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A. पहले स्थान के लिए (n) विकल्प होते हैं/There are (n) choices for the first position
Explanation
Simple Explanation
पहले स्थान पर (n) अलग वस्तुओं में से कोई भी आ सकती है। परीक्षा में स्थानों को क्रम से भरकर सोचें। / Any one of the (n) distinct objects can occupy the first position. In exams think by filling positions one by one.
क्योंकि (r) स्थान भरने हैं इसलिए (r) गुणनखंड आते हैं। परीक्षा में गुणनखंडों की संख्या को स्थानों की संख्या से जोड़ें। / Since (r) positions are to be filled there are (r) factors. In exams connect the number of factors with the number of positions.
क्रम वाले चयन में (n!) से बाकी ((n-r)!) भाग हटता है। परीक्षा में permutation के हर में ((n-r)!) याद रखें। / In ordered selection the remaining ((n-r)!) part is removed from (n!). In exams remember ((n-r)!) in the denominator for permutation.
D. क्योंकि क्रम को हटाना होता है/Because order has to be removed
Explanation
Simple Explanation
Combination में क्रम नहीं गिना जाता इसलिए चुनी गई (r) वस्तुओं के (r!) क्रम हटते हैं। परीक्षा में combination को बिना क्रम का चयन मानें। / In combination order is not counted so (r!) orders of selected objects are removed. In exams treat combination as selection without order.
पहले (r) वस्तुएँ चुनी जाती हैं और फिर उन्हें (r!) तरीकों से जमाया जाता है। परीक्षा में पहले चयन फिर व्यवस्था का विचार रखें। / First (r) objects are chosen and then arranged in (r!) ways. In exams keep the idea of choose first and arrange later.
B. \(^{n}P_r\) को (r!) से भाग देना/Dividing \(^{n}P_r\) by (r!)
Explanation
Simple Explanation
Combination में permutation से अतिरिक्त क्रम हटाए जाते हैं। परीक्षा में \(^{n}P_r\) लिखकर (r!) से भाग दें। / In combination extra orders are removed from permutation. In exams write \(^{n}P_r\) and divide by (r!).
D. (r) वस्तुएँ चुनना उतना ही है जितना (n-r) वस्तुएँ छोड़ना/Choosing (r) objects is same as leaving (n-r) objects
Explanation
Simple Explanation
जब (r) चुने जाते हैं तब (n-r) वस्तुएँ अपने आप छूटती हैं। परीक्षा में चयन और त्याग का संबंध याद रखें। / When (r) are chosen the (n-r) objects are automatically left. In exams remember the connection between choosing and leaving.
संबंध \(^{n}C_r=^{n}C_{n-r}\) से (k=10-3=7) होगा। परीक्षा में समान combination में पूरक सूचकांक देखें। / By \(^{n}C_r=^{n}C_{n-r}\) we get (k=10-3=7). In exams check the complementary index in equal combinations.
A. क्योंकि कोई वस्तु न चुनने का केवल (1) तरीका है/Because there is only (1) way to choose no object
Explanation
Simple Explanation
शून्य वस्तुओं का चयन खाली चयन है और वह एक ही तरह से होता है। परीक्षा में खाली चयन को भी एक तरीका मानें। / Selecting zero objects is an empty selection and it happens in one way. In exams count empty selection as one way.
D. सभी वस्तुएँ चुनने का केवल (1) तरीका है/There is only (1) way to choose all objects
Explanation
Simple Explanation
सभी (n) वस्तुओं को चुनना एक निश्चित चयन है। परीक्षा में सभी चुनी गई स्थिति को (1) तरीका समझें। / Choosing all (n) objects is one fixed selection. In exams understand the all selected case as (1) way.
D. शून्य वस्तुओं की व्यवस्था का एक खाली तरीका/One empty way to arrange zero objects
Explanation
Simple Explanation
शून्य स्थान भरने का एक खाली arrangement माना जाता है। परीक्षा में (0!=1) का उपयोग ध्यान रखें। / Filling zero positions is counted as one empty arrangement. In exams remember the use of (0!=1).
D. \(^{n}C_n=\frac{n!}{n!0!}=1\) सही रखने के लिए (0!=1) चाहिए/To keep \(^{n}C_n=\frac{n!}{n!0!}=1\) we need (0!=1)
Explanation
Simple Explanation
सूत्र में \(^{n}C_n=1\) तभी मिलता है जब (0!=1) हो। परीक्षा में सीमा मामलों से factorial समझें। / The formula gives \(^{n}C_n=1\) only when (0!=1). In exams understand factorial using boundary cases.
A. क्योंकि (n) अलग वस्तुओं को सभी (n) स्थानों पर जमाना है/Because (n) distinct objects are arranged in all (n) places
Explanation
Simple Explanation
सभी वस्तुओं की व्यवस्था (n(n-1)\cdots1=n!) होती है। परीक्षा में पूरी व्यवस्था को factorial से जोड़ें। / Arranging all objects gives (n(n-1)\cdots1=n!). In exams connect complete arrangement with factorial.
पहले स्थान के लिए (5) और दूसरे के लिए (4) विकल्प होंगे। परीक्षा में पुनरावृत्ति न हो तो विकल्प घटते हैं। / There are (5) choices for the first place and (4) for the second. In exams choices decrease when repetition is not allowed.
पदों पर बैठाना क्रम पर निर्भर करता है इसलिए permutation लगेगा। परीक्षा में पद सीट या rank आने पर order देखें। / Seating in positions depends on order so permutation is used. In exams when position seat or rank appears check order.
टीम में क्रम नहीं होता इसलिए combination लगेगा। परीक्षा में समूह या समिति शब्दों पर order हटाएँ। / A team has no order so combination is used. In exams remove order for words like group or committee.
पहले (2) वस्तुएँ चुनें और फिर उन्हें (2!) तरीकों से जमाएँ। परीक्षा में permutation को combination गुणा व्यवस्था समझें। / First choose (2) objects and then arrange them in (2!) ways. In exams understand permutation as combination times arrangement.
