There are (3) choices for the common value of the first three inputs and \(3^2\) choices for the remaining two inputs. Total functions are \(3\cdot3^2=27\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (27). There are (3) choices for the common value of the first three inputs and \(3^2\) choices for the remaining two inputs. Total functions are \(3\cdot3^2=27\).
Step 3
Exam Tip
पहले तीन मानों के सामान्य मान के लिए (3) विकल्प हैं और बाकी दो इनपुट के लिए \(3^2\) विकल्प हैं। कुल \(3\cdot3^2=27\) फलन हैं।
B. यह फलन नहीं है क्योंकि (2) की दो छवियां हैं/It is not a function because (2) has two images
Step 1
Concept
At (x=2), both (y=2) and (y=-2) occur. A relation is not a function if one input has two images.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. यह फलन नहीं है क्योंकि (2) की दो छवियां हैं / It is not a function because (2) has two images. At (x=2), both (y=2) and (y=-2) occur. A relation is not a function if one input has two images.
Step 3
Exam Tip
(x=2) पर (y=2) और (y=-2) दोनों मिलते हैं। एक इनपुट की दो छवियां होने पर संबंध फलन नहीं होता।
The expression \(5-ax^2\) stays non-negative for all real (x) only when \(a\le0\). In a square-root function the radicand must be non-negative for every input.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\ a\le0\). The expression \(5-ax^2\) stays non-negative for all real (x) only when \(a\le0\). In a square-root function the radicand must be non-negative for every input.
Step 3
Exam Tip
\(5-ax^2\) सभी वास्तविक (x) के लिए अऋण तभी रहेगा जब \(a\le0\) हो। मूल वाले फलन में अंदर की राशि हर इनपुट पर अऋण होनी चाहिए।
B. यह फलन है क्योंकि \(n^3-n\) हमेशा (3) से विभाज्य होता है/It is a function because \(n^3-n\) is always divisible by (3)
Step 1
Concept
Since (n-3-n=n(n-1)(n+1)) is the product of three consecutive integers, it is divisible by (3). For codomain checking, focus on integrality.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. यह फलन है क्योंकि \(n^3-n\) हमेशा (3) से विभाज्य होता है / It is a function because \(n^3-n\) is always divisible by (3). Since (n-3-n=n(n-1)(n+1)) is the product of three consecutive integers, it is divisible by (3). For codomain checking, focus on integrality.
Step 3
Exam Tip
(n-3-n=n(n-1)(n+1)) लगातार तीन पूर्णांकों का गुणनफल है, इसलिए (3) से विभाज्य है। सहप्रांत जांचने के लिए पूर्णांकता पर ध्यान दें।
A. यह फलन है और परिसर ({3,4,5,6}) है/It is a function and range is ({3,4,5,6})
Step 1
Concept
For every (x), (y=7-x) is unique and lies in the given codomain. In finite sets check the image of every input.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह फलन है और परिसर ({3,4,5,6}) है / It is a function and range is ({3,4,5,6}). For every (x), (y=7-x) is unique and lies in the given codomain. In finite sets check the image of every input.
Step 3
Exam Tip
हर (x) के लिए (y=7-x) अद्वितीय है और दिए गए सहप्रांत में है। सीमित समुच्चय में सभी इनपुटों की छवि जांचें।
On the given domain (f(x)=x+3), but removing (x=3) removes the value (6). The output of an excluded input may also be excluded.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(\mathbb{R}-{6}\). On the given domain (f(x)=x+3), but removing (x=3) removes the value (6). The output of an excluded input may also be excluded.
Step 3
Exam Tip
दिए गए प्रांत पर (f(x)=x+3) है, पर (x=3) हटने से मान (6) नहीं मिलता। हटाए गए इनपुट का संभावित आउटपुट भी हट सकता है।
In option (C), (0) has two images (p) and (r). In a function each input must have exactly one image.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. ({(0,p),(1,q),(2,q),(3,r),(0,r)}). In option (C), (0) has two images (p) and (r). In a function each input must have exactly one image.
