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दो फलनों का योग (f+g)(x)=f(x)+g(x) होता है। अतः (2x+3)+\(x^2−1\)=x-2+2x+2। विकल्प B में स्थिर पदों का योग गलत किया गया है। परीक्षा में पहले दोनों फलनों को जोड़कर समान पदों को एकत्र करें। / The sum of two functions is defined by (f+g)(x)=f(x)+g(x). Therefore, (2x+3)+\(x^2−1\)=x-2+2x+2. Option B results from adding the constant terms incorrectly. In an exam, combine like terms only after writing the two functions together.
((f-g)(x)=f(x)-g(x)), अतः (x-2+4x-(3x-5)=x-2+x+5)। घटाते समय bracket का sign बदलता है। / ((f-g)(x)=f(x)-g(x)), hence (x-2+4x-(3x-5)=x-2+x+5). While subtracting, change the signs inside the bracket.
((fg)(x)=f(x)g(x)), इसलिए ((x+2)(x-3)=x-2-x-6)। गुणा में दोनों terms को distribute करें। / ((fg)(x)=f(x)g(x)), so ((x+2)(x-3)=x-2-x-6). In multiplication, distribute both terms properly.
\(\frac{x^2-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3\), पर \(x=3\) allowed नहीं है। cancel करने के बाद भी मूल denominator याद रखें। / \(\frac{x^2-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3\), but \(x=3\) is not allowed. Even after cancellation, remember the original denominator.
दोनों square roots defined होने चाहिए, इसलिए \(x-1\geq 0\) और \(5-x\geq 0\), जिससे \(x\in[1,5]\)। sum के लिए domains का intersection लें। / Both square roots must be defined, so \(x-1\geq 0\) and \(5-x\geq 0\), giving \(x\in[1,5]\). For a sum, take the intersection of domains.
(f(x)) में denominator (x-2) शून्य नहीं हो सकता, इसलिए \(x\neq 2\)। polynomial (g(x)) सभी real (x) पर defined है। / In (f(x)), the denominator (x-2) cannot be zero, so \(x\neq 2\). The polynomial (g(x)) is defined for all real (x).
दो फलनों का योग \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\) होता है। इसलिए \(f(-1)=(-1)^2=1\) और \(g(-1)=2(-1)+1=-1\), अतः \((f+g)(-1)=1+(-1)=0\)। विकल्प B केवल \(f(-1)\) का मान है, पूरे योग का नहीं। परीक्षा में पहले दोनों फलनों के मान अलग-अलग निकालकर जोड़ें। / The sum of two functions is defined by \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\). Here, \(f(-1)=(-1)^2=1\) and \(g(-1)=2(-1)+1=-1\), so \((f+g)(-1)=1+(-1)=0\). Option B is only the value of \(f(-1)\), not the sum. In an exam, evaluate both functions separately before adding them.
(g(2)=5) और (f(2)=4), इसलिए ((g-f)(2)=5-4=1)। order को ध्यान से पढ़ें क्योंकि (g-f) और (f-g) अलग होते हैं। / (g(2)=5) and (f(2)=4), so ((g-f)(2)=5-4=1). Read the order carefully because (g-f) and (f-g) are different.
फलनों के योग के लिए संबंधित फलनों के मान जोड़े जाते हैं: \((f+g+h)(x)=f(x)+g(x)+h(x)=(x+1)+(x-1)+x^2\)। यहाँ \(+1\) और \(-1\) कट जाते हैं, इसलिए परिणाम \(x^2+2x\) है। परीक्षा में फलनों के योग में प्रत्येक पद को उसके चिह्न सहित लिखना न भूलें। / For the sum of functions, add their values at the same input: \((f+g+h)(x)=f(x)+g(x)+h(x)=(x+1)+(x-1)+x^2\). The constants \(+1\) and \(-1\) cancel, leaving \(x^2+2x\). In an exam, write every term with its sign before combining like terms.
किसी फलन का अदिश गुणज \((3f)(x)=3f(x)\) होता है। इसलिए \((3f)(x)=3(2x^2-1)=6x^2-3\)। विकल्प B गलत है क्योंकि 3 से \(-1\) को गुणा करने पर \(-3\) प्राप्त होना चाहिए। परीक्षा-टिप: \((3f)(x)\) को \(f(3x)\) न समझें; पहले में पूरे फलन का 3 से गुणन होता है। / The scalar multiple of a function is defined by \((3f)(x)=3f(x)\). Hence, \((3f)(x)=3(2x^2-1)=6x^2-3\). Option B is incorrect because multiplying the entire function by 3 changes \(-1\) to \(-3\). Exam tip: do not confuse \((3f)(x)\) with \(f(3x)\); the former multiplies the whole function by 3.
quotient में denominator \(g(x)=x\) शून्य नहीं होना चाहिए, इसलिए \(x\neq 0\)। simplify करने से पहले restriction लगाएं। / In a quotient, the denominator \(g(x)=x\) must not be zero, so \(x\neq 0\). Apply the restriction before simplifying.
product का domain दोनों domains का intersection होता है, और (f(x)) में \(x\neq 4\)। (g(x)) polynomial है, इसलिए कोई नई restriction नहीं है। / The domain of a product is the intersection of both domains, and in (f(x)), \(x\neq 4\). Since (g(x)) is a polynomial, it adds no new restriction.
\(g(-2)=0\), इसलिए quotient \(\left(\frac{f}{g}\right)(-2)\) defined नहीं है। numerator भी (0) हो तो भी denominator (0) allowed नहीं होता। / \(g(-2)=0\), so the quotient \(\left(\frac{f}{g}\right)(-2)\) is not defined. Even if the numerator is (0), a zero denominator is not allowed.
(f(-3)=3) और (g(-3)=-3), इसलिए ((f-g)(-3)=3-(-3)=6)। modulus में negative input का output positive होता है। / (f(-3)=3) and (g(-3)=-3), so ((f-g)(-3)=3-(-3)=6). A modulus gives a non-negative output.
((f+g)(x)=2x+5+5-2x=10), इसलिए यह constant function है। opposite terms cancel हों तो ध्यान से लिखें। / ((f+g)(x)=2x+5+5-2x=10), so it is a constant function. When opposite terms cancel, write the remaining constant carefully.
((f+g)(x)=x-2-x-2=0), इसलिए यह zero function है। समान opposite functions का sum zero देता है। / ((f+g)(x)=x-2-x-2=0), so it is the zero function. The sum of equal opposite functions gives zero.
फलनों पर गुणांक पूरे फलन के प्रत्येक पद पर लागू होते हैं: \\((2f-3g)(x)=2f(x)-3g(x)=2(x+5)-3(2x-1)=2x+10-6x+3=-4x+13\\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में \\(x\\) के पद का चिह्न गलत लिया गया है। परीक्षा में पहले कोष्ठक खोलकर समान पदों को सावधानी से जोड़ें। / The coefficients apply to the entire functions: \\((2f-3g)(x)=2f(x)-3g(x)=2(x+5)-3(2x-1)=2x+10-6x+3=-4x+13\\)。Hence, option A is correct. In option B, the sign of the \\(x\\)-term is handled incorrectly. In an exam, expand the brackets first and then combine like terms carefully.
दो फलनों के अंतर की परिभाषा के अनुसार \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\)। इसलिए \((f-g)(x)=(x^2+1)-(x^2-1)=x^2+1-x^2+1=2\)। विकल्प B जोड़ने पर प्राप्त होता है, घटाने पर नहीं। परीक्षा-टिप: कोष्ठक के आगे ऋण चिह्न होने पर उसके भीतर के प्रत्येक पद का चिह्न बदल जाता है। / By the definition of the difference of two functions, \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\). Hence, \((f-g)(x)=(x^2+1)-(x^2-1)=x^2+1-x^2+1=2\). Option B results from adding the functions, not subtracting them. Exam tip: When a bracket is preceded by a minus sign, the sign of every term inside the bracket changes.
((fg)(x)=(x+1)\cdot\frac{1}{x+1}=1), पर (x=-1) allowed नहीं है। reciprocal वाली function में denominator check करें। / ((fg)(x)=(x+1)\cdot\frac{1}{x+1}=1), but (x=-1) is not allowed. Always check the denominator in a reciprocal function.
\(\sqrt{x+2}\) के लिए \(x\geq -2\) और \(\frac{1}{x-1}\) के लिए \(x\neq 1\)। intersection से domain \([-2,\infty\)-{1}) मिलता है। / For \(\sqrt{x+2}\), \(x\geq -2\), and for \(\frac{1}{x-1}\), \(x\neq 1\). Their intersection gives \([-2,\infty\)-{1}).
\(\frac{x^2-2x}{x-2}=\frac{x(x-2)}{x-2}=x\), पर \(x\neq 2\)। cancelled factor से मूल restriction खत्म नहीं होती। / \(\frac{x^2-2x}{x-2}=\frac{x(x-2)}{x-2}=x\), but \(x\neq 2\). A cancelled factor does not remove the original restriction.
(f(1)=4) और (g(1)=2), इसलिए ((fg)(1)=4\cdot2=8)। product में values multiply होती हैं। / (f(1)=4) and (g(1)=2), so ((fg)(1)=4\cdot2=8). In a product, the function values are multiplied.
((g+f)(x)=g(x)+f(x)=x-2+2x+x-4=x-2+3x-4)। addition में order बदलने से answer नहीं बदलता। / ((g+f)(x)=g(x)+f(x)=x-2+2x+x-4=x-2+3x-4). In addition, changing the order does not change the answer.