Combination पाने के लिए ordered arrangements को (2!) से भाग दिया जाता है। परीक्षा में internal orders हटाने के लिए भाग दें। / To get combination ordered arrangements are divided by (2!). In exams divide to remove internal orders.
एक वस्तु चुनने के लिए (n) विकल्प होते हैं। परीक्षा में single selection को सीधे (n) मानें। / There are (n) choices to select one object. In exams take single selection directly as (n).
एक स्थान भरना है इसलिए (n) विकल्प मिलते हैं। परीक्षा में (r=1) पर permutation और combination दोनों (n) होते हैं। / Only one position is to be filled so there are (n) choices. In exams for (r=1) permutation and combination both equal (n).
Combination formula में ((n-2)!) कटने पर (n(n-1)) बचता है। परीक्षा में \(^{n}C_2\) को जोड़े बनाने का सूत्र मानें। / In the combination formula after cancelling ((n-2)!) the term (n(n-1)) remains. In exams remember \(^{n}C_2\) as the pair-making formula.
C. दो क्रमबद्ध स्थान भरना/Filling two ordered positions
Explanation
Simple Explanation
पहले स्थान के लिए (n) और दूसरे के लिए (n-1) विकल्प होते हैं। परीक्षा में ordered pair में multiplication principle लगाएँ। / There are (n) choices for the first place and (n-1) for the second. In exams use the multiplication principle for ordered pairs.
संबंध \(^{n}C_r=^{n}C_{n-r}\) से \(^{9}C_7=^{9}C_2\) है। परीक्षा में calculation घटाने के लिए छोटा index लें। / By \(^{n}C_r=^{n}C_{n-r}\) we get \(^{9}C_7=^{9}C_2\). In exams use the smaller index to reduce calculation.
A. विशेष वस्तु को न चुनना/Not choosing the special object
Explanation
Simple Explanation
एक निश्चित वस्तु को छोड़कर बाकी (n-1) में से (r) चुनना \(^{n-1}C_r\) है। परीक्षा में मामलों को शामिल और अलग में बाँटें। / Choosing (r) from remaining (n-1) after excluding one fixed object is \(^{n-1}C_r\). In exams split cases into included and excluded.
C. विशेष वस्तु को चुनकर बाकी (r-1) चुनना/Choosing the special object and then choosing remaining (r-1)
Explanation
Simple Explanation
यदि विशेष वस्तु चुनी गई है तो बाकी (r-1) वस्तुएँ (n-1) में से चुननी होंगी। परीक्षा में included case को अलग लिखें। / If the special object is chosen the remaining (r-1) objects must be chosen from (n-1). In exams write the included case separately.
सूत्र \(^{n}C_r=^{n-1}C_r+^{n-1}C_{r-1}\) में (n=6) और (r=2) रखें। परीक्षा में (n) दोनों पदों में (1) कम होता है। / Put (n=6) and (r=2) in \(^{n}C_r=^{n-1}C_r+^{n-1}C_{r-1}\). In exams (n) decreases by (1) in both terms.
B. हर वस्तु को लेना या न लेना दो विकल्प होते हैं/Each object has two choices take or not take
Explanation
Simple Explanation
हर वस्तु के लिए दो विकल्प होते हैं इसलिए कुल उपसमुच्चय \(2^n\) होते हैं। परीक्षा में subsets को include या exclude से सोचें। / Each object has two choices so total subsets are \(2^n\). In exams think of subsets using include or exclude.
D. क्योंकि कुल \(2^n\) selections में से खाली selection हटता है/Because the empty selection is removed from total \(2^n\) selections
Explanation
Simple Explanation
सभी selections में खाली selection भी शामिल होता है। परीक्षा में at least one आने पर empty case घटाएँ। / All selections include the empty selection too. In exams subtract the empty case when at least one appears.
उपसमुच्चय में क्रम नहीं होता इसलिए \(^{n}C_r\) सही है। परीक्षा में subset को unordered selection मानें। / A subset has no order so \(^{n}C_r\) is correct. In exams treat a subset as unordered selection.
दो स्वतंत्र selections साथ-साथ चाहिए इसलिए गुणन सिद्धांत लगेगा। परीक्षा में and शब्द आने पर अक्सर multiply करें। / Two independent selections are needed together so the multiplication principle applies. In exams the word and often means multiply.
पहले (3) विद्यार्थी चुनें और फिर (3!) तरीकों से जमाएँ। परीक्षा में चयन के बाद व्यवस्था हो तो multiplication करें। / First choose (3) students and then arrange them in (3!) ways. In exams multiply when arrangement follows selection.
वृत्त में घुमाव समान माना जाता है इसलिए एक वस्तु स्थिर करके ((n-1)!) व्यवस्थाएँ मिलती हैं। परीक्षा में circular arrangement में (1) वस्तु स्थिर करें। / Rotations are considered same in a circle so fixing one object gives ((n-1)!) arrangements. In exams fix (1) object in circular arrangement.
A. क्योंकि हर वृत्तीय व्यवस्था (n) घुमावों में गिनी जाती है/Because each circular arrangement is counted in (n) rotations
Explanation
Simple Explanation
वृत्त में घुमाने से व्यवस्था नई नहीं मानी जाती इसलिए (n!) को (n) से भाग देते हैं। परीक्षा में rotation को duplicate count समझें। / Rotating a circle does not create a new arrangement so (n!) is divided by (n). In exams treat rotation as duplicate counting.
A. क्योंकि समान अक्षरों के अंदरूनी क्रम अलग नहीं दिखते/Because internal orders of identical letters are not different
Explanation
Simple Explanation
समान अक्षरों की अदला-बदली से नया शब्द नहीं बनता। परीक्षा में identical letters के factorial से भाग दें। / Interchanging identical letters does not create a new word. In exams divide by the factorial of identical letters.
B. जब दो प्रकार की वस्तुएँ क्रमशः (p) और (q) बार समान हों/When two types of objects are identical (p) and (q) times respectively
Explanation
Simple Explanation
दो समानता समूहों की अदला-बदली अलग नहीं गिनी जाती इसलिए (p!q!) से भाग देते हैं। परीक्षा में हर repeated group का factorial हर में रखें। / Interchanges inside two identical groups are not counted separately so we divide by (p!q!). In exams place the factorial of each repeated group in the denominator.
