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मूल के लिए \(x\ge -3\) और हर के लिए \(x\ne 2\) चाहिए। गुणन में भी दोनों फलनों का सामान्य प्रांत लिया जाता है। / The root needs \(x\ge -3\) and the denominator needs \(x\ne 2\). For a product, take the common domain of both functions.
सरलीकरण के बाद भी मूल हर \(x-2\ne 0\) होना चाहिए। रद्द करने से हटे हुए मान वापस प्रांत में नहीं आते। / Even after simplification, the original denominator must satisfy \(x-2\ne 0\). Cancelled denominator values do not return to the domain.
(f(4)=1) और (g(4)=9), इसलिए ((f-g)(4)=1-9=-8)। मान निकालते समय पहले अलग-अलग फलनों के मान निकालें। / (f(4)=1) and (g(4)=9), so ((f-g)(4)=1-9=-8). Find individual function values first.
दोनों हरों के कारण \(x\ne 1\) और \(x\ne -1\) चाहिए। गुणन (1) बनता है पर प्रतिबंध बने रहते हैं। / The denominators require \(x\ne 1\) and \(x\ne -1\). The product becomes (1), but the restrictions remain.
मूल के लिए \(9-x^2\ge 0\), इसलिए \(x\in[-3,3]\), और \(x\ne 0\)। योग का प्रांत दोनों शर्तों का प्रतिच्छेद है। / The root needs \(9-x^2\ge 0\), so \(x\in[-3,3]\), and \(x\ne 0\). The domain of the sum is the intersection.
फलनों के बीजीय संयोजन में \((2f-3g)(x)=2f(x)-3g(x)\)। अतः \(2f(x)=2x^2+4x\) और \(3g(x)=9x-15\)। इसलिए \((2f-3g)(x)=(2x^2+4x)-(9x-15)=2x^2-5x+15\)। विकल्प C में \(3g(x)\) घटाते समय \(9x\) का चिह्न गलत लिया गया है। परीक्षा-युक्ति: ऋण चिह्न वाले पूरे पद को कोष्ठक में रखकर घटाएँ। / For an algebraic combination of functions, \((2f-3g)(x)=2f(x)-3g(x)\). Thus, \(2f(x)=2x^2+4x\) and \(3g(x)=9x-15\). Therefore, \((2f-3g)(x)=(2x^2+4x)-(9x-15)=2x^2-5x+15\). Option C results from using the wrong sign while subtracting \(3g(x)\). Exam tip: place the entire function being subtracted in parentheses before simplifying.
समान हर ((x+1)(x-1)) लेने पर अंश ((x-1)+(x+1)=2x) मिलता है। हर के शून्य मान हटाना न भूलें। / With common denominator ((x+1)(x-1)), the numerator is ((x-1)+(x+1)=2x). Do not forget excluded denominator values.
\(x^2+\frac{1}{x}=2\) को (x) से गुणा करने पर \(x^3+1=2x\) मिलता है। \(x\ne 0\) शर्त जरूरी है। / Multiplying \(x^2+\frac{1}{x}=2\) by (x) gives \(x^3+1=2x\). The condition \(x\ne 0\) is necessary.
\(\sqrt{x}\) के लिए \(x\ge 0\) और हर के लिए \(x\ne 4\) चाहिए। भागफल में भाजक फलन शून्य नहीं होना चाहिए। / \(\sqrt{x}\) needs \(x\ge 0\) and the denominator needs \(x\ne 4\). In a quotient, the denominator function must not be zero.
(f(-2)=0) और (g(-2)=3), इसलिए गुणन (0) है। यदि किसी एक गुणक का मान (0) हो, तो गुणनफल (0) होता है। / (f(-2)=0) and (g(-2)=3), so the product is (0). If one factor value is (0), the product is (0).
(f) के लिए \(x\ne 3\), (g) के लिए \(x\ne 0\), और भाजक (g(x)\ne 0) से \(x\ne 3\)। सभी प्रतिबंध मिलाकर \(x\ne 0,3\) मिलते हैं। / (f) needs \(x\ne 3\), (g) needs \(x\ne 0\), and divisor (g(x)\ne 0) gives \(x\ne 3\). Together, \(x\ne 0,3\).