दोनों denominators non-zero होने चाहिए, इसलिए \(x\neq -3\) और \(x\neq 1\)। rational functions में सभी denominators check करें। / Both denominators must be non-zero, so \(x\neq -3\) and \(x\neq 1\). For rational functions, check all denominators.
दो फलनों के अंतर के लिए \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\)। इसलिए \(f(0)=0^2=0\) और \(g(0)=0+1=1\), अतः \((f-g)(0)=0-1=-1\)। विकल्प B में घटाव के क्रम को उलट दिया गया है। परीक्षा-टिप: \((f-g)(a)\) में पहले \(f(a)\) और फिर \(g(a)\) निकालकर घटाएँ। / For the difference of two functions, \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\). Thus, \(f(0)=0^2=0\) and \(g(0)=0+1=1\), so \((f-g)(0)=0-1=-1\). Option B results from reversing the order of subtraction. Exam tip: For \((f-g)(a)\), calculate \(f(a)\) first and subtract \(g(a)\) from it.
फलनों के योग के लिए ((f+g)(x)=f(x)+g(x))। अतः (f(3)=2(3)-7=-1) और (g(3)=3+5=8)। इसलिए ((f+g)(3)=-1+8=7)। विकल्प 9 केवल (g(3)+1) जैसा गलत संयोजन दर्शाता है। परीक्षा में पहले दोनों फलनों के मान निकालकर उन्हें जोड़ना सबसे सुरक्षित तरीका है। / For the sum of two functions, ((f+g)(x)=f(x)+g(x)). Thus, (f(3)=2(3)-7=-1) and (g(3)=3+5=8). Therefore, ((f+g)(3)=-1+8=7). The value 9 results from an incorrect combination of the function values. In an exam, evaluate both functions at the given input first and then add them.
(\(x^2-1\)\(x^2+1\)=x-4-1) difference of squares से मिलता है। formula पहचानने से calculation तेज होती है। / (\(x^2-1\)\(x^2+1\)=x-4-1) by difference of squares. Recognizing the formula makes calculation faster.
\(g(x)=(x+2)^2\), इसलिए \(\frac{g(x)}{f(x)}=x+2\), लेकिन \(x\neq -2\)। quotient में denominator की zero value हटानी जरूरी है। / \(g(x)=(x+2)^2\), so \(\frac{g(x)}{f(x)}=x+2\), but \(x\neq -2\). In a quotient, remove the zero value of the denominator.
\(\sqrt{x}\) के लिए \(x\geq 0\) चाहिए और (g(x)) सभी real (x) पर defined है। इसलिए product का domain \([0,\infty\)) है। / \(\sqrt{x}\) needs \(x\geq 0\), and (g(x)) is defined for all real (x). Therefore, the product domain is \([0,\infty\)).
((f+g)(x)=x-2+4x+2=(x+2)2-2)। complete square में आधे coefficient का square जोड़कर घटाते हैं। / ((f+g)(x)=x-2+4x+2=(x+2)2-2). In completing the square, add and subtract the square of half the coefficient.
\(\frac{1}{x}\) में (x=0) पर denominator शून्य हो जाता है। इसलिए sum का domain \(\mathbb{R}-{0}\) है। / In \(\frac{1}{x}\), the denominator becomes zero at (x=0). Therefore, the domain of the sum is \(\mathbb{R}-{0}\).
\((f-g)(x)=f(x)-g(x)=x^3-x\)। इसमें \(x\) को common factor लेने पर \(x(x^2-1)\) मिलता है। अब अंतर के वर्ग का सूत्र \(x^2-1=(x-1)(x+1)\) लगाने पर उत्तर \(x(x-1)(x+1)\) है। विकल्प C में \((x-1)\) का वर्ग है, इसलिए वह \(x^3-x\) के बराबर नहीं है। परीक्षा-युक्ति: पहले common factor निकालें, फिर \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) लागू करें। / \((f-g)(x)=f(x)-g(x)=x^3-x\). Taking \(x\) as the common factor gives \(x(x^2-1)\). Using the difference-of-squares identity \(x^2-1=(x-1)(x+1)\), the factorized form is \(x(x-1)(x+1)\). Option C is incorrect because \((x-1)\) is squared, so it does not equal \(x^3-x\). Exam tip: take out the common factor first, then apply \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\).
(f(0)=3) और (g(0)=-6), इसलिए ((fg)(0)=3\cdot(-6)=-18)। sign multiplication में गलती न करें। / (f(0)=3) and (g(0)=-6), so ((fg)(0)=3\cdot(-6)=-18). Do not make a sign error in multiplication.
\(x^2+5x+6=(x+2)(x+3)\), इसलिए quotient (x+3) है, पर \(x\neq -2\)। factorization के साथ restriction लिखना जरूरी है। / \(x^2+5x+6=(x+2)(x+3)\), so the quotient is (x+3), but \(x\neq -2\). Write the restriction along with the factorization.
फलनों का योग \\( (f+g)(x)=f(x)+g(x)=(2x+1)+(x-4)=3x-3 \\) होगा। अब \\(3x-3=0\\) से \\(3x=3\\), अतः \\(x=1\\)। इसलिए सही विकल्प A है। परीक्षा में पहले फलनों का योग सही रूप से बनाकर फिर प्राप्त रैखिक समीकरण को हल करें; केवल \\(f(x)\\) या \\(g(x)\\) को शून्य रखने से गलत उत्तर मिल सकता है। / The sum of the functions is \\( (f+g)(x)=f(x)+g(x)=(2x+1)+(x-4)=3x-3 \\). Setting it equal to zero gives \\(3x-3=0\\), so \\(3x=3\\) and hence \\(x=1\\). Therefore, option A is correct. In an exam, form the sum first and then solve the resulting linear equation; setting only \\(f(x)\\) or \\(g(x)\\) equal to zero would give a wrong result.
(f(2)=0) और (g(2)=0), इसलिए ((fg)(2)=0\cdot0=0)। product में कोई factor zero हो तो product zero होता है। / (f(2)=0) and (g(2)=0), so ((fg)(2)=0\cdot0=0). If any factor is zero, the product is zero.
((f+g)(x)=x-2+2x=(x+1)2-1), इसलिए minimum value (-1) है। complete square से quadratic का minimum आसानी से मिलता है। / ((f+g)(x)=x-2+2x=(x+1)2-1), so the minimum value is (-1). Completing the square helps find the minimum of a quadratic.
((f-g)(x)=\(x^2+1\)-\(x^2-3\)=4), इसलिए (x=5) पर भी value (4) है। पहले simplify करने से calculation कम होती है। / ((f-g)(x)=\(x^2+1\)-\(x^2-3\)=4), so at (x=5) the value is also (4). Simplifying first reduces calculation.
\(\sqrt{x-4}\) के लिए \(x\geq 4\) और \(\sqrt{x+1}\) के लिए \(x\geq -1\)। intersection \([4,\infty\)) है। / For \(\sqrt{x-4}\), \(x\geq 4\), and for \(\sqrt{x+1}\), \(x\geq -1\). The intersection is \([4,\infty\)).
\((f+g)(x)=f(x)+g(x)=(x-1)+(x+1)=2x\)। इसी प्रकार, \((f-g)(x)=f(x)-g(x)=(x-1)-(x+1)=-2\)। इसलिए सही युग्म \((2x,-2)\) है। विकल्प B में घटाने पर चिन्ह की गलती है, जबकि विकल्प D गुणनफल \(f(x)g(x)\) से संबंधित है। परीक्षा-युक्ति: \(f-g\) में पूरे \(g(x)\) को घटाते समय उसके दोनों पदों के चिन्ह बदलें। / \((f+g)(x)=f(x)+g(x)=(x-1)+(x+1)=2x\). Also, \((f-g)(x)=f(x)-g(x)=(x-1)-(x+1)=-2\). Therefore, the correct pair is \((2x,-2)\). Option B results from an incorrect sign while subtracting, and option D corresponds to the product \(f(x)g(x)\), not the sum or difference. Exam tip: when subtracting \(g(x)\), change the signs of both terms inside the parentheses.
(x-2-1=(x-1)(x+1)), इसलिए denominator zero (x=1) और (x=-1) पर होता है। domain में denominator zero values हटती हैं। / (x-2-1=(x-1)(x+1)), so the denominator is zero at (x=1) and (x=-1). Values making the denominator zero are excluded from the domain.
फलनों के रैखिक संयोजन के नियम से \((5f-2g)(x)=5f(x)-2g(x)\)। अतः \(5(2x^2)-2(3x^2)=10x^2-6x^2=4x^2\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B केवल \(5f(x)\) को दर्शाता है और \(2g(x)\) घटाने पर ध्यान नहीं देता। परीक्षा में पहले प्रत्येक फलन का गुणांक लगाकर, फिर समान पदों को संयोजित करें। / Using the rule for a linear combination of functions, \((5f-2g)(x)=5f(x)-2g(x)\). Therefore, \(5(2x^2)-2(3x^2)=10x^2-6x^2=4x^2\), so option A is correct. Option B represents only \(5f(x)\) and ignores the subtraction of \(2g(x)\). In an exam, apply the coefficients first and then combine like terms.
\(f(2)=0\) और \(g(2)=-1\), इसलिए quotient (0) है। denominator non-zero हो तो numerator (0) allowed है। / \(f(2)=0\) and \(g(2)=-1\), so the quotient is (0). A zero numerator is allowed when the denominator is non-zero.
