चरण 3: इसलिए यह आच्छादक भी है और उभयैक फलन है।
In a one-one function, different inputs must have different images.
Step 2
Why this answer is correct
Here \(1\ne -1\), but (f(1)=1) and (f(-1)=1).
Step 3
Exam Tip
Therefore \(f:R\to R\), (f(x)=x-2), is not one-one. चरण 1: एक-एकी फलन में अलग-अलग आगतों की छवियाँ अलग होनी चाहिए। चरण 2: यहाँ \(1\ne -1\), लेकिन (f(1)=1) और (f(-1)=1)। चरण 3: इसलिए \(f:R\to R\), (f(x)=x-2) एक-एकी नहीं है।
A. क्योंकि कोई वास्तविक (x) ऐसा नहीं है जिससे (f(x)=-1) मिले/Because no real (x) gives (f(x)=-1)
Step 1
Concept
For onto, every element of the codomain must be an image.
Step 2
Why this answer is correct
(-1) is in (R), but \(x^2=-1\) has no real solution.
Step 3
Exam Tip
Therefore the range is not all of (R), so the function is not onto. चरण 1: आच्छादक होने के लिए सहप्रान्त का हर अवयव छवि होना चाहिए। चरण 2: (R) में (-1) है, पर \(x^2=-1\) का कोई वास्तविक हल नहीं है। चरण 3: इसलिए परास पूरा (R) नहीं है और फलन आच्छादक नहीं है।
A function that gives the same image for all inputs is called a constant function.
Step 3
Exam Tip
Do not confuse a constant function with the identity function. चरण 1: फलन का मान हर (x) के लिए (7) ही है। चरण 2: ऐसा फलन जिसमें सभी आगतों की छवि समान हो, स्थिर फलन कहलाता है। चरण 3: स्थिर फलन को पहचान फलन न समझें।
In the identity function, no value is changed. चरण 1: (f(x)=x) में हर आगत की छवि वही आगत है। चरण 2: ऐसा फलन पहचान फलन कहलाता है। चरण 3: पहचान फलन में कोई मान बदला नहीं जाता।
Replacing (y) by (x), (f^{-1}(x)=\frac{x-2}{3}). चरण 1: (y=3x+2) लिखें। चरण 2: (x) के लिए हल करने पर \(x=\frac{y-2}{3}\) मिलता है। चरण 3: (y) को फिर (x) से बदलने पर (f^{-1}(x)=\frac{x-2}{3})।
In an onto function, every element of the codomain is an image.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore the set of actual images equals the whole (B).
Step 3
Exam Tip
To identify onto, check whether any codomain element is left out. चरण 1: आच्छादक फलन में सहप्रान्त का हर अवयव छवि होता है। चरण 2: इसलिए वास्तविक छवियों का समुच्चय पूरे (B) के बराबर हो जाता है। चरण 3: आच्छादक पहचानने के लिए देखें कि सहप्रान्त में कोई अवयव छूटा तो नहीं।
A. अलग-अलग आगतों की छवियाँ अलग होती हैं/Different inputs have different images
Step 1
Concept
In a one-one function, two different inputs cannot have the same image.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore different inputs have different images.
Step 3
Exam Tip
If two different inputs give the same image, the function is not one-one. चरण 1: एक-एकी फलन में दो अलग आगत एक ही छवि नहीं दे सकते। चरण 2: इसलिए अलग-अलग आगतों की छवियाँ अलग होती हैं। चरण 3: यदि दो अलग आगतों की छवि समान मिले, तो फलन एक-एकी नहीं होगा।
A. यह एक-एकी और आच्छादक दोनों है/It is both one-one and onto
Step 1
Concept
A bijective function means two properties hold together.
Step 2
Why this answer is correct
It is both one-one and onto.
Step 3
Exam Tip
Such a function generally has a well-defined inverse. चरण 1: उभयैक फलन का अर्थ दो गुणों का साथ होना है। चरण 2: वह एक-एकी भी होता है और आच्छादक भी। चरण 3: ऐसे फलन का प्रतिलोम सामान्यतः अच्छी तरह परिभाषित होता है।
Total functions are \(2^3=8\). चरण 1: (A) में (3) अवयव हैं और (B) में (2) विकल्प हैं। चरण 2: (A) के प्रत्येक अवयव के लिए (2) छवि विकल्प होंगे। चरण 3: कुल फलन \(2^3=8\) होंगे।
Each element of domain (A) must choose one image in (B).