Step 3
Exam Tip
विकल्प (C) में (0) की दो छवियां (p) और (r) हैं। फलन में हर इनपुट की छवि ठीक एक होनी चाहिए।
For \(-1\le x\le3\), the value is (4), and at endpoints (x=-2) and (x=4), the value is (6). Breakpoints of modulus help find the range quickly.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ([4,6]). For \(-1\le x\le3\), the value is (4), and at endpoints (x=-2) and (x=4), the value is (6). Breakpoints of modulus help find the range quickly.
Step 3
Exam Tip
\(-1\le x\le3\) पर मान (4) है और सिरों (x=-2) तथा (x=4) पर मान (6) है। मापांक के ब्रेक-पॉइंट से परिसर जल्दी मिलता है।
There is one empty function from the empty domain, and its graph has no ordered pair. The number of functions and the number of graph pairs are different facts.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (0). There is one empty function from the empty domain, and its graph has no ordered pair. The number of functions and the number of graph pairs are different facts.
Step 3
Exam Tip
रिक्त प्रांत से एक खाली फलन होता है, और उसके ग्राफ में कोई ordered pair नहीं होता। फलनों की संख्या और ग्राफ के युग्मों की संख्या अलग बातें हैं।
C. (f\(a_1\)) और (f\(a_2\)) दोनों (B) में हैं/Both (f\(a_1\)) and (f\(a_2\)) lie in (B)
Step 1
Concept
In a function the image of every input lies in the codomain (B). Different inputs may also have the same image.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (f\(a_1\)) और (f\(a_2\)) दोनों (B) में हैं / Both (f\(a_1\)) and (f\(a_2\)) lie in (B). In a function the image of every input lies in the codomain (B). Different inputs may also have the same image.
Step 3
Exam Tip
फलन में हर इनपुट की छवि सहप्रांत (B) में होती है। अलग इनपुटों की छवियां समान भी हो सकती हैं।
A. क्योंकि (x=0) की दो छवियां हैं/Because (x=0) has two images
Step 1
Concept
At (x=0), both (y=2) and (y=-2) are possible. In a circular relation, one (x) may give two (y)-values.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि (x=0) की दो छवियां हैं / Because (x=0) has two images. At (x=0), both (y=2) and (y=-2) are possible. In a circular relation, one (x) may give two (y)-values.
Step 3
Exam Tip
(x=0) पर (y=2) और (y=-2) दोनों संभव हैं। वृत्तीय संबंध में एक (x) पर दो (y) आ सकते हैं।
यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\frac{1}{x-2+ax+4}) से परिभाषित करना हो, तो पूरे \(\mathbb{R}\) पर फलन बनने के लिए (a) की कौन सी शर्त सही है?
A. \(f^{-1}\) फलन है और \(f^{-1}=f\)/\(f^{-1}\) is a function and \(f^{-1}=f\)
Step 1
Concept
The rule sends (x) to (6-x), and applying the same rule again returns the original value. Thus the inverse relation is the same function.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(f^{-1}\) फलन है और \(f^{-1}=f\) / \(f^{-1}\) is a function and \(f^{-1}=f\). The rule sends (x) to (6-x), and applying the same rule again returns the original value. Thus the inverse relation is the same function.
Step 3
Exam Tip
नियम (x) को (6-x) पर भेजता है और दोबारा वही नियम मूल मान लौटा देता है। इसलिए उल्टा संबंध भी वही फलन है।
Since (x-2-4x+7=(x-2)2+3), the minimum value is (3). Complete the square to find the range of a quadratic function.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \([3,\infty\)). Since (x-2-4x+7=(x-2)2+3), the minimum value is (3). Complete the square to find the range of a quadratic function.
Step 3
Exam Tip
(x-2-4x+7=(x-2)2+3) है, इसलिए न्यूनतम मान (3) है। वर्ग पूरा करके द्विघात फलन का परिसर निकालें।
At (n=1), \(\frac{n}{2}=\frac{1}{2}\) is not a natural number. In \(\mathbb{N}\to\mathbb{N}\), every natural input must have a natural value.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (f(n)=\frac{n}{2}). At (n=1), \(\frac{n}{2}=\frac{1}{2}\) is not a natural number. In \(\mathbb{N}\to\mathbb{N}\), every natural input must have a natural value.