((f+g)(x)=x-2+x+2), जिसकी highest power (2) है। polynomial की degree highest exponent से मिलती है। / ((f+g)(x)=x-2+x+2), whose highest power is (2). The degree of a polynomial is given by its highest exponent.
\((f-g)(x)=f(x)-g(x)=(x^2-1)-(x-1)=x^2-1-x+1=x^2-x=x(x-1)\)। इसलिए सही उत्तर A है। विकल्प B में \(-1\) और \(+1\) के संकेतों का गलत प्रयोग हुआ है। परीक्षा-युक्ति: दो बहुपदों का घटाव करते समय दूसरे पूरे बहुपद के प्रत्येक पद का चिह्न बदलें। / \((f-g)(x)=f(x)-g(x)=(x^2-1)-(x-1)=x^2-1-x+1=x^2-x=x(x-1)\), so option A is correct. Option B results from mishandling the signs in the subtraction. Exam tip: when subtracting a polynomial, change the sign of every term in the polynomial being subtracted before simplifying.
((fg)(x)=\frac{x+2}{x-1}(x-1)=x+2), पर मूल (f(x)) के कारण \(x\neq 1\)। simplification के साथ domain restriction लिखें। / ((fg)(x)=\frac{x+2}{x-1}(x-1)=x+2), but because of the original (f(x)), \(x\neq 1\). Write the domain restriction with the simplification.
\(g(-1)=0\), इसलिए quotient (-1) पर defined नहीं है। cancel करने से पहले original denominator check करें। / \(g(-1)=0\), so the quotient is not defined at (-1). Check the original denominator before cancellation.
फलनों का योग बिंदुवार किया जाता है: \((f+2g+h)(x)=f(x)+2g(x)+h(x)=x^2+2x+1=(x+1)^2\)। विकल्प B में \(g(x)\) के साथ गुणांक 2 नहीं लगाया गया है। परीक्षा-युक्ति: किसी रैखिक संयोजन में प्रत्येक फलन के सामने दिए गए गुणांक को अवश्य शामिल करें। / Function addition is performed pointwise: \((f+2g+h)(x)=f(x)+2g(x)+h(x)=x^2+2x+1=(x+1)^2\). Option B omits the coefficient 2 of \(g(x)\). Exam tip: In a linear combination, multiply each function by its stated coefficient before adding.
यहाँ \((fg)(x)\) का अर्थ फलनों का गुणनफल है: \((fg)(x)=f(x)g(x)=(x-2)(x+2)=x^2-4\)। अतः \((fg)(x)+4=x^2-4+4=x^2\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में 4 को घटाने के बजाय जोड़ दिया गया है। परीक्षा-टिप: \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) का उपयोग करें। / Here, \((fg)(x)\) denotes the product of the two functions: \((fg)(x)=f(x)g(x)=(x-2)(x+2)=x^2-4\). Therefore, \((fg)(x)+4=x^2-4+4=x^2\), so option A is correct. Option B results from adding 4 to the product without accounting for the \(-4\) term. Exam tip: apply the identity \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\).
दो फलनों का योग बिंदुवार जोड़ा जाता है: \((f+g)(x)=f(x)+g(x)=(x^2+1)+(2x-3)=x^2+2x-2\)। विकल्प B में \(2x\) का चिन्ह गलत है और स्थिर पद भी सही नहीं है। परीक्षा में समान घात वाले पदों को अलग-अलग जोड़कर चिन्हों की जाँच करें। / The sum of two functions is found by adding their values pointwise: \((f+g)(x)=f(x)+g(x)=(x^2+1)+(2x-3)=x^2+2x-2\). Option B has the wrong sign for the linear term and an incorrect constant term. In exams, combine like powers separately and check the signs carefully.
((g-f)(x)=g(x)-f(x)=x-2-4-(3x+5)=x-2-3x-9)। घटाते समय पूरे (f(x)) पर ऋण लगाएँ। / ((g-f)(x)=g(x)-f(x)=x-2-4-(3x+5)=x-2-3x-9). While subtracting, apply the minus sign to the whole (f(x)).
\((fg)(x)\) का अर्थ यहाँ दोनों फलनों का गुणनफल है: \((fg)(x)=f(x)g(x)=(x+2)(x-5)=x^2-5x+2x-10=x^2-3x-10\)। विकल्प D, \(f(x)+g(x)=2x-3\), यानी योगफल है, गुणनफल नहीं। परीक्षा-युक्ति: \((fg)(x)\) को \(f(g(x))\) से अलग पहचानें; पहला गुणनफल और दूसरा संयोजन होता है। / Here, \((fg)(x)\) denotes the product of the two functions: \((fg)(x)=f(x)g(x)=(x+2)(x-5)=x^2-5x+2x-10=x^2-3x-10\). Option D, \(2x-3\), is \(f(x)+g(x)\), the sum rather than the product. Exam tip: distinguish \((fg)(x)\), which means a product, from \(f(g(x))\), which means composition.
\(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{x^2-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3\), जहाँ \(x \neq 3\)। हर शून्य न हो, यह हमेशा जाँचें। / \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{x^2-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3\), where \(x \neq 3\). Always check that the denominator is not zero.
हरों (x-2) और (x+4) को शून्य नहीं होना चाहिए, इसलिए \(x \neq 2\) और \(x \neq -4\)। परिमेय फलनों में हर पहले जाँचें। / The denominators (x-2) and (x+4) must not be zero, so \(x \neq 2\) and \(x \neq -4\). In rational functions, check denominators first.
फलनों के अंतर के लिए \((f-g)(x)=f(x)-g(x)=2x^2-(x+1)\)। अब \(x=-2\) रखने पर \(f(-2)=2(-2)^2=8\) और \(g(-2)=-2+1=-1\), इसलिए \((f-g)(-2)=8-(-1)=9\)। विकल्प 7 में \(g(-2)\) के ऋणात्मक मान का सही ढंग से ध्यान नहीं रखा गया है। परीक्षा-युक्ति: पहले दोनों फलनों के मान अलग-अलग निकालें, फिर घटाएँ। / For the difference of two functions, \((f-g)(x)=f(x)-g(x)=2x^2-(x+1)\). At \(x=-2\), \(f(-2)=2(-2)^2=8\) and \(g(-2)=-2+1=-1\). Therefore, \((f-g)(-2)=8-(-1)=9\). The distractor 7 results from mishandling the negative value of \(g(-2)\). Exam tip: evaluate both functions separately before subtracting.
((f+g)(x)=2x-2), अतः ((f+g)(3)=2\cdot 32=18)। विरोधी पद कट सकते हैं, इसलिए सरल रूप देखें। / ((f+g)(x)=2x-2), hence ((f+g)(3)=2\cdot 32=18). Opposite terms may cancel, so simplify first.
पहले \(f(2)=2^2-1=3\) और \(g(2)=2(2)+1=5\) निकालते हैं। अतः \((fg)(2)=f(2)g(2)=3\times5=15\)। यहाँ \((fg)\) फलनों के गुणनफल को दर्शाता है, संयोजन को नहीं। परीक्षा में \((fg)(x)\) और \((f\circ g)(x)\) के बीच का अंतर अवश्य जाँचें। / First, \(f(2)=2^2-1=3\) and \(g(2)=2(2)+1=5\). Therefore, \((fg)(2)=f(2)g(2)=3\times5=15\). Here, \((fg)\) denotes the product of the two functions, not their composition. In an exam, carefully distinguish \((fg)(x)\) from \((f\circ g)(x)\).
फलनों का योग क्रमविनिमेय है, इसलिए ((f+g)(x)=(g+f)(x))। योग में क्रम बदलने से मान नहीं बदलता। / Addition of functions is commutative, so ((f+g)(x)=(g+f)(x)). Changing order in addition does not change the value.
दो फलनों का गुणनफल \((fg)(x)=f(x)g(x)\) होता है। इसलिए \((fg)(x)=(x+6)(x-6)=x^2-6^2=x^2-36\)। विकल्प B में योग-संबंधी रूप लिया गया है, जबकि यहाँ गुणनफल है। परीक्षा-टिप: \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) सर्वसमिका पहचानें। / The product of two functions is defined by \((fg)(x)=f(x)g(x)\). Hence, \((fg)(x)=(x+6)(x-6)=x^2-6^2=x^2-36\). Option B incorrectly suggests a sum-of-squares pattern, whereas this is a product of conjugate binomials. Exam tip: recognize the identity \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\).
मूल (f(x)) में \(x-1 \neq 0\), इसलिए \(x \neq 1\), भले ही गुणा के बाद सरलीकरण हो। प्रांत मूल अभिव्यक्तियों से तय करें। / In the original (f(x)), \(x-1 \neq 0\), so \(x \neq 1\), even if simplification occurs after multiplication. Decide the domain from original expressions.
((fg)(x)=\frac{2}{x}\cdot x-2=2x), पर मूल हर के कारण \(x \neq 0\)। सरलीकरण के बाद भी मूल प्रतिबंध रखें। / ((fg)(x)=\frac{2}{x}\cdot x-2=2x), but \(x \neq 0\) because of the original denominator. Keep original restrictions after simplification.
\(\frac{x^2+4x+4}{x+2}=\frac{(x+2)^2}{x+2}=x+2\), जहाँ \(x \neq -2\)। हर का शून्य मान अलग से लिखें। / \(\frac{x^2+4x+4}{x+2}=\frac{(x+2)^2}{x+2}=x+2\), where \(x \neq -2\). Write the zero of the denominator separately.
