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सेट की परिभाषा के अनुसार क्रम और पुनरावृत्ति मायने नहीं रखते। \(B\) में अरेंजमेंट और एक अतिरिक्त बार "4" लिखा गया है, पर वास्तविक अनोखे सदस्य केवल \{2,4,6\} ही हैं। चूँकि दोनों में एक ही सदस्य हैं, इसलिए \(A=B\), यानी दोनों सेट बराबर हैं। निकटतम भ्रमित विकल्प B गलत है क्योंकि वह बताता है कि एक सेट केवल उपसमुच्चय है पर बराबर नहीं — यहाँ \(A\subseteq B\) भी और \(B\subseteq A\) भी सत्य है। परीक्षा टिप: किसी दिए गए सेट में से एक-एक सदस्य लिखकर अनोखे तत्व निकालें ताकि डुप्लीकेट हट जाएं। / By the definition of a set, order and repetition do not matter. In \(B\) the element "4" is repeated, but the distinct elements are still \{2,4,6\}. Since both \(A\) and \(B\) have exactly the same distinct members, \(A=B\). The closest distractor (Subset only) is incorrect because it implies one set is a proper subset of the other; here both \(A\subseteq B\) and \(B\subseteq A\) hold, so they are equal. Exam tip: list unique elements of each set (remove duplicates) before comparing.
\({\emptyset,1}\), (A) का उपसमुच्चय है, इसलिए यह (\mathcal{P}(A)) का तत्व है। लेकिन यह (A) में सदस्य के रूप में नहीं दिया है। / The set \({\emptyset,1}\) is a subset of (A), so it is an element of (\mathcal{P}(A)). But it is not listed as an element of (A).
(12) के (5) से छोटे धनात्मक भाजक (1,2,3,4) हैं। सदस्य समान हों तो सेट बराबर होते हैं। / The positive divisors of (12) less than (5) are (1,2,3,4). Sets are equal when all members match.
(6) से छोटी विषम प्राकृतिक संख्याएँ (1,3,5) हैं। परिभाषा को सूची में बदलना परीक्षा में सबसे सुरक्षित तरीका है। / The odd natural numbers less than (6) are (1,3,5). Converting set-builder form to roster form is safest in exams.
समुच्चय \(A\) के हर तत्व (\(a\) और \(b\)) समुच्चय \(B\) में मौजूद हैं, और \(B\) में एक अतिरिक्त तत्व \(c\) है। इसलिए \(A\) समुचित उपसमुच्चय है और इसे \(A\subset B\) से दर्शाया जाता है। विकल्प (B) गलत है क्योंकि \(B\) का तत्व \(c\) \(A\) में नहीं है; विकल्प (C) गलत है क्योंकि दोनों समुच्चय एक जैसे नहीं हैं; विकल्प (D) गलत है क्योंकि \(A\) वास्तव में \(B\) का उपसमुच्चय है। परीक्षा टिप: किसी भी उपसमुच्चय संबंध की जाँच के लिए छोटे समुच्चय के हर तत्व का उपस्थित होना देखें और असमानता के लिए अतिरिक्त तत्व खोजें। / Every element of \(A\) (namely \(a\) and \(b\)) is present in \(B\), and \(B\) has an extra element \(c\). Thus \(A\) is a proper subset of \(B\), written \(A\subset B\). Option B is false because \(c\in B\) but \(c\notin A\); option C is false because the sets are not identical; option D is false because \(A\) is indeed a subset of \(B\). Exam tip: To verify subset relations, check each element of the smaller set is in the larger set and look for any extra elements to distinguish proper subset from equality.
किसी समुच्चय में यदि कुल
\(n\) तत्व हों तो उसके उपसमुच्चयों की संख्या \(2^n\) होती है, क्योंकि प्रत्येक तत्व को या तो उपसमुच्चय में रखा जा सकता है या नहीं। यहाँ \(n=3\) होने पर \(2^3=8\)। इसलिए विकल्प C सही है। निकटवर्ती गलत विकल्पों का कारण: विकल्प A (6) वास्तव में उन उपसमुच्चयों की संख्या है जो न तो खाली समुच्चय हैं और न ही पूरा समुच्चय (अर्थात् गैर-खाली proper उपसमुच्चय) क्योंकि \(2^3-2=6\)। विकल्प B (7) उस त्रुटि का परिणाम हो सकता है जिसमें खाली समुच्चय या पूर्ण समुच्चय को गिना ही नहीं गया। परीक्षा टिप: उपसमुच्चयों की गिनती में हमेशा खाली समुच्चय और समुच्चय स्वयं दोनों को शामिल करें। / A set with \(n\) elements has \(2^n\) subsets since each element can either be included or excluded independently. For \(n=3\), \(2^3=8\), so option C is correct. Why other plausible options are wrong: option A (6) equals the number of non-empty proper subsets (\(2^3-2=6\)), option B (7) suggests one subset was omitted (either the empty set or the set itself), and option D (9) is simply incorrect. Exam tip: always count both the empty set and the set itself when listing subsets.
