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मूल फलन \(y=|x|\) का शीर्ष \((0,0)\) होता है। \(|x-3|\) आलेख को 3 इकाई दाईं ओर और बाहर जोड़ा गया \(+2\) उसे 2 इकाई ऊपर ले जाता है। इसलिए शीर्ष \((3,2)\) है। विकल्प B में क्षैतिज विस्थापन की दिशा गलत है, जबकि विकल्प C में ऊर्ध्वाधर विस्थापन की दिशा गलत है। परीक्षा युक्ति: \(y=|x-h|+k\) में शीर्ष सीधे \((h,k)\) होता है। / The basic function \(y=|x|\) has vertex \((0,0)\). In \(|x-3|\), the graph shifts 3 units to the right, and the outside \(+2\) shifts it 2 units upward. Therefore, the vertex is \((3,2)\). Option B reverses the horizontal shift, while option C reverses the vertical shift. Exam tip: for \(y=|x-h|+k\), the vertex is directly \((h,k)\).
क्योंकि \((x+2)^2\ge 0\), इसलिए \(-(x+2)^2\le 0\) और \(f(x)=-(x+2)^2+5\le 5\)। समानता तब होती है जब \(x=-2\), अतः अधिकतम मान 5 है। ध्यान रखें कि \(-2\) शीर्ष-बिंदु का \(x\)-निर्देशांक है, फलन का अधिकतम मान नहीं। परीक्षा में नीचे खुले हुए पराबोला \(y=-(x+2)^2+5\) का अधिकतम \(y\)-मान शीर्ष-बिंदु से पहचानें। / Since \((x+2)^2\ge 0\), we have \(-(x+2)^2\le 0\), so \(f(x)=-(x+2)^2+5\le 5\). Equality occurs when \(x=-2\), hence the maximum value is 5. Note that \(-2\) is the x-coordinate of the vertex, not the maximum value of the function. Exam tip: for a downward-opening parabola, the y-coordinate of the vertex gives the maximum value.
वास्तविक मान के लिए वर्गमूल के अंदर का व्यंजक ऋणात्मक नहीं हो सकता। इसलिए \(x-4\ge 0\), जिससे \(x\ge 4\) प्राप्त होता है। अतः डोमेन \([4,\infty)\) है। विकल्प B में असमानता की दिशा उलटी है और विकल्प D सभी वास्तविक संख्याओं को स्वीकार करता है, जो वर्गमूल की शर्त के कारण गलत है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन का डोमेन ज्ञात करते समय radicand को हमेशा \(\ge 0\) रखें। / For a real-valued function, the expression under the square root cannot be negative. Thus, \(x-4\ge 0\), which gives \(x\ge 4\). Therefore, the domain is \([4,\infty)\). Option B reverses the inequality, while option D incorrectly includes values that make the radicand negative. Exam tip: For a square-root function, set the radicand greater than or equal to zero to find the domain.
वास्तविक मान के लिए \(7-x\ge 0\), इसलिए \(x\le 7\)। वर्गमूल में अंदर की राशि ऋणात्मक नहीं होनी चाहिए। / For real values, \(7-x\ge 0\), so \(x\le 7\). The expression inside a square root must not be negative.
ऊर्ध्वाधर आसिम्प्टोट उस मान पर मिलता है जहाँ फलन का हर शून्य हो जाता है। यहाँ \(x+3=0\), इसलिए \(x=-3\) पर फलन अपरिभाषित है और यही ऊर्ध्वाधर आसिम्प्टोट है। \(y=-2\) क्षैतिज आसिम्प्टोट है, इसलिए विकल्प C सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(\frac{1}{x-a}+b\) के लिए ऊर्ध्वाधर आसिम्प्टोट \(x=a\) होता है। / A vertical asymptote occurs where the denominator becomes zero. Here, \(x+3=0\), so the function is undefined at \(x=-3\), making \(x=-3\) the vertical asymptote. The line \(y=-2\) is the horizontal asymptote, not the vertical one. Exam tip: For \(\frac{1}{x-a}+b\), the vertical asymptote is \(x=a\).
जब \(|x|\) बहुत बड़ा होता है, तब \(\frac{2}{x-1}\) का मान 0 के बहुत निकट पहुँचता है। इसलिए \(f(x)\) का मान 4 के निकट पहुँचता है और क्षैतिज आसिम्प्टोट \(y=4\) है। विकल्प \(x=1\) ऊर्ध्वाधर आसिम्प्टोट है, क्षैतिज नहीं। परीक्षा-युक्ति: \(\frac{a}{x-h}+k\) के रूप में लिखे फलन का क्षैतिज आसिम्प्टोट हमेशा \(y=k\) होता है। / As \(|x|\) becomes very large, \(\frac{2}{x-1}\) approaches 0. Therefore, \(f(x)\) approaches 4, so the horizontal asymptote is \(y=4\). The line \(x=1\) is the vertical asymptote, not the horizontal one. Exam tip: For a function in the form \(\frac{a}{x-h}+k\), the horizontal asymptote is \(y=k\).