Step 3
Exam Tip
(n=1) पर \(\frac{n}{2}=\frac{1}{2}\) प्राकृतिक संख्या नहीं है। \(\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) में हर प्राकृतिक इनपुट का मान प्राकृतिक होना चाहिए।
A. क्योंकि (x=1) की छवियां (2) और (4) हैं/Because (x=1) has images (2) and (4)
Step 1
Concept
For (x=1), both (y=2) and (y=4) make the difference odd. Multiple outputs for one input do not define a function.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि (x=1) की छवियां (2) और (4) हैं / Because (x=1) has images (2) and (4). For (x=1), both (y=2) and (y=4) make the difference odd. Multiple outputs for one input do not define a function.
Step 3
Exam Tip
(x=1) के लिए (y=2) और (y=4) दोनों से अंतर विषम है। एक इनपुट के कई आउटपुट फलन नहीं बनाते।
On the given domain (f(x)=x+4), but removing (x=4) removes the value (8). After simplification, the image of the excluded input is removed.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (8). On the given domain (f(x)=x+4), but removing (x=4) removes the value (8). After simplification, the image of the excluded input is removed.
Step 3
Exam Tip
दिए गए प्रांत पर (f(x)=x+4) है, लेकिन (x=4) हटने से मान (8) नहीं मिलता। सरलीकरण के बाद हटे हुए इनपुट की छवि हट जाती है।
A. जब (1,2,3,4) प्रत्येक प्रथम घटक के रूप में ठीक एक बार आए/When each of (1,2,3,4) appears exactly once as a first component
Step 1
Concept
With exactly (4) pairs, a function needs one image for each element of (A). Balance among second components is not required.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. जब (1,2,3,4) प्रत्येक प्रथम घटक के रूप में ठीक एक बार आए / When each of (1,2,3,4) appears exactly once as a first component. With exactly (4) pairs, a function needs one image for each element of (A). Balance among second components is not required.
Step 3
Exam Tip
ठीक (4) युग्मों में फलन बनने के लिए (A) के हर अवयव की एक-एक छवि चाहिए। द्वितीय घटकों का संतुलन आवश्यक नहीं है।
By symmetry the maximum occurs at \(x=\frac{9}{2}\), and the value is \(2\sqrt{\frac{9}{2}}=3\sqrt{2}\). For sums of square roots, check the balanced point.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(3\sqrt{2}\). By symmetry the maximum occurs at \(x=\frac{9}{2}\), and the value is \(2\sqrt{\frac{9}{2}}=3\sqrt{2}\). For sums of square roots, check the balanced point.
Step 3
Exam Tip
सममिति से अधिकतम \(x=\frac{9}{2}\) पर मिलता है और मान \(2\sqrt{\frac{9}{2}}=3\sqrt{2}\) है। वर्गमूल योग में संतुलित बिंदु जांचें।
Total relations are \(2^{|A||B|}=2^{15}\), and total functions are \(|B|^{|A|}=5^3\). Keep the two formulas separate.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2^{15}\) और \(5^3\) / \(2^{15}\) and \(5^3\). Total relations are \(2^{|A||B|}=2^{15}\), and total functions are \(|B|^{|A|}=5^3\). Keep the two formulas separate.
Step 3
Exam Tip
कुल संबंध \(2^{|A||B|}=2^{15}\) और कुल फलन \(|B|^{|A|}=5^3\) होते हैं। दोनों सूत्रों को अलग रखें।
At the given inputs, the values are \(-\frac{1}{2},-2,4,\frac{5}{2}\). For a finite domain, substitute directly.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\left{-\frac{1}{2},-2,4,\frac{5}{2}\right}\). At the given inputs, the values are \(-\frac{1}{2},-2,4,\frac{5}{2}\). For a finite domain, substitute directly.
