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Subjects
Class 11 Mathematics Sets Expert Level 10

यदि \(A=\{x:\;x\in\mathbb{N},\;x\leq 5\}\) और \(U=\{x:\;x\in\mathbb{N},\;x\leq 8\}\) हों, तो \(\mathcal{P}(U)-\mathcal{P}(A)\) में कितने सदस्य होंगे?

If \(A=\{x:\;x\in\mathbb{N},\;x\leq 5\}\) and \(U=\{x:\;x\in\mathbb{N},\;x\leq 8\}\), how many members are in \(\mathcal{P}(U)-\mathcal{P}(A)\)?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. 224

Explanation

Simple Explanation

कोर कॉन्सेप्ट: किसी सेट S के पावर सेट \(\mathcal{P}(S)\) के सदस्यों की संख्या \(2^{|S|}\) होती है। यहाँ \(|U|=8\) और \(|A|=5\)। इसलिए \(|\mathcal{P}(U)|=2^8=256\) और \(|\mathcal{P}(A)|=2^5=32\)। \(\mathcal{P}(U)-\mathcal{P}(A)\) में वे ही उपसमुच्चय आएँगे जो \(U\) के हैं पर \(A\) के नहीं—इसलिए कुल = \(2^8-2^5=256-32=224\)। निकटतम भ्रामक विकल्प: \(256\) (विकल्प D) केवल \(\mathcal{P}(U)\) का आकार है, वह \(\mathcal{P}(A)\) को घटाता नहीं; \(243\) और \(248\) के कोई सरल सेट-कार्डिनैलिटी अर्थ यहाँ उपयुक्त नहीं। परीक्षा-सुझाव: ध्यान रखें कि \(\mathcal{P}(U)-\mathcal{P}(A)\) और \(\mathcal{P}(U-A)\) अलग होते हैं — पहले में उन सभी उपसमुच्चयों को घटाते हैं जो पूरी तरह A में हैं। / Core concept: the power set of a set S has \(2^{|S|}\) elements. Here \(|U|=8\) and \(|A|=5\). So \(|\mathcal{P}(U)|=2^8=256\) and \(|\mathcal{P}(A)|=2^5=32\). The set \(\mathcal{P}(U)-\mathcal{P}(A)\) consists of subsets of U that are not subsets of A, hence its size is \(2^8-2^5=256-32=224\). Why other choices are wrong: 256 counts all subsets of U (ignores subtraction of those inside A); 243 and 248 do not correspond to correct counts from cardinalities here. Exam tip: compute cardinalities first and remember that \(\mathcal{P}(U)-\mathcal{P}(A)\) is not equal to \(\mathcal{P}(U-A)\).

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यदि \(A=\{x:\;x\in\mathbb{N},\;x\leq 5\}\) और \(U=\{x:\;x\in\mathbb{N},\;x\leq 8\}\) हों, तो \(\mathcal{P}(U)-\mathcal{P}(A)\) में कितने सदस्य होंगे? / If \(A=\{x:\;x\in\mathbb{N},\;x\leq 5\}\) and \(U=\{x:\;x\in\mathbb{N},\;x\leq 8\}\), how many members are in \(\mathcal{P}(U)-\mathcal{P}(A)\)?

Correct Answer: A. 224. Explanation: कोर कॉन्सेप्ट: किसी सेट S के पावर सेट \(\mathcal{P}(S)\) के सदस्यों की संख्या \(2^{|S|}\) होती है। यहाँ \(|U|=8\) और \(|A|=5\)। इसलिए \(|\mathcal{P}(U)|=2^8=256\) और \(|\mathcal{P}(A)|=2^5=32\)। \(\mathcal{P}(U)-\mathcal{P}(A)\) में वे ही उपसमुच्चय आएँगे जो \(U\) के हैं पर \(A\) के नहीं—इसलिए कुल = \(2^8-2^5=256-32=224\)। निकटतम भ्रामक विकल्प: \(256\) (विकल्प D) केवल \(\mathcal{P}(U)\) का आकार है, वह \(\mathcal{P}(A)\) को घटाता नहीं; \(243\) और \(248\) के कोई सरल सेट-कार्डिनैलिटी अर्थ यहाँ उपयुक्त नहीं। परीक्षा-सुझाव: ध्यान रखें कि \(\mathcal{P}(U)-\mathcal{P}(A)\) और \(\mathcal{P}(U-A)\) अलग होते हैं — पहले में उन सभी उपसमुच्चयों को घटाते हैं जो पूरी तरह A में हैं। / Core concept: the power set of a set S has \(2^{|S|}\) elements. Here \(|U|=8\) and \(|A|=5\). So \(|\mathcal{P}(U)|=2^8=256\) and \(|\mathcal{P}(A)|=2^5=32\). The set \(\mathcal{P}(U)-\mathcal{P}(A)\) consists of subsets of U that are not subsets of A, hence its size is \(2^8-2^5=256-32=224\). Why other choices are wrong: 256 counts all subsets of U (ignores subtraction of those inside A); 243 and 248 do not correspond to correct counts from cardinalities here. Exam tip: compute cardinalities first and remember that \(\mathcal{P}(U)-\mathcal{P}(A)\) is not equal to \(\mathcal{P}(U-A)\).