मापांक \(|2x-6|\) का न्यूनतम मान 0 होता है, और यह तभी प्राप्त होता है जब अंदर का व्यंजक शून्य हो। इसलिए \(2x-6=0\), जिससे \(x=3\) मिलता है। \(x=6\) रखने पर फलन का मान 6 आता है, इसलिए वह न्यूनतम नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(|ax+b|\) का न्यूनतम बिंदु हमेशा \(ax+b=0\) से प्राप्त करें। / The modulus \(|2x-6|\) is minimized when its inner expression is zero, because the least possible value of an absolute value is 0. Thus, \(2x-6=0\), giving \(x=3\). For example, at \(x=6\), the function value is 6, so it cannot be the minimum. Exam tip: For a function of the form \(|ax+b|\), set \(ax+b=0\) to find the minimum point.
\(x\)-अक्ष पर प्रत्येक प्रतिच्छेद के लिए \(f(x)=0\) होता है। अतः \(|x+1|-4=0\), यानी \(|x+1|=4\)। इसलिए \(x+1=4\) या \(x+1=-4\), जिससे \(x=3\) या \(x=-5\) प्राप्त होता है। अतः प्रतिच्छेद बिंदु \((3,0)\) और \((-5,0)\) हैं। परीक्षा-युक्ति: मॉड्यूलस वाले फलन के \(x\)-अक्ष प्रतिच्छेद निकालने के लिए पहले \(f(x)=0\) रखें और दोनों चिह्नों वाले मामले हल करें। / At an x-intercept, the function value is zero. Thus, \(|x+1|-4=0\), so \(|x+1|=4\). Therefore, \(x+1=4\) or \(x+1=-4\), giving \(x=3\) or \(x=-5\). Hence, the x-intercepts are \((3,0)\) and \((-5,0)\). Exam tip: For a modulus function, set \(f(x)=0\) and solve both positive and negative cases.
x-अक्ष पर स्थित बिंदुओं के लिए \(y=f(x)=0\) होता है। इसलिए \((x-3)^2-4=0\), अर्थात \((x-3)^2=4\)। इससे \(x-3=\pm2\), इसलिए \(x=1\) या \(x=5\) मिलता है। अतः प्रतिच्छेद बिंदु \((1,0)\) और \((5,0)\) हैं। परीक्षा-युक्ति: x-अक्ष के प्रतिच्छेद ज्ञात करने के लिए हमेशा \(f(x)=0\) रखें। / At any point on the x-axis, \(y=f(x)=0\). Thus, \((x-3)^2-4=0\), so \((x-3)^2=4\). Hence \(x-3=\pm2\), giving \(x=1\) or \(x=5\). Therefore, the x-intercepts are \((1,0)\) and \((5,0)\). Exam tip: To find x-intercepts, set the function equal to zero.
किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए \((x+1)^2\ge 0\), इसलिए \(f(x)=(x+1)^2+3\ge 3\)। \(x=-1\) पर \((x+1)^2=0\) और \(f(-1)=3\), इसलिए 3 परिसर में शामिल है। अतः परिसर \([3,\infty)\) है। परीक्षा-युक्ति: \((x-a)^2+b\) के लिए न्यूनतम मान \(b\) होता है और परिसर \([b,\infty)\) होता है। / For every real \(x\), \((x+1)^2\ge 0\), so \(f(x)=(x+1)^2+3\ge 3\). At \(x=-1\), the squared term is zero and \(f(-1)=3\), so 3 is included in the range. Therefore, the range is \([3,\infty)\). Exam tip: a function of the form \((x-a)^2+b\) has minimum value \(b\) and range \([b,\infty)\).
किसी भी वास्तविक 8x-49 के लिए 8x-492\ge 0 होता है। इसलिए 8f(x)=-(x-4)2-1\le -19। बराबरी 8x=49 पर प्राप्त होती है, अतः फलन का अधिकतम मान 8-19 है और परिसर 8-\infty,-1]\u00029 होगा। विकल्प B में 8-19 से बड़े मान दिए गए हैं, जबकि इस परवलय का खुलना नीचे की ओर है। परीक्षा-सुझाव: 8-a(x-h)2+k9, जहाँ 8a>09, का अधिकतम मान 8k9 होता है। / For every real 8x-49, we have 8x-492\ge 09. Hence, 8f(x)=-(x-4)2-1\le -19. Equality occurs at 8x=49, so the maximum value is 8-19 and the range is 8-\infty,-1]\u00029. Option B incorrectly includes values greater than 8-19; the negative quadratic coefficient means the parabola opens downward. Exam tip: for 8f(x)=-a(x-h)2+k9 with 8a>09, the maximum value is 8k9.
