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(A) के सभी तत्व सम हैं, इसलिए (\mathcal{P}(A)) के हर उपसमुच्चय में केवल सम संख्याएँ होंगी। कुल संख्या \(2^5=32\) है। / All elements of (A) are even, so every subset in (\mathcal{P}(A)) contains only even numbers. The total number is \(2^5=32\).
(1) निश्चित है और (2) नहीं लेना है, इसलिए (3,4,5) में से (2) तत्व चुनने होंगे। संख्या \(\binom{3}{2}=3\) है। / (1) is fixed and (2) is excluded, so choose (2) elements from (3,4,5). The count is \(\binom{3}{2}=3\).
ऐसे उपसमुच्चयों की संख्या \(\binom{6}{2}+\binom{6}{4}=15+15=30\) है। आकार आधारित प्रश्नों में संयोजन लगाएँ। / The number is \(\binom{6}{2}+\binom{6}{4}=15+15=30\). Use combinations for size-based subset questions.
\(A\cap B\) में (6) के गुणज (6,12,18,24) हैं, इसलिए इसमें (4) तत्व हैं। पूरक में (24-4=20) तत्व होंगे। / \(A\cap B\) contains the multiples of (6): (6,12,18,24), so it has (4) elements. The complement has (24-4=20) elements.
पहला कदम यह पहचानना है कि \(A\) में कौन से तत्व हैं: जो 4 से विभाज्य हैं, अर्थात् \(\{4,8,12\}\). यूनिवर्सल सेट \(U\) का पूरक \(A'\) वही सभी तत्व होंगे जो \(U\) में हैं पर \(A\) में नहीं। इसलिए \(A'=U\setminus A=\{1,2,3,5,6,7,9,10,11\}\). नज़दीकी गलत विकल्पों का कारण: विकल्प C (सभी सम संख्याएँ) में 4,8,12 शामिल हैं जबकि पूरक में वे नहीं होने चाहिए; विकल्प D केवल विषम संख्याएँ देता है पर इसमें 2,6,10 जैसे सम लेकिन 4 का गुणज न होने वाले तत्व गायब हैं। परिक्षा टिप: पूरक निकालते समय पहले \(U\) के सभी तत्वों की सूची बनाकर उन तत्वों को हटा दें जो \(A\) में हैं। / First identify \(A\): numbers in \(U\) divisible by 4, i.e. \(\{4,8,12\}\). The complement \(A'\) is all elements of \(U\) that are not in \(A\). Thus \(A'=U\setminus A=\{1,2,3,5,6,7,9,10,11\}\). Why other choices are wrong: option C (all even numbers) incorrectly keeps 4,8,12 which should be excluded; option D lists only odd numbers and misses even non-multiples of 4 (2,6,10). Exam tip: to find a complement, list U and cross out elements of A — that avoids missing or extra elements.
\({\emptyset,{a}}\), (A) का उपसमुच्चय है। घात समुच्चय में हमेशा मूल समुच्चय के उपसमुच्चय आते हैं। / \({\emptyset,{a}}\) is a subset of (A). A power set always contains subsets of the original set.
A. \({x:x\in \mathbb{Z}, x<-2\) या (x>3})/\({x:x\in \mathbb{Z}, x<-2\) or (x>3})
Explanation
Simple Explanation
पूरक में वे पूर्णांक होंगे जो दिए गए अंतराल के बाहर हैं। सीमा मान (-2) और (3) (A) में हैं इसलिए पूरक में नहीं होंगे। / The complement contains integers outside the given interval. The endpoints (-2) and (3) are in (A), so they are not in the complement.
(\mathcal{P}(A)) स्वयं (256) तत्वों वाला समुच्चय है। इसलिए उसके घात समुच्चय में \(2^{256}\) तत्व होंगे। / (\mathcal{P}(A)) itself is a set with (256) elements. Its power set therefore has \(2^{256}\) elements.
(1) निश्चित है और (6) निषिद्ध है। शेष चार तत्व स्वतंत्र हैं, इसलिए \(2^4=16\) उपसमुच्चय होंगे। / (1) is fixed and (6) is forbidden. The remaining four elements are free, so there are \(2^4=16\) subsets.