फलनों के घटाव के अनुसार \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\)। इसलिए \((f-g)(-5)=|-5|-(-5)=5+5=10\)। विकल्प B गलत है, क्योंकि यहाँ दोनों फलनों के मानों का घटाव शून्य नहीं है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्या का निरपेक्ष मान लेते समय उसका चिह्न हट जाता है, लेकिन \(g(-5)=-5\) ही रहता है। / By the definition of subtraction of functions, \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\). Hence, \((f-g)(-5)=|-5|-(-5)=5+5=10\). Option B is incorrect because the two function values are not equal. Exam tip: \(|-5|=5\), while \(g(-5)=-5\); do not replace the latter by its absolute value.
फलनों के बीजीय संयोजन के अनुसार \((2f-g)(x)=2f(x)-g(x)\)। अतः \(2x^3-(2x^3-1)=2x^3-2x^3+1=1\)। विकल्प B में ऋण चिह्न का प्रभाव गलत लिया गया है। परीक्षा में कोष्ठक के आगे ऋण चिह्न होने पर कोष्ठक के अंदर सभी चिह्न बदलना याद रखें। / For the algebraic combination of functions, \((2f-g)(x)=2f(x)-g(x)\). Therefore, \(2x^3-(2x^3-1)=2x^3-2x^3+1=1\). Option B results from handling the negative sign incorrectly. In an exam, remember that a minus sign before brackets changes the signs of all terms inside.
\(x^2\) सभी वास्तविक (x) के लिए परिभाषित है, लेकिन \(\sqrt{x}\) के लिए \(x \geq 0\) चाहिए। योग का प्रांत प्रतिच्छेद है। / \(x^2\) is defined for all real (x), but \(\sqrt{x}\) needs \(x \geq 0\). The domain of the sum is the intersection.
\(\sqrt{x-2}\) के लिए \(x \geq 2\) और \(\frac{1}{x}\) के लिए \(x \neq 0\); प्रतिच्छेद \(x \geq 2\) है। सबसे कड़ा प्रतिबंध पहचानें। / \(\sqrt{x-2}\) requires \(x \geq 2\) and \(\frac{1}{x}\) requires \(x \neq 0\); the intersection is \(x \geq 2\). Identify the strongest restriction.
\(\left(\frac{f}{g}\right)(0)=\frac{f(0)}{g(0)}=\frac{-1}{1}=-1\)। भाग में हर का मान शून्य है या नहीं, पहले देखें। / \(\left(\frac{f}{g}\right)(0)=\frac{f(0)}{g(0)}=\frac{-1}{1}=-1\). In division, first check whether the denominator value is zero.
फलनों का अंतर ((g-f)(x)=g(x)-f(x)) होता है। इसलिए ((g-f)(x)=\(x^2+4\)-\(x^2-4\)=x-2+4-x-2+4=8)। \(x^2\) के समान पद कट जाते हैं, इसलिए विकल्प B और C सही नहीं हैं; ऋणात्मक मान विकल्प D भी गलत है। परीक्षा-युक्ति: घटाव में दूसरे फलन के प्रत्येक पद का चिह्न बदलना न भूलें। / The difference of two functions is defined by ((g-f)(x)=g(x)-f(x)). Thus, ((g-f)(x)=\(x^2+4\)-\(x^2-4\)=x-2+4-x-2+4=8). The like terms \(x^2\) cancel, so options B and C are incorrect, while option D has the wrong sign. Exam tip: when subtracting a function, change the signs of every term in the function being subtracted.
फलनों के योग और अंतर के अनुसार, \((f+g-h)(x)=f(x)+g(x)-h(x)\)। अतः \((2x+3)+(x-4)-x^2=-x^2+3x-1\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में \(h(x)\) का ऋणात्मक चिह्न सही ढंग से नहीं लगाया गया है। परीक्षा-युक्ति: फलनों को जोड़ते या घटाते समय प्रत्येक फलन का पूरा व्यंजक लिखकर कोष्ठक खोलें। / By the definition of addition and subtraction of functions, \((f+g-h)(x)=f(x)+g(x)-h(x)\). Therefore, \((2x+3)+(x-4)-x^2=-x^2+3x-1\), so option A is correct. In option B, the sign of the \(x^2\) term is incorrect because \(h(x)\) is being subtracted. Exam tip: write the complete expressions in brackets before combining like terms.
\(\frac{x^2+x}{x}=\frac{x(x+1)}{x}=x+1\), जहाँ \(x \neq 0\)। साझा गुणनखंड काटते समय प्रतिबंध न भूलें। / \(\frac{x^2+x}{x}=\frac{x(x+1)}{x}=x+1\), where \(x \neq 0\). Do not forget the restriction while cancelling a common factor.
((f+g)(x)=\frac{x+2}{x+2}=1), लेकिन \(x+2 \neq 0\)। सरल उत्तर के साथ प्रांत का प्रतिबंध लिखना जरूरी है। / ((f+g)(x)=\frac{x+2}{x+2}=1), but \(x+2 \neq 0\). It is important to write the domain restriction with the simplified answer.
फलनों के गुणनफल के लिए ((fg)(x)=f(x)g(x) होता है। इसलिए ((fg)(x)=3\(x^2-7x\)=3x-2-21x)। विकल्प B में गुणन के बजाय जोड़ किया गया है, जबकि विकल्प C और D में गुणांक का सही वितरण नहीं हुआ। परीक्षा में ((fg)(x) को (f(x)+g(x)) न समझें। / For the product of two functions, ((fg)(x)=f(x)g(x). Hence, ((fg)(x)=3\(x^2-7x\)=3x-2-21x). Option B adds the functions instead of multiplying them, while options C and D do not distribute the constant correctly. In an exam, do not confuse ((fg)(x) with (f(x)+g(x)).
फलनों के योग की परिभाषा के अनुसार (f+f)(x)=f(x)+f(x)=2f(x)। अतः (f+f)(x)=2(x²+1)=2x²+2, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में केवल स्थिरांक 1 को दो बार जोड़ा गया है, जबकि पूरे फलन को दो बार जोड़ना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: समान फलन का योग उसके मान का दो गुना होता है। / By the definition of the sum of functions, (f+f)(x)=f(x)+f(x)=2f(x). Therefore, (f+f)(x)=2(x²+1)=2x²+2, so option A is correct. Option B incorrectly doubles only the constant term instead of the entire function. Exam tip: the sum of a function with itself is twice the function.
फलनों के गुणनफल की परिभाषा के अनुसार \((ff)(x)=f(x)\cdot f(x)\)। अतः \((ff)(x)=(x-2)(x-2)=(x-2)^2=x^2-4x+4\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B केवल \(2f(x)\) के बराबर है, गुणनफल के नहीं। परीक्षा में \((ff)(x)\) को \(f(f(x))\) से अलग पहचानें; \(f(f(x))\) फलनों का संयोजन होता है। / By the definition of the product of functions, \((ff)(x)=f(x)\cdot f(x)\). Therefore, \((ff)(x)=(x-2)(x-2)=(x-2)^2=x^2-4x+4\), so option A is correct. Option B represents \(2f(x)\), not the product \(f(x)f(x)\). In an exam, distinguish \((ff)(x)\) from \(f(f(x))\), which denotes composition.
यदि \(f(x)=\sin x\) और \(g(x)=\cos x\) हैं, तो \((f^2+g^2)(x)\) का मान क्या होगा? यहाँ \(f^2\) और \(g^2\) क्रमशः फलनों के बिंदुवार वर्ग को दर्शाते हैं।
बिंदुवार फलन-संचालन के अनुसार \((f^2+g^2)(x)=[f(x)]^2+[g(x)]^2=\sin^2 x+\cos^2 x\)। मूल त्रिकोणमितीय पहचान \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\) से सही मान \(1\) है। विकल्प C में घटाव और विकल्प D में \(\sin 2x\) से संबंधित पद आता है। परीक्षा-युक्ति: \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\) को तुरंत पहचानें। / For pointwise function operations, \((f^2+g^2)(x)=[f(x)]^2+[g(x)]^2=\sin^2 x+\cos^2 x\). Using the fundamental trigonometric identity \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\), the value is \(1\). Option C uses subtraction, while option D is the double-angle expression \(\sin 2x\). Exam tip: immediately recognize \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\).
दो फलनों का योग \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\) होता है। इसलिए \((f+g)(a)=f(a)+g(a)=a^2+2a\)। विकल्प B और C में \(x\) और \(a\) का अनुचित मिश्रण है, जबकि विकल्प D योग के बजाय अलग प्रकार का व्यंजक देता है। परीक्षा-युक्ति: किसी फलन का \(a\) पर मान निकालते समय प्रत्येक \(x\) के स्थान पर \(a\) रखें। / The sum of two functions is defined by \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\). Hence, \((f+g)(a)=f(a)+g(a)=a^2+2a\). Options B and C incorrectly mix \(x\) and \(a\), while option D does not represent the sum. Exam tip: when evaluating a function at \(a\), replace every occurrence of \(x\) with \(a\).
(f(0)=0) और (g(0)=0), इसलिए ((fg)(0)=0)। उत्पाद में कोई एक मान शून्य हो तो उत्पाद शून्य होता है। / (f(0)=0) and (g(0)=0), so ((fg)(0)=0). If one value in a product is zero, the product is zero.