कुल उपसमुच्चय \(2^4=16\) हैं और पूरा सेट हटाने पर (15) उचित उपसमुच्चय बचते हैं। अंतिम उत्तर में पूरा सेट घटाना न भूलें। / Total subsets are \(2^4=16\), and removing the whole set leaves (15) proper subsets. Do not forget to subtract the set itself.
A. \(A\subseteq B\) और \(B\subseteq A\)/\(A\subseteq B\) and \(B\subseteq A\)
Explanation
Simple Explanation
दोनों दिशाओं में उपसमुच्चय संबंध होने पर हर सदस्य समान होता है। केवल सदस्यों की संख्या बराबर होना काफी नहीं है। / If each set is a subset of the other, every member matches. Equal cardinality alone is not enough.
रिक्त समुच्चय हर समुच्चय का उपसमुच्चय होता है। इसमें कोई सदस्य नहीं होता, इसलिए विरोधी उदाहरण नहीं मिल सकता। / The empty set is a subset of every set. It has no element, so no counterexample exists.
A = \(\{\emptyset\}\) का एकमात्र अवयव \(\emptyset\) है, इसलिए \(\emptyset \in A\) सत्य है। \(\emptyset = A\) गलत है क्योंकि \(\emptyset\) खाली सेट है जबकि A में एक अवयव मौजूद है — अर्थात् \(\emptyset \neq \{\emptyset\}\)। \(A \in \emptyset\) भी गलत है क्योंकि खाली सेट के कोई अवयव नहीं होते। परीक्षा सुझाव: हमेशा "अवयव \(\in\)" और "उपसेट \(\subset/\subseteq\)" में फर्क याद रखें और \(\emptyset\) व \(\{\emptyset\}\) को अलग समझें। / A = \(\{\emptyset\}\) has exactly one element, namely \(\emptyset\). Therefore \(\emptyset \in A\) is true. \(\emptyset = A\) is false because the empty set has no elements while A does have one element, so \(\emptyset \neq \{\emptyset\}\). \(A \in \emptyset\) is false since the empty set contains no elements. Exam tip: always distinguish element membership \(\in\) from subset relations \(\subset,\subseteq\) and remember \(\emptyset\) ≠ \(\{\emptyset\}\).
समुच्चय \(A\) के सदस्य हैं: संख्याएँ \(1\), \(2\) और एक ही सदस्य के रूप में समुच्चय \(\{1,2\}\)। इसलिए \(\{1,2\}\in A\) सत्य है। \(\{1,2\}=A\) असत्य है क्योंकि \(A\) में दो संख्यात्मक तत्त्वों के अलावा स्वयं \(\{1,2\}\) भी एक अतिरिक्त तत्व है, अतः समतुल्य नहीं। \(3\in A\) गलत है क्योंकि \(3\) \(A\) का सदस्य नहीं है। \(\{1,2,3\}\subseteq A\) तब ही सत्य होता यदि \(3\in A\) होता, जो नहीं है। परीक्षण सुझाव: ब्रेसेस पर ध्यान दें — बड़े ब्रेसेस के अंदर क्या एक तत्त्व है और कितने तत्त्व हैं, यह लिखकर जाँचें। / The elements of \(A\) are: the numbers \(1\), \(2\), and the set \(\{1,2\}\) as a single element. Hence \(\{1,2\}\in A\) is true. \(\{1,2\}=A\) is false because \(A\) contains \(1\) and \(2\) as separate elements in addition to the element \(\{1,2\}\), so the two sets are not equal. \(3\in A\) is false since \(3\) is not an element of \(A\). \(\{1,2,3\}\subseteq A\) is false because \(3\) must belong to \(A\) for that subset relation to hold. Exam tip: explicitly list the elements of the set and check membership versus subset — element braces matter.
(X) में (A) के सदस्य निश्चित हैं और (4,5) वैकल्पिक हैं। इसलिए \(2^2=4\) समुच्चय बनेंगे। / The elements of (A) are fixed in (X), while (4,5) are optional. Hence \(2^2=4\) sets are possible.