पहला कदम: \(A\cup B=\{a,c,g\}\cup\{b,c,h\\}=\{a,b,c,g,h\}\). किसी भी योग का समपूरक (complement) समुच्च्य U में वे तत्व होते हैं जो उस योग में नहीं हैं। अत: \((A\cup B)'=U\setminus(A\cup B)=\{d,e\}\). वैकल्पिक रूप से डि म organizer के नियम से \((A\cup B)'=A'\cap B'\) भी लागू होता है और वही परिणाम देता है। परीक्षा संकेत: पहले यूनियन निकालें, फिर यूनिवर्सल सेट से घटा दें। / Compute the union first: \(A\cup B=\{a,c,g\}\cup\{b,c,h\}=\{a,b,c,g,h\}\). The complement relative to \(U\) are elements of \(U\) not in this union, so \((A\cup B)'=U\setminus(A\cup B)=\{d,e\}\). Using De Morgan's law, \((A\cup B)'=A'\cap B'\) gives the same result. Exam tip: find the union then subtract from the universal set (or use De Morgan) to avoid mistakes.
कुल उपसमुच्चय \(2^3=8\) हैं। \(\emptyset\) और (A) हटाने पर (6) अरिक्त उचित उपसमुच्चय बचते हैं। / There are \(2^3=8\) total subsets. Removing \(\emptyset\) and (A) leaves (6) non-empty proper subsets.
केवल रिक्त समुच्चय का पूरक पूरा (U) होता है। पूरक वाले प्रश्नों में सार्वत्रिक समुच्चय याद रखें। / Only the empty set has the whole (U) as its complement. Always remember the universal set in complement questions.
विकल्प में (1) और ({1,2}) दोनों (A) के तत्व हैं। ({1,2}) को (A) का तत्व समझें, दो अलग तत्व नहीं। / Both (1) and ({1,2}) in the option are elements of (A). Treat ({1,2}) as one element of (A), not two separate elements.
कम से कम (6) तत्वों का अर्थ (6) या (7) तत्व है। संख्या \(\binom{7}{6}+\binom{7}{7}=8\) है। / At least (6) elements means (6) or (7) elements. The count is \(\binom{7}{6}+\binom{7}{7}=8\).
पहले \(A'\) निकालें: \(A'\) वह समुच्चय है जो यूनिवर्सल सेट \(U\) में होते हुए \(A\) में न हों, इसलिए \(A'=\{5,6,7,8,9\}\). अब \(A'\cap B\) में वे ही तत्व आएँगे जो दोनों \(A'\) और \(B=\{4,5,6\}\) में सामान्य हों — यह \(\{5,6\}\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि 4, \(A\) में है इसलिए 4 \(A'\) में नहीं है; विकल्प C और D भी गलत हैं क्योंकि उनके तत्व \(B\) में उपलब्ध सामान्य तत्व नहीं बनाते। परीक्षा सुझाव: पहले यूनिवर्सल सेट के सापेक्ष पूरक निकालें, फिर इंटरसेक्शन करें। / Compute the complement first: \(A'\) are elements of \(U\) not in \(A\), so \(A'=\{5,6,7,8,9\}\). Intersecting with \(B=\{4,5,6\}\) gives the common elements \(\{5,6\}\). Option B ({4}) is wrong because 4 belongs to \(A\), so it is not in \(A'\). Options C and D are incorrect as their elements are not common with \(B\). Exam tip: always form the complement relative to the given universal set first, then perform the intersection.
(0) को निश्चित रखने पर शेष चार तत्वों में से सम संख्या चुननी होगी। संख्या \(\binom{4}{0}+\binom{4}{2}+\binom{4}{4}=8\) है। / After fixing (0), an even number of the remaining four elements must be chosen. The count is \(\binom{4}{0}+\binom{4}{2}+\binom{4}{4}=8\).
