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क्योंकि \(A \subseteq U\), इसलिए (\mathcal{P}(A)) के सभी \(2^4=16\) सदस्य (U) के उपसमुच्चय हैं। परीक्षा में पहले \(A \subseteq U\) जांचें। / Since \(A \subseteq U\), all \(2^4=16\) members of (\mathcal{P}(A)) are subsets of (U). In exams, first check whether \(A \subseteq U\).
(|\mathcal{P}(A)|=128=27), इसलिए (|A|=7) और (|A'|=4)। non-empty subsets \(2^4-1=15\) होंगे। / Since (|\mathcal{P}(A)|=128=27), (|A|=7) and (|A'|=4). The non-empty subsets are \(2^4-1=15\).
यहां (A'=U-A={b,d}), इसलिए (|\mathcal{P}(A')|=22=4)। परीक्षा में पूरक हमेशा दिए गए सार्वत्रिक समुच्चय के सापेक्ष लें। / Here (A'=U-A={b,d}), so (|\mathcal{P}(A')|=22=4). In exams, always take complement with respect to the given universal set.
यहां \(A\cap B={3,4}\), इसलिए (\(A\cap B\)') में (6) तत्व हैं। अतः (|\mathcal{P}(\(A\cap B\)')|=26=64)। / Here \(A\cap B={3,4}\), so (\(A\cap B\)') has (6) elements. Hence (|\mathcal{P}(\(A\cap B\)')|=26=64).
क्योंकि (|U-A|=9-5=4), इसलिए (|\mathcal{P}(U-A)|=24=16)। परीक्षा में पहले पूरक की संख्या निकालें। / Since (|U-A|=9-5=4), (|\mathcal{P}(U-A)|=24=16). In exams, first find the number of elements in the complement.
(a) fixed होने पर odd cardinality के लिए बाकी (4) तत्वों में even संख्या चुननी होगी। ऐसे choices \(2^{4-1}=8\) हैं। / After fixing (a), an even number of elements must be chosen from the remaining (4) elements for odd cardinality. The number of such choices is \(2^{4-1}=8\).
(\mathcal{P}\(\varnothing\)={\varnothing}) में (1) सदस्य है, इसलिए (\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))) में \(2^1=2\) सदस्य होंगे। खाली समुच्चय और उसके घात समुच्चय को अलग समझें। / (\mathcal{P}\(\varnothing\)={\varnothing}) has (1) member, so (\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))) has \(2^1=2\) members. Treat the empty set and its power set separately.
समुच्चय (A) में (3) अलग-अलग सदस्य हैं, इसलिए (|\mathcal{P}(A)|=23=8)। nested sets को अलग तत्व मानकर गिनना चाहिए। / The set (A) has (3) distinct members, so (|\mathcal{P}(A)|=23=8). Nested sets should be counted as separate elements.
(|\mathcal{P}(A)|=64), इसलिए (\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))) में \(2^{64}\) सदस्य होंगे। परीक्षा में घात समुच्चय पर फिर घात समुच्चय लगाने में घातांक न घटाएं। / (|\mathcal{P}(A)|=64), so (\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))) has \(2^{64}\) members. In exams, do not reduce the exponent when taking a power set again.
(|U|=8) और (|A|=5), इसलिए \(2^8-2^5=256-32=224\)। परीक्षा में यह ( \mathcal{P}(U-A)) नहीं है। / (|U|=8) and (|A|=5), so \(2^8-2^5=256-32=224\). In exams, this is not (\mathcal{P}(U-A)).
यहां (A'={1,3,5}), इसलिए ({2}) इसका उपसमुच्चय नहीं है। परीक्षा में विकल्प को पूरक के उपसमुच्चय के रूप में जांचें। / Here (A'={1,3,5}), so ({2}) is not its subset. In exams, check each option as a subset of the complement.
({2}) स्वयं (A) का एक तत्व है, इसलिए ({{2}}) (A) का उपसमुच्चय है। परीक्षा में तत्व और एकल समुच्चय में फर्क करें। / ({2}) itself is an element of (A), so ({{2}}) is a subset of (A). In exams, distinguish an element from a singleton set.
समुच्चय (A) में दो अलग सदस्य \(\varnothing\) और \({\varnothing}\) हैं, इसलिए (|\mathcal{P}(A)|=22=4)। परीक्षा में nested elements को गिनते समय सावधान रहें। / The set (A) has two distinct members \(\varnothing\) and \({\varnothing}\), so (|\mathcal{P}(A)|=22=4). In exams, be careful while counting nested elements.
क्योंकि \(A\in \mathcal{P}(A)\), इसलिए \(A\in \mathcal{P}(U)\) और अतः \(A\subseteq U\)। परीक्षा में \(\mathcal{P}(A)\subseteq \mathcal{P}(U)\) से \(A\subseteq U\) निकालें। / Since \(A\in \mathcal{P}(A)\), \(A\in \mathcal{P}(U)\), hence \(A\subseteq U\). In exams, infer \(A\subseteq U\) from \(\mathcal{P}(A)\subseteq \mathcal{P}(U)\).
(|\mathcal{P}(A')|=8=23), इसलिए (|A'|=3) और (|A|=7-3=4)। परीक्षा में \(2^n\) से (n) पहचानें। / (|\mathcal{P}(A')|=8=23), so (|A'|=3) and (|A|=7-3=4). In exams, identify (n) from \(2^n\).
\(A\cup B={1,2,3}\), इसलिए कुल subsets \(2^3=8\) और proper subsets (8-1=7) हैं। परीक्षा में पूरा समुच्चय हटाना न भूलें। / \(A\cup B={1,2,3}\), so total subsets are \(2^3=8\) and proper subsets are (8-1=7). In exams, do not forget to exclude the whole set.