\(f(x)=3|x-2|\) में बाहरी गुणांक 3, प्रत्येक \(y\)-मान को 3 गुना कर देता है। इसलिए आलेख ऊर्ध्व दिशा में 3 के गुणक से खिंचता है, जबकि शीर्षबिंदु \((2,0)\) अपरिवर्तित रहता है। विकल्प B में ऊर्ध्व संपीड़न कहा गया है, जो तब होता जब गुणांक 0 और 1 के बीच होता। परीक्षा-युक्ति: फलन के बाहर का गुणांक ऊर्ध्व परिवर्तन करता है, जबकि मॉड्यूलस के अंदर का परिवर्तन क्षैतिज स्थानांतरण कराता है। / In \(f(x)=3|x-2|\), the outside coefficient 3 multiplies every \(y\)-value by 3. Hence the graph is vertically stretched by a factor of 3, while its vertex remains at \((2,0)\). Option B describes vertical compression, which occurs when the outside coefficient lies between 0 and 1. Exam tip: a coefficient outside the modulus causes vertical scaling, whereas a change inside the modulus causes horizontal shifting.
यहाँ \(f(x)=\frac{1}{2}x^2\), मूल फलन \(y=x^2\) के प्रत्येक \(y\)-मान का आधा कर देता है। इसलिए आलेख \(x\)-अक्ष की ओर ऊर्ध्वाधर रूप से संकुचित होता है और परवलय अधिक चौड़ा दिखाई देता है। यह बाईं या नीचे ओर स्थानांतरण नहीं है, क्योंकि \(x\) में कोई बदलाव या स्थिर पद नहीं जोड़ा गया है। परीक्षा-युक्ति: \(0<a<1\) होने पर \(y=ax^2\) का आलेख ऊर्ध्वाधर रूप से संकुचित होता है। / In \(f(x)=\frac{1}{2}x^2\), every \(y\)-value of the parent function \(y=x^2\) is multiplied by \(\frac{1}{2}\). Thus, the graph is vertically compressed toward the \(x\)-axis and the parabola appears wider. It is not shifted left or down because there is no change inside \(x\) and no constant term has been added. Exam tip: when \(0<a<1\), the graph of \(y=ax^2\) is vertically compressed.
A. (x)-अक्ष में प्रतिबिंब और ऊर्ध्व खिंचाव/Reflection in (x)-axis and vertical stretch
Explanation
Simple Explanation
ऋण चिह्न (x)-अक्ष में प्रतिबिंब देता है और (2) ऊर्ध्व खिंचाव देता है। इसलिए परवलय नीचे खुलता है और संकरा होता है। / The negative sign reflects in the (x)-axis, and (2) gives a vertical stretch. So the parabola opens downward and becomes narrower.
\(\sqrt{x+2}\) तब शुरू होता है जब (x+2=0), अर्थात (x=-2)। बाहर (-3) होने से प्रारंभिक बिंदु ((-2,-3)) है। / \(\sqrt{x+2}\) starts when (x+2=0), that is (x=-2). The outside (-3) makes the starting point ((-2,-3)).
वर्गमूल के लिए \(x-1\ge 0\), इसलिए फलन का परिभाषा-क्षेत्र \(x\ge 1\) है। चूँकि \(\sqrt{x-1}\ge 0\), अतः \(2\sqrt{x-1}+3\ge 3\)। जब \(x=1\), तब \(f(1)=3\), इसलिए न्यूनतम मान 3 है। परीक्षा-युक्ति: \(a\sqrt{g(x)}+b\) में यदि \(a>0\) हो, तो न्यूनतम मान सामान्यतः \(\sqrt{g(x)}=0\) पर जाँचें। / For the square root to be defined, \(x-1\ge 0\), so the domain is \(x\ge 1\). Since \(\sqrt{x-1}\ge 0\), we have \(2\sqrt{x-1}+3\ge 3\). At \(x=1\), \(f(1)=3\); hence the minimum value is 3. Exam tip: For an expression of the form \(a\sqrt{g(x)}+b\) with \(a>0\), check the minimum when \(\sqrt{g(x)}=0\).