(f(x)) के लिए \(x \neq 1\) चाहिए और \(f(x)=\frac{1}{x-1}\) कभी शून्य नहीं होता। इसलिए केवल \(x \neq 1\) प्रतिबंध है। / (f(x)) needs \(x \neq 1\), and \(f(x)=\frac{1}{x-1}\) is never zero. So the only restriction is \(x \neq 1\).
\(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{(x-4)(x+4)}{x+4}=x-4\), इसलिए \(x=-1\) पर मान (-5) होना चाहिए; पर सही जाँच में \(\frac{-15}{3}=-5\)। / \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{(x-4)(x+4)}{x+4}=x-4\), so at \(x=-1\) the value is (-5). Check directly as \(\frac{-15}{3}=-5\).
\(\frac{x^2-16}{x+4}=\frac{(x-4)(x+4)}{x+4}=x-4\), अतः \(-1-4=-5\)। सरलीकरण के बाद सही मान रखें। / \(\frac{x^2-16}{x+4}=\frac{(x-4)(x+4)}{x+4}=x-4\), hence \(-1-4=-5\). Substitute carefully after simplification.
वर्गमूल के लिए \(9-x^2 \geq 0\), इसलिए \(-3 \leq x \leq 3\)। रैखिक फलन कोई अतिरिक्त प्रतिबंध नहीं देता। / For the square root, \(9-x^2 \geq 0\), so \(-3 \leq x \leq 3\). The linear function gives no extra restriction.
A. \(g\circ f:A\to C\), जहाँ \((g\circ f)(x)=g(f(x))\)/\(g\circ f:A\to C\), where \((g\circ f)(x)=g(f(x))\)
Explanation
Simple Explanation
पहले \(f\) लगाने पर \(x\in A\) का प्रतिबिंब \(f(x)\in B\) मिलता है। फिर \(g\) लगाने पर \(g(f(x))\in C\) प्राप्त होता है, इसलिए संयुक्त फलन \(g\circ f\) है। परीक्षा टिप: संयोजन में दाएँ वाला फलन पहले लगाया जाता है। / Applying \(f\) first sends \(x\in A\) to \(f(x)\in B\). Applying \(g\) next gives \(g(f(x))\in C\), so the composite is \(g\circ f\). Exam tip: in a composition, the function on the right acts first.
\(\frac{x^2+3x+2}{x+1}=\frac{(x+1)(x+2)}{x+1}=x+2\), इसलिए \(x=2\) पर मान (4) है। गुणनखंड बनाकर समय बचाएँ। / \(\frac{x^2+3x+2}{x+1}=\frac{(x+1)(x+2)}{x+1}=x+2\), so at \(x=2\) the value is (4). Factorisation saves time.
(f(1)=1) और (g(1)=3), इसलिए ((f+g)(1)-(fg)(1)=4-3=1)। ऐसे प्रश्नों में पहले अलग-अलग मान निकालें। / (f(1)=1) and (g(1)=3), so ((f+g)(1)-(fg)(1)=4-3=1). In such questions, find individual values first.
((f-g)(x)=x-2-2x+2=(x-1)2+1), जो कभी (0) नहीं होता। वर्ग पूर्ण करने से वास्तविक हल जल्दी दिखता है। / ((f-g)(x)=x-2-2x+2=(x-1)2+1), which is never (0). Completing the square quickly shows real solutions.
\((g-f)(x)=g(x)-f(x)=(x^2+1)-(x^2-1)=2\) सभी वास्तविक \(x\) के लिए। इसलिए यह एक स्थिर फलन है और इसका परिसर केवल \(\{2\}\) है। \(\{0\}\) सही नहीं है, क्योंकि घटाने पर स्थिर पदों का अंतर \(1-(-1)=2\) होता है। परीक्षा-युक्ति: दो फलनों के अंतर का परिसर ज्ञात करने से पहले \((g-f)(x)\) को सरल करें। / \((g-f)(x)=g(x)-f(x)=(x^2+1)-(x^2-1)=2\) for every real \(x\). Thus, the difference is a constant function, whose range is the singleton set \(\{2\}\). \(\{0\}\) is incorrect because the constant terms give \(1-(-1)=2\). Exam tip: simplify \((g-f)(x)\) completely before determining its range.
फलनों का गुणनफल (fg)(x) = f(x)g(x) = (x + 1)x² = x³ + x² है। इस बहुपद में x की सबसे बड़ी घात 3 है, इसलिए इसकी घात 3 होगी। विकल्प B केवल g(x) की घात बताता है, पूरे गुणनफल की नहीं। परीक्षा में गुणनफल की घात ज्ञात करने के लिए पहले दोनों फलनों को गुणा करके उच्चतम घात देखें। / The product function is (fg)(x) = f(x)g(x) = (x + 1)x² = x³ + x². The highest power of x is 3, so the degree is 3. Option B gives the degree of g(x) alone, not that of the product. In such questions, multiply the functions first and then identify the highest power of x.
((f+g)(x)=x-2-2x=x(x-2)), इसलिए शून्यक (0) और (2) हैं। शून्यक के लिए फलन को (0) के बराबर रखें। / ((f+g)(x)=x-2-2x=x(x-2)), so the zeroes are (0) and (2). For zeroes, equate the function to (0).
समान हर होने पर अंश घटाएँ: (\frac{x-2-(x+3)}{x+1}=\frac{-5}{x+1})। हर (x+1) के कारण \(x \neq -1\)। / With the same denominator, subtract numerators: (\frac{x-2-(x+3)}{x+1}=\frac{-5}{x+1}). Because of denominator (x+1), \(x \neq -1\).
फलनों के रैखिक संयोजन में पूरे फलनों को उनके गुणांकों से गुणा किया जाता है: \((3f+2g)(x)=3f(x)+2g(x)=3(2x+1)+2(x-2)=6x+3+2x-4=8x-1\)। अतः सही उत्तर A है। विकल्प B में स्थिर पद के चिह्न की गलती है। परीक्षा में प्रत्येक गुणांक को पूरे फलन के प्रत्येक पद से गुणा करना न भूलें। / For a linear combination of functions, multiply each entire function by its coefficient: \((3f+2g)(x)=3f(x)+2g(x)=3(2x+1)+2(x-2)=6x+3+2x-4=8x-1\). Hence, option A is correct. Option B results from an incorrect sign in the constant term. In the exam, distribute each coefficient across every term of the corresponding function.
\(\frac{x^2+6x+9}{x+3}=\frac{(x+3)^2}{x+3}=x+3\), अतः \(x=0\) पर मान (3) है। पूर्ण वर्ग पहचान उपयोगी है। / \(\frac{x^2+6x+9}{x+3}=\frac{(x+3)^2}{x+3}=x+3\), hence the value at \(x=0\) is (3). The perfect square identity is useful.
\(f(x)\) में \(\sqrt{x-1}\) हर में है। इसलिए मूलांक के लिए \(x-1\geq 0\) और हर शून्य न होने के लिए \(x-1\neq 0\) होना चाहिए; अतः \(x>1\)। \(g(x)=x\) का प्रांत सभी वास्तविक संख्याएँ हैं, इसलिए \((f+g)\) का प्रांत दोनों प्रांतों का प्रतिच्छेद, अर्थात \((1,\infty)\), होगा। परीक्षा-सुझाव: हर में उपस्थित वर्गमूल के लिए मूलांक के अंदर का पद सदैव धनात्मक लें। / In \(f(x)\), \(\sqrt{x-1}\) is in the denominator. Thus, the radicand must satisfy \(x-1\geq 0\), and the denominator must not be zero, so \(x-1\neq 0\). Therefore, \(x>1\). Since \(g(x)=x\) is defined for all real numbers, the domain of \((f+g)\) is the intersection of the two domains, namely \((1,\infty)\). Exam tip: For a square root in the denominator, require the expression under the root to be strictly positive.
((f-g)(x)=\(x^2+1\)-\(x^2-1\)=2), इसलिए किसी भी (x) पर मान (2) है। पहले सरल करने से गणना कम होती है। / ((f-g)(x)=\(x^2+1\)-\(x^2-1\)=2), so at any (x) the value is (2). Simplifying first reduces calculation.
फलनों का अंतर \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\) होता है। इसलिए \((x^2+x+1)-(x^2-x+1)=x^2+x+1-x^2+x-1=2x\)। विकल्प B में घटाए जा रहे फलन के \(-x\) पद का चिह्न बदलना भूल गया है। परीक्षा-युक्ति: पूरे \(g(x)\) के आगे ऋण चिह्न होने पर उसके प्रत्येक पद का चिह्न बदलें। / The difference of two functions is \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\). Thus, \((x^2+x+1)-(x^2-x+1)=x^2+x+1-x^2+x-1=2x\). Option B results from failing to change the sign of the \(-x\) term when subtracting the entire function \(g(x)\). Exam tip: when a function is preceded by a minus sign, change the sign of every term inside its brackets.
दो वास्तविक फलनों का गुणनफल \((fg)(x)=f(x)g(x)\) होता है। इसलिए \((fg)(x)=\frac{x+2}{x-3}(x-3)=x+2\), जहाँ \(x\neq 3\)। अतः \((fg)(4)=4+2=6\)। विकल्प 1 केवल \(g(4)\) का मान है, जबकि विकल्प 4 यह मान लेने की गलती से मिलता है कि \(x=4\) पर फलन परिभाषित नहीं है। परीक्षा-युक्ति: पहले \((fg)(x)\) को \(f(x)g(x)\) के रूप में लिखें और मूल फलनों की डोमेन शर्त जाँचें। / The product of two real-valued functions is defined by \((fg)(x)=f(x)g(x)\). Thus, \((fg)(x)=\frac{x+2}{x-3}(x-3)=x+2\), with the restriction \(x\neq 3\). Therefore, \((fg)(4)=4+2=6\). Option 1 is only the value of \(g(4)\), while option 4 incorrectly treats \(x=4\) as outside the domain. Exam tip: write \((fg)(x)=f(x)g(x)\) first and check the original domain restriction before cancelling factors.