पहले मूल के लिए \(x\ge 2\) और दूसरे के लिए \(x\ge -2\) चाहिए। प्रतिच्छेद \( [2,\infty\) ) है। / The first root needs \(x\ge 2\) and the second needs \(x\ge -2\). Their intersection is \( [2,\infty\) ).
(x-2-3x+2=(x-1)(x-2)), पर (x=1) हटेगा। सरलीकृत रूप के साथ प्रांत प्रतिबंध लिखना जरूरी है। / (x-2-3x+2=(x-1)(x-2)), but (x=1) is excluded. Always write the domain restriction with a simplified form.
((f+g)(x)=x-2+2x=(x+1)2-1) नहीं, सही योग (x-2+2x=x(x+2)) का न्यूनतम (-1) होता है। ध्यान दें \(2x-1+x^2+1=x^2+2x\)। / ((f+g)(x)=x-2+2x=(x+1)2-1), so the minimum is (-1). Be careful because \(2x-1+x^2+1=x^2+2x\).
फलनों के योग की परिभाषा के अनुसार �((f+g)(2)=f(2)+g(2))�। यहाँ �(f(2)=22-1=3)� और �(g(2)=2+1=3)�, इसलिए �((f+g)(2)=3+3=6)�। विकल्प 4 केवल �\(2^2\)� लेने जैसी गलती से मिल सकता है। परीक्षा-युक्ति: पहले दोनों फलनों के मान अलग-अलग निकालकर अंत में जोड़ें। / By the definition of the sum of two functions, �((f+g)(2)=f(2)+g(2))�. Here, �(f(2)=22-1=3)� and �(g(2)=2+1=3)�, so �((f+g)(2)=3+3=6)�. The distractor 4 may result from using only �\(2^2\)� and ignoring the remaining terms. Exam tip: evaluate both functions separately before adding their values.
(x=0) दोनों फलनों के प्रांत में है और (f(0)g(0)=(-1)(-1)=1)। पहले जांचें कि दिया मान प्रांत में है या नहीं। / (x=0) is in both domains and (f(0)g(0)=(-1)(-1)=1). First check whether the given value is in the domain.
\(\sqrt{4-x}\) के लिए \(x\le 4\), और \(\sqrt{x}\) हर में होने से (x>0)। प्रतिच्छेद ( (0,4] ) है। / \(\sqrt{4-x}\) needs \(x\le 4\), and \(\sqrt{x}\) in the denominator needs (x>0). The intersection is ( (0,4] ).
(f(1)=2) और (g(1)=2), इसलिए दोनों अनुपात (1) हैं। भागफल प्रश्न में भाजक का मान शून्य नहीं होना चाहिए। / (f(1)=2) and (g(1)=2), so both ratios are (1). In quotient questions, the denominator value must be non-zero.
फलनों का योग लेने पर �((f+g)(x)=f(x)+g(x)=x-2-5x+6)�। वर्ग पूर्ण करने पर �(x-2-5x+6=\left\(x-\frac{5}{2}\right\)2-\frac{1}{4})� मिलता है। वर्ग का मान हमेशा शून्य या धनात्मक होता है, इसलिए न्यूनतम मान �\(-\frac{1}{4}\)� है, जो �\(x=\frac{5}{2}\)� पर प्राप्त होता है। �(0)� निकटतम भ्रमकारी विकल्प है, लेकिन वह पूर्ण वर्ग वाले पद को छोड़ देने से प्राप्त हो सकता है। परीक्षा-युक्ति: �\(ax^2+bx+c\)� में �(a>0)� हो तो शीर्ष-बिंदु पर न्यूनतम मान प्राप्त होता है। / Adding the functions gives �((f+g)(x)=f(x)+g(x)=x-2-5x+6)�. Completing the square, �(x-2-5x+6=\left\(x-\frac{5}{2}\right\)2-\frac{1}{4})�. Since a square is always non-negative, the minimum value is �\(-\frac{1}{4}\)�, attained at �\(x=\frac{5}{2}\)�. The distractor �(0)� may result from overlooking the constant term after completing the square. Exam tip: for �\(ax^2+bx+c\)� with �(a>0)�, the minimum occurs at the vertex.