(A) और (A') असंबद्ध हैं, इसलिए दोनों के समान उपसमुच्चय में केवल \(\varnothing\) है। परीक्षा में intersection of power sets को common subsets समझें। / (A) and (A') are disjoint, so the only common subset is \(\varnothing\). In exams, understand intersection of power sets as common subsets.
जब \(A\cap B=\varnothing\), तब common subset केवल \(\varnothing\) होता है। इसलिए cardinality (1) है। / When \(A\cap B=\varnothing\), the only common subset is \(\varnothing\). Therefore the cardinality is (1).
(\mathcal{P}(A)\cap\mathcal{P}(B)=\mathcal{P}\(A\cap B\)), इसलिए संख्या \(2^2=4\) है। परीक्षा में यह identity बहुत उपयोगी है। / (\mathcal{P}(A)\cap\mathcal{P}(B)=\mathcal{P}\(A\cap B\)), so the number is \(2^2=4\). This identity is very useful in exams.
(|\mathcal{P}\(A\cup B\)|=16), \(|\mathcal{P}(A)\cup\mathcal{P}(B)|=4+4-1=7\), इसलिए अंतर (9) है। परीक्षा में \(\varnothing\) दोनों में common गिनें। / (|\mathcal{P}\(A\cup B\)|=16), \(|\mathcal{P}(A)\cup\mathcal{P}(B)|=4+4-1=7\), so the difference is (9). In exams, count \(\varnothing\) as common to both.
दो-सदस्यीय subsets की संख्या \(\binom{3}{2}=3\) है। परीक्षा में fixed size subsets के लिए combination लगाएं। / The number of two-element subsets is \(\binom{3}{2}=3\). In exams, use combinations for fixed-size subsets.
ऐसे subsets की संख्या \(\binom{6}{4}=15\) होती है। परीक्षा में \(\binom{6}{4}=\binom{6}{2}\) का प्रयोग तेज गणना के लिए करें। / The number of such subsets is \(\binom{6}{4}=15\). In exams, use \(\binom{6}{4}=\binom{6}{2}\) for faster calculation.
किसी (n)-तत्वीय समुच्चय में odd subsets की संख्या \(2^{n-1}\) होती है, अतः \(2^6=64\)। परीक्षा में even और odd subsets बराबर होते हैं। / For an (n)-element set, the number of odd subsets is \(2^{n-1}\), so \(2^6=64\). In exams, even and odd subsets are equal in number.
Even cardinality subsets की संख्या \(2^{8-1}=128\) है। परीक्षा में \(n\geq1\) होने पर even और odd subsets बराबर याद रखें। / The number of even cardinality subsets is \(2^{8-1}=128\). In exams, remember that for \(n\geq1\), even and odd subsets are equal.
(1) fixed है और (5) excluded है, इसलिए शेष ({2,3,4}) से \(2^3=8\) choices मिलती हैं। परीक्षा में fixed और forbidden elements अलग करें। / (1) is fixed and (5) is excluded, so the remaining ({2,3,4}) gives \(2^3=8\) choices. In exams, separate fixed and forbidden elements.
(a) और (b) fixed हैं, बाकी (4) तत्वों पर \(2^4=16\) विकल्प हैं। परीक्षा में compulsory elements को पहले रख दें। / (a) and (b) are fixed, and the remaining (4) elements give \(2^4=16\) choices. In exams, place compulsory elements first.
कुल subsets \(2^6=64\) हैं और (2,4) दोनों न होने वाले subsets \(2^4=16\) हैं, इसलिए उत्तर (48) है। परीक्षा में at least one के लिए complement method तेज है। / Total subsets are \(2^6=64\), and subsets containing neither (2) nor (4) are \(2^4=16\), so the answer is (48). In exams, use complement method for at least one.
जिस subset में ({1,2}) शामिल हो, उसमें (3) और (4) वैकल्पिक हैं, इसलिए \(2^2=4\)। परीक्षा में required subset को fixed block मानें। / A subset containing ({1,2}) has (3) and (4) as optional elements, so \(2^2=4\). In exams, treat the required subset as fixed.
\(A\cup B={1,2,3,5,7,8}\), इसलिए complement ({4,6}) है और power set size \(2^2=4\)। परीक्षा में पहले union फिर complement लें। / \(A\cup B={1,2,3,5,7,8}\), so the complement is ({4,6}) and the power set size is \(2^2=4\). In exams, take union first and then complement.
(U) में primes ({2,3,5,7,11}) हैं, इसलिए (|A'|=12-5=7) और \(2^7=128\) नहीं? ध्यान दें (A') में (7) तत्व हैं, इसलिए सही मान (128) है। / The primes in (U) are ({2,3,5,7,11}), so (|A'|=12-5=7) and the value is \(2^7=128\). In exams, do not count (1) as prime.
(A') में odd numbers ({1,3,5,7,9}) हैं, इसलिए non-empty subsets \(2^5-1=31\) हैं। परीक्षा में \(\varnothing\) हटाने पर (1) घटाएं। / (A') contains odd numbers ({1,3,5,7,9}), so non-empty subsets are \(2^5-1=31\). In exams, subtract (1) to exclude \(\varnothing\).
B. असत्य क्योंकि \(1\notin \mathcal{P}(A)\)/False because \(1\notin \mathcal{P}(A)\)
Explanation
Simple Explanation
\({1}\subseteq \mathcal{P}(A)\) का अर्थ है \(1\in\mathcal{P}(A)\), जो गलत है। परीक्षा में \(\in\) और \(\subseteq\) का अर्थ ध्यान से पढ़ें। / \({1}\subseteq \mathcal{P}(A)\) means \(1\in\mathcal{P}(A)\), which is false. In exams, read the meanings of \(\in\) and \(\subseteq\) carefully.