((fg)(x)=\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}=x), लेकिन दोनों वर्गमूलों के लिए \(x \geq 0\)। सरल रूप से प्रांत नहीं बदलता। / ((fg)(x)=\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}=x), but both square roots require \(x \geq 0\). The simplified form does not change the original domain.
\(\frac{x^2-3x+2}{x-1}=\frac{(x-1)(x-2)}{x-1}=x-2\), अतः \(x=3\) पर मान (1) है। गुणनखंडन से भाग सरल होता है। / \(\frac{x^2-3x+2}{x-1}=\frac{(x-1)(x-2)}{x-1}=x-2\), so at \(x=3\) the value is (1). Factorisation makes division simple.
गुणनफल फलन के लिए \((fg)(x)=f(x)g(x)\)। इसलिए \((fg)(x)=(x+4)(4-x)=4^2-x^2=16-x^2\), क्योंकि यह \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) का रूप है। विकल्प B में चिह्न उलट गया है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में पहले यह जाँचें कि \(fg\) से गुणनफल अभिप्रेत है या फलनों की रचना। / For the product of two functions, \((fg)(x)=f(x)g(x)\). Thus, \((fg)(x)=(x+4)(4-x)=4^2-x^2=16-x^2\), using the identity \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\). Option B has the sign reversed. In an exam, first check whether \(fg\) denotes the product of functions or their composition.
यहाँ (f(2)=1) और (g(2)=5), इसलिए (h(2)=2\cdot1-5=-3)। परीक्षा में पहले अलग-अलग फलनों का मान निकालें, फिर बीजगणितीय क्रिया करें। / Here (f(2)=1) and (g(2)=5), so (h(2)=2\cdot1-5=-3). In exams, first find individual function values, then apply the algebraic operation.
दो फलनों के अंतर की परिभाषा के अनुसार \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\)। अतः \((4x-7)-(x+2)=4x-7-x-2=3x-9\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C में स्थिर पद \(-7-2\) का गलत संयोजन हुआ है। परीक्षा-युक्ति: घटाते समय दूसरे पूरे कोष्ठक के प्रत्येक पद का चिह्न बदलें। / By the definition of the difference of two functions, \((f-g)(x)=f(x)-g(x)\). Therefore, \((4x-7)-(x+2)=4x-7-x-2=3x-9\), so option A is correct. Option C results from combining the constant terms incorrectly. Exam tip: when subtracting a bracket, change the sign of every term inside it.
(f(x)) के लिए \(x\geq1\) और (g(x)) के लिए \(x\neq3\), इसलिए (fg) का प्रांत \([1,\infty\)-{3}) है। उत्पाद के प्रांत में दोनों फलनों के प्रांतों का प्रतिच्छेद लें। / For (f(x)), \(x\geq1\), and for (g(x)), \(x\neq3\), so the domain of (fg) is \([1,\infty\)-{3}). For product domains, take the intersection of the domains of both functions.
\(\frac{x^2-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3\), लेकिन \(x=3\) हटेगा। भाग में हर शून्य न हो। / \(\frac{x^2-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3\), but \(x=3\) is excluded. In division, the denominator must not be zero.
फलनों के योग और अदिश गुणन के नियम से \((f+2g)(x)=f(x)+2g(x)\)। अतः \(3x^2+2(2x+1)=3x^2+4x+2\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C में \(2g(x)\) का गुणन ठीक से नहीं किया गया है। परीक्षा में पहले पूरे फलन को 2 से गुणा करके फिर पदों को जोड़ें। / Using the algebra of functions, \((f+2g)(x)=f(x)+2g(x)\). Therefore, \(3x^2+2(2x+1)=3x^2+4x+2\), so option A is correct. In option C, the factor 2 has not been properly distributed to \(g(x)\). In the exam, multiply the entire function \(g(x)\) by 2 before combining like terms.
दोनों मूलों के लिए \(x-2\ge 0\) और \(5-x\ge 0\), इसलिए \(2\le x\le 5\)। जोड़ में डोमेन प्रतिच्छेद होता है। / For both roots, \(x-2\ge 0\) and \(5-x\ge 0\), so \(2\le x\le 5\). For a sum, take the intersection of domains.
हर में \(x-1\ne 0\) और \(x+2\ne 0\), इसलिए \(x\ne 1,-2\)। जोड़ के लिए दोनों फलनों का साझा डोमेन लें। / The denominators require \(x-1\ne 0\) and \(x+2\ne 0\), so \(x\ne 1,-2\). For addition, use the common domain of both functions.
दो फलनों का गुणनफल (fg)(x)=f(x)g(x) होता है। अतः f(3)=32+1=10 और g(3)=3-2=1। इसलिए (fg)(3)=10×1=10। 12 जोड़ने से प्राप्त होता है, जबकि यहाँ फलनों का गुणनफल लेना है। परीक्षा-युक्ति: (fg)(a) में पहले f(a) और g(a) निकालकर उनका गुणन करें। / The product of two functions is defined as (fg)(x)=f(x)g(x). Thus, f(3)=32+1=10 and g(3)=3-2=1, so (fg)(3)=10×1=10. The value 12 would result from adding the two function values, not multiplying them. Exam tip: For (fg)(a), evaluate both f(a) and g(a) first, then multiply.
दो फलनों के योग के लिए \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\)। अतः \(f(-2)=2(-2)-1=-5\) और \(g(-2)=(-2)^2=4\)। इसलिए \((f+g)(-2)=-5+4=-1\)। विकल्प C में \(f(-2)\) का चिह्न गलत लेने की संभावना है, जबकि ऋणात्मक संख्या का वर्ग हमेशा धनात्मक होता है, इसलिए विकल्प D भी गलत है। परीक्षा-युक्ति: पहले प्रत्येक फलन का मान अलग-अलग निकालें, फिर उन्हें जोड़ें। / For the sum of two functions, \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\). Thus, \(f(-2)=2(-2)-1=-5\) and \(g(-2)=(-2)^2=4\). Therefore, \((f+g)(-2)=-5+4=-1\). Option C results from incorrectly taking the sign of \(f(-2)\), while option D treats the square of \(-2\) as negative. Exam tip: evaluate each function separately before adding their values.
फलनों के बीजीय संक्रिया के अनुसार \((f-2g)(x)=f(x)-2g(x)\)। अतः \((f-2g)(x)=(5x+4)-2(2x-3)=5x+4-4x+6=x+10\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में गुणांकों का गलत संयोजन किया गया है। परीक्षा में \(-2(2x-3)\) का विस्तार करते समय दोनों पदों के चिह्न बदलना याद रखें। / For algebraic operations on functions, \((f-2g)(x)=f(x)-2g(x)\). Therefore, \((f-2g)(x)=(5x+4)-2(2x-3)=5x+4-4x+6=x+10\), so option A is correct. Option B results from combining the coefficients incorrectly. In an exam, remember that distributing \(-2\) changes the signs of both terms inside the bracket.
\((f-g)(x)=f(x)-g(x)=x^2-3x=x(x-3)\)। अतः \(x(x-3)=0\) होने पर शून्य गुणनफल नियम से \(x=0\) या \(x=3\) प्राप्त होता है। विकल्प B में \(x=1\) रखने पर \((f-g)(1)=1-3=-2\), इसलिए वह गलत है। परीक्षा में पहले फलनों का अंतर लिखकर उसे गुणनखंडों में तोड़ें। / \((f-g)(x)=f(x)-g(x)=x^2-3x=x(x-3)\). By the zero-product rule, \(x(x-3)=0\) gives \(x=0\) or \(x=3\). Option B is incorrect because \((f-g)(1)=1-3=-2\), not zero. Exam tip: first form the difference of the functions, then factorise it.
यदि \(f(x)=x+4\) और \(g(x)=2x-1\) हों, तो \((f+g)(x)=(fg)(x)\) के लिए कौन-सा समीकरण प्राप्त होगा? यहाँ \((fg)(x)\), \(f(x)\) और \(g(x)\) के गुणनफल को दर्शाता है।
पहले \((f+g)(x)=f(x)+g(x)=(x+4)+(2x-1)=3x+3\) प्राप्त होता है। दूसरी ओर, \((fg)(x)=f(x)g(x)=(x+4)(2x-1)=2x^2+7x-4\)। अतः समीकरण \(2x^2+7x-4=3x+3\) है। ध्यान रखें कि \(fg\) यहाँ फलनों का गुणनफल है, संयोजन नहीं; गुणनफल का विस्तार करते समय मध्य पद \(8x-x=7x\) होता है। / First, \((f+g)(x)=f(x)+g(x)=(x+4)+(2x-1)=3x+3\). Also, \((fg)(x)=f(x)g(x)=(x+4)(2x-1)=2x^2+7x-4\). Therefore, the required equation is \(2x^2+7x-4=3x+3\). Remember that \(fg\) denotes the product of the functions here, not their composition; while expanding, the middle term is \(8x-x=7x\).
(g(x)) सभी वास्तविक (x) पर परिभाषित है, पर (f(x)) में \(x-2\ne 0\) चाहिए। गुणन में भी साझा डोमेन लेते हैं। / (g(x)) is defined for all real (x), but (f(x)) needs \(x-2\ne 0\). For product also, take the common domain.