A. (f(x)=g(x)) पर \(x\ne 3\)/(f(x)=g(x)) but \(x\ne 3\)
Explanation
Simple Explanation
(f(x)) सरल होकर (x+3) बनता है, पर (x=3) पर मूल फलन परिभाषित नहीं है। समान सूत्र और समान फलन में प्रांत भी मिलना चाहिए। / (f(x)) simplifies to (x+3), but the original function is not defined at (x=3). Same formula and same function require matching domains.
बिंदुवार गुणनफल के लिए (fg)(x)=f(x)g(x) होता है। अतः (fg)(x)=(|x|+x)(|x|-x)=|x|2-x-2=0, क्योंकि प्रत्येक वास्तविक x के लिए |x|2=x-2। विकल्प B में योग जैसे पदों को गलत ढंग से जोड़ा गया है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे प्रश्नों में (a+b)(a-b)=a-2-b-2 की पहचान तुरंत लगाएँ। / For the pointwise product, (fg)(x)=f(x)g(x). Hence, (fg)(x)=(|x|+x)(|x|-x)=|x|2-x-2=0, since |x|2=x-2 for every real x. Option B results from an incorrect expansion that treats the factors as if their terms were simply added. Exam tip: apply the identity (a+b)(a-b)=a-2-b-2 directly.
पहले फलन में \(x^2-4\ne 0\) से \(x\ne \pm2\), और दूसरे में \(x\ne 2\)। संयुक्त प्रांत \( \mathbb{R}\setminus{-2,2} \) है। / The first function gives \(x^2-4\ne 0\), so \(x\ne \pm2\), and the second gives \(x\ne 2\). The common domain is \( \mathbb{R}\setminus{-2,2} \).
\((f-g)(x)=f(x)-g(x)=x^3-x^2=x^2(x-1)\)। शून्य गुणनफल नियम से \(x^2=0\) पर \(x=0\) और \(x-1=0\) पर \(x=1\) मिलता है। इसलिए वास्तविक हल \(0\) और \(1\) हैं। विकल्प B में \(x=0\) छूट गया है। परीक्षा-युक्ति: ऐसे समीकरणों में पहले सामान्य गुणनखंड निकालकर प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखें। / \((f-g)(x)=f(x)-g(x)=x^3-x^2=x^2(x-1)\). By the zero-product property, \(x^2=0\) gives \(x=0\), and \(x-1=0\) gives \(x=1\). Hence the real solutions are \(0\) and \(1\). Option B is incomplete because it omits \(x=0\). Exam tip: factor the expression first, then set each factor equal to zero.
अंश ((x+2)2+(x-2)2=2x-2+8) है। समान हर बनाते समय पूरे वर्ग ध्यान से खोलें। / The numerator is ((x+2)2+(x-2)2=2x-2+8). Expand both squares carefully while taking a common denominator.
\((f-g)(x)=f(x)-g(x)=x^2+ax-(bx+1)=x^2+(a-b)x-1\)। इसे दिए गए \(x^2-5x-1\) से तुलना करने पर \(a-b=-5\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर विकल्प A है। ध्यान रखें कि इस सूचना से \(a\) और \(b\) के अलग-अलग मान निश्चित नहीं होते; केवल उनका अंतर निर्धारित होता है। / \((f-g)(x)=f(x)-g(x)=x^2+ax-(bx+1)=x^2+(a-b)x-1\). Comparing this with the given expression \(x^2-5x-1\), the coefficient of \(x\) gives \(a-b=-5\). Hence, option A is correct. Exam tip: compare corresponding coefficients, and do not assume that \(a\) and \(b\) individually are determined when only their difference is given.
भाग देने पर \(\frac{1}{x}\div\frac{1}{x+1}=\frac{x+1}{x}\) मिलता है। मूल (g) के लिए \(x\ne -1\) भी जरूरी है। / Dividing gives \(\frac{1}{x}\div\frac{1}{x+1}=\frac{x+1}{x}\). The original (g) also requires \(x\ne -1\).