Step 3
Exam Tip
दिए गए इनपुटों पर मान \(-\frac{1}{2},-2,4,\frac{5}{2}\) मिलते हैं। सीमित प्रांत में सीधे प्रतिस्थापन करें।
The expression \(\sqrt{2x-1}\) is real only when \(x\ge\frac{1}{2}\). A function on all of \(\mathbb{R}\) needs a value for every real input.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (f(x)=\sqrt{2x-1}). The expression \(\sqrt{2x-1}\) is real only when \(x\ge\frac{1}{2}\). A function on all of \(\mathbb{R}\) needs a value for every real input.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{2x-1}\) वास्तविक तभी है जब \(x\ge\frac{1}{2}\) हो। पूरे \(\mathbb{R}\) पर फलन के लिए हर वास्तविक इनपुट पर मान चाहिए।
There are \(2^5=32\) total functions, and the opposite case (f(1)=b), (f(5)=a) gives \(2^3=8\) functions. Hence (32-8=24).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (24). There are \(2^5=32\) total functions, and the opposite case (f(1)=b), (f(5)=a) gives \(2^3=8\) functions. Hence (32-8=24).
Step 3
Exam Tip
कुल \(2^5=32\) फलन हैं और विपरीत स्थिति (f(1)=b), (f(5)=a) में \(2^3=8\) फलन हैं। अतः (32-8=24) है।
For \(-2\le x\le4\), the value is (6), and outside this interval the value increases. Hence the minimum is (6) and the range is \([6,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \([6,\infty\)). For \(-2\le x\le4\), the value is (6), and outside this interval the value increases. Hence the minimum is (6) and the range is \([6,\infty\)).
Step 3
Exam Tip
\(-2\le x\le4\) पर मान (6) है और बाहर मान बढ़ता है। इसलिए न्यूनतम (6) और परिसर \([6,\infty\)) है।
Each given (x) has a unique real fifth root in (Y). The inverse of an odd power is unique over real values.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह फलन है / It is a function. Each given (x) has a unique real fifth root in (Y). The inverse of an odd power is unique over real values.
Step 3
Exam Tip
हर दिए गए (x) का वास्तविक पंचममूल अद्वितीय है और (Y) में है। विषम घात का उल्टा वास्तविक मानों में एकमात्र होता है।
B. नहीं, क्योंकि \(f(3)=4\notin{0,1,2,3}\)/No, because \(f(3)=4\notin{0,1,2,3}\)
Step 1
Concept
Here (f(3)=9-6+1=4), which is not in the codomain. For a finite domain, match every value with the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. नहीं, क्योंकि \(f(3)=4\notin{0,1,2,3}\) / No, because \(f(3)=4\notin{0,1,2,3}\). Here (f(3)=9-6+1=4), which is not in the codomain. For a finite domain, match every value with the codomain.
Step 3
Exam Tip
(f(3)=9-6+1=4) है, जो सहप्रांत में नहीं है। सीमित प्रांत में हर मान को सहप्रांत से मिलाएं।
A. क्योंकि (x=0) की दो छवियां हैं/Because (x=0) has two images
Step 1
Concept
At (x=0), both (y=2) and (y=-2) are possible. Absolute value equations often give two images.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि (x=0) की दो छवियां हैं / Because (x=0) has two images. At (x=0), both (y=2) and (y=-2) are possible. Absolute value equations often give two images.
Step 3
Exam Tip
(x=0) पर (y=2) और (y=-2) दोनों संभव हैं। मापांक समीकरण अक्सर दो छवियां देते हैं।
There are (5), then (4), then (3), then (2) choices for the four inputs. Total functions are \(5\cdot4\cdot3\cdot2=120\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (120). There are (5), then (4), then (3), then (2) choices for the four inputs. Total functions are \(5\cdot4\cdot3\cdot2=120\).
Step 3
Exam Tip
पहले इनपुट के लिए (5), फिर (4), फिर (3), फिर (2) विकल्प हैं। कुल \(5\cdot4\cdot3\cdot2=120\) फलन हैं।
In option (B), every input has one image, so (R) is a function. In the inverse relation, (4) has two images (1) and (2).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. ({(1,4),(2,4),(3,5)}). In option (B), every input has one image, so (R) is a function. In the inverse relation, (4) has two images (1) and (2).
