यदि \(A=\{1,2,3,4,5\}\) है, तो \(\mathcal{P}(A)\) में कितने ऐसे उपसमुच्चय हैं जो \(\{1,2\}\) को अवश्य रखते हैं और \(5\) को शामिल नहीं करते?

Correct Answer: B. 4. Explanation: बुनियादी विचार: \(\{1,2\}\) को रखना अनिवार्य है और \(5\) निष्कासित है। बचते हुए तत्व हैं \(3\) और \(4\) — ये प्रत्येक शामिल या न शामिल हो सकते हैं। इसलिए संभावनाएँ = \(2^{2}=4\)। विकल्प C (8) तब आता है जब तीन तत्वों को वैकल्पिक माना जाए (उदाहरण के लिए अगर \(5\) को भी वैकल्पिक मान लिया गया हो), जो यहाँ सही नहीं है। परीक्षा-सूत्र: आवश्यक और निषिद्ध तत्वों को अलग कर दें; शेष तत्वों की संख्या पर \(2^{n}\) लागू करें। / Core idea: \(\{1,2\}\) must be present and \(5\) is excluded. The remaining elements are 3 and 4, each may be either included or excluded, giving \(2^{2}=4\) subsets. Option C (8) would be obtained if three elements were treated as optional (for example if 5 were also allowed), which is not the case. Exam tip: fix required/excluded elements first, then count subsets of the remaining elements as \(2^{\text{(number of optional elements)}}\).