हर स्थान पर (n) विकल्प स्वतंत्र रूप से मिलते हैं इसलिए गुणन \(n\times n\times\cdots\times n=n^r\) होता है। परीक्षा में repetition allowed हो तो विकल्प घटते नहीं हैं। / Each position independently has (n) choices so the product is \(n\times n\times\cdots\times n=n^r\). In exams choices do not decrease when repetition is allowed.
A. क्योंकि हर अगले स्थान पर विकल्प घटते हैं/Because choices decrease at each next position
Explanation
Simple Explanation
बिना पुनरावृत्ति एक वस्तु दोबारा नहीं ली जा सकती। परीक्षा में allowed और not allowed शब्दों पर ध्यान दें। / Without repetition one object cannot be taken again. In exams pay attention to allowed and not allowed words.
C. पहले क्रमबद्ध गिनती फिर अतिरिक्त (r!) क्रम हटाना/Count ordered arrangements first then remove extra (r!) orders
Explanation
Simple Explanation
Combination को permutation से (r!) आंतरिक क्रम हटाकर निकाला जाता है। परीक्षा में पहले ordered count बनाकर फिर divide करें। / Combination is obtained by removing (r!) internal orders from permutation. In exams make the ordered count first and then divide.
(r-1) रखने पर हर ((n-r+1)!) बनता है। परीक्षा में substitution करते समय signs ध्यान से देखें। / Putting (r-1) makes the denominator ((n-r+1)!). In exams watch signs carefully while substituting.
B. \(\frac{^{n}C_r}{^{n}C_{r-1}}=\frac{n-r+1}{r}\)
Explanation
Simple Explanation
Factorial formula से सरल करने पर अनुपात \(\frac{n-r+1}{r}\) मिलता है। परीक्षा में adjacent combinations में ratio method उपयोगी है। / Simplifying the factorial formula gives the ratio \(\frac{n-r+1}{r}\). In exams ratio method is useful for adjacent combinations.
(r)वें स्थान के लिए (n-r+1) विकल्प जुड़ते हैं। परीक्षा में next position का factor अलग पहचानें। / For the (r)th position (n-r+1) choices are added as a factor. In exams identify the factor of the next position.
A. एक chosen object को चिह्नित करके double counting करना/Double counting by marking one chosen object
Explanation
Simple Explanation
हर (r)-selection में (r) chosen objects में से एक चिह्नित हो सकता है। परीक्षा में marked object वाली counting से यह relation समझें। / In each (r)-selection one of the (r) chosen objects can be marked. In exams understand this relation through marked object counting.
B. Adjacent combination ratio से/From adjacent combination ratio
Explanation
Simple Explanation
यह \(^{n}C_r\) और \(^{n}C_{r-1}\) के अनुपात को सरल करके मिलता है। परीक्षा में consecutive (C) terms पर ratio लगाएँ। / It is obtained by simplifying the ratio of \(^{n}C_r\) and \(^{n}C_{r-1}\). In exams use ratio for consecutive (C) terms.
पहले (r) वस्तुएँ चुनने के \(^{n}C_r\) तरीके हैं और फिर (r!) व्यवस्थाएँ हैं। परीक्षा में ordered selection को choose and arrange लिखें। / There are \(^{n}C_r\) ways to choose (r) objects and then (r!) arrangements. In exams write ordered selection as choose and arrange.
(4) चुनने का अर्थ (3) छोड़ना है इसलिए \(^{7}C_4=^{7}C_3\) है। परीक्षा में chosen और not chosen दोनों देखें। / Choosing (4) means leaving (3) so \(^{7}C_4=^{7}C_3\). In exams look at both chosen and not chosen.
तीन स्थानों के factors (12), (11), (10) होंगे। परीक्षा में (n-r+1) को last factor के रूप में देखें। / The three position factors are (12), (11), and (10). In exams see (n-r+1) as the last factor.
क्योंकि \(^{11}C_8=^{11}C_{3}\) और (3) छोटा index है। परीक्षा में बड़े (r) को (n-r) से बदलें। / Because \(^{11}C_8=^{11}C_{3}\) and (3) is the smaller index. In exams replace large (r) by (n-r).
सभी (6) अलग पुस्तकों की पंक्ति व्यवस्था \(^{6}P_6=6!\) होती है। परीक्षा में all distinct arrangement को factorial से जोड़ें। / The row arrangement of all (6) distinct books is \(^{6}P_6=6!\). In exams connect all distinct arrangement with factorial.
ऊपर से नीचे लगाने में क्रम महत्वपूर्ण है इसलिए चुने हुए (3) रंगों को (3!) तरीकों से लगाया जाएगा। परीक्षा में positions दिखें तो arrangement जोड़ें। / Order is important when placing from top to bottom so the chosen (3) colours are arranged in (3!) ways. In exams add arrangement when positions appear.
चुनी गई और न चुनी गई वस्तुओं की कुल संख्या (n) होती है इसलिए बाकी (n-r) हैं। परीक्षा में यही विचार \(^{n}C_r=^{n}C_{n-r}\) से जुड़ता है। / Chosen and not chosen objects together make (n) so the remaining number is (n-r). In exams this idea connects to \(^{n}C_r=^{n}C_{n-r}\).
यह क्रमबद्ध चयन है इसलिए विकल्प (9) फिर (8) फिर (7) होते हैं। परीक्षा में स्थान वाले प्रश्न में क्रम महत्वपूर्ण मानें। / This is ordered selection so the choices are (9) then (8) then (7). In exams treat position based questions as order important.
तीन स्थानों के लिए गुणनखंड (n), (n-1), (n-2) होते हैं। परीक्षा में अंतिम factor के लिए (n-r+1) लगाएँ। / For three positions the factors are (n), (n-1), (n-2). In exams use (n-r+1) for the last factor.