\((f-g)(x)=0\) का अर्थ है \(x^2-|x|=0\), अर्थात् \(x^2=|x|\)। \(t=|x|\ge 0\) रखने पर \(t^2=t\), इसलिए \(t=0\) या \(t=1\)। इससे \(x=0\) या \(x=\pm1\), यानी \(x\in\{-1,0,1\}\) प्राप्त होता है। विकल्प B में \(x=-1\) छूट जाता है। परीक्षा-युक्ति: modulus वाले समीकरणों में पहले \(|x|\) को एक गैर-ऋणात्मक चर मानकर हल करें। / The condition \((f-g)(x)=0\) gives \(x^2-|x|=0\), or \(x^2=|x|\). Let \(t=|x|\ge 0\). Then \(t^2=t\), so \(t=0\) or \(t=1\). Hence \(x=0\) or \(x=\pm1\), giving \(x\in\{-1,0,1\}\). Option B is incorrect because it omits \(x=-1\). Exam tip: for equations involving a modulus, substitute \(t=|x|\) with \(t\ge0\) before solving.
((fg)(x)=\sqrt{(x+1)(2-x)}) और अंदर का द्विघात अधिकतम \(\frac{9}{4}\) है। इसलिए अधिकतम \(\frac{3}{2}\) है। / ((fg)(x)=\sqrt{(x+1)(2-x)}), and the quadratic inside has maximum \(\frac{9}{4}\). Therefore the maximum is \(\frac{3}{2}\).
((f-g)(x)=x-2-7x+11=\(x-\frac{7}{2}\)2-\frac{5}{4}) नहीं, सही स्थिर मान से न्यूनतम \(-\frac{5}{4}\) है। विकल्पों में त्रुटि जांचें। / ((f-g)(x)=x-2-7x+11=\(x-\frac{7}{2}\)2-\frac{5}{4}), so the minimum is \(-\frac{5}{4}\). Check options carefully.
A. हर वास्तविक \(x\) के लिए, जहाँ \(x\ne -1\)/For every real \(x\) such that \(x\ne -1\)
Explanation
Simple Explanation
\(x^2-1=(x-1)(x+1)\), इसलिए \(x\ne -1\) पर \(f(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}=x-1=g(x)\)। लेकिन मूल फलन \(f\) में \(x=-1\) रखने पर हर शून्य हो जाता है, इसलिए वहाँ \(f\) अपरिभाषित है। अतः दोनों फलन प्रत्येक वास्तविक \(x\ne -1\) पर समान मान देते हैं। परीक्षा-युक्ति: बीजीय सरलीकरण के बाद मूल व्यंजक का प्रतिबंधित प्रांत अवश्य जाँचें। / Since \(x^2-1=(x-1)(x+1)\), for \(x\ne -1\) we get \(f(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}=x-1=g(x)\). However, the original function \(f\) is undefined at \(x=-1\) because its denominator becomes zero. Therefore, the functions have equal values for every real \(x\ne -1\). Exam tip: after simplifying a rational expression, always retain the domain restriction from the original expression.
पहले हर से \(x\ne -2\) और दूसरे हर से \(x\ne 0\) मिलता है। योग का प्रांत दोनों प्रतिबंधों को साथ रखता है। / The first denominator gives \(x\ne -2\), and the second gives \(x\ne 0\). The domain of the sum keeps both restrictions.
((f+g)(x)=x-2+4x+4=(x+2)2), इसलिए शून्य (x=-2) पर है। पूर्ण वर्ग पहचान परीक्षा में उपयोगी है। / ((f+g)(x)=x-2+4x+4=(x+2)2), so the zero is at (x=-2). Perfect square identity is useful in exams.
\((f-g)(x)=\frac{x-1}{x+1}-\frac{x+1}{x-1}\)। समान हर लेने पर अंश \((x-1)^2-(x+1)^2\) मिलता है। इसका मान \((x^2-2x+1)-(x^2+2x+1)=-4x\) है और हर \((x+1)(x-1)=x^2-1\) है। इसलिए सही रूप \(\frac{-4x}{x^2-1}\) है। मूल फलनों के हर शून्य न हों, इसलिए \(x\ne\pm1\)। परीक्षा-युक्ति: घटाव में दूसरे भिन्न के पूरे अंश के आगे ऋण चिह्न लगाना न भूलें; इसी कारण विकल्प B गलत है। / \((f-g)(x)=\frac{x-1}{x+1}-\frac{x+1}{x-1}\). Taking the common denominator gives the numerator \((x-1)^2-(x+1)^2\). Expanding, this is \((x^2-2x+1)-(x^2+2x+1)=-4x\), while the denominator is \((x+1)(x-1)=x^2-1\). Hence the simplified form is \(\frac{-4x}{x^2-1}\). The domain excludes \(x=1\) and \(x=-1\), where the original functions are undefined. Exam tip: retain the minus sign before the entire second numerator; losing it leads to option B.