Step 2
Why this answer is correct
Each element has (n) choices, and there are (m) elements.
Step 3
Exam Tip
Therefore the number of functions is \(n^m\). चरण 1: प्रान्त (A) के हर अवयव को (B) में एक छवि चुननी होती है। चरण 2: हर अवयव के लिए (n) विकल्प हैं और ऐसे (m) अवयव हैं। चरण 3: इसलिए कुल फलनों की संख्या \(n^m\) होती है।
For \(x^3\), different real inputs give different outputs, so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
For every real (y), \(x=\sqrt[3]{y}\) is real.
Step 3
Exam Tip
Hence every (y) has a preimage, so the function is onto as well. चरण 1: \(x^3\) में (x) बढ़ने पर मान भी अलग-अलग ढंग से बदलता है, इसलिए यह एक-एकी है। चरण 2: हर वास्तविक (y) के लिए \(x=\sqrt[3]{y}\) वास्तविक है। चरण 3: इसलिए हर (y) की पूर्वछवि मिलती है और फलन आच्छादक भी है।
For one-one, different inputs must have different images.
Step 2
Why this answer is correct
\(2\ne -2\), but (|2|=|-2|=2).
Step 3
Exam Tip
Therefore this function is not one-one. चरण 1: एक-एकी होने के लिए अलग आगतों की छवियाँ अलग होनी चाहिए। चरण 2: \(2\ne -2\), फिर भी (|2|=|-2|=2)। चरण 3: इसलिए यह फलन एक-एकी नहीं है।
A. क्योंकि कोई (x) ऐसा नहीं है जिससे (f(x)=-2) मिले/Because no (x) gives (f(x)=-2)
Step 1
Concept
To be onto, every element of (R) must be an image.
Step 2
Why this answer is correct
\(-2\in R\), but (|x|) is never negative.
Step 3
Exam Tip
Hence the range is not (R), and the function is not onto. चरण 1: आच्छादक होने के लिए (R) का हर अवयव छवि होना चाहिए। चरण 2: \(-2\in R\), पर (|x|) कभी ऋणात्मक नहीं होता। चरण 3: इसलिए परास (R) नहीं है और फलन आच्छादक नहीं है।
So the domain is all real numbers except (0). चरण 1: भिन्न में हर शून्य नहीं हो सकता। चरण 2: (x=0) रखने पर \(\frac{1}{0}\) परिभाषित नहीं है। चरण 3: इसलिए प्रान्त सभी वास्तविक संख्याएँ हैं, पर (0) को हटाकर।
For a real square root, the expression inside must be non-negative.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore \(x\ge 0\).
Step 3
Exam Tip
Hence the domain is \([0,\infty\)). चरण 1: वास्तविक वर्गमूल के लिए अंदर की संख्या ऋणात्मक नहीं होनी चाहिए। चरण 2: इसलिए \(x\ge 0\) होना चाहिए। चरण 3: अतः प्रान्त \([0,\infty\)) है।
So all real numbers except (2) form the domain. चरण 1: हर (x-2) शून्य नहीं होना चाहिए। चरण 2: (x-2=0) से (x=2) मिलता है। चरण 3: इसलिए (2) को हटाकर बाकी सभी वास्तविक संख्याएँ प्रान्त हैं।
The expression under the square root, (x-1), must be non-negative.
Step 2
Why this answer is correct
\(x-1\ge 0\) gives \(x\ge 1\).
Step 3
Exam Tip
Hence the real domain is \([1,\infty\)). चरण 1: वर्गमूल के अंदर (x-1) ऋणात्मक नहीं होना चाहिए। चरण 2: \(x-1\ge 0\) से \(x\ge 1\) मिलता है। चरण 3: इसलिए वास्तविक प्रान्त \([1,\infty\)) है।
In symbolic evaluation, change only the given variable. चरण 1: (f(a)) के लिए (x) के स्थान पर (a) रखें। चरण 2: (2x-3) में (x) बदलकर (a) करने पर (2a-3) मिलता है। चरण 3: प्रतीकात्मक मान निकालते समय केवल दिए गए अक्षर को बदलें।
For (f(a+h)), replace (x) by the whole expression (a+h).
Step 2
Why this answer is correct
Putting (x=a+h) in \(x^2\) gives ((a+h)2).