(^{n}C_3=\frac{n!}{3!(n-3)!}) से ऊपर (n(n-1)(n-2)) और नीचे (6) बचता है। परीक्षा में (3!=6) याद रखें। / From (^{n}C_3=\frac{n!}{3!(n-3)!}) the numerator becomes (n(n-1)(n-2)) and denominator (6). In exams remember (3!=6).
A. क्योंकि हर जोड़ा (2!) क्रमों में गिना जाता है/Because each pair is counted in (2!) orders
Explanation
Simple Explanation
जोड़ा (AB) और (BA) समान माना जाता है इसलिए (2!) से भाग देते हैं। परीक्षा में unordered शब्द आते ही दोहराव हटाएँ। / The pair (AB) and (BA) is considered same so we divide by (2!). In exams remove overcounting when unordered appears.
पहले (3) वस्तुएँ चुनकर उन्हें (3!) तरीकों से जमाते हैं। परीक्षा में क्रमबद्ध चयन को चयन गुणा व्यवस्था लिखें। / First choose (3) objects and arrange them in (3!) ways. In exams write ordered selection as selection times arrangement.
Permutation में (3!) आंतरिक क्रम extra गिने जाते हैं। परीक्षा में combination पाने के लिए इन क्रमों से भाग दें। / Permutation counts (3!) internal orders extra. In exams divide by these orders to get combination.
A. क्योंकि (n-1) चुनना एक वस्तु छोड़ने जैसा है/Because choosing (n-1) is like leaving one object
Explanation
Simple Explanation
(n-1) वस्तुएँ चुनने का अर्थ है (1) वस्तु छोड़ना और उसके (n) विकल्प हैं। परीक्षा में पूरक चयन से सोचें। / Choosing (n-1) objects means leaving (1) object and there are (n) choices for that. In exams think by complementary selection.
\(^{n}P_{n-1}=\frac{n!}{1!}=n!\) होता है। परीक्षा में ((n-(n-1))!=1!) को ध्यान से लिखें। / \(^{n}P_{n-1}=\frac{n!}{1!}=n!\). In exams write ((n-(n-1))!=1!) carefully.
क्योंकि (3!=6) और \(^{n}P_r=^{n}C_r\times r!\) होता है। परीक्षा में (r!) को तुरंत निकालें। / Because (3!=6) and \(^{n}P_r=^{n}C_r\times r!\). In exams find (r!) quickly.
(9) चुनना (3) छोड़ने जैसा है इसलिए \(^{12}C_9=^{12}C_3\) है। परीक्षा में बड़े सूचकांक को (n-r) से बदलें। / Choosing (9) is same as leaving (3) so \(^{12}C_9=^{12}C_3\). In exams replace a large index by (n-r).
A. एक विशेष वस्तु को शामिल या अलग करने से/By including or excluding one special object
Explanation
Simple Explanation
कुल चयन को एक विशेष वस्तु के आने और न आने के दो मामलों में बाँटते हैं। परीक्षा में fixed object method याद रखें। / The total selection is split into two cases according to whether one special object appears or not. In exams remember the fixed object method.
सूत्र में (n=7) और (r=3) रखने पर \(^{6}C_3+^{6}C_2\) मिलता है। परीक्षा में पहले ऊपर का सूचक (1) घटाएँ। / Putting (n=7) and (r=3) gives \(^{6}C_3+^{6}C_2\). In exams first reduce the upper index by (1).
A. क्योंकि (n) वस्तुओं में से (r) वस्तुएँ चुनना असंभव है/Because choosing (r) objects from (n) objects is impossible
Explanation
Simple Explanation
उपलब्ध वस्तुओं से अधिक वस्तुएँ नहीं चुनी जा सकतीं। परीक्षा में (r>n) दिखे तो मान (0) लें। / More objects than available cannot be chosen. In exams if (r>n) appears take the value as (0).
B. क्योंकि बिना पुनरावृत्ति (n) से अधिक स्थान नहीं भरे जा सकते/Because more than (n) positions cannot be filled without repetition
Explanation
Simple Explanation
बिना पुनरावृत्ति (n) अलग वस्तुओं से अधिक positions नहीं भरी जा सकतीं। परीक्षा में availability condition पहले जाँचें। / Without repetition more than (n) positions cannot be filled using (n) distinct objects. In exams check the availability condition first.
A. क्योंकि (r) बार दूसरा पद चुनने के तरीके \(^{n}C_r\) होते हैं/Because there are \(^{n}C_r\) ways to choose the second term (r) times
Explanation
Simple Explanation
((a+b)^n) में (n) brackets से (b) को (r) बार चुनने के तरीके \(^{n}C_r\) हैं। परीक्षा में coefficient को selection से जोड़ें। / In ((a+b)^n) the ways to choose (b) from (r) of the (n) brackets are \(^{n}C_r\). In exams connect coefficient with selection.
(x) को (r) brackets से चुनने के \(^{n}C_r\) तरीके होते हैं। परीक्षा में ((1+x)^n) में coefficient सीधे combination होता है। / There are \(^{n}C_r\) ways to choose (x) from (r) brackets. In exams the coefficient in ((1+x)^n) is directly a combination.
द्विपद विस्तार में सभी coefficients का योग \(2^n\) हो जाता है। परीक्षा में total subsets के लिए भी यही पहचान उपयोग करें। / In binomial expansion the sum of all coefficients becomes \(2^n\). In exams use the same identity for total subsets.
A. सम सूचकांक coefficients और विषम सूचकांक coefficients का अंतर (0) है/Difference between even indexed and odd indexed coefficients is (0)
Explanation
Simple Explanation
((1-1)^n=0) से even और odd combination sums बराबर होते हैं। परीक्षा में alternating sum को (0) से जोड़ें। / From ((1-1)^n=0) the even and odd combination sums are equal. In exams connect alternating sum with (0).
A. हर वस्तु के लिए लेना या न लेना दो विकल्प होते हैं/Each object has two options include or exclude
Explanation
Simple Explanation
हर वस्तु स्वतंत्र रूप से शामिल या अलग हो सकती है। परीक्षा में subset questions को दो विकल्प प्रति वस्तु से सोचें। / Each object can independently be included or excluded. In exams think of subset questions as two choices per object.