\(f(x)=\sqrt{x-1}\) के लिए \(x\ge 1\) आवश्यक है। लेकिन भागफल \(\frac{x-3}{\sqrt{x-1}}\) में हर शून्य नहीं हो सकता। \(x=1\) पर हर \(0\) हो जाता है, इसलिए \(x>1\) होना चाहिए और प्रांत \((1,\infty)\) है। विकल्प B में \(x=1\) को गलती से शामिल किया गया है। परीक्षा-सुझाव: वर्गमूल और भाजक दोनों की शर्तें साथ-साथ जाँचें। / For \(f(x)=\sqrt{x-1}\), we need \(x\ge 1\). However, in the quotient \(\frac{x-3}{\sqrt{x-1}}\), the denominator must not be zero. At \(x=1\), the denominator is zero, so the actual condition is \(x>1\), giving the domain \((1,\infty)\). Option B incorrectly includes \(x=1\). Exam tip: For a quotient involving a square root, apply both the square-root condition and the non-zero-denominator condition.
(f(1)=-1) और (g(1)=4), इसलिए ((fg)(1)=-4)। उत्पाद फलन में मानों को गुणा करें, सूत्रों को नहीं जोड़ें। / (f(1)=-1) and (g(1)=4), so ((fg)(1)=-4). For a product function, multiply values, do not add formulas.
दोनों फलनों का गुणनफल \((fg)(x)=f(x)g(x)=\frac{1}{x^2+1}(x^2+1)=1\) है। चूँकि \(x^2+1\) कभी शून्य नहीं होता, यह प्रत्येक वास्तविक \(x\) के लिए परिभाषित है और इसका मान हमेशा 1 रहता है। इसलिए परिसर केवल \(\{1\}\) है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में पहले फलनों का गुणनफल सरल करके स्थिर फलन पहचानें। / The product is \((fg)(x)=f(x)g(x)=\frac{1}{x^2+1}(x^2+1)=1\). Since \(x^2+1\) is never zero, the product is defined for every real \(x\), but its value is always 1. Hence, its range is only \(\{1\}\). Exam tip: simplify the product first and check whether it becomes a constant function.
पहले मूल से \(x\ge 0\) और दूसरे से \(x\le 1\) मिलता है। दोनों शर्तों का प्रतिच्छेद ( [0,1] ) है। / The first root gives \(x\ge 0\), and the second gives \(x\le 1\). Their intersection is ( [0,1] ).
((f+g)(x)=x-2+(p+2)x+5) का न्यूनतम (0) होने के लिए विविक्तकर (0) होगा। इसलिए ((p+2)2=20)। / For ((f+g)(x)=x-2+(p+2)x+5) to have minimum (0), its discriminant must be (0). Hence ((p+2)2=20).
(f(x)=x-2) पर (x=-2) हटता है, इसलिए अंतर (0) सभी \(x\ne -2\) पर है। प्रांत प्रतिबंध उत्तर का हिस्सा है। / (f(x)=x-2), but (x=-2) is excluded, so the difference is (0) for all \(x\ne -2\). Domain restriction is part of the answer.
((f-g)(x)=x-2-4), इसलिए \(x^2-4>0\) से (|x|>2)। द्विघात असमिका में संख्या रेखा उपयोगी है। / ((f-g)(x)=x-2-4), so \(x^2-4>0\) gives (|x|>2). A number line is useful for quadratic inequalities.
\(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}=1\), पर \(x\ne 1\)। सरलीकरण के बाद भी पुराना प्रतिबंध रहता है। / \(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}=1\), but \(x\ne 1\). The original restriction remains after simplification.
\(\frac{x^2+1}{x^2-1}>1\) से \(\frac{2}{x^2-1}>0\), अतः \(x^2-1>0\)। हर का संकेत जांचना जरूरी है। / \(\frac{x^2+1}{x^2-1}>1\) gives \(\frac{2}{x^2-1}>0\), so \(x^2-1>0\). Checking the denominator sign is essential.