\(\sqrt{5-x}\ge 0\), इसलिए (f(x)\ge 2)। (x) घटाने पर वर्गमूल बड़ा हो सकता है, इसलिए परिसर \([2,\infty\)) है। / Since \(\sqrt{5-x}\ge 0\), (f(x)\ge 2). The square root can grow as (x) decreases, so the range is \([2,\infty\)).
परिभाषित होने के लिए हर \((x-2)^2\) शून्य नहीं होना चाहिए। यह केवल \(x=2\) पर शून्य होता है, इसलिए डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं, सिवाय 2 के: \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\)। विकल्प B में 0 को हटाया गया है, जबकि समस्या \(x=2\) पर आती है। परीक्षा टिप: भिन्नात्मक फलन का डोमेन ज्ञात करते समय हर को शून्य रखकर निषिद्ध मान निकालें। / For the function to be defined, the denominator \((x-2)^2\) must not be zero. It is zero only when \(x=2\), so the domain is all real numbers except 2: \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\). Option B incorrectly excludes 0 instead of 2. Exam tip: To find the domain of a rational function, set its denominator equal to zero and exclude the resulting value or values.
(\frac{1}{(x+1)2}>0), इसलिए फलन (3) से बड़ा है लेकिन (3) के बराबर नहीं। अतः परिसर (\(3,\infty\)) है। / (\frac{1}{(x+1)2}>0), so the function is greater than (3) but never equal to (3). Hence the range is (\(3,\infty\)).
(\frac{1}{(x-3)2}) धनात्मक होता है, इसलिए उसका ऋणात्मक मान हमेशा (0) से कम है। यह कभी (0) नहीं बनता। / (\frac{1}{(x-3)2}) is positive, so its negative is always less than (0). It never becomes (0).
जब \(x=5\), तब \(x-5=0\) होता है। साइनम फलन में \(\operatorname{sgn}(0)=0\), इसलिए \(f(5)=0\)। विकल्प 1 तब मिलता है जब \(x-5>0\), और विकल्प -1 तब जब \(x-5<0\)। परीक्षा-युक्ति: साइनम फलन में शून्य, धनात्मक और ऋणात्मक इन तीनों स्थितियों को अलग-अलग जाँचें। / When \(x=5\), we get \(x-5=0\). By definition of the signum function, \(\operatorname{sgn}(0)=0\); hence, \(f(5)=0\). The value 1 applies when \(x-5>0\), while -1 applies when \(x-5<0\). Exam tip: Always check the zero, positive, and negative cases separately for a signum function.
जब \\(x<-3\\), तब \\(2x+6<2(-3)+6=0\\)। अतः साइनम फलन के अनुसार, ऋणात्मक इनपुट के लिए \\(\\operatorname{sgn}(2x+6)=-1\\)। इसलिए सही उत्तर A है। परीक्षा-युक्ति: साइनम फलन का मान ऋणात्मक, शून्य और धनात्मक इनपुट के लिए क्रमशः \\(-1,0,1\\) होता है। / When \\(x<-3\\), we have \\(2x+6<2(-3)+6=0\\). Therefore, the signum function has value \\(-1\\) for this negative input, so the correct answer is A. Exam tip: the signum function equals \\(-1,0,1\\) for negative, zero and positive inputs, respectively.
जब \(x<4\), तब \(4-x>0\) होता है। साइनम फलन में धनात्मक संख्या का मान \(1\) होता है, इसलिए \(f(x)=\operatorname{sgn}(4-x)=1\)। विकल्प 0 केवल \(x=4\) पर और विकल्प -1 \(x>4\) पर प्राप्त होता है। परीक्षा में याद रखें: \(\operatorname{sgn}(y)=1\) यदि \(y>0\), 0 यदि \(y=0\), और -1 यदि \(y<0\)। / When \(x<4\), we have \(4-x>0\). The signum function has value \(1\) for a positive argument, so \(f(x)=\operatorname{sgn}(4-x)=1\). The value 0 occurs only at \(x=4\), while -1 occurs when \(x>4\). Exam tip: remember that \(\operatorname{sgn}(y)=1\) for \(y>0\), 0 for \(y=0\), and -1 for \(y<0\).
(x+2=3.6) और \(\lfloor 3.6\rfloor=3\)। पहले अंदर का मान निकालें फिर ग्रेटेस्ट इंटीजर लगाएं। / Here (x+2=3.6) and \(\lfloor 3.6\rfloor=3\). First find the inside value and then apply the greatest integer function.
(2x=2.8) और \(\lfloor 2.8\rfloor=2\)। दशमलव के लिए सबसे बड़ी छोटी या बराबर पूर्णांक संख्या लें। / Here (2x=2.8), and \(\lfloor 2.8\rfloor=2\). For a decimal, take the greatest integer less than or equal to it.
