यदि A में n तत्व हैं और \(\mathcal{P}(A)\) में 31 proper subsets हैं, तो n कितना है?

Correct Answer: B. 5. Explanation: किसी सेट A के सभी उपसमुच्चयों की कुल संख्या \(2^n\) होती है। Proper subsets वे होते हैं जो सेट A के बराबर नहीं होते, इसलिए proper subsets की संख्या \(2^n-1\) होगी। प्रश्नानुसार \(2^n-1=31\) देता है, अतः \(2^n=32\) और \(n=5\)। नज़दीकी विकर्षकों का परीक्षण: यदि \(n=4\) होता तो \(2^4-1=15\) मिलता (गलत), और \(n=6\) पर \(2^6-1=63\) मिलता (गलत)। परीक्षा-टिप: proper subsets गिनते समय पूरे सेट को शामिल न करें — कुल उपसमुच्चय \(2^n\) में से एक घटा कर रखें। / The total number of subsets of an n-element set is \(2^n\). Proper subsets exclude the set itself, so their count is \(2^n-1\). Given \(2^n-1=31\), we get \(2^n=32\) and hence \(n=5\). Checking distractors: for \(n=4\) we would have \(2^4-1=15\), and for \(n=6\) we would have \(2^6-1=63\), so those are incorrect. Quick exam tip: remember to subtract 1 from \(2^n\) when asked for proper subsets (exclude the set itself).