कुल selections \(2^{10}\) हैं और खाली selection हटाना है। परीक्षा में कम से कम एक के लिए empty case घटाएँ। / Total selections are \(2^{10}\) and the empty selection must be removed. In exams subtract the empty case for at least one.
A. क्योंकि समान अक्षरों की आपसी अदला-बदली नई व्यवस्था नहीं बनाती/Because interchanging identical letters does not make a new arrangement
Explanation
Simple Explanation
एक जैसे अक्षरों की अंदरूनी व्यवस्था अलग नहीं दिखाई देती। परीक्षा में repeated letters पहचानकर उनके factorial से भाग दें। / Internal arrangements of identical letters are not visibly different. In exams identify repeated letters and divide by their factorials.
कुल (7!) व्यवस्थाओं में (A) के (3!) अंदरूनी क्रम समान हैं। परीक्षा में repeated object का factorial denominator में रखें। / In total (7!) arrangements the (3!) internal orders of (A) are identical. In exams put the factorial of the repeated object in the denominator.
वृत्त में घुमाव समान होता है इसलिए एक व्यक्ति स्थिर करके (4!) तरीके मिलते हैं। परीक्षा में circular seating में one fixed rule लगाएँ। / Rotations are same in a circle so fixing one person gives (4!) ways. In exams use the one fixed rule in circular seating.
A. हर रैखिक व्यवस्था (n) rotations के रूप में वही वृत्तीय व्यवस्था देती है/Each linear arrangement gives the same circular arrangement through (n) rotations
Explanation
Simple Explanation
वृत्त में केवल घुमाना नई व्यवस्था नहीं बनाता। परीक्षा में rotations को extra count मानें। / Only rotating a circle does not make a new arrangement. In exams treat rotations as extra count.
हर स्थान पर (4) विकल्प फिर से मिलते हैं इसलिए \(4^3\) तरीके हैं। परीक्षा में repetition allowed हो तो options घटाएँ नहीं। / Each position again has (4) choices so the number of ways is \(4^3\). In exams do not decrease options when repetition is allowed.
बिना पुनरावृत्ति विकल्प (4), (3), (2) होते हैं इसलिए \(^{4}P_3\) सही है। परीक्षा में no repetition पर permutation लगाएँ। / Without repetition the choices are (4), (3), (2) so \(^{4}P_3\) is correct. In exams use permutation when there is no repetition.
A. \(^{n}P_r\) में पुनरावृत्ति नहीं और \(n^r\) में पुनरावृत्ति allowed होती है/\(^{n}P_r\) has no repetition and \(n^r\) allows repetition
Explanation
Simple Explanation
Permutation में चुनी गई वस्तु दोबारा नहीं आती लेकिन \(n^r\) में हर स्थान पर सभी विकल्प मिलते हैं। परीक्षा में repetition condition जरूर पढ़ें। / In permutation a chosen object does not appear again but in \(n^r\) every position has all choices. In exams always read the repetition condition.
A. क्योंकि यह केवल चयन की संख्या बताता है/Because it counts only selections
Explanation
Simple Explanation
Combination में समूह वही रहता है चाहे क्रम बदले। परीक्षा में चयन और व्यवस्था को अलग रखें। / In combination the group remains the same even if order changes. In exams keep selection and arrangement separate.
A. व्यक्ति (A) से (B) और (B) से (A) एक ही handshake है/Person (A) to (B) and (B) to (A) is the same handshake
Explanation
Simple Explanation
Handshake unordered pair है इसलिए (AB) और (BA) अलग नहीं गिने जाते। परीक्षा में pair की दिशा न हो तो combination लगाएँ। / A handshake is an unordered pair so (AB) and (BA) are not counted separately. In exams use combination when a pair has no direction.
पूरक पहचान से (m=10-4=6) होगा। परीक्षा में \(^{n}C_r=^{n}C_{n-r}\) तुरंत लगाएँ। / By the complementary identity (m=10-4=6). In exams apply \(^{n}C_r=^{n}C_{n-r}\) quickly.
A. चुने गए और न चुने गए समूहों के अंदर क्रम महत्वहीन होता है/Order inside chosen and not chosen groups is irrelevant
Explanation
Simple Explanation
(n!) में चुने और छोड़े दोनों समूहों के अंदरूनी क्रम extra गिने जाते हैं। परीक्षा में group division को factorial denominator से जोड़ें। / In (n!) internal orders inside chosen and unchosen groups are counted extra. In exams connect group division with factorial denominators.
A. एक चुनी हुई वस्तु को चिह्नित करके दो तरह से गिनना/Counting in two ways by marking one chosen object
Explanation
Simple Explanation
Marked selection को (n) तरीके से शुरू करके बाकी (r-1) चुना जा सकता है। परीक्षा में double counting identities पहचानें। / A marked selection can start by choosing one of (n) objects and then choosing the remaining (r-1). In exams identify double counting identities.
Factorial रूपों को भाग देने पर \(\frac{n-r+1}{r}\) बचता है। परीक्षा में adjacent terms के लिए ratio formula उपयोग करें। / Dividing the factorial forms leaves \(\frac{n-r+1}{r}\). In exams use the ratio formula for adjacent terms.
(r)वें स्थान को जोड़ने पर नया factor (n-r+1) होता है। परीक्षा में consecutive permutations का ratio last factor देता है। / When the (r)th position is added the new factor is (n-r+1). In exams the ratio of consecutive permutations gives the last factor.
A. पहले चुनो फिर चुनी वस्तुओं को जमाओ/First choose then arrange the chosen objects
Explanation
Simple Explanation
Permutation में selection और arrangement दोनों शामिल होते हैं। परीक्षा में (P) को (C) से जोड़ने के लिए (r!) गुणा करें। / Permutation includes both selection and arrangement. In exams multiply by (r!) to connect (P) with (C).
पहले (3) पुस्तकें चुनें और फिर (3!) तरीकों से क्रम दें। परीक्षा में ordered placement हो तो चयन के बाद व्यवस्था जोड़ें। / First choose (3) books and then order them in (3!) ways. In exams add arrangement after selection when ordered placement appears.