\([3,4)\) में प्रत्येक \(x\) के लिए \(3\le x<4\) होता है, इसलिए सबसे बड़ा पूर्णांक \(\lfloor x\rfloor=3\) रहता है। अतः \(f(x)=3\), और आलेख इस पूरे अंतराल पर \(y=3\) की क्षैतिज रेखा है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(x=4\) इस अंतराल में शामिल नहीं है और \(\lfloor4\rfloor=4\) केवल अगले चरण पर मिलता है। परीक्षा-युक्ति: greatest integer function के लिए \([n,n+1)\) पर मान सदैव \(n\) होता है। / For every \(x\) in \([3,4)\), we have \(3\le x<4\), so the greatest integer less than or equal to \(x\) is \(\lfloor x\rfloor=3\). Therefore, \(f(x)=3\), giving a horizontal graph segment at \(y=3\) throughout this interval. Option B is incorrect because \(x=4\) is excluded from the interval; the value becomes 4 only at the next step. Exam tip: for the greatest integer function, \(f(x)=n\) on every interval \([n,n+1)\).
\(y=x^2\) का परवलय y-अक्ष के प्रति सममित होता है और उसका न्यूनतम बिंदु \((0,0)\) है, जहाँ स्पर्शरेखा क्षैतिज होती है। \(y=|x|\) भी सममित है, पर मूलबिंदु पर उसका तीखा कोना होता है। परीक्षा टिप: चिकना U-आकार दिखे तो परवलय पहचानें। / The graph of \(y=x^2\) is a parabola symmetric about the y-axis, with its minimum at \((0,0)\) and a horizontal tangent there. Although \(y=|x|\) is also symmetric, it has a sharp corner at the origin. Exam tip: a smooth U-shape indicates a parabola.
\(x=2.3\) रखने पर \(f(2.3)=\{2.3+1\}=\{3.3\}\)। संख्या \(3.3\) का भिन्नात्मक भाग \(0.3\) है, क्योंकि पूर्णांक भाग \(3\) हटाने पर \(0.3\) बचता है। इसलिए सही उत्तर A है। परीक्षा में याद रखें: \(\{y\}=y-\lfloor y\rfloor\)। अतः \(\{3.3\}=3.3-3=0.3\), जबकि \(3.3\) पूरी संख्या का मान है, भिन्नात्मक भाग नहीं। / Substituting \(x=2.3\), we get \(f(2.3)=\{2.3+1\}=\{3.3\}\). The fractional part of \(3.3\) is \(0.3\), obtained after removing its integer part, \(3\). Hence, option A is correct. Exam tip: use \(\{y\}=y-\lfloor y\rfloor\); therefore, \(\{3.3\}=3.3-3=0.3\). The value \(3.3\) itself is not the fractional part.
किसी बिंदु के \\(x\\)-अक्ष पर स्थित होने के लिए उसका \\(y\\)-निर्देशांक शून्य होता है। इसलिए \\(3x-6=0\\), जिससे \\(3x=6\\) और \\(x=2\\) प्राप्त होता है। अतः सही उत्तर A है। ध्यान रखें कि रेखा का ढाल \\(3\\) है, जबकि \\(x\\)-अक्ष प्रतिच्छेद ज्ञात करने के लिए \\(y=0\\) रखना होता है। / A point on the \\(x\\)-axis has a \\(y\\)-coordinate of zero. Thus, \\(3x-6=0\\), which gives \\(3x=6\\) and hence \\(x=2\\). Therefore, option A is correct. Remember that \\(3\\) is the slope of the line; to find the \\(x\\)-intercept, set \\(y=0\\).
\(y\)-अक्ष पर प्रत्येक बिंदु के लिए \(x=0\) होता है। समीकरण में रखने पर \(2(0)+y=8\), इसलिए \(y=8\) और प्रतिच्छेद-बिंदु \((0,8)\) है। विकल्प \((8,0)\) \(x\)-अक्ष पर प्रतिच्छेद दर्शाता है। परीक्षा-युक्ति: \(y\)-अक्ष का प्रतिच्छेद ज्ञात करने के लिए हमेशा \(x=0\) रखें। / Every point on the \(y\)-axis has \(x=0\). Substituting this into the equation gives \(2(0)+y=8\), so \(y=8\) and the intersection point is \((0,8)\). The point \((8,0)\) is the \(x\)-intercept. Exam tip: To find a \(y\)-intercept, set \(x=0\).