तत्व 2 को शामिल करना अनिवार्य है, इसलिए शेष तीन तत्व 1, 3 और 4 प्रत्येक या तो उपसमुच्चय में होंगे या नहीं होंगे — यह दो विकल्प देता है। कुल विकल्पों की संख्या \(2^3=8\) है। विकल्प (6) इसलिए गलत है क्योंकि वह कुछ चयन गणनाएँ ग़लत लागू करता है; उदाहरण के लिए किसी एक या दो तत्व चुनने की गिनती यहाँ प्रासंगिक नहीं है। परीक्षा-टिप: किसी n-तत्त्वीय संपूर्ण समूह में किसी निश्चित तत्व को शामिल करने वाले उपसमुच्चयों की संख्या हमेशा \(2^{n-1}\) होती है। / Element 2 is required to be in each subset, so the remaining three elements (1, 3, 4) each have two possibilities (in or out). Thus the number of subsets is \(2^3=8\). Option 6 is incorrect because it counts only some combinations instead of all independent in/out choices; option 16 is the total number of all subsets without restriction. Exam tip: For a set of n elements, the number of subsets containing a fixed element is \(2^{n-1}\).
कुल 5 सदस्य हैं; यदि हम \(p\) को न रखें तो शेष 4 सदस्य स्वतंत्र रूप से शामिल या बाहर किए जा सकते हैं। इसलिए उपसमुच्चयों की संख्या \(2^4=16\) होगी, अतः सही उत्तर 16 है। भ्रामक विकल्पों पर टिप्पणी: 32 उस कुल संख्या का मान है जिसमें \(p\) भी शामिल हो सकता है (\(2^5\)), 31 उन सभी गैर-रिक्त उपसमुच्चयों की संख्या है (\(2^5-1\)) और 8 तब प्राप्त होता है जब केवल 3 स्वतंत्र सदस्य हों (\(2^3\)) — इसलिए ये गलत हैं। परीक्षा सुझाव: किसी भी दिए गए तत्व को न रखने के लिए बाकी के तत्वों पर "हर एक के लिए शामिल/न incluir" के दो विकल्प लगाकर \(2^{n-1}\) का प्रयोग करें। / There are 5 elements in total; excluding \(p\) leaves 4 elements that can each be either included or excluded independently. So the number of subsets is \(2^4=16\), hence 16 is correct. Notes on distractors: 32 equals the total number of subsets including \(p\) (\(2^5\)), 31 equals the number of non-empty subsets (\(2^5-1\)), and 8 would correspond to only 3 free elements (\(2^3\)), so they are incorrect. Exam tip: For subsets that must exclude a specific element, count subsets of the remaining \(n-1\) elements using \(2^{n-1}\).
तर्क: \(1\) और \(2\) अनिवार्य रूप से शामिल हैं और \(5\) निषिद्ध है, इसलिए शेष स्वतंत्र तत्व केवल \(3\) और \(4\) हैं। प्रत्येक स्वतंत्र तत्व के दो विकल्प हैं (शामिल या नहीं), अतः कुल उपसमुच्चय = \(2^2=4\)। विकल्प C (8) तब आएगा यदि तीन तत्व स्वतंत्र माने जाएँ (उदा. यदि 5 निषिद्ध न हो)। विकल्प A (2) और D (16) क्रमशः एक स्वतंत्र तत्व या चार स्वतंत्र तत्व मानकर हुई गलत गणनाएँ हैं। परीक्षा सुझाव: पहले अनिवार्य और निषिद्ध तत्व अलग कर लें; फिर शेष तत्वों पर \(2^n\) लागू करें। / Reasoning: 1 and 2 must be included and 5 must be excluded, so the only free elements are 3 and 4. Each free element can be either present or absent, giving \(2^2=4\) subsets. Option C (8) would result if three elements were treated as free (for example, if 5 were not excluded). Options A (2) and D (16) reflect incorrect counts assuming one or four free elements respectively. Exam tip: first fix required/forbidden elements, then count subsets of the remaining elements as \(2^n\).