(f(0)=2) और (g(0)=2), इसलिए अंतर (0) है। मापांक में अंदर का मान पहले रखें फिर धनात्मक दूरी लें। / (f(0)=2) and (g(0)=2), so the difference is (0). In modulus, substitute first and then take positive distance.
यहाँ \((fg)(x)=f(x)g(x)=\frac{x+1}{x-1}\), जहाँ \(x\ne1\) है। समीकरण \(\frac{x+1}{x-1}=1\) से \(x+1=x-1\) प्राप्त होता है, जो असंभव है। इसलिए कोई वास्तविक हल नहीं है। विकल्प \(x=1\) भी मान्य नहीं है, क्योंकि वहाँ \(f(x)\) परिभाषित नहीं है। परीक्षा-युक्ति: भिन्न वाले समीकरण में पहले हर को शून्य न होने की शर्त अवश्य लिखें। / Here, \((fg)(x)=f(x)g(x)=\frac{x+1}{x-1}\), with the domain restriction \(x\ne1\). Solving \(\frac{x+1}{x-1}=1\) gives \(x+1=x-1\), which is impossible. Hence, there is no real solution. The choice \(x=1\) is also invalid because \(f(x)\) is undefined there. Exam tip: For an equation containing a fraction, first state that its denominator cannot be zero.
भागफल \(\frac{f(x)}{g(x)}\) के लिए वर्गमूल \(\sqrt{x-2}\) परिभाषित होना चाहिए, इसलिए \(x-2\ge 0\), अर्थात् \(x\ge 2\)। साथ ही, हर शून्य नहीं हो सकता; \(\sqrt{x-2}\ne 0\) से \(x\ne 2\) मिलता है। अतः दोनों शर्तों को मिलाने पर डोमेन \((2,\infty)\) है। इसलिए विकल्प B गलत है, क्योंकि उसमें \(x=2\) शामिल है, जहाँ हर शून्य हो जाता है। परीक्षा-टिप: भागफल का डोमेन निकालते समय मूल वाले व्यंजक की शर्त और हर के शून्य न होने की शर्त दोनों जाँचें। / For the quotient \(\frac{f(x)}{g(x)}\), the square root \(\sqrt{x-2}\) must be defined, so \(x-2\ge 0\), giving \(x\ge 2\). Also, the denominator cannot be zero; \(\sqrt{x-2}\ne 0\) requires \(x\ne 2\). Combining these conditions gives the domain \((2,\infty)\). Option B is incorrect because it includes \(x=2\), where the denominator is zero. Exam tip: For a quotient involving a radical, check both the radical's domain condition and the condition that the denominator is nonzero.
((f+g)(x)=4x-2), इसलिए (4x-2=0) से \(x=\frac{1}{2}\)। रैखिक समीकरण में संकेत जल्दी जांचें। / ((f+g)(x)=4x-2), so (4x-2=0) gives \(x=\frac{1}{2}\). Check signs quickly in linear equations.
भाजक (g(x)=x+1) है, इसलिए \(x\ne -1\)। अंश के लिए कोई अतिरिक्त वास्तविक प्रतिबंध नहीं है। / The denominator is (g(x)=x+1), so \(x\ne -1\). The numerator gives no additional real restriction.
मूल से \(x\ge -4\) और हर से \(x\ne 1\) मिलता है। योग के लिए दोनों शर्तें साथ लागू होती हैं। / The root gives \(x\ge -4\), and the denominator gives \(x\ne 1\). Both conditions apply together for the sum.
अंश के मूल से \(2x-3\ge 0\) और हर के मूल से (7-x>0) चाहिए। इसलिए प्रांत \( \left[\frac{3}{2},7\right\) ) है। / The numerator root needs \(2x-3\ge 0\), and the denominator root needs (7-x>0). Therefore the domain is \( \left[\frac{3}{2},7\right\) ).
((f+g)(x)=x-2-2x-1=(x-1)2-2), इसलिए न्यूनतम मान (-2) है। पूर्ण वर्ग विधि ऐसे प्रश्नों में तेज होती है। / ((f+g)(x)=x-2-2x-1=(x-1)2-2), so the minimum value is (-2). Completing the square is fast for such questions.