रेखा के ढाल-अवरोध रूप \(y=mx+c\) में \(x\) का गुणांक \(m\) ढाल को दर्शाता है। यहाँ \(m=-\frac{1}{2}\), इसलिए सही उत्तर \(-\frac{1}{2}\) है। \(3\) y-अवरोध है, ढाल नहीं; जबकि धनात्मक \(\frac{1}{2}\) चिह्न को गलत पढ़ने से मिलेगा। परीक्षा-युक्ति: समीकरण को \(y=mx+c\) से मिलाकर सीधे \(x\) का गुणांक पहचानें। / In the slope-intercept form \(y=mx+c\), the coefficient of \(x\), namely \(m\), is the slope. Here, \(m=-\frac{1}{2}\), so the correct answer is \(-\frac{1}{2}\). The number \(3\) is the y-intercept, not the slope, while \(\frac{1}{2}\) results from overlooking the negative sign. Exam tip: Compare the equation directly with \(y=mx+c\) and identify the coefficient of \(x\).
समीकरण \\(4x-2y=6\\) को ढाल-अवरोध रूप में लिखने पर \\(y=2x-3\\) प्राप्त होता है। \\(y=mx+c\\) में \\(x\\) का गुणांक ढाल \\(m\\) होता है, इसलिए ढाल \\(2\\) है। विकल्प \\(-2\\) में चिह्न गलत है। परीक्षा-युक्ति: पहले रेखा को \\(y=mx+c\\) के रूप में बदलें। / Rearranging \\(4x-2y=6\\) gives \\(y=2x-3\\). In the slope-intercept form \\(y=mx+c\\), the coefficient of \\(x\\) is the slope, so the slope is \\(2\\). The distractor \\(-2\\) has the wrong sign. Exam tip: rewrite a linear equation in the form \\(y=mx+c\\) before identifying the slope.
\(x=3\) रखने पर \(f(3)=|3|-|3-2|=3-1=2\)। इसलिए सही उत्तर 2 है। विकल्प 4 में दूसरे मापांक \(|1|\) को घटाने के बजाय जोड़ दिया गया है। परीक्षा-युक्ति: मापांक वाले फलन में पहले दिए गए \(x\) का मान प्रत्येक मापांक के अंदर रखें, फिर मापांक ज्ञात करें। / Substituting \(x=3\), we get \(f(3)=|3|-|3-2|=3-1=2\). Therefore, the correct answer is 2. The distractor 4 results from adding \(|1|\) instead of subtracting it. Exam tip: first substitute the given value into every modulus, then evaluate the absolute values.
वर्गमूल परिभाषित होने के लिए \(4-x^2\ge0\), अतः \(-2\le x\le2\)। लेकिन हर \(x-1\) शून्य नहीं हो सकता, इसलिए \(x=1\) हटेगा। परीक्षा टिप: वर्गमूल और हर, दोनों की शर्तें साथ लगाएँ। / For the square root, \(4-x^2\ge0\), so \(-2\le x\le2\). But the denominator cannot be zero, hence \(x=1\) is excluded. Exam tip: apply radical and denominator restrictions together.
दिया गया फलन \(f(x)=x^2-6x+9=(x-3)^2\) है। मानक रूप \(y=(x-h)^2+k\) में \(h=3\) और \(k=0\), इसलिए परवलय का शीर्ष \((3,0)\) है। \((0,9)\) शीर्ष नहीं, बल्कि y-अवरोध है। परीक्षा-युक्ति: पूर्ण वर्ग बनाकर शीर्ष सीधे पहचानें। / The function can be written as \(f(x)=x^2-6x+9=(x-3)^2\). Comparing it with the standard form \(y=(x-h)^2+k\), we get \(h=3\) and \(k=0\), so the vertex is \((3,0)\). The point \((0,9)\) is the y-intercept, not the vertex. Exam tip: Complete the square to identify the vertex quickly.
वर्ग पूर्ण करने पर \(f(x)=x^2+4x+7=(x+2)^2+3\) प्राप्त होता है। चूँकि \((x+2)^2\geq 0\), इसका सबसे छोटा मान 0 है, जो \(x=-2\) पर मिलता है। अतः फलन का न्यूनतम मान \(3\) है। विकल्प 7 केवल \(x=0\) पर फलन का मान है, न्यूनतम मान नहीं। परीक्षा-युक्ति: द्विघात फलन में वर्ग पूर्ण करके या शीर्ष-बिंदु से न्यूनतम/अधिकतम मान ज्ञात करें। / Completing the square gives \(f(x)=x^2+4x+7=(x+2)^2+3\). Since \((x+2)^2\geq 0\), its least value is 0, attained at \(x=-2\). Therefore, the minimum value of the function is \(3\). Option 7 is merely the value at \(x=0\), not the minimum. Exam tip: For a quadratic function, complete the square or use its vertex to find the minimum or maximum value.