दिया गया बहुपद \(x^{2}-5x+6\) को गुणनखंडों में लिखें: \(x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)\)। इसलिए समीकरण \(x^{2}-5x+6=0\) के हल \(x=2\) और \(x=3\) हैं और समुच्चय \(A=\{2,3\}\) बनता है। यह समुच्चय बिलकुल \(B\) के समान है, अतः \(A=B\)। विकल्प \(A\subset B\) और \(B\subset A\) गलत हैं क्योंकि दोनों समुच्चय बराबर हैं न कि एक सही उपसमुच्चय; विकल्प \(A\cap B=\emptyset\) भी गलत है क्योंकि उनका चौरस (intersection) \(\{2,3\}\) है, शून्य समुच्चय नहीं। परीक्षा-सुझाव: किसी भी समीकरण के लिए पहले गुणनखंड करके मूल (roots) निकालें और सीधे दोनों समुच्चयों की तुलना करें — बराबरी और उपसमुच्चय में फर्क पर ध्यान दें। / Factor the quadratic: \(x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)\). The roots are \(x=2\) and \(x=3\), so \(A=\{2,3\}\). Since \(B=\{2,3\}\) as well, we have \(A=B\). Options \(A\subset B\) and \(B\subset A\) are incorrect because they imply a proper subset relation whereas the sets are equal; option \(A\cap B=\emptyset\) is wrong because the intersection is \(\{2,3\}\), not empty. Exam tip: always solve the equation first to get the explicit set and then compare membership and equality — distinguish equal sets from proper subsets.
समस्या में हमें पूर्णांकों पर शर्त दी गई है: \(x^2=9\) का पूर्णांक हल \(x=3\) और \(x=-3\) दोनों हैं। अतः \(A=\{-3,3\}\) जो ठीक उसी तरह है जैसे \(B\)। इसलिए \(A=B\) सत्य है। निकटतम विचलन (option B) केवल धनात्मक जड़ \(3\) को ही रखता है और \(-3\) को छोड़ देता है, इसलिए वह गलत है। (option C) में \(B\) को \(A\) का proper subset माना गया है, परंतु दोनों सेट बराबर हैं इसलिए वह भी गलत है। परीक्षा टिप: वर्गसमाधान लेते समय हमेशा दोनों ± जड़ों की जाँच करें और दिए गए डोमेन (यहाँ \(\mathbb{Z}\)) को ध्यान में रखें। / Solving \(x^2=9\) over the integers gives \(x=3\) and \(x=-3\), so \(A=\{-3,3\}\), which is exactly \(B\). Hence \(A=B\) is correct. The closest distractor, \(A=\{3\}\), wrongly omits \(-3\). The option claiming a proper subset (\(B\subsetneq A\)) is false because the sets are equal. Exam tip: When solving \(x^2=a\) always check both \(\pm\sqrt{a}\) and the specified domain (e.g. \(\mathbb{Z}\)).
हर सदस्य की जाँच करें: \(1,2,3\) में से प्रत्येक संख्या 3 से कम या बराबर है, अतः वे सभी सदस्य \(B\) में भी समाविष्ट होंगे। इसलिए \(B\) के सदस्य ठीक वही हैं जो \(A\) के हैं, यानी \(A=B\)। निकटतम विक्षेप — \(B\subsetneq A\) या \(A\subset B\) — गलत हैं क्योंकि दोनों में 'proper subset' का अर्थ है कि एक समुच्चय में कम सदस्य हों; यहाँ दोनों के सदस्य समान संख्या में हैं। \(B=\emptyset\) गलत है क्योंकि \(B\) में सदस्य मौजूद हैं। परीक्षात्मक सुझाव: शाब्दिक शर्त ("3 से छोटे या बराबर") को प्रत्येक तत्व पर लागू करके तुरंत सत्यापन कर लें। / Check elements: each element of \(A\), namely 1, 2 and 3, is ≤3, so all elements of \(A\) belong to \(B\). Thus \(B\) contains exactly the same elements as \(A\), i.e. \(A=B\). Closest distractors like \(B\subsetneq A\) or \(A\subset B\) are wrong because they assert a proper subset relation (strict inequality of membership), but here the two sets have identical members. \(B=\emptyset\) is false since \(B\) is not empty. Exam tip: verify set relations by testing each element rather than relying on intuition about wording.