दो फलनों के अंतर के लिए (f − g)(x) = f(x) − g(x) होता है। इसलिए, (f − g)(x) = (2x² − 3) − (x² + 5) = 2x² − x² − 3 − 5 = x² − 8। विकल्प B में दोनों फलनों को जोड़ने जैसा प्रभाव आता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा में कोष्ठक सहित पूरे g(x) को घटाना न भूलें। / For the difference of two functions, (f − g)(x) = f(x) − g(x). Hence, (f − g)(x) = (2x² − 3) − (x² + 5) = 2x² − x² − 3 − 5 = x² − 8. Option B results from effectively adding the functions, so it is incorrect. In exams, remember to subtract the entire g(x), including the constant term.
दो फलनों का गुणनफल \((fg)(x)=f(x)g(x)\) होता है। अतः \((fg)(x)=3(x^2-2x)=3x^2-6x\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में गुणनफल के बजाय जोड़ किया गया है। परीक्षा-युक्ति: \((fg)(x)\) को \(f(g(x))\) से न मिलाएँ; पहला गुणनफल और दूसरा संयोजन फलन है। / The product of two functions is defined by \((fg)(x)=f(x)g(x)\). Therefore, \((fg)(x)=3(x^2-2x)=3x^2-6x\), so option A is correct. Option B results from adding the two functions instead of multiplying them. Exam tip: do not confuse \((fg)(x)\), the product, with \(f(g(x))\), the composite function.
फलनों के योग के लिए c((f+g)(x)=f(x)+g(x)c)। अतः c(f(-4)=|-4|=4c) और c(g(-4)=-4c), इसलिए c((f+g)(-4)=4+(-4)=0c)। विकल्प B में दोनों मानों को ऋणात्मक लेने की गलती है। परीक्षा-युक्ति: पहले प्रत्येक फलन का मान अलग-अलग निकालकर फिर जोड़ें। / For the sum of two functions, c((f+g)(x)=f(x)+g(x)c). Thus, c(f(-4)=|-4|=4c) and c(g(-4)=-4c), so c((f+g)(-4)=4+(-4)=0c). Option B results from incorrectly treating the modulus as negative. Exam tip: evaluate each function separately before adding the values.
((fg)(x)=\frac{1}{x}\cdot x-2=x), पर मूल डोमेन में \(x\ne 0\) रहेगा। सरल करने से हटे प्रतिबंध वापस नहीं आते। / ((fg)(x)=\frac{1}{x}\cdot x-2=x), but the original domain keeps \(x\ne 0\). Restrictions do not disappear after simplification.
(f − g)(x) = f(x) − g(x) = (x² + 2x) − (x² − 2x)। कोष्ठक खोलने पर x² − x² + 2x + 2x = 4x प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 4x है। ध्यान रखें कि ऋण चिह्न के बाद पूरे g(x) के पदों के चिह्न बदल जाते हैं; इसी कारण −2x, +2x बन जाता है। / (f − g)(x) = f(x) − g(x) = (x² + 2x) − (x² − 2x). On removing the brackets, x² − x² + 2x + 2x = 4x. Therefore, the correct answer is 4x. Exam tip: when subtracting a function, change the signs of every term in the subtracted function; hence −2x becomes +2x.
दो फलनों का योग \((f+g)(x)=f(x)+g(x)=(2x+1)+(x^2-1)=x^2+2x\) होता है। इसलिए \((f+g)(2)=2^2+2(2)=4+4=8\), अतः विकल्प A सही है। ध्यान रखें कि \((f+g)(a)\) निकालने के लिए दोनों फलनों का \(a\) पर मान जोड़ना होता है। / The sum of the two functions is \((f+g)(x)=f(x)+g(x)=(2x+1)+(x^2-1)=x^2+2x\). Hence, \((f+g)(2)=2^2+2(2)=4+4=8\), so option A is correct. Remember that \((f+g)(a)\) is found by adding the values of both functions at \(a\).
\(\sqrt{x}\) के लिए \(x\ge 0\) और हर के लिए \(x\ne 4\) चाहिए। दोनों शर्तों का प्रतिच्छेद लें। / \(\sqrt{x}\) needs \(x\ge 0\), and the denominator needs \(x\ne 4\). Take the intersection of both conditions.
\(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{x^2+4x+4}{x+2}\)। अंश को \((x+2)^2\) के रूप में गुणनखंडित करने पर \(\frac{(x+2)^2}{x+2}=x+2\) मिलता है, बशर्ते \(x\ne -2\)। विकल्प C गलत है क्योंकि वह केवल \(x=-1\) पर सही हो सकता है, सभी मानों के लिए नहीं। परीक्षा-युक्ति: भाग देने से पहले अंश का गुणनखंडन करें और मूल हर को शून्य करने वाले मान को डोमेन से हटाएँ। / \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{x^2+4x+4}{x+2}\). Factoring the numerator as \((x+2)^2\) gives \(\frac{(x+2)^2}{x+2}=x+2\), provided \(x\ne -2\). Option C is not correct because it equals the quotient only for a particular value, not for all allowed values of \(x\). Exam tip: factor the numerator first and exclude any value that makes the original denominator zero.
यहाँ \((fg)(x)\) का अर्थ \(f(x)g(x)\) है, न कि फलनों का संयोजन। अतः \(f(0)=-3\) और \(g(0)=5\), इसलिए \((fg)(0)=f(0)g(0)=(-3)(5)=-15\)। परीक्षा टिप: \((fg)(a)\) में पहले दोनों फलनों के \(a\) पर मान निकालकर उनका गुणन करें। / Here, \((fg)(x)\) denotes the product \(f(x)g(x)\), not the composition of the functions. Thus, \(f(0)=-3\) and \(g(0)=5\), so \((fg)(0)=f(0)g(0)=(-3)(5)=-15\). Exam tip: For \((fg)(a)\), find the values of both functions at \(a\) and then multiply them.
सरल रूप \(\frac{x}{x+1}\) है, पर मूल हरों से \(x\ne 1,-1\) रहेगा। कटे हुए गुणनखंड का प्रतिबंध भी याद रखें। / The simplified form is \(\frac{x}{x+1}\), but original denominators keep \(x\ne 1,-1\). Remember restrictions from cancelled factors too.
फलनों का बीजीय संयोजन बिंदुवार किया जाता है: \((f+g-h)(x)=f(x)+g(x)-h(x)=2x+(x+3)-(x-1)\)। कोष्ठक खोलने पर \(2x+x+3-x+1=2x+4\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में \(x\) पदों को गलत ढंग से जोड़ा गया है। परीक्षा-युक्ति: घटाए जा रहे फलन के प्रत्येक पद का चिह्न बदलना न भूलें। / The algebraic combination of functions is evaluated pointwise: \((f+g-h)(x)=f(x)+g(x)-h(x)=2x+(x+3)-(x-1)\). On removing the brackets, \(2x+x+3-x+1=2x+4\), so option A is correct. Option B results from combining the \(x\)-terms incorrectly. Exam tip: change the sign of every term inside a function that is being subtracted.
समीकरण \(x^2+2=2x^2\) से \(x^2=2\), इसलिए \(x=\pm\sqrt{2}\)। दोनों पक्षों को बराबर रखकर हल करें। / The equation \(x^2+2=2x^2\) gives \(x^2=2\), so \(x=\pm\sqrt{2}\). Equate both expressions and solve.
\(\frac{x^2-1}{x+1}=x-1\), अतः \(x=2\) पर मान (1) नहीं बल्कि \(\frac{3}{3}\) से (1) होता है। सही गणना में \(f(2)=3\) और \(g(2)=3\), इसलिए मान (1) है। / \(\frac{x^2-1}{x+1}=x-1\), so at \(x=2\) the value is (1). Directly, \(f(2)=3\) and \(g(2)=3\), so the value is (1).
दोनों वर्गमूल परिभाषित होने चाहिए, इसलिए \(x\ge -1\) और \(x\ge 3\)। साझा डोमेन \([3,\infty\)) है। / Both square roots must be defined, so \(x\ge -1\) and \(x\ge 3\). The common domain is \([3,\infty\)).
\(x^2+3x+2=(x+1)(x+2)\)। इसलिए \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{(x+1)(x+2)}{x+1}=x+2\), जहाँ \(x\ne -1\)। विकल्प B केवल \(g(x)\) है, भागफल नहीं। परीक्षा में भाग देने से पहले हर को शून्य करने वाले मान को डोमेन से हटाना याद रखें। / Factor the numerator as \(x^2+3x+2=(x+1)(x+2)\). Thus, \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{(x+1)(x+2)}{x+1}=x+2\), provided \(x\ne -1\). Option B is only \(g(x)\), not the quotient. Exam tip: always exclude values that make the denominator zero, even after cancellation.
फलनों के रैखिक संयोजन के अनुसार \((2f-g)(x)=2f(x)-g(x)\)। इसलिए \(2f(x)=4x^2+2x\) और \((2f-g)(x)=(4x^2+2x)-(x^2-x)=3x^2+3x\)। अतः विकल्प A सही है। ध्यान रखें कि घटाते समय \(g(x)\) के दोनों पदों के चिह्न बदलते हैं: \(-(x^2-x)=-x^2+x\)। / For a linear combination of functions, \((2f-g)(x)=2f(x)-g(x)\). Thus, \(2f(x)=4x^2+2x\), and \((2f-g)(x)=(4x^2+2x)-(x^2-x)=3x^2+3x\). Therefore, option A is correct. Remember to distribute the minus sign to both terms of \(g(x)\): \(-(x^2-x)=-x^2+x\).