कप्तान और उपकप्तान अलग पद हैं इसलिए क्रम महत्वपूर्ण है। परीक्षा में अलग-अलग posts के लिए permutation लगाएँ। / Captain and vice captain are different posts so order is important. In exams use permutation for different posts.
सदस्य चुनने में पद या क्रम नहीं है इसलिए combination लगेगा। परीक्षा में only select शब्द पर order न गिनें। / There is no post or order in choosing members so combination is used. In exams do not count order when the phrase only select appears.
पहले स्थान के लिए (n) फिर (n-1) और अंत तक (1) विकल्प मिलते हैं। परीक्षा में complete arrangement को factorial से जोड़ें। / The choices are (n) for the first position then (n-1) down to (1). In exams connect complete arrangement with factorial.
हर स्थान के choices पिछले चयन पर निर्भर होकर घटते हैं और साथ-साथ गुणा होते हैं। परीक्षा में arrangement में multiplication principle उपयोग करें। / Choices for each position decrease after previous selection and are multiplied together. In exams use the multiplication principle in arrangement.
A. (n) vertices में unordered pair of vertices की संख्या/Number of unordered pairs of vertices among (n) vertices
Explanation
Simple Explanation
एक edge दो vertices के unordered pair से बनता है। परीक्षा में pair without direction के लिए \(^{n}C_2\) लगाएँ। / An edge is formed by an unordered pair of two vertices. In exams use \(^{n}C_2\) for pairs without direction.
A. (n) वस्तुओं से (2) का ordered pair/Ordered pair of (2) from (n) objects
Explanation
Simple Explanation
Directed pair में (AB) और (BA) अलग होते हैं इसलिए permutation लगता है। परीक्षा में direction या order दिखे तो (P) चुनें। / In a directed pair (AB) and (BA) are different so permutation is used. In exams choose (P) when direction or order appears.
दो चुनी वस्तुओं के (2!) क्रम permutation में extra गिने जाते हैं। परीक्षा में (r=2) पर divide factor (2!) होता है। / The (2!) orders of two selected objects are counted extra in permutation. In exams the divide factor for (r=2) is (2!).
चार चुनी वस्तुओं के (4!) internal orders हटाने होते हैं। परीक्षा में \(^{n}C_r=\frac{^{n}P_r}{r!}\) लगाएँ। / The (4!) internal orders of four selected objects must be removed. In exams apply \(^{n}C_r=\frac{^{n}P_r}{r!}\).
चुनी हुई चार वस्तुओं को (4!) तरीकों से क्रम दिया जा सकता है। परीक्षा में (C) से (P) जाने पर (r!) गुणा करें। / The four chosen objects can be ordered in (4!) ways. In exams multiply by (r!) when going from (C) to (P).
A. चुने गए समूह से न चुना गया समूह तय हो जाता है/The unchosen group is fixed by the chosen group
Explanation
Simple Explanation
एक (r)-selection अपने साथ एक ((n-r))-rejection तय कर देता है। परीक्षा में choose and reject को जोड़ी की तरह देखें। / An (r)-selection fixes an ((n-r))-rejection with it. In exams view choose and reject as a pair.
(8) चुनना (3) छोड़ना है इसलिए दोनों combinations बराबर हैं। परीक्षा में बड़े (r) को छोटे पूरक से बदलें। / Choosing (8) means leaving (3) so both combinations are equal. In exams replace large (r) with the smaller complement.
\(^{n}C_0=\frac{n!}{0!n!}\) होता है और इसका मान (1) है। परीक्षा में (0!=1) याद रखें। / \(^{n}C_0=\frac{n!}{0!n!}\) and its value is (1). In exams remember (0!=1).
(^{n}P_n=\frac{n!}{(n-n)!}=\frac{n!}{0!}=n!) होता है। परीक्षा में (0!) को (1) मानें। / (^{n}P_n=\frac{n!}{(n-n)!}=\frac{n!}{0!}=n!). In exams take (0!) as (1).
A. पहले (r) का समूह चुनते ही दूसरा समूह अपने आप तय हो जाता है/Once the group of (r) is chosen the other group is automatically fixed
Explanation
Simple Explanation
(r) वस्तुओं का चयन बाकी (n-r) वस्तुओं को तय कर देता है। परीक्षा में group division को combination से जोड़ें। / Choosing (r) objects fixes the remaining (n-r) objects. In exams connect group division with combination.
बाकी गुणनखंड ((n-r)!) जोड़ने से ऊपर (n!) बनता है। परीक्षा में factorial रूप बनाते समय missing tail पहचानें। / Adding the remaining factor ((n-r)!) makes the numerator (n!). In exams identify the missing tail while forming factorial form.
A. चुनी गई (r) वस्तुओं के अंदरूनी क्रम/Internal orders of selected (r) objects
Explanation
Simple Explanation
Combination में चुनी वस्तुओं का क्रम अलग नहीं माना जाता। परीक्षा में unordered selection में internal order हटाएँ। / In combination the order of selected objects is not considered different. In exams remove internal order in unordered selection.
(10) चुनना (3) छोड़ने जैसा है। परीक्षा में बड़े lower index को complement से छोटा करें। / Choosing (10) is the same as leaving (3). In exams reduce a large lower index using its complement.
पहले चयन \(^{n}C_r\) और फिर हर चयन की (r!) व्यवस्थाएँ होती हैं। परीक्षा में choose then arrange को multiply करें। / First there are \(^{n}C_r\) selections and then (r!) arrangements for each selection. In exams multiply for choose then arrange.
चार क्रमबद्ध स्थानों के लिए विकल्प (9), (8), (7), (6) हैं। परीक्षा में बिना पुनरावृत्ति हर अगला विकल्प एक कम होता है। / For four ordered positions the choices are (9), (8), (7), (6). In exams each next choice decreases by one without repetition.
B. हर unordered pair दो orders में गिना गया है/Each unordered pair is counted in two orders
Explanation
Simple Explanation
(AB) और (BA) एक ही unordered pair हैं। परीक्षा में direction न हो तो (2!) से divide करें। / (AB) and (BA) are the same unordered pair. In exams divide by (2!) when there is no direction.