(a) excluded होने पर शेष (3) तत्व स्वतंत्र हैं, इसलिए \(2^3=8\) subsets हैं। परीक्षा में excluded element हटाकर गिनें। / When (a) is excluded, the remaining (3) elements are free, so there are \(2^3=8\) subsets. In exams, remove the excluded element and count.
जोड़ी ({2,3}) के लिए (2) choices हैं और बाकी (3) तत्वों के लिए \(2^3\), इसलिए \(2\cdot2^3=16\)। परीक्षा में linked elements को cases में बांटें। / For the pair ({2,3}), there are (2) choices and for the remaining (3) elements there are \(2^3\), so \(2\cdot2^3=16\). In exams, split linked elements into cases.
(1) fixed होने के बाद बाकी (5) तत्वों में odd number चुनना होगा, जिसकी संख्या \(2^{5-1}=16\) है। परीक्षा में total parity को fixed element से adjust करें। / After fixing (1), an odd number must be chosen from the remaining (5) elements, which is \(2^{5-1}=16\). In exams, adjust total parity using the fixed element.
\(A\cap B={3}\), इसलिए complement में (5) तत्व हैं और power set size \(2^5=32\) है। परीक्षा में complement सार्वत्रिक समुच्चय से लें। / \(A\cap B={3}\), so the complement has (5) elements and the power set size is \(2^5=32\). In exams, take complement from the universal set.
\(|A\cup B|=6+5-3=8\), इसलिए complement में (2) तत्व हैं और power set size \(2^2=4\) है। परीक्षा में inclusion-exclusion लगाएं। / \(|A\cup B|=6+5-3=8\), so the complement has (2) elements and the power set size is \(2^2=4\). In exams, use inclusion-exclusion.
(|B-A|=2) और (|U-B|=3), इसलिए \(2^2+2^3=4+8=12\)। परीक्षा में nested subsets में अंतर सीधे घटाकर निकालें। / (|B-A|=2) and (|U-B|=3), so \(2^2+2^3=4+8=12\). In exams, find differences in nested subsets by direct subtraction.
Singleton members ({1},{2},{3}) हैं, इसलिए संख्या (3) है। परीक्षा में \(\varnothing\) singleton नहीं होता। / The singleton members are ({1},{2},{3}), so the number is (3). In exams, \(\varnothing\) is not a singleton.
(\mathcal{P}(A)) में \(2^3=8\) सदस्य हैं, इसलिए उसके power set में singleton members भी (8) होंगे। परीक्षा में singleton members की संख्या base set की cardinality के बराबर होती है। / (\mathcal{P}(A)) has \(2^3=8\) members, so its power set has (8) singleton members. In exams, the number of singleton members equals the cardinality of the base set.
Disjoint subsets केवल ({3,4}) से बनेंगे, इसलिए संख्या \(2^2=4\) है। परीक्षा में disjoint condition के लिए forbidden elements हटाएं। / Disjoint subsets are formed only from ({3,4}), so the number is \(2^2=4\). In exams, remove forbidden elements for a disjoint condition.
(A'={4,5,6,7}) में (4) तत्व हैं, इसलिए proper subsets \(2^4-1=15\) हैं। परीक्षा में पूरा (A') हटाना न भूलें। / (A'={4,5,6,7}) has (4) elements, so proper subsets are \(2^4-1=15\). In exams, remember to exclude the whole (A').
\(2^n=2^{12-n}\), इसलिए (n=12-n) और (n=6)। परीक्षा में समान base के exponents बराबर करें। / \(2^n=2^{12-n}\), so (n=12-n) and (n=6). In exams, equate exponents when the bases are equal.
(|\mathcal{P}(A)|=32=25), इसलिए (|A|=5) और (|A'|=10)। अतः (|\mathcal{P}(A')|=2^{10})। / (|\mathcal{P}(A)|=32=25), so (|A|=5) and (|A'|=10). Hence (|\mathcal{P}(A')|=2^{10}).
कुल \(2^5=32\) subsets हैं और sizes (0,1,2) वाले (1+5+10=16) हैं, इसलिए उत्तर (16) है। परीक्षा में complement counting करें। / Total subsets are \(2^5=32\), and those of sizes (0,1,2) are (1+5+10=16), so the answer is (16). In exams, use complement counting.
संख्या \(\binom{7}{5}+\binom{7}{6}+\binom{7}{7}=21+7+1=29\) है। परीक्षा में at least का अर्थ सभी बड़े sizes जोड़ना है। / The number is \(\binom{7}{5}+\binom{7}{6}+\binom{7}{7}=21+7+1=29\). In exams, at least means adding all larger sizes.
(1) fixed है, इसलिए बाकी (2) तत्व (5) में से चुने जाएंगे: \(\binom{5}{2}=10\)। परीक्षा में compulsory element के बाद remaining choice गिनें। / (1) is fixed, so the remaining (2) elements are chosen from (5): \(\binom{5}{2}=10\). In exams, count remaining choices after fixing the compulsory element.
(1) हटाने पर (5) तत्व बचते हैं, जिनमें से (3) चुनने हैं: \(\binom{5}{3}=10\)। परीक्षा में excluded element को पहले हटा दें। / After removing (1), (5) elements remain and (3) must be chosen: \(\binom{5}{3}=10\). In exams, remove the excluded element first.
(A) fixed है और (U-A) के (4) तत्व optional हैं, इसलिए \(2^4=16\)। परीक्षा में containing (A) का अर्थ \(A\subseteq S\) लें। / (A) is fixed and the (4) elements of (U-A) are optional, so \(2^4=16\). In exams, containing (A) means \(A\subseteq S\).