छोटे अंग्रेज़ी वर्णों का समुच्चय \(U\) में कुल 26 अक्षर होते हैं। \(V\) में दिए हुए पाँच स्वर हैं। किसी समुच्चय का पूरक \(V'\) वह तत्वों का समूह है जो \(U\) में हैं पर \(V\) में नहीं। अतः \(|V'|=|U|-|V|=26-5=21\)। विकल्प C (26) गलत है क्योंकि वह पूरे \(U\) का आकार दर्शाता है, न कि पूरक का। विकल्प A (5) \(V\) का आकार है, न कि \(V'\) का। परीक्षा-टिप: जब पूरक मांगा जाए तो सीधे \(|V'|=|U|-|V|\) सूत्र याद रखें। / The universe \(U\) of lowercase English letters has 26 elements and \(V\) contains the five vowels. The complement \(V'\) consists of letters in \(U\) but not in \(V\), so |V'| = |U| − |V| = 26 − 5 = 21. Option C (26) is incorrect because it gives the size of U, not the complement. Option A (5) is the size of V (vowels), not V'. Exam tip: use |V'| = |U| − |V| whenever V is a subset of U to get the complement's cardinality quickly.
({a,d}) से असंयुक्त उपसमुच्चय केवल (b,c) से बनेंगे, जो \(2^2=4\) हैं। इसलिए असंयुक्त नहीं होने वाले (16-4=12) हैं। / Subsets disjoint from ({a,d}) are formed only from (b,c), so there are \(2^2=4\). Hence not disjoint subsets are (16-4=12).
पहला कदम: \(A\cap B=\{2,4\}\) क्योंकि केवल 2 और 4 दोनों सेट्स में हैं। अब इसका परिशिष्ट (complement) गणना करें: \((A\cap B)'=U\setminus\{2,4\}\) अर्थात् \{1,3,5,6,7,8\}। विकल्प B (\{2,4\}) केवल समावेशन है, परिशिष्ट नहीं। विकल्प C (\{1,3,5,7\}) केवल \(A'\) है और विकल्प D (\{5,6,7,8\}) केवल \(B'\) है—इसलिए वे गलत हैं. परीक्षा टिप: पहले अंतर(section) निकालें फिर यूनीवर्सल सेट में से घटा दें, या सीधे De Morgan का नियम \((A\cap B)'=A'\cup B'\) लगाकर जल्दी जाँच करें। / Compute the intersection first: \(A\cap B=\{2,4\}\). The complement relative to \(U\) is \(U\setminus\{2,4\}=\{1,3,5,6,7,8\}\), so option A is correct. Option B is just \(A\cap B\) (not its complement). Option C equals \(A'\) and option D equals \(B'\), so both are incorrect for \((A\cap B)'\). Exam tip: either remove the intersection elements from \(U\) or use De Morgan: \((A\cap B)'=A'\cup B'\) to verify quickly.
कुल उपसमुच्चय (32) हैं। (2) और (3) दोनों न लेने वाले \(2^3=8\) हैं, इसलिए उत्तर (24) है। / There are (32) total subsets. Those containing neither (2) nor (3) are \(2^3=8\), so the answer is (24).
घात समुच्चय बराबर होने पर मूल समुच्चय भी बराबर होते हैं। क्योंकि मूल समुच्चय स्वयं अपने घात समुच्चय का तत्व होता है। / If power sets are equal, the original sets are also equal. This is because each original set is an element of its own power set.
पहले \(U\) में 1 से 20 तक कुल \(|U|=20\) तत्व हैं। पूर्ण वर्ग वे संख्याएँ हैं जिनका वर्गमूल पूर्णांक हो — 1, 4, 9, 16। अतः \(|A|=4\)। किसी समुच्चय का पूरक \(A'\) के तत्वों की संख्या \(|A'|=|U|-|A|\) होती है, इसलिए \(|A'|=20-4=16\)। विकल्प B (14) गलत है — यह संभवतः दो तत्व कम गिनने का परिणाम है (कभी-कभी 1 या 16 को छोड़ दिया जाता है)। परीक्षा सुझाव: सीमा के भीतर पूर्ण वर्गों की सूची बना कर सीधे गिनें और 1 को न भूलें। / There are \(|U|=20\) elements in \(U\) (natural numbers 1 to 20). The perfect squares ≤20 are 1, 4, 9 and 16, so \(|A|=4\). The complement size is \(|A'|=|U|-|A|\), therefore \(|A'|=20-4=16\). Option B (14) is incorrect — it likely comes from miscounting (for example omitting 1 or 16). Exam tip: list the perfect squares within the given bound and count them explicitly.