Step 3
Exam Tip
विकल्प (B) में हर इनपुट की एक छवि है, इसलिए (R) फलन है। उल्टे संबंध में (4) की दो छवियां (1) और (2) होंगी।
B. यह फलन नहीं है क्योंकि (x=1) पर मान परिभाषित नहीं है/It is not a function because the value at (x=1) is undefined
Step 1
Concept
The domain includes (1), but \(\frac{2}{1-1}\) is undefined. A function needs a value for every domain element.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. यह फलन नहीं है क्योंकि (x=1) पर मान परिभाषित नहीं है / It is not a function because the value at (x=1) is undefined. The domain includes (1), but \(\frac{2}{1-1}\) is undefined. A function needs a value for every domain element.
Step 3
Exam Tip
प्रांत में (1) शामिल है, लेकिन \(\frac{2}{1-1}\) परिभाषित नहीं है। फलन के लिए हर प्रांत-अवयव पर मान होना चाहिए।
A. हर (x) के लिए (|2x-3|) का ठीक एक मान है/For every (x), (|2x-3|) has exactly one value
Step 1
Concept
An absolute value expression assigns one non-negative value to each input. Equal images for different inputs do not stop it from being a function.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. हर (x) के लिए (|2x-3|) का ठीक एक मान है / For every (x), (|2x-3|) has exactly one value. An absolute value expression assigns one non-negative value to each input. Equal images for different inputs do not stop it from being a function.
Step 3
Exam Tip
मापांक अभिव्यक्ति हर इनपुट को एकमात्र अऋण मान देती है। अलग इनपुटों की समान छवि फलन को नहीं रोकती।
The graph of a function has exactly one ordered pair for each element of the domain. Therefore the number of pairs is (|A|=6).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (6). The graph of a function has exactly one ordered pair for each element of the domain. Therefore the number of pairs is (|A|=6).
Step 3
Exam Tip
फलन के ग्राफ में प्रांत के हर अवयव के लिए ठीक एक ordered pair होता है। इसलिए युग्मों की संख्या (|A|=6) है।
A. यह फलन है और परिसर ({0,1,2,3}) है/It is a function and range is ({0,1,2,3})
Step 1
Concept
The expression \(\sqrt{x-1}\) gives the principal non-negative square root, so each (x) has one image. The obtained values are ({0,1,2,3}).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह फलन है और परिसर ({0,1,2,3}) है / It is a function and range is ({0,1,2,3}). The expression \(\sqrt{x-1}\) gives the principal non-negative square root, so each (x) has one image. The obtained values are ({0,1,2,3}).
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{x-1}\) प्रधान अऋण वर्गमूल देता है, इसलिए हर (x) की एक छवि है। प्राप्त मान ({0,1,2,3}) हैं।
A. क्योंकि (x=1) पर दो अलग मान (4) और (2) मिलते हैं/Because at (x=1), two different values (4) and (2) occur
Step 1
Concept
The input (x=1) belongs to both parts and gives different values (4) and (2). Two different outputs for one input do not define a function.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि (x=1) पर दो अलग मान (4) और (2) मिलते हैं / Because at (x=1), two different values (4) and (2) occur. The input (x=1) belongs to both parts and gives different values (4) and (2). Two different outputs for one input do not define a function.
Step 3
Exam Tip
(x=1) दोनों भागों में आता है और मान (4) तथा (2) अलग हैं। एक ही इनपुट पर दो अलग आउटपुट फलन नहीं बनाते।
A. यह फलन है क्योंकि (x=3) पर दोनों नियम (5) देते हैं/It is a function because both rules give (5) at (x=3)
Step 1
Concept
At (x=3), \(2\cdot3-1=5\) and (3+2=5), so there is no conflict. Overlap is valid when both values agree.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह फलन है क्योंकि (x=3) पर दोनों नियम (5) देते हैं / It is a function because both rules give (5) at (x=3). At (x=3), \(2\cdot3-1=5\) and (3+2=5), so there is no conflict. Overlap is valid when both values agree.
Step 3
Exam Tip
(x=3) पर \(2\cdot3-1=5\) और (3+2=5) हैं, इसलिए कोई विरोध नहीं है। ओवरलैप तब मान्य है जब दोनों मान समान हों।