(A') से disjoint subsets केवल (A) के subsets होंगे, इसलिए संख्या \(2^4=16\) है। परीक्षा में disjoint from complement का अर्थ subset of original set समझें। / Subsets disjoint from (A') are exactly subsets of (A), so the number is \(2^4=16\). In exams, understand disjoint from complement as subset of the original set.
यहां (A') में (6) तत्व हैं, इसलिए (|\mathcal{P}(A')|=26=64)। परीक्षा में complement हमेशा (U) के सापेक्ष निकालें। / Here (A') has (6) elements, so (|\mathcal{P}(A')|=26=64). In exams, always find complement with respect to (U).
(|\mathcal{P}(A)|=64=26), इसलिए (|A|=6) और (|A'|=8)। अतः (|\mathcal{P}(A')|=28)। / Since (|\mathcal{P}(A)|=64=26), (|A|=6) and (|A'|=8). Hence (|\mathcal{P}(A')|=28).
समुच्चय (A) में (3) अलग-अलग तत्व हैं, इसलिए (|\mathcal{P}(A)|=23=8)। परीक्षा में \(\varnothing\), (1), और ({1}) को अलग मानें। / The set (A) has (3) distinct elements, so (|\mathcal{P}(A)|=23=8). In exams, treat \(\varnothing\), (1), and ({1}) as different.
ऐसे subsets की संख्या \(\binom{4}{2}=6\) है। परीक्षा में fixed size subsets के लिए \(\binom{n}{r}\) लगाएं। / The number of such subsets is \(\binom{4}{2}=6\). In exams, use \(\binom{n}{r}\) for fixed-size subsets.
\(A\cup B={1,2,3,4,5}\), इसलिए complement में (3) तत्व हैं। अतः (|\mathcal{P}(\(A\cup B\)')|=23=8)। / \(A\cup B={1,2,3,4,5}\), so the complement has (3) elements. Hence (|\mathcal{P}(\(A\cup B\)')|=23=8).
क्योंकि \(A\in\mathcal{P}(A)\), इसलिए \(A\in\mathcal{P}(B)\) और \(A\subseteq B\)। इसी तरह \(B\subseteq A\), इसलिए (A=B)। / Since \(A\in\mathcal{P}(A)\), \(A\in\mathcal{P}(B)\) and \(A\subseteq B\). Similarly \(B\subseteq A\), so (A=B).
(|A|=9-4=5), इसलिए (A) के proper subsets \(2^5-1=31\) हैं। परीक्षा में proper subset के लिए पूरा set हटाएं। / (|A|=9-4=5), so proper subsets of (A) are \(2^5-1=31\). In exams, exclude the whole set for proper subsets.
(1) fixed है और (2) excluded है, इसलिए बाकी (3) तत्वों से \(2^3=8\) subsets बनेंगे। परीक्षा में compulsory और forbidden elements अलग करें। / (1) is fixed and (2) is excluded, so the remaining (3) elements give \(2^3=8\) subsets. In exams, separate compulsory and forbidden elements.
(p) और (q) हटाने पर (4) तत्व बचते हैं, इसलिए \(2^4=16\) subsets होंगे। परीक्षा में neither condition में दोनों तत्व हटाएं। / After removing (p) and (q), (4) elements remain, so there are \(2^4=16\) subsets. In exams, remove both elements for a neither condition.
जब \(|A|=n\geq1\), even cardinality subsets की संख्या \(2^{n-1}\) होती है। यहां \(2^6=64\) है। / When \(|A|=n\geq1\), the number of even cardinality subsets is \(2^{n-1}\). Here it is \(2^6=64\).
(6) fixed है, इसलिए बाकी (5) तत्वों में even संख्या चुननी होगी। ऐसे choices \(2^{5-1}=16\) हैं। / (6) is fixed, so an even number must be chosen from the remaining (5) elements. Such choices are \(2^{5-1}=16\).
({2,3}) स्वयं (A) का तत्व है, इसलिए ({{2,3}}) (A) का subset है। परीक्षा में nested element को एक object मानें। / ({2,3}) itself is an element of (A), so ({{2,3}}) is a subset of (A). In exams, treat a nested element as one object.
(\mathcal{P}(A)) में (1) सदस्य और (\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))) में (2) सदस्य हैं। इसलिए अगले power set में \(2^2=4\) सदस्य होंगे। / (\mathcal{P}(A)) has (1) member and (\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))) has (2) members. Hence the next power set has \(2^2=4\) members.
यदि (|A|=n), तो (|\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))|=2^{2^n})। \(256=2^8=2^{2^3}\), इसलिए (n=3)। / If (|A|=n), then (|\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))|=2^{2^n}). Since \(256=2^8=2^{2^3}\), (n=3).
क्योंकि \(\mathcal{P}(A)\subseteq\mathcal{P}(B)\), इसलिए अंतर \(2^6-2^3=64-8=56\) है। परीक्षा में nested power sets में सीधे घटाएं। / Since \(\mathcal{P}(A)\subseteq\mathcal{P}(B)\), the difference is \(2^6-2^3=64-8=56\). In exams, subtract directly for nested power sets.
(\mathcal{P}(A)\cap\mathcal{P}(B)=\mathcal{P}\(A\cap B\)), इसलिए संख्या \(2^4=16\) है। परीक्षा में common subsets की identity याद रखें। / (\mathcal{P}(A)\cap\mathcal{P}(B)=\mathcal{P}\(A\cap B\)), so the number is \(2^4=16\). In exams, remember the identity for common subsets.
दोनों power sets में common member केवल \(\varnothing\) है। इसलिए \(2^4+2^3-1=16+8-1=23\)। / The only common member of the two power sets is \(\varnothing\). Therefore \(2^4+2^3-1=16+8-1=23\).