\(x\)-अक्ष पर किसी बिंदु का \(y\)-निर्देशांक 0 होता है। इसलिए \(x^2-4x=0\), अर्थात् \(x(x-4)=0\)। अतः \(x=0\) या \(x=4\), इसलिए सही विकल्प A है। विकल्प B में \(-4\) अनावश्यक रूप से शामिल किया गया है; यह इस फलन का शून्यक नहीं है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात फलन के \(x\)-अक्ष प्रतिच्छेद ज्ञात करने के लिए \(f(x)=0\) रखें। / At any point on the x-axis, the y-coordinate is 0. Hence, \(x^2-4x=0\), which factors as \(x(x-4)=0\). Therefore, \(x=0\) or \(x=4\), so option A is correct. Option B incorrectly includes \(-4\), which is not a zero of this function. Exam tip: To find the x-intercepts of a quadratic function, set \(f(x)=0\).
x-अक्ष पर किसी बिंदु का y-निर्देशांक 0 होता है। इसलिए \(f(x)=0\) रखने पर \(x^3-8=0\), अर्थात \(x^3=8\), और \(x=2\) मिलता है। अतः x-प्रतिच्छेद का x-निर्देशांक 2 है। \(x=8\) लेना स्थिर पद को सीधे उत्तर मानने की सामान्य भूल है। परीक्षा में x-अक्ष का प्रतिच्छेद निकालने के लिए हमेशा \(y=0\) रखें। / At every point on the x-axis, the y-coordinate is 0. Hence, set \(f(x)=0\): \(x^3-8=0\), so \(x^3=8\) and \(x=2\). Therefore, the x-coordinate of the intercept is 2. Choosing \(x=8\) incorrectly treats the constant term as the answer. In an exam, set \(y=0\) to find an x-intercept.
मूल फलन \(y=x^3\) का मोड़ बिंदु \((0,0)\) होता है। \((x+3)^3\) ग्राफ को 3 इकाई बाईं ओर और उसके बाद \(-1\) उसे 1 इकाई नीचे ले जाता है, इसलिए नया मोड़ बिंदु \((-3,-1)\) है। जाँच के लिए \(f''(x)=6(x+3)\) रखने पर \(x=-3\) मिलता है और \(f(-3)=-1\)। विकल्प B में बाईं ओर के स्थानांतरण का चिह्न गलत लिया गया है। परीक्षा-युक्ति: \((x-h)^3+k\) का मोड़ बिंदु सीधे \((h,k)\) होता है। / The parent function \(y=x^3\) has its point of inflection at \((0,0)\). In \((x+3)^3-1\), the graph is shifted 3 units left and 1 unit down, so the new point of inflection is \((-3,-1)\). Alternatively, \(f''(x)=6(x+3)\) gives \(x=-3\), and \(f(-3)=-1\). Option B incorrectly treats \(x+3\) as a shift to the right. Exam tip: the point of inflection of \((x-h)^3+k\) is \((h,k)\).
किसी राशि का मापांक तभी शून्य होता है जब वह राशि स्वयं शून्य हो। इसलिए \(|x^2-4|=0\) के लिए \(x^2-4=0\), अर्थात् \(x^2=4\), जिससे \(x=2\) या \(x=-2\) प्राप्त होते हैं। विकल्प B में 4 और -4 लेना \(x^2=16\) के अनुरूप है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-टिप: \(|g(x)|=0\) के शून्यक हमेशा \(g(x)=0\) के शून्यकों के समान होते हैं। / The modulus of a quantity is zero only when the quantity itself is zero. Thus, \(|x^2-4|=0\) requires \(x^2-4=0\), or \(x^2=4\), giving \(x=2\) or \(x=-2\). Option B incorrectly uses 4 and -4, which would correspond to \(x^2=16\). Exam tip: The zeros of \(|g(x)|\) are exactly the zeros of \(g(x)\).
\(x=y^2\) में कई धनात्मक (x)-मानों के लिए दो (y)-मान मिलते हैं। इसलिए यह ऊर्ध्व रेखा परीक्षण में असफल है। / For \(x=y^2\), many positive (x)-values give two (y)-values. So it fails the vertical line test.
बाईं ओर (2) इकाई के लिए (x+2) और ऊपर (3) इकाई के लिए बाहर (+3) होता है। इसलिए सही रूप (y=(x+2)2+3) है। / For (2) units left, use (x+2), and for (3) units up, use outside (+3). Thus the correct form is (y=(x+2)2+3).
दाईं ओर (4) इकाई के लिए अंदर (x-4) और नीचे (1) इकाई के लिए बाहर (-1) होता है। इसलिए (y=|x-4|-1) सही है। / For (4) units right, use (x-4), and for (1) unit down, use outside (-1). So (y=|x-4|-1) is correct.