Factorial form से सरल करने पर \(\frac{n}{r}\) factor आता है। परीक्षा में adjacent upper index identities को ratio से जाँचें। / Simplifying the factorial form gives the factor \(\frac{n}{r}\). In exams check adjacent upper index identities by ratio.
दोनों combinations में lower index (r) है। परीक्षा में formula पढ़ते समय upper और lower index अलग-अलग देखें। / The lower index is (r) in both combinations. In exams read upper and lower indices separately.
\(^{n}C_r=^{n-1}C_r+^{n-1}C_{r-1}\) में (n=8) और (r=4) रखें। परीक्षा में दोनों terms का upper index (1) कम होता है। / Put (n=8) and (r=4) in \(^{n}C_r=^{n-1}C_r+^{n-1}C_{r-1}\). In exams the upper index of both terms decreases by (1).
हर वस्तु के लिए शामिल या अलग दो विकल्प होते हैं। परीक्षा में total subsets के लिए \(2^n\) याद रखें। / Each object has two options include or exclude. In exams remember \(2^n\) for total subsets.
कुल selections \(2^6\) हैं और खाली selection हटता है। परीक्षा में non-empty के लिए (1) घटाएँ। / Total selections are \(2^6\) and the empty selection is removed. In exams subtract (1) for non-empty selections.
A. (b) को (r) brackets से चुनना/Choosing (b) from (r) brackets
Explanation
Simple Explanation
(n) brackets में से (r) brackets में (b) चुनने के \(^{n}C_r\) तरीके हैं। परीक्षा में binomial coefficient को selection मानें। / There are \(^{n}C_r\) ways to choose (b) from (r) of the (n) brackets. In exams treat a binomial coefficient as selection.
(x) को (7) brackets में से (2) बार चुनना है। परीक्षा में ((1+x)^n) में \(x^r\) का coefficient \(^{n}C_r\) होता है। / We choose (x) twice from (7) brackets. In exams the coefficient of \(x^r\) in ((1+x)^n) is \(^{n}C_r\).
एक समूह में (r) चुनी वस्तुएँ और दूसरे में (n-r) बाकी वस्तुएँ होती हैं। परीक्षा में group sizes का योग (n) जाँचें। / One group has (r) chosen objects and the other has (n-r) remaining objects. In exams check that group sizes add to (n).
(5) की समिति चुनते ही बाकी (7) विद्यार्थी तय हो जाते हैं। परीक्षा में complement group खुद तय हो तो केवल एक combination लगाएँ। / Once the committee of (5) is chosen the remaining (7) students are fixed. In exams use only one combination when the complement group is fixed automatically.
पहले किताबें चुनें फिर display order दें। परीक्षा में selection के बाद order हो तो (r!) से गुणा करें। / First choose the books and then assign display order. In exams multiply by (r!) when order follows selection.
तीनों पद अलग हैं इसलिए क्रम महत्वपूर्ण है। परीक्षा में अलग posts के लिए permutation चुनें। / The three posts are different so order is important. In exams choose permutation for different posts.
प्रतिनिधियों में कोई अलग पद नहीं है इसलिए क्रम नहीं गिना जाएगा। परीक्षा में only selection हो तो combination लगाएँ। / There are no different posts among the representatives so order is not counted. In exams use combination for only selection.
दो क्रमबद्ध स्थानों के लिए choices (n) और (n-1) हैं। परीक्षा में \(^{n}P_2\) को ordered pair formula मानें। / For two ordered positions the choices are (n) and (n-1). In exams treat \(^{n}P_2\) as the ordered pair formula.
(^{n}C_2=\frac{n(n-1)}{2!}) और (2!=2) होता है। परीक्षा में small factorial values याद रखें। / (^{n}C_2=\frac{n(n-1)}{2!}) and (2!=2). In exams remember small factorial values.
A. (r)वें स्थान के विकल्प/Choices for the (r)th position
Explanation
Simple Explanation
पहले (r-1) स्थान भरने के बाद (r)वें स्थान पर (n-r+1) विकल्प बचते हैं। परीक्षा में recurrence को next-place idea से जोड़ें। / After filling the first (r-1) positions (n-r+1) choices remain for the (r)th position. In exams connect recurrence with the next-place idea.
Factorial formula को divide करने पर \(\frac{n-r}{r+1}\) मिलता है। परीक्षा में adjacent combinations के लिए ratio से तेजी आती है। / Dividing the factorial formulas gives \(\frac{n-r}{r+1}\). In exams ratios make adjacent combinations faster.
Equal combinations में lower indices समान या पूरक होते हैं। यहाँ अलग indices हैं इसलिए (r+(r+2)=n) होगा। / In equal combinations the lower indices are equal or complementary. Here the indices are different so (r+(r+2)=n).
पूरक index (14-5=9) है। परीक्षा में equal combination में दूसरा index (n-r) देखें। / The complementary index is (14-5=9). In exams look for (n-r) as the second index in equal combinations.
\(^{n}C_n=^{n}C_0\) और दोनों का मान (1) है। परीक्षा में all selected और none selected दोनों boundary cases याद रखें। / \(^{n}C_n=^{n}C_0\) and both have value (1). In exams remember both all selected and none selected boundary cases.
खास वस्तु चुन ली गई तो बाकी (r-1) वस्तुएँ (n-1) में से चुननी हैं। परीक्षा में included case में lower index (1) घटता है। / If the special object is selected the remaining (r-1) objects are chosen from (n-1). In exams the lower index decreases by (1) in the included case.
खास वस्तु हटाने के बाद (n-1) वस्तुओं में से पूरे (r) चुनने हैं। परीक्षा में excluded case में lower index वही रहता है। / After removing the special object all (r) objects are chosen from (n-1). In exams the lower index remains the same in the excluded case.
एक fixed object को include या exclude करने से \(^{9}C_3\) और \(^{9}C_4\) मिलते हैं। परीक्षा में Pascal split में upper index (1) घटता है। / Including or excluding one fixed object gives \(^{9}C_3\) and \(^{9}C_4\). In exams the upper index decreases by (1) in a Pascal split.