(A-B={1,7,9}), इसलिए उसके complement में (6) तत्व हैं। अतः power set size \(2^6=64\) है। / (A-B={1,7,9}), so its complement has (6) elements. Hence the power set size is \(2^6=64\).
कम से कम (6) तत्वों वाले subsets की संख्या \(\binom{7}{6}+\binom{7}{7}=7+1=8\) है। परीक्षा में at least का मतलब सभी बड़े sizes जोड़ना है। / The number of subsets with at least (6) elements is \(\binom{7}{6}+\binom{7}{7}=7+1=8\). In exams, at least means adding all larger sizes.
संख्या \(\binom{8}{0}+\binom{8}{1}+\binom{8}{2}=1+8+28=37\) है। परीक्षा में at most में (0) size वाला subset भी जोड़ें। / The number is \(\binom{8}{0}+\binom{8}{1}+\binom{8}{2}=1+8+28=37\). In exams, include the subset of size (0) in at most.
(a,b) में से ठीक एक चुनने के (2) तरीके हैं और बाकी (3) तत्व स्वतंत्र हैं। इसलिए \(2\cdot2^3=16\)। / There are (2) ways to choose exactly one of (a,b), and the remaining (3) elements are free. Hence \(2\cdot2^3=16\).
(1) fixed और (6) excluded है, इसलिए (2) तत्व ({2,3,4,5}) से चुनेंगे। संख्या \(\binom{4}{2}=6\) है। / (1) is fixed and (6) is excluded, so choose (2) elements from ({2,3,4,5}). The number is \(\binom{4}{2}=6\).
Disjoint subsets केवल ({3,4,5}) से बनेंगे, इसलिए \(2^3=8\) हैं। परीक्षा में disjoint condition के लिए forbidden elements हटा दें। / Disjoint subsets are formed only from ({3,4,5}), so there are \(2^3=8\). In exams, remove forbidden elements for a disjoint condition.
(A) fixed है और (U-A) के (5) तत्व optional हैं। इसलिए संख्या \(2^5=32\) है। / (A) is fixed and the (5) elements of (U-A) are optional. Therefore the number is \(2^5=32\).
(A'={1,3,5,7}) में (4) तत्व हैं, इसलिए उसके subsets \(2^4=16\) हैं। परीक्षा में यह (\mathcal{P}(A')) की cardinality है। / (A'={1,3,5,7}) has (4) elements, so its subsets are \(2^4=16\). In exams, this is the cardinality of (\mathcal{P}(A')).
Singleton members ({1},{2},{3},{4}) हैं, इसलिए संख्या (4) है। परीक्षा में \(\varnothing\) singleton नहीं होता। / The singleton members are ({1},{2},{3},{4}), so the number is (4). In exams, \(\varnothing\) is not a singleton.
(\mathcal{P}(A)) में \(2^4=16\) सदस्य हैं, इसलिए उसके power set में (16) singleton members होंगे। परीक्षा में singleton members की संख्या base set की cardinality होती है। / (\mathcal{P}(A)) has \(2^4=16\) members, so its power set has (16) singleton members. In exams, the number of singleton members equals the cardinality of the base set.
क्योंकि \({1}\in\mathcal{P}(A)\) और \({2}\in\mathcal{P}(A)\), इसलिए दिया गया set (\mathcal{P}(A)) का subset है। परीक्षा में outer braces को ध्यान से पढ़ें। / Since \({1}\in\mathcal{P}(A)\) and \({2}\in\mathcal{P}(A)\), the given set is a subset of (\mathcal{P}(A)). In exams, read the outer braces carefully.
({1}) (A) का subset है, इसलिए \({1}\in\mathcal{P}(A)\) सत्य है। पर \({1}\subseteq\mathcal{P}(A)\) के लिए \(1\in\mathcal{P}(A)\) चाहिए, जो गलत है। / ({1}) is a subset of (A), so \({1}\in\mathcal{P}(A)\) is true. But \({1}\subseteq\mathcal{P}(A)\) would require \(1\in\mathcal{P}(A)\), which is false.
(1) से (15) तक (3) से विभाज्य (5) संख्याएं हैं, इसलिए (|A'|=10)। अतः (|\mathcal{P}(A')|=2^{10})। / There are (5) numbers divisible by (3) from (1) to (15), so (|A'|=10). Hence (|\mathcal{P}(A')|=2^{10}).
(1) से (20) तक primes (8) हैं, इसलिए (|A'|=12)। Non-empty subsets \(2^{12}-1=4095\) हैं। / There are (8) primes from (1) to (20), so (|A'|=12). The non-empty subsets are \(2^{12}-1=4095\).
समुच्चय \(A=\{-2,-1,0,1,2,3\}\) में (6) तत्व हैं। इसलिए (|\mathcal{P}(A)|=26=64)। / The set \(A=\{-2,-1,0,1,2,3\}\) has (6) elements. Therefore (|\mathcal{P}(A)|=26=64).
(A') में even numbers (6) हैं, इसलिए (3)-element subsets की संख्या \(\binom{6}{3}=20\) है। परीक्षा में पहले (A') की size निकालें। / (A') contains (6) even numbers, so the number of (3)-element subsets is \(\binom{6}{3}=20\). In exams, first find the size of (A').
क्योंकि (|A'|=2m-m=m), इसलिए दोनों power sets की cardinality \(2^m\) होगी। परीक्षा में complement की size पहले निकालें। / Since (|A'|=2m-m=m), both power sets have cardinality \(2^m\). In exams, first find the size of the complement.
(|\mathcal{P}(A')|=1024=2^{10}), इसलिए (|A'|=10) और (|A|=8)। अतः (|\mathcal{P}(A)|=28)। / (|\mathcal{P}(A')|=1024=2^{10}), so (|A'|=10) and (|A|=8). Hence (|\mathcal{P}(A)|=28).