A. \(g\) का आलेख 3 इकाई ऊपर है/The graph of \(g\) is shifted 3 units upward
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(g(x)=f(x)+3\), इसलिए प्रत्येक \(x\) के लिए फलन का मान 3 बढ़ जाता है। अतः \(f\) के आलेख का प्रत्येक बिंदु 3 इकाई ऊपर खिसकता है और \(g\) का आलेख प्राप्त होता है। परीक्षा में याद रखें: \(y=f(x)+k\) आलेख को \(k\) इकाई ऊपर तथा \(y=f(x)-k\) उसे \(k\) इकाई नीचे खिसकाता है। / Since \(g(x)=f(x)+3\), the function value increases by 3 for every \(x\). Therefore, each point on the graph of \(f\) moves 3 units upward to form the graph of \(g\). Remember for exams: \(y=f(x)+k\) shifts a graph \(k\) units upward, whereas \(y=f(x)-k\) shifts it downward.
अंदर (x-2) होने से आलेख (2) इकाई दाईं ओर खिसकता है। इसलिए ऊर्ध्व आसिम्प्टोट (x=2) हो जाता है। / The inside term (x-2) shifts the graph (2) units right. Therefore the vertical asymptote becomes (x=2).
\(x=1\) रखने पर \(f(1)=|1-2|+|1+2|=|-1|+|3|=1+3=4\)। विकल्प 2 केवल एक मापांक पद का मान लेने से मिलता है, इसलिए गलत है। परीक्षा-युक्ति: मापांक वाले प्रत्येक पद का मान अलग-अलग निकालकर फिर जोड़ें। / Substituting \(x=1\), \(f(1)=|1-2|+|1+2|=|-1|+|3|=1+3=4\). The value 2 results from considering only one modulus term, so it is incorrect. Exam tip: evaluate each modulus term separately before combining the results.
सही विकल्प \(f(x)=x^2\) है, क्योंकि हर वास्तविक \(x\) के लिए \(x^2\geq0\) तथा \(x=0\) पर मान 0 मिलता है। \(x^2+1\) का न्यूनतम मान 1 है। परीक्षा टिप: परास हेतु न्यूनतम या अधिकतम मान जाँचें। / Option \(f(x)=x^2\) is correct because \(x^2\geq0\) for every real \(x\), and it equals 0 at \(x=0\). In contrast, \(x^2+1\) has minimum value 1. Exam tip: find extrema to identify a function’s range.
वास्तविक वर्गमूल के लिए उसके अंदर का व्यंजक शून्य या धनात्मक होना चाहिए: \(2x+6\ge 0\)। अतः \(2x\ge -6\), इसलिए \(x\ge -3\)। विकल्प B में असमानता की दिशा उलटी है, जबकि विकल्प D सभी वास्तविक संख्याओं को शामिल करता है, जिनमें कुछ के लिए वर्गमूल परिभाषित नहीं है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन का डोमेन निकालते समय मूलांक \(\ge 0\) रखें। / For a square root to be real, the expression inside the radical must be non-negative: \(2x+6\ge 0\). Thus, \(2x\ge -6\), giving \(x\ge -3\). Option B reverses the inequality, while option D includes real numbers for which the radicand is negative. Exam tip: For a square-root function, set the radicand greater than or equal to zero to find the domain.
\(\frac{5.8-1}{2}=2.4\) और \(\lfloor2.4\rfloor=2\)। पहले अंदर का मान निकालकर ग्रेटेस्ट इंटीजर लगाएं। / \(\frac{5.8-1}{2}=2.4\) and \(\lfloor2.4\rfloor=2\). First find the inside value and then apply the greatest integer function.
x-अक्ष पर किसी भी बिंदु के लिए \(y=f(x)=0\) होता है। इसलिए \(-(x-1)^2+4=0\), अर्थात् \((x-1)^2=4\)। अतः \(x-1=\pm2\), जिससे \(x=-1\) या \(x=3\) प्राप्त होते हैं। इसलिए सही विकल्प A है। ध्यान रखें कि प्रतिच्छेद बिंदु पूर्ण रूप से \((-1,0)\) और \((3,0)\) हैं; यहाँ उनके केवल x-निर्देशांक पूछे गए हैं। / At every point on the x-axis, \(y=f(x)=0\). Thus, \(-(x-1)^2+4=0\), which gives \((x-1)^2=4\). Therefore, \(x-1=\pm2\), so \(x=-1\) or \(x=3\). Hence, option A is correct. Remember that the complete intercept points are \((-1,0)\) and \((3,0)\); this question asks only for their x-coordinates.