Step 3
Exam Tip
Keep the whole expression in brackets. चरण 1: (f(a+h)) के लिए (x) के स्थान पर पूरा (a+h) रखें। चरण 2: \(x^2\) में (x=a+h) रखने पर ((a+h)2) मिलता है। चरण 3: पूरा व्यंजक कोष्ठक में रखना जरूरी है।
Treat the entire inside expression as the input. चरण 1: (f(x+2)) के लिए मूल (x) की जगह (x+2) रखें। चरण 2: (f(x+2)=(x+2)+1=x+3)। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में अंदर दिए पूरे व्यंजक को आगत मानें।
In the sum of functions, add their values. चरण 1: ((f+g)(x)=f(x)+g(x)) होता है। चरण 2: (2x+(x-1)=3x-1)। चरण 3: फलनों के योग में उनके मानों को जोड़ा जाता है।
\(f:A\to B\) means the function maps from (A) into (B).
Step 2
Why this answer is correct
The image of any element of (A) lies in (B).
Step 3
Exam Tip
Therefore \(f(a)\in B\). चरण 1: \(f:A\to B\) का अर्थ है कि फलन (A) से (B) में जाता है। चरण 2: (A) के किसी भी अवयव की छवि (B) में होगी। चरण 3: इसलिए \(f(a)\in B\) लिखा जाता है।
Hence the composite function \(g\circ f\) maps from (A) to (C). चरण 1: पहले (f) (A) के अवयव को (B) में भेजता है। चरण 2: फिर (g) उस (B) के अवयव को (C) में भेजता है। चरण 3: इसलिए संयुक्त फलन \(g\circ f\) (A) से (C) में जाता है।
A. वे एक-दूसरे के प्रतिलोम हैं/They are inverses of each other
Step 1
Concept
(f(g(x))=f(x-3)=(x-3)+3=x).
Step 2
Why this answer is correct
(g(f(x))=g(x+3)=(x+3)-3=x).
Step 3
Exam Tip
Both composites give the identity function, so they are inverses. चरण 1: (f(g(x))=f(x-3)=(x-3)+3=x)। चरण 2: (g(f(x))=g(x+3)=(x+3)-3=x)। चरण 3: दोनों संयुक्त फलन पहचान फलन देते हैं, इसलिए वे प्रतिलोम हैं।
For any real (y), choosing (x=y-1) gives (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
Therefore the range is all of (R). चरण 1: (x+1) में (x) सभी वास्तविक मान ले सकता है। चरण 2: किसी भी वास्तविक (y) के लिए (x=y-1) लेने पर (f(x)=y) मिल जाता है। चरण 3: इसलिए परास पूरा (R) है।
The minimum value is (1), so the range is \([1,\infty\)). चरण 1: हर वास्तविक (x) के लिए \(x^2\ge 0\)। चरण 2: इसलिए \(x^2+1\ge 1\)। चरण 3: न्यूनतम मान (1) है, अतः परास \([1,\infty\)) है।
In a many-one function, different inputs may have the same image.
Step 2
Why this answer is correct
For (f(x)=x-2), (f(1)=f(-1)=1).
Step 3
Exam Tip
Hence \(x^2\) is many-one, while the other given simple functions are one-one. चरण 1: बहु-एकी फलन में अलग-अलग आगतों की छवि समान हो सकती है। चरण 2: (f(x)=x-2) में (f(1)=f(-1)=1)। चरण 3: इसलिए \(x^2\) बहु-एकी है, जबकि बाकी दिए सरल फलन एक-एकी हैं।
The images of (1) and (2) are different, (3) and (4), so the function is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
The element (5) of (B) is not an image of any element.
Step 3
Exam Tip
Hence it is not onto. चरण 1: (1) और (2) की छवियाँ अलग-अलग (3) और (4) हैं, इसलिए फलन एक-एकी है। चरण 2: (B) का अवयव (5) किसी की छवि नहीं है। चरण 3: इसलिए यह आच्छादक नहीं है।
A. यह आच्छादक है पर एक-एकी नहीं/It is onto but not one-one
Step 1
Concept
Both elements (a) and (b) of (B) appear as images, so the function is onto.
Step 2
Why this answer is correct
Both (1) and (2) map to (a), so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
Check onto and one-one separately. चरण 1: (B) के दोनों अवयव (a) और (b) छवि के रूप में मिल रहे हैं, इसलिए फलन आच्छादक है। चरण 2: (1) और (2) दोनों की छवि (a) है, इसलिए यह एक-एकी नहीं है। चरण 3: आच्छादक और एक-एकी को अलग-अलग जाँचें।