(\mathcal{P}(A)) में \(2^4=16\) members हैं। (A) को हटाने पर (16-1=15) बचेंगे। / (\mathcal{P}(A)) has \(2^4=16\) members. Excluding (A) itself leaves (16-1=15).
Cardinality (2) से विभाज्य होने का अर्थ even cardinality है। (6)-element set के even subsets \(2^{6-1}=32\) होते हैं। / Cardinality divisible by (2) means even cardinality. A (6)-element set has \(2^{6-1}=32\) even subsets.
({1,2}) fixed है और (5) excluded है, इसलिए (3,4) optional हैं। संख्या \(2^2=4\) है। / ({1,2}) is fixed and (5) is excluded, so (3,4) are optional. The number is \(2^2=4\).
कुल subsets \(2^5=32\) हैं और (a,b) दोनों न रखने वाले \(2^3=8\) हैं। इसलिए उत्तर (32-8=24) है। / Total subsets are \(2^5=32\), and subsets containing neither (a,b) are \(2^3=8\). Therefore the answer is (32-8=24).
(A'=U-A={5,6}), इसलिए (n(P(A'))=22=4)। परीक्षा में पहले पूरक समुच्चय निकालें। / (A'=U-A={5,6}), so (n(P(A'))=22=4). In exams find the complement first.
(A'={1,3,5,7,9}), इसलिए ठीक (2) अवयव वाले उपसमुच्चय \(\binom{5}{2}=10\) होंगे। पहले पूरक समुच्चय निकालें फिर संयोजन लगाएं। / (A'={1,3,5,7,9}), so the subsets with exactly (2) elements are \(\binom{5}{2}=10\). First find the complement set and then use combinations.
यदि (n(A)=m), तो (n(P(P(A)))=2^{2^m}=256=28), इसलिए \(2^m=8\) और (m=3)। घातों की तुलना सीधे करें। / If (n(A)=m), then (n(P(P(A)))=2^{2^m}=256=28), so \(2^m=8\) and (m=3). Compare powers directly.
(A'={1,3,5,7,9}) और (P(A')) में एकल समुच्चय (n(A')=5) होते हैं। एकल उपसमुच्चयों की संख्या मूल अवयवों जितनी होती है। / (A'={1,3,5,7,9}), and singleton sets in (P(A')) are (n(A')=5). The number of singleton subsets equals the number of elements.
(n(A')=5), इसलिए (n(P(A'))=25=32)। इसके उचित उपसमुच्चय \(2^{32}-1\) नहीं बल्कि (P(A')) के उपसमुच्चय हैं, अतः \(2^{32}-1\) होगा। / (n(A')=5), so (n(P(A'))=25=32). Proper subsets of (P(A')) are \(2^{32}-1\), so do not confuse elements with subsets.
किसी समुच्चय का पावर सेट उस समुच्चय को पूरी तरह निर्धारित करता है, इसलिए (A=B)। समान पावर सेट का मतलब समान मूल समुच्चय होता है। / A power set uniquely determines its original set, so (A=B). Equal power sets mean equal original sets.
(P\(\varnothing\)={\varnothing}), इसलिए (P(P(A))=P\({\varnothing}\)={\varnothing,{\varnothing}})। खाली समुच्चय का पावर सेट खाली नहीं होता। / (P\(\varnothing\)={\varnothing}), so (P(P(A))=P\({\varnothing}\)={\varnothing,{\varnothing}}). The power set of an empty set is not empty.
\(A\cup B={a,c,d}\) और (\(A\cup B\)'={b,e}), इसलिए पावर सेट में \(2^2=4\) अवयव हैं। पहले संघ निकालना सुरक्षित रहता है। / \(A\cup B={a,c,d}\) and (\(A\cup B\)'={b,e}), so the power set has \(2^2=4\) elements. Find the union first.
(A'\cap B'=\(A\cup B\)'={7,8}), इसलिए (n(P\(A'\cap B'\))=22=4)। डी मॉर्गन नियम से समय बचता है। / (A'\cap B'=\(A\cup B\)'={7,8}), so (n(P\(A'\cap B'\))=22=4). De Morgan's law saves time.
(p) को स्थिर रखने पर बाकी (q,r) के \(2^2=4\) चयन होंगे। अनिवार्य अवयव को स्थिर मानें। / After fixing (p), the remaining (q,r) have \(2^2=4\) choices. Treat the compulsory element as fixed.
ठीक (3) अवयव वाले उपसमुच्चय \(\binom{5}{3}=10\) होते हैं। पावर सेट में आकार आधारित गिनती के लिए संयोजन लगाएं। / Subsets with exactly (3) elements are \(\binom{5}{3}=10\). Use combinations for size-based counting in a power set.
(1) स्थिर है और (4) हटाया गया है, इसलिए (2,3) के \(2^2=4\) चयन होंगे। शर्तों को पहले स्थिर करें। / (1) is fixed and (4) is excluded, so (2,3) have \(2^2=4\) choices. Fix the conditions first.
कुल उपसमुच्चय \(2^4=16\) हैं और खाली उपसमुच्चय (1) है, इसलिए (15) गैर-रिक्त उपसमुच्चय हैं। गैर-रिक्त के लिए (1) घटाएं। / Total subsets are \(2^4=16\) and one subset is empty, so there are (15) non-empty subsets. Subtract (1) for non-empty subsets.
(P(A)) के अवयव (A) के सभी उपसमुच्चय हैं, जिनमें केवल (A) स्वयं उचित उपसमुच्चय नहीं है। उचित उपसमुच्चय में पूरा समुच्चय नहीं आता। / The elements of (P(A)) are all subsets of (A), and only (A) itself is not a proper subset. A proper subset excludes the whole set.