(r,s) निश्चित हैं और (v) नहीं लेना है। शेष (t,u) स्वतंत्र हैं, इसलिए \(2^2=4\) उपसमुच्चय होंगे। / (r,s) are fixed and (v) is excluded. The remaining (t,u) are free, so there are \(2^2=4\) subsets.
शर्त x-2 < 25 वाले U के सदस्य वे पूर्णांक हैं जिनका वर्ग 25 से छोटा हो। 02=0, 12=1, 22=4, 32=9, 42=16 हैं — सभी <25; पर 52=25 है जो <25 नहीं है। इसलिए A = {0,1,2,3,4} और U के सापेक्ष इसका पूरक A' वे बचे हुए तत्व हैं: {5,6,7,8,9}। निकटतम भ्रम (option C) से फर्क यह है कि उसमें 5 शामिल नहीं है, जबकि 5 का वर्ग 25 होने के कारण A में नहीं आता और अतः पूरक में होना चाहिए। परीक्षा-सूत्र: बराबरी के बाउंडरी पर हमेशा equality की जाँच करें \(यहाँ 5^2=25 भोज्य नहीं है\)। / We require elements of U whose square is strictly less than 25. 02=0,12=1,22=4,32=9,42=16 are all <25, while 52=25 is not strictly less. Thus A = {0,1,2,3,4}, so the complement A' in U consists of the remaining elements {5,6,7,8,9}. Closest distractor (option C) omits 5; since 52=25 it is not in A and therefore must be in A'. Exam tip: always check the boundary value where the inequality changes (here test x=5).
यहाँ \(Y\) की मान्यता \(A\) के रूप में निश्चित है, अतः \(X\) किसी भी तरह का \(A\) का उपसमुच्चय हो सकता है। किसी n-तत्व वाले सेट के उपसमुच्चयों की संख्या \(2^n\) होती है। यहाँ \(n=4\) है, इसलिए संभावनाएँ \(2^4=16\) हैं। विकल्प B (8) आम त्रुटि है — कुछ विद्यार्थी आधे उपसमुच्चयों को मात्र समझ लेते हैं; वास्तविकता में सभी उपसमुच्चय गिने जाते हैं। परीक्षा टिप: जब कोई सेट निश्चित हो (यहाँ \(Y=A\)), तो केवल \(X\) के उपसमुच्चयों की संख्या गिनें और फार्मूला \(2^n\) प्रयोग करें। / Here \(Y\) is fixed as \(A\), so \(X\) can be any subset of \(A\). The number of subsets of an n-element set is \(2^n\). With \(n=4\), there are \(2^4=16\) choices for \(X\), hence 16 ordered pairs. Option B (8) is a common mistake — students sometimes (incorrectly) count only half the subsets. Option D (32) would correspond to \(2^5\), which is not relevant here. Exam tip: if one component (here \(Y\)) is fixed, count subsets of the other using \(2^n\).
सर्वप्रथम पूरक निकालें: \(A'=U\setminus A=\{2,4,6\}\) जिसमें 3 तत्व हैं. किसी समुच्चय के पावर सेट की संख्या मानक सूत्र \(|\mathcal{P}(X)|=2^{|X|}\) द्वारा दी जाती है, अतः \(|\mathcal{P}(A')|=2^3=8\). विकल्प C (16) अक्सर इसलिए चुना जाता है क्योंकि छात्र गलती से \(|A|=4\) लेकर \(2^4=16\) कर देते हैं — यह \(\mathcal{P}(A)\) के लिए होगा, न कि \(\mathcal{P}(A')\) के लिए. परीक्षा-सुझाव: पहले पूरक के तत्वों की गिनती करें, फिर तुरन्त \(2^{n}\) लागू करें। / First find the complement: \(A'=U\setminus A=\{2,4,6\}\), which has 3 elements. The size of a power set is given by \(|\mathcal{P}(X)|=2^{|X|}\), so \(|\mathcal{P}(A')|=2^3=8\). Option C (16) is a common trap — it comes from mistakenly using \(|A|=4\) and computing \(2^4=16\), which would be \(|\mathcal{P}(A)|\), not \(|\mathcal{P}(A')|\). Exam tip: always determine the number of elements in the set (or its complement) first, then use \(2^{n}\).