उपसमुच्चय सम्बन्ध संक्रमणीय होता है। किसी भी तत्त्व \(x\) के लिए यदि \(x\in A\) है तो दिया गया है कि \(A\subseteq B\) होने पर \(x\in B\) और फिर \(B\subseteq C\) होने पर \(x\in C\)। इसलिए हर तत्त्व जो \(A\) में है, वह \(C\) में भी होगा — अतः \(A\subseteq C\) सदैव सत्य है। अन्य विकल्प गलत क्यों: (B) \(C\subseteq A\) तब ही सत्य होगा जब \(A\) और \(C\) बराबर हों; ऐसा निर्धारित नहीं है। (C) \(A=C\) तभी सत्य होगा जब दोनों दिशाओं में समावेशन दिया या सिद्ध किया जाए; केवल दिए हुए कथनों से यह आवश्यक नहीं है। (D) \(B=\emptyset\) आवश्यक नहीं है — B खाली भी हो सकता है या न भी हो; उदाहरण के लिये \(A=\{1\},B=\{1\},C=\{1,2\}\) में शर्तें पूरी होती हैं पर \(B\) खाली नहीं है। परीक्षा-सूत्र: उपसमुच्चय सिद्ध करने के लिये किसी भी तत्त्व \(x\) को लेकर उसे पूर्ववर्ती समुच्चयों के माध्यम से आगे बढ़ाएँ। / The subset relation is transitive. For any element \(x\), if \(x\in A\) and \(A\subseteq B\), then \(x\in B\); since \(B\subseteq C\), it follows \(x\in C\). Hence every element of \(A\) is in \(C\), so \(A\subseteq C\) always holds. Why other options fail: (B) \(C\subseteq A\) need not hold unless \(A\) and \(C\) are equal. (C) \(A=C\) requires both \(A\subseteq C\) and \(C\subseteq A\); only the first is given. (D) \(B=\emptyset\) is not implied — B may be empty or non-empty. Exam tip: To prove subset statements, take an arbitrary element of the assumed subset and follow membership through the given inclusions (element-chasing).
दो उचित बढ़ाव होने से (C) में (A) से अधिक सदस्य जरूर होंगे। इसलिए (A) (C) का उचित उपसमुच्चय है। / With two proper inclusions, (C) must have more than (A). Hence (A) is a proper subset of (C).
सीमित समुच्चयों में उपसमुच्चय की सदस्य संख्या बराबर हो तो कोई अतिरिक्त सदस्य नहीं बचता। इसलिए समुच्चय बराबर हैं। / For finite sets, if a subset has the same number of elements, no extra element remains. Therefore the sets are equal.
सदस्यों की संख्या बराबर होने से सदस्य समान होना जरूरी नहीं है। जैसे ({1,2}) और ({3,4}) बराबर नहीं हैं। / Equal number of elements does not mean the elements are the same. For example, ({1,2}) and ({3,4}) are not equal.
घात समुच्चय में सभी उपसमुच्चय सदस्य बनते हैं। रिक्त समुच्चय और पूरा समुच्चय दोनों शामिल करें। / The power set contains all subsets as elements. Include both the empty set and the whole set.
(\mathcal{P}(A)) के सदस्य (A) के उपसमुच्चय होते हैं। \({1,3}\subseteq A\) है, इसलिए यह सदस्य है। / Elements of (\mathcal{P}(A)) are subsets of (A). Since \({1,3}\subseteq A\), it is an element.
यदि \(A=B\) है, तो कोई भी उपसमुच्चय \(X\) के लिए \(X\subset A\) तब और तभी होगा जब \(X\subset B\) होगा। इसलिए \(X\in\mathcal{P}(A)\) ⇔ \(X\in\mathcal{P}(B)\) और इस कारण \(\mathcal{P}(A)=\mathcal{P}(B)\)। विकल्प B गलत है क्योंकि सख्त उपसमुच्चय तब ही होगा जब एक पक्ष में अतिरिक्त उपसमुच्चय मौजूद हों — बराबरी में ऐसा नहीं होता। विकल्प D केवल उस विशेष स्थिति में सही है जब \(A=B=\varnothing\); सामान्य रूप से गलत है। परीक्षा टिप: दो-तरफ़ा समावेशन दिखाएँ या तत्व-स्तर पर \(X\in\mathcal{P}(A)\) ⇔ \(X\in\mathcal{P}(B)\) लिखकर साबित करें। / If \(A=B\), every subset \(X\) satisfies \(X\subset A\) iff \(X\subset B\). Hence \(X\in\mathcal{P}(A)\) ⇔ \(X\in\mathcal{P}(B)\), so \(\mathcal{P}(A)=\mathcal{P}(B)\). Option B is wrong because a proper subset relation would require extra subsets in one power set; equality prevents that. Option D holds only in the special case \(A=B=\varnothing\), not in general. Exam tip: prove power-set equality by showing two-way inclusion or by the element-wise argument \(X\in\mathcal{P}(A)\) ⇔ \(X\in\mathcal{P}(B)\).
किसी समुच्चय का पूरा समुच्चय स्वयं उसके घात समुच्चय में आता है। बराबर घात समुच्चय मूल समुच्चय भी बराबर बनाते हैं। / A set itself appears in its power set. Equal power sets force the original sets to be equal.
यदि \(A\subseteq B\) है तो हर तत्व जो \(A\) में है वह पहले से ही \(B\) में है। इसलिए \(A\) और \(B\) का संघ (union) \(B\) से बड़