किसी (6) अवयव वाले समुच्चय में सम आकार के उपसमुच्चय \(2^{6-1}=32\) होते हैं। सम और विषम आकार वाले उपसमुच्चय बराबर होते हैं। / For a (6)-element set, even-sized subsets are \(2^{6-1}=32\). Even-sized and odd-sized subsets are equal in number.
विषम आकार के उपसमुच्चय \(2^{5-1}=16\) होते हैं। यह पहचान तेज गिनती में मदद करती है। / Odd-sized subsets are \(2^{5-1}=16\). This identity helps in quick counting.
(P(A)) के अवयव (A) के उपसमुच्चय होते हैं, लेकिन ({{1}}) में अवयव ({1}) है जो (A) का अवयव नहीं है। ब्रेसेस की परतें ध्यान से देखें। / Elements of (P(A)) are subsets of (A), but ({{1}}) has element ({1}), which is not an element of (A). Watch the layers of braces carefully.
(A) में दो अवयव \(\varnothing\) और ({1}) हैं, इसलिए (n(P(A))=22=4)। खाली समुच्चय भी अवयव हो सकता है। / (A) has two elements, \(\varnothing\) and ({1}), so (n(P(A))=22=4). The empty set can also be an element.
हर समुच्चय स्वयं अपने पावर सेट का अवयव होता है, इसलिए \(A={\varnothing,{\varnothing}}\) शामिल है। पावर सेट में मूल समुच्चय भी आता है। / Every set is an element of its power set, so \(A={\varnothing,{\varnothing}}\) is included. The original set is also in its power set.
\(U=\{-2,-1,0,1,2\}\) और \(A=\{-1,1\}\), इसलिए (A'={-2,0,2})। अब (n(P(A'))=23=8)। / \(U=\{-2,-1,0,1,2\}\) and \(A=\{-1,1\}\), so (A'={-2,0,2}). Thus (n(P(A'))=23=8).
\(A=\{2,3,5,7\}\), इसलिए (A'={1,4,6,8,9}) और (n(P(A'))=25=32)। (1) को अभाज्य न मानें। / \(A=\{2,3,5,7\}\), so (A'={1,4,6,8,9}) and (n(P(A'))=25=32). Do not treat (1) as prime.
(P(A)) में \(2^4=16\) अवयव हैं, इसलिए इसके (2)-अवयवी उपसमुच्चय \(\binom{16}{2}=120\) हैं। यहां (P(A)) को नया समुच्चय मानें। / (P(A)) has \(2^4=16\) elements, so its (2)-element subsets are \(\binom{16}{2}=120\). Treat (P(A)) as a new set here.
(2^{n(A)}=2^{n(B)}) से (n(A)=n(B)) मिलता है, पर समुच्चय समान होना जरूरी नहीं। कार्डिनैलिटी और समानता अलग बातें हैं। / From (2^{n(A)}=2^{n(B)}), we get (n(A)=n(B)), but the sets need not be equal. Cardinality and equality are different ideas.
दोनों पावर सेटों में खाली समुच्चय हमेशा होता है और कोई अन्य समान उपसमुच्चय नहीं है। असंबद्ध मूल समुच्चयों के लिए सामान्य अवयव \(\varnothing\) रहता है। / Both power sets always contain the empty set, and no other subset is common here. For disjoint original sets, the common element is \(\varnothing\).
जो समुच्चय (A) और (B) दोनों के उपसमुच्चय हैं, वे \(A\cap B\) के उपसमुच्चय होते हैं। इसलिए (P(A)\cap P(B)=P\(A\cap B\))। / Sets that are subsets of both (A) and (B) are subsets of \(A\cap B\). Hence (P(A)\cap P(B)=P\(A\cap B\)).
\(P(A)\cup P(B)\) में केवल (A) या (B) के अलग-अलग उपसमुच्चय होते हैं, जबकि (P\(A\cup B\)) में मिश्रित उपसमुच्चय भी हो सकते हैं। इस पहचान को बिना जांचे न लगाएं। / \(P(A)\cup P(B)\) contains subsets of (A) or subsets of (B), while (P\(A\cup B\)) may contain mixed subsets. Do not use this as an identity without checking.
(P(A)) और (P(B)) में \(\varnothing\) तथा ({2}) समान हैं, इसलिए कुल (4+4-2=6)। पावर सेटों के संघ में दोहराव हटाएं। / (P(A)) and (P(B)) have \(\varnothing\) and ({2}) in common, so the total is (4+4-2=6). Remove duplicates in the union of power sets.
(A) और (A') असंबद्ध हैं, इसलिए उनके पावर सेटों में केवल \(\varnothing\) समान होगा। पावर सेटों का प्रतिच्छेद एक समुच्चय के रूप में लिखें। / (A) and (A') are disjoint, so their power sets have only \(\varnothing\) in common. Write the intersection of power sets as a set.
A. क्योंकि (A) का हर उपसमुच्चय (U) का भी उपसमुच्चय है/Because every subset of (A) is also a subset of (U)
Explanation
Simple Explanation
सार्वत्रिक समुच्चय में (A) के सभी अवयव हैं, इसलिए (A) के उपसमुच्चय भी (U) के उपसमुच्चय हैं। यह पावर सेट का आधारभूत गुण है। / The universal set contains all elements of (A), so subsets of (A) are also subsets of (U). This is a basic property of power sets.
पावर सेट बराबर हों तो मूल समुच्चय बराबर होते हैं, इसलिए (A'=A) चाहिए। सीमित (U) में यह तभी संभव है जब (A) अपने पूरक के बराबर हो। / If power sets are equal, the original sets are equal, so (A'=A) is required. In a finite (U), this means (A) equals its complement.