((f+g)(x)=2x) और ((f-g)(x)=4), इसलिए गुणनफल (8x) है। संयुक्त अभिव्यक्ति को चरणों में हल करें। / ((f+g)(x)=2x) and ((f-g)(x)=4), so the product is (8x). Solve combined expressions step by step.
(x-2-4=(x-2)(x+2)), इसलिए \(x\ne 2,-2\)। गुणा के बाद कटाव दिखे तो भी मूल डोमेन न भूलें। / (x-2-4=(x-2)(x+2)), so \(x\ne 2,-2\). Even if cancellation appears after multiplication, do not forget the original domain.
दो फलनों का योग परिभाषित होता है: (f+g)(x)=f(x)+g(x)। इसलिए (f+g)(x)=(x²+1)+2x=x²+2x+1। विकल्प B में जोड़ के स्थान पर घटाव किया गया है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा टिप: फलनों के योग में समान x के लिए दोनों फलनों के मान जोड़ें। / The sum of two functions is defined by (f+g)(x)=f(x)+g(x). Hence, (f+g)(x)=(x²+1)+2x=x²+2x+1. Option B is incorrect because it subtracts 2x instead of adding it. Exam tip: For the sum of functions, add their values at the same input x.
पहले f(1)=3(1)-2=1 और g(1)=1+4=5 निकालें। गुणनफल फलन के लिए (fg)(1)=f(1)×g(1)=1×5=5, इसलिए सही उत्तर A है। 7, f(1)+g(1) का योग है, गुणनफल नहीं। परीक्षा में (fg)(x) को f(x)g(x) समझकर मानों का गुणा करें। / First, f(1)=3(1)-2=1 and g(1)=1+4=5. For the product function, (fg)(1)=f(1)×g(1)=1×5=5, so option A is correct. The value 7 is the sum f(1)+g(1), not their product. In exams, interpret (fg)(x) as f(x)g(x) and multiply the function values.
गुणन से (x+2) मिलता है, लेकिन (f(x)) के कारण \(x\ne 3\) रहेगा। मूल फलन की शर्तें हमेशा जांचें। / Multiplication gives (x+2), but \(x\ne 3\) remains because of (f(x)). Always check the original function conditions.
फलनों के अंतर की परिभाषा के अनुसार, \((f-g)(x)=f(x)-g(x)=x^3-x\)। अब \(x^3-x=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1)\), क्योंकि \(x^2-1\) अंतर-वर्ग पहचान है। इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा-टिप: \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) पहचान को ऐसे प्रश्नों में तुरंत लागू करें। / By the definition of the difference of functions, \((f-g)(x)=f(x)-g(x)=x^3-x\). Factoring out \(x\) gives \(x(x^2-1)=x(x-1)(x+1)\), using the difference-of-squares identity. Hence, option A is correct. Exam tip: Apply \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) whenever a difference of two squares appears.
फलनों के योग की परिभाषा के अनुसार \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\)। इसलिए \((f+g)(x)=(2x+5)+(5-2x)=10\), क्योंकि \(2x\) और \(-2x\) एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं। विकल्प B में पदों का सही योग नहीं किया गया है और विकल्प C घटाव से संबंधित है। परीक्षा में फलनों के योग के लिए उनके समान इनपुट वाले मानों को सीधे जोड़ें। / By the definition of the sum of two functions, \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\). Thus, \((f+g)(x)=(2x+5)+(5-2x)=10\), since \(2x\) and \(-2x\) cancel each other. Option B does not correctly add the corresponding terms, while option C is related to subtraction. In an exam, add the values of the two functions for the same input.
भागफल फलन \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{x^2+6x+9}{x+3}=\frac{(x+3)^2}{x+3}=x+3\), जहाँ \(x\ne -3\)। इसलिए \(x=0\) पर इसका मान \(0+3=3\) है। विकल्प 9 केवल \(f(0)\) का मान है, भागफल का नहीं। परीक्षा-युक्ति: भागफल फलन में पहले अंश को हर से भाग दें और हर के शून्य होने वाली मान को डोमेन से हटाएँ। / The quotient function is \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{x^2+6x+9}{x+3}=\frac{(x+3)^2}{x+3}=x+3\), where \(x\ne -3\). Hence, at \(x=0\), its value is \(0+3=3\). The value 9 is only \(f(0)\), not the quotient. Exam tip: simplify the quotient carefully and exclude values that make the denominator zero.
((f+g)(x)=x-2+x+1), इसलिए (x=a) रखने पर \(a^2+a+1\)। चर बदलने पर नियम वही रहता है। / ((f+g)(x)=x-2+x+1), so putting (x=a) gives \(a^2+a+1\). The rule stays the same when the variable changes.
फलनों के बीजीय संयोजन में \((3f+g)(x)=3f(x)+g(x)\)। इसलिए \(3f(x)=3(2x-3)=6x-9\), और \((3f+g)(x)=6x-9+(x^2+1)=x^2+6x-8\)। विकल्प B में 3 को \(g(x)\) पर भी गुणा कर दिया गया है। परीक्षा में याद रखें कि किसी फलन के आगे का गुणांक केवल उसी फलन को गुणा करता है। / For the algebraic combination of functions, \((3f+g)(x)=3f(x)+g(x)\). Thus, \(3f(x)=3(2x-3)=6x-9\), and \((3f+g)(x)=6x-9+(x^2+1)=x^2+6x-8\). In option B, the coefficient 3 has incorrectly been applied to \(g(x)\) as well. Exam tip: a scalar written before a function multiplies only that function.
\(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{x^2-5x+6}{x-2}\)। अंश का गुणनखंड करने पर \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\), इसलिए \(x\ne2\) के लिए भागफल \(x-3\) है। विकल्प C केवल हर के समान है, जबकि विकल्प B में चिन्ह की गलती है। परीक्षा-युक्ति: भाग देने से पहले द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करें और उस मान को डोमेन से बाहर रखें जो मूल हर को शून्य करता है। / \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{x^2-5x+6}{x-2}\). Factoring the numerator gives \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\), so for \(x\ne2\), the quotient is \(x-3\). Option C is only the denominator, while option B has an incorrect sign. Exam tip: factor the quadratic before dividing, and exclude the value that makes the original denominator zero.
गुणनफल (1) है, पर (g(x)) के हर के कारण \(x\ne -1\)। सरल रूप के साथ डोमेन लिखना जरूरी है। / The product is (1), but \(x\ne -1\) because of the denominator of (g(x)). It is important to write the domain with the simplified form.
फलनों के घटाव की परिभाषा के अनुसार \((g-f)(x)=g(x)-f(x)\)। अतः \((g-f)(x)=(2x^2-1)-(x^2+2)=2x^2-1-x^2-2=x^2-3\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C में नियतांकों के चिह्नों को गलत रूप से लिया गया है, जबकि विकल्प B जोड़ \((f+g)(x)\) का परिणाम है। परीक्षा-युक्ति: \(g-f\) में पहले फलन \(g\) और उसके बाद \(f\) रखें। / By the definition of subtraction of functions, \((g-f)(x)=g(x)-f(x)\). Therefore, \((g-f)(x)=(2x^2-1)-(x^2+2)=2x^2-1-x^2-2=x^2-3\), so option A is correct. Option C results from mishandling the signs of the constants, while option B is the result of addition, \((f+g)(x)\). Exam tip: in \(g-f\), write \(g\) first and subtract the entire expression for \(f\).
गुणनफल (1) बनता है, पर मूल हरों से \(x\ne -3,2\) है। डोमेन हमेशा मूल फलनों से तय करें। / The product becomes (1), but original denominators give \(x\ne -3,2\). Always decide the domain from the original functions.
दो फलनों का योग बिंदुवार परिभाषित होता है: \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\)। अतः \((x^2+x)+(x^2-x)=2x^2\), क्योंकि \(+x\) और \(-x\) आपस में कट जाते हैं। इसलिए सही उत्तर A है। परीक्षा में समान और विपरीत पदों को जोड़ते समय उनके गुणांकों पर विशेष ध्यान दें। / The sum of two functions is defined pointwise: \((f+g)(x)=f(x)+g(x)\). Therefore, \((x^2+x)+(x^2-x)=2x^2\), because the terms \(+x\) and \(-x\) cancel each other. Hence, option A is correct. Exam tip: combine like terms carefully, especially when their signs are opposite.
वर्गमूल के लिए \(4-x\ge 0\), यानी \(x\le 4\), और हर के लिए \(x\ne 0\)। दोनों शर्तें साथ लें। / The square root needs \(4-x\ge 0\), i.e. \(x\le 4\), and the denominator needs \(x\ne 0\). Take both conditions together.
(f(-1)=-1) और (g(-1)=-7), इसलिए गुणनफल (7) है। दो ऋणात्मक संख्याओं का गुणन धनात्मक होता है। / (f(-1)=-1) and (g(-1)=-7), so the product is (7). The product of two negative numbers is positive.
\(f(x)=(x-1)^2\) और \(g(x)=-(x-1)\), इसलिए भागफल \(-(x-1)=1-x\) है। चिह्न पर विशेष ध्यान दें। / \(f(x)=(x-1)^2\) and \(g(x)=-(x-1)\), so the quotient is \(-(x-1)=1-x\). Pay special attention to the sign.