(|\mathcal{P}(B)|=32) और (|\mathcal{P}(A)|=16) है। क्योंकि \(A\subset B\), अंतर में (32-16=16) तत्व होंगे। / (|\mathcal{P}(B)|=32) and (|\mathcal{P}(A)|=16). Since \(A\subset B\), the difference has (32-16=16) elements.
डी मॉर्गन से (A'\cup B'=\(A\cap B\)') होता है। \(A\cap B={2,4}\), इसलिए पूरक में (10-2=8) तत्व हैं। / By De Morgan's law, (A'\cup B'=\(A\cap B\)'). Since \(A\cap B={2,4}\), the complement has (10-2=8) elements.
A के दो अलग तत्व हैं: \(\emptyset\) और \(\{\emptyset\}\)। किसी सेट के पावर सेट का आकार \(2^{|A|}\) होता है। यहाँ \(|A|=2\) इसलिए \(|\mathcal{P}(A)|=2^2=4\)। पावर सेट के चार उपसंग्रह हैं: \(\emptyset,\;\{\emptyset\},\;\{\{\emptyset\}\},\;\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\)। सबसे नजदीकी गलत विकल्प "2" वह है जो केवल किसी एक तरह की गिनती (जैसे खाली-सेट मात्र) कर लेने से आ सकता है — तत्व और उपसंग्रह अलग समझें। परीक्षा-टिप: पहले \(|A|\) गिनें और फिर \(|\mathcal{P}(A)|=2^{|A|}\) लागू करें। / A has two distinct elements: \(\emptyset\) and \(\{\emptyset\}\). The number of subsets (power set size) is \(2^{|A|}\). Since \(|A|=2\), \(|\mathcal{P}(A)|=2^2=4\). The four subsets are \(\emptyset,\;\{\emptyset\},\;\{\{\emptyset\}\},\;\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\). The closest wrong choice "2" comes from confusing elements with subsets. Exam tip: always count elements first, then use \(|\mathcal{P}(A)|=2^{|A|}\).
A. वे त्रिभुज जो समबाहु नहीं हैं/Triangles that are not equilateral
Explanation
Simple Explanation
पूरक हमेशा सार्वत्रिक समुच्चय के भीतर लिया जाता है। इसलिए (E') सभी ऐसे त्रिभुज हैं जो समबाहु नहीं हैं। / Complement is always taken inside the universal set. So (E') is all triangles that are not equilateral.
कुल उपसमुच्चय \(2^7=128\) हैं और ठीक (5) तत्व वाले \(\binom{7}{5}=21\) हैं। इसलिए उत्तर (128-21=107) है। / Total subsets are \(2^7=128\), and exactly (5)-element subsets are \(\binom{7}{5}=21\). So the answer is (128-21=107).
(2) या (3) से विभाज्य संख्याएँ (15+10-5=20) हैं। इसलिए पूरक में (30-20=10) संख्याएँ हैं। / Numbers divisible by (2) or (3) are (15+10-5=20). Hence the complement has (30-20=10) numbers.
(a,b) में से ठीक एक चुनने के (2) तरीके हैं और (e) निश्चित है। (c,d) स्वतंत्र हैं, इसलिए \(2\times2^2=8\)। / There are (2) ways to choose exactly one of (a,b), and (e) is fixed. (c,d) are free, so \(2\times2^2=8\).
समझें कि यूनिवर्सल सेट \(U\) में सभी पूर्णांक \(-5\) से \(5\) तक शामिल हैं, अतः \(|U|=11\). शर्त \(|x|\le 2\) से \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\) और इसलिए \(|A|=5\). किसी सेट का पूरक (यहाँ \(A'\) को \(U\) के सापेक्ष लिया गया) का क्रम होगा \(|A'|=|U|-|A|=11-5=6\). सामान्य भूलें: शून्य या नकारात्मक गुणांक न गिनना या सीमाओं को गलत समझ लेना; इसलिए ध्यान रखें कि दोनों किनारों को शामिल करना है। परीक्षा टिप: पहले \(|U|\) और \(|A|\) गिनें फिर \(|A'|=|U|-|A|\) लागू करें। / Count elements in the universal set: integers from -5 to 5 give \(|U|=11\). The condition \(|x|\le 2\) yields \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\) so \(|A|=5\). The complement (relative to \(U\)) has size \(|A'|=|U|-|A|=11-5=6\). Common mistake: confusing size of \(A\) with size of \(A'\) (option 5) or miscounting endpoints (option 7). Exam tip: always compute \(|U|\) and \(|A|\) separately, then subtract to get \(|A'|\).