कुल उपसमुच्चय (64) हैं, खाली और (1)-अवयवी उपसमुच्चय (1+6=7) हैं। अतः (64-7=57)। / Total subsets are (64), and empty plus (1)-element subsets are (1+6=7). Therefore (64-7=57).
अधिकतम (2) अवयव वाले उपसमुच्चय \(\binom{5}{0}+\binom{5}{1}+\binom{5}{2}=1+5+10=16\) हैं। अधिकतम में सभी छोटे आकार जोड़ें। / Subsets with at most (2) elements are \(\binom{5}{0}+\binom{5}{1}+\binom{5}{2}=1+5+10=16\). For at most, add all smaller sizes.
(a,b) स्थिर हैं और शेष (3) अवयवों के \(2^3=8\) चयन हो सकते हैं। दोनों अनिवार्य हों तो उन्हें पहले रख लें। / (a,b) are fixed, and the remaining (3) elements have \(2^3=8\) choices. When both are compulsory, place them first.
कुल \(2^5=32\) उपसमुच्चय हैं और (a,b) दोनों न होने वाले \(2^3=8\) हैं। इसलिए (32-8=24)। / There are \(2^5=32\) total subsets, and \(2^3=8\) subsets contain neither (a) nor (b). Thus (32-8=24).
सम योग पाने के लिए विषम अवयवों (1,3) में से सम संख्या चुनी जाएगी और सम अवयव स्वतंत्र हैं, इसलिए \(2\cdot 2^2=8\)। पैरिटी में विषम अवयवों पर ध्यान दें। / For an even sum, choose an even number of odd elements from (1,3), and even elements are free, so \(2\cdot 2^2=8\). In parity questions, focus on odd elements.
(A'={2,4,6,8}), इसलिए इसके सभी उपसमुच्चय केवल सम संख्याओं के होंगे। संख्या \(2^4=16\) है। / (A'={2,4,6,8}), so all its subsets contain only even numbers. The number is \(2^4=16\).
A. केवल \({1}\in P(A)\) सही है/Only \({1}\in P(A)\) is correct
Explanation
Simple Explanation
({1}) समुच्चय (A) का उपसमुच्चय है, इसलिए वह (P(A)) का अवयव है। लेकिन (1), (P(A)) का अवयव नहीं है, इसलिए \({1}\subseteq P(A)\) गलत है। / ({1}) is a subset of (A), so it is an element of (P(A)). But (1) is not an element of (P(A)), so \({1}\subseteq P(A)\) is false.
({2}) स्वयं (A) का अवयव है, इसलिए ({{2}}) (A) का उपसमुच्चय है और (P(A)) का अवयव है। परतों को गिनना जरूरी है। / ({2}) itself is an element of (A), so ({{2}}) is a subset of (A) and an element of (P(A)). Counting the layers is essential.
(P(A)) में (8) अवयव हैं और \(\varnothing\) तथा (A) हटाने पर (8-2=6) बचते हैं। ये गैर-रिक्त उचित उपसमुच्चय हैं। / (P(A)) has (8) elements, and removing \(\varnothing\) and (A) leaves (8-2=6). These are non-empty proper subsets.
\(A\cap B={2}\), इसलिए (\(A\cap B\)'={1,3,4,5})। इसका पावर सेट \(2^4=16\) अवयवों का होगा। / \(A\cap B={2}\), so (\(A\cap B\)'={1,3,4,5}). Its power set has \(2^4=16\) elements.
(A'\cup B'=\(A\cap B\)'={1,2,4,5,6}), इसलिए (n(P\(A'\cup B'\))=25=32)। डी मॉर्गन नियम से गिनती आसान होती है। / (A'\cup B'=\(A\cap B\)'={1,2,4,5,6}), so (n(P\(A'\cup B'\))=25=32). De Morgan's law makes counting easier.
(n(P(A))=23=8), (n(P(P(A)))=28=256), इसलिए (n(P(P(P(A))))=2^{256})। हर पावर सेट पर नई घात लगती है। / (n(P(A))=23=8), (n(P(P(A)))=28=256), so (n(P(P(P(A))))=2^{256}). Each power set adds a new exponent.
(1) वाले उपसमुच्चय (8) हैं और आकार (2) वाले \(\binom{4}{2}=6\) हैं। दोनों में (1) और एक अन्य वाला \(\binom{3}{1}=3\) है, इसलिए (8+6-3=11)। / Subsets containing (1) are (8), and size (2) subsets are \(\binom{4}{2}=6\). Their overlap is \(\binom{3}{1}=3\), so (8+6-3=11).
(a) हटाने पर (3) अवयव बचते हैं और इनके विषम आकार के उपसमुच्चय \(2^{3-1}=4\) हैं। निष्कासन के बाद ही आकार गिनें। / After excluding (a), (3) elements remain, and their odd-sized subsets are \(2^{3-1}=4\). Count the size after exclusion.
(2) स्थिर है और (1) निषिद्ध है, इसलिए (3,4,5) के \(2^3=8\) चयन होंगे। अनिवार्य और निषिद्ध अवयव अलग-अलग संभालें। / (2) is fixed and (1) is forbidden, so (3,4,5) have \(2^3=8\) choices. Handle compulsory and forbidden elements separately.
(n(P(B))=32) और (n(P(A))=8), इसलिए अंतर में (32-8=24) अवयव हैं। \(A\subseteq B\) होने से \(P(A)\subseteq P(B)\) है। / (n(P(B))=32) and (n(P(A))=8), so the difference has (32-8=24) elements. Since \(A\subseteq B\), \(P(A)\subseteq P(B)\).
(A) का केवल \(\varnothing\) उपसमुच्चय ही (A) से असंबद्ध होता है। इसलिए संख्या (1) है। / Only the subset \(\varnothing\) of (A) is disjoint from (A). Therefore the number is (1).