हर स्थान पर (4) विकल्प बार-बार उपलब्ध हैं। परीक्षा में repetition allowed हो तो power formula \(n^r\) लगाएँ। / Each position has (4) choices again and again. In exams use the power formula \(n^r\) when repetition is allowed.
बिना पुनरावृत्ति ordered code के लिए \(4\times3\times2\) तरीके हैं। परीक्षा में code में order होता है। / For an ordered code without repetition there are \(4\times3\times2\) ways. In exams a code has order.
तीन लाल balls समान हैं इसलिए उनके (3!) अंदरूनी क्रम अलग नहीं हैं। परीक्षा में केवल repeated group के factorial से भाग दें। / The three red balls are identical so their (3!) internal orders are not different. In exams divide by the factorial of the repeated group only.
दो repeated groups के internal orders हटाने के लिए (2!3!) से भाग देते हैं। परीक्षा में हर repeated letter का factorial denominator में रखें। / To remove internal orders of two repeated groups divide by (2!3!). In exams put the factorial of each repeated letter in the denominator.
A. क्योंकि एक व्यक्ति को fixed मानकर rotations हटाते हैं/Because one person is fixed to remove rotations
Explanation
Simple Explanation
वृत्त में केवल घूमना नई seating नहीं बनाता। परीक्षा में circular arrangement में one fixed method लगाएँ। / A mere rotation in a circle does not make a new seating. In exams use the one fixed method in circular arrangement.
पहले rotations हटाकर ((n-1)!) मिलता है फिर reflection same होने से (2) से भाग देते हैं। परीक्षा में necklace में rotation और reflection दोनों देखें। / First removing rotations gives ((n-1)!) and then same reflection makes us divide by (2). In exams check both rotation and reflection in necklaces.
क्योंकि (r!) केवल (r=0) और (r=1) पर (1) होता है। परीक्षा में equality के लिए relation \(^{n}P_r=^{n}C_r r!\) देखें। / Because (r!) is (1) only for (r=0) and (r=1). In exams check \(^{n}P_r=^{n}C_r r!\) for equality.
A. क्योंकि combination में (r!) orders को एक ही selection माना जाता है/Because in combination (r!) orders are treated as one selection
Explanation
Simple Explanation
Permutation एक ही group के कई orders गिनता है। परीक्षा में (r>1) पर (P) और (C) का अंतर साफ रखें। / Permutation counts many orders of the same group. In exams keep the difference between (P) and (C) clear when (r>1).
A. जब extra repeated orders हटाने हों/When extra repeated orders must be removed
Explanation
Simple Explanation
Permutation से combination बनाते समय एक ही selection (r!) बार गिना जाता है। परीक्षा में overcounting दिखे तो division principle लगाएँ। / When making combination from permutation the same selection is counted (r!) times. In exams use division principle when overcounting appears.
हर shirt के साथ (4) pants जुड़ सकते हैं इसलिए \(3\times4\) choices हैं। परीक्षा में independent choices साथ चाहिए तो multiply करें। / Each shirt can pair with (4) pants so there are \(3\times4\) choices. In exams multiply when independent choices are needed together.
यह या वाली स्थिति है इसलिए (5+6) choices मिलते हैं। परीक्षा में or शब्द पर addition principle देखें। / This is an or situation so there are (5+6) choices. In exams look for the addition principle when the word or appears.
समिति में सदस्यों का क्रम नहीं बदलता। परीक्षा में committee या group पर combination लगाएँ। / In a committee the order of members does not change the committee. In exams use combination for committee or group.
Rank बदलने से result बदल जाता है इसलिए order important है। परीक्षा में rank या post दिखे तो permutation लगाएँ। / Changing rank changes the result so order is important. In exams use permutation when rank or post appears.
B. न चुनी गई वस्तुओं की संख्या/Number of unchosen objects
Explanation
Simple Explanation
(r) वस्तुएँ चुनने के बाद (n-r) वस्तुएँ बचती हैं। परीक्षा में complement counting के लिए यह अर्थ याद रखें। / After choosing (r) objects (n-r) objects remain. In exams remember this meaning for complement counting.
क्योंकि (2!=2) और \(^{n}P_2=^{n}C_2\times2!\) है। परीक्षा में (r=2) पर factor (2) याद रखें। / Because (2!=2) and \(^{n}P_2=^{n}C_2\times2!\). In exams remember the factor (2) when (r=2).
कोई वस्तु न चुनने का एक empty selection होता है। परीक्षा में empty case को valid count (1) मानें। / Choosing no object gives one empty selection. In exams treat the empty case as valid count (1).
B. सभी (n) objects को क्रम में जमाना/Arranging all (n) objects in order
Explanation
Simple Explanation
(r=n) पर सभी वस्तुओं की व्यवस्था हो रही है इसलिए count (n!) है। परीक्षा में full arrangement को factorial मानें। / When (r=n) all objects are being arranged so the count is (n!). In exams treat full arrangement as factorial.
A. chosen group और rejected group/chosen group and rejected group
Explanation
Simple Explanation
हर selection का एक unique rejected group होता है। परीक्षा में complementary pair बनाकर identity समझें। / Each selection has a unique rejected group. In exams understand the identity by forming a complementary pair.
A. क्योंकि शुरुआत में (n) वस्तुओं को क्रम में जमाकर गिना जा सकता है/Because initially (n) objects can be counted by arranging in order
Explanation
Simple Explanation
(n!) से ordered arrangements की बड़ी गिनती बनती है जिसे (r!(n-r)!) से सही किया जाता है। परीक्षा में overcounting correction समझें। / (n!) creates a larger ordered count which is corrected by (r!(n-r)!). In exams understand the overcounting correction.
Line segment दो points का unordered pair है। परीक्षा में segment में endpoints का order नहीं गिनें। / A line segment is an unordered pair of two points. In exams do not count the order of endpoints in a segment.
Directed arrow में start और end बदलने से arrow बदल जाता है। परीक्षा में direction हो तो ordered pair यानी permutation लगाएँ। / In a directed arrow changing start and end changes the arrow. In exams use ordered pair or permutation when direction exists.