ऐसे उपसमुच्चय में (3) होना चाहिए और (4) नहीं होना चाहिए। (1,2) स्वतंत्र हैं, इसलिए \(2^2=4\) उपसमुच्चय हैं। / Such a subset must contain (3) and must not contain (4). (1,2) are free, so there are \(2^2=4\) subsets.
पूरक लेने पर समावेशन की दिशा उलट जाती है। इसलिए \(A\subseteq B\) से \(B'\subseteq A'\) मिलता है। / Inclusion reverses when complements are taken. Thus \(A\subseteq B\) gives \(B'\subseteq A'\).
घात समुच्चय \(\mathcal{P}(A)\) में वे सभी उपसमुच्चय होते हैं जो \(A\) के होते हैं। दिया हुआ \(A=\{1,2,\{3,4\}\}\) है, इसलिए \(\{3,4\}\) स्वयं \(A\) का एक तत्व है। उस तत्व का एकल उपसमुच्चय (singleton) \(\{\{3,4\}\}\) निश्चित रूप से \(A\) का उपसमुच्चय है और इसलिए \(\mathcal{P}(A)\) में होगा। बाकी विकल्प गलत क्यों हैं: \(\{3,4\}\) (विकल्प B) \(A\) का तत्व तो है परन्तु उपसमुच्चय नहीं है क्योंकि 3 और 4 सीधे \(A\) के तत्व नहीं हैं; \(\{1,3\}\) और \(\{3\}\) में 3 मौजूद है जो \(A\) का तत्व नहीं है, अतः वे \(A\) के उपसमुच्चय नहीं हैं। परीक्षा टिप: 'तत्व (element)' और 'उपसमुच्चय (subset)' में फर्क स्पष्ट रखें — एकल ब्रेसेस के नेस्टिंग से ध्यान रखें (उदा. \(\{\{3,4\}\}\) बनाम \(\{3,4\}\)). / The power set \(\mathcal{P}(A)\) contains all subsets of \(A\). Here \(A=\{1,2,\{3,4\}\}\), so the object \(\{3,4\}\) is an element of \(A\). Its singleton \(\{\{3,4\}\}\) is therefore a subset of \(A\) and must be in \(\mathcal{P}(A)\). Why the others are wrong: \(\{3,4\}\) (option B) is an element of \(A\) but not a subset of \(A\) because 3 and 4 are not elements of \(A\); \(\{1,3\}\) and \(\{3\}\) include 3 which is not in \(A\), so they are not subsets. Exam tip: always distinguish between 'element of' and 'subset of' — check whether the inner items themselves belong to \(A\) or are nested as an element.
(|A|=5) और (|B|=3), इसलिए \(|A\times B|=15\) है। अतः उसके घात समुच्चय में \(2^{15}\) तत्व होंगे। / (|A|=5) and (|B|=3), so \(|A\times B|=15\). Therefore its power set has \(2^{15}\) elements.
(A) में (U) की विषम संख्याएँ हैं। इसलिए पूरक में (U) की सम संख्याएँ ({2,4,6,8}) होंगी। / (A) contains the odd numbers of (U). Therefore the complement is the even numbers of (U): ({2,4,6,8}).
ऐसे उपसमुच्चय केवल \(\emptyset\) और ({1}) हैं। शर्तों में खाली समुच्चय को भी गिनना न भूलें। / The only such subsets are \(\emptyset\) and ({1}). Do not forget to count the empty set in condition-based questions.
(2) (A) में शामिल है, इसलिए पूरक में (2) नहीं आएगा। \(\mathbb{R}\) में पूरक (\(2,\infty\)) है। / (2) is included in (A), so it is not in the complement. In \(\mathbb{R}\), the complement is (\(2,\infty\)).
(a) को हटाने पर (5) तत्व बचते हैं। उनमें से ठीक (3) चुनने के \(\binom{5}{3}=10\) तरीके हैं। / After excluding (a), (5) elements remain. Choosing exactly (3) of them gives \(\binom{5}{3}=10\) ways.
कोर विचार: सेटों के पूरक और दे-मॉर्गन नियम का उपयोग करें। \(A=U\setminus A'\) और \(B=U\setminus B'\) होने से \(A\cap B=(A'\cup B')'\)। यहां \(A'\cup B'=\{1,2,4,7,8\}\) और उसका पूरक (यूनिवर्सल सेट के सन्दर्भ में) \(\{3,5,6\}\) होता है। इसलिए सही उत्तर \(\{3,5,6\}\) है। निकटतम भ्रामक विकल्प: विकल्प D \(\{2,3,5,6,8\}\) असल में सिर्फ \(A\) है (कहा गया \(A'=\{1,4,7\}\) से निकला), पर \(A\cap B\) में वे सदस्य नहीं आते जो केवल \(A\) में हों जैसे 2 और 8 — इसलिए D गलत है। परीक्षा टिप: जब पूरक दिए हों तो सीधे दोनों पूरकों का संघ लेकर उसका पूरक लेना अक्सर तेज और कम त्रुटिपूर्ण होता है। / Core idea: use complements and De Morgan's law. Since \(A=U\setminus A'\) and \(B=U\setminus B'\), we have \(A\cap B=(A'\cup B')'\). Here \(A'\cup B'=\{1,2,4,7,8\}\), and its complement (w.r.t. \(U\)) is \(\{3,5,6\}\). Thus the correct answer is \(\{3,5,6\}\). Closest distractor: option D \(\{2,3,5,6,8\}\) equals \(A\), not the intersection — elements 2 and 8 are not in \(B\), so they must be excluded. Exam tip: convert complements to original sets or apply De Morgan's law directly to avoid element-by-element checking.
(A) में कम से कम एक विषम संख्या है, इसलिए उपसमुच्चयों के योग सम और विषम बराबर संख्या में होंगे। कुल (32) हैं, अतः सम योग वाले (16) हैं। / Since (A) has at least one odd number, subsets with even and odd sums are equal in number. Total subsets are (32), so even-sum subsets are (16).
(10) के गुणज (10,20,30,40,50) हैं, इसलिए (|A|=5)। (A') में (45) तत्व हैं, अतः (|\mathcal{P}(A')|=2^{45})। / The multiples of (10) are (10,20,30,40,50), so (|A|=5). (A') has (45) elements, hence (|\mathcal{P}(A')|=2^{45}).
({1,2,3}) के उपसमुच्चय में (1) नहीं होना चाहिए। केवल (2,3) से बनने वाले \(2^2=4\) उपसमुच्चय मिलेंगे। / The subset of ({1,2,3}) must not contain (1). Subsets formed only from (2,3) give \(2^2=4\) choices.
A. (U) में (1) और संयुक्त संख्याएँ/(1) and composite numbers in (U)
Explanation
Simple Explanation
(A) में (U) की अभाज्य संख्याएँ हैं। इसलिए पूरक में (1) और संयुक्त संख्याएँ होंगी। / (A) contains the prime numbers of (U). Therefore the complement contains (1) and composite numbers.
(\mathcal{P}(A)) में \(2^3=8\) तत्व हैं। किसी (8)-तत्वीय समुच्चय के घात समुच्चय में (8) एकल उपसमुच्चय होते हैं। / (\mathcal{P}(A)) has \(2^3=8\) elements. The power set of an (8)-element set has (8) singleton subsets.
(A'={e,f,g,h}) और (B'={a,b,g,h}) हैं। केवल एक में आने वाले तत्व (a,b,e,f) हैं, इसलिए (4) तत्व हैं। / (A'={e,f,g,h}) and (B'={a,b,g,h}). Elements in exactly one are (a,b,e,f), so there are (4).
(1,2,3) में से कम से कम दो चुनने के \(\binom{3}{2}+\binom{3}{3}=4\) तरीके हैं। शेष तीन तत्व स्वतंत्र हैं, इसलिए \(4\times2^3=32\) है। / Choosing at least two from (1,2,3) gives \(\binom{3}{2}+\binom{3}{3}=4\) ways. The remaining three elements are free, so the count is \(4\times2^3=32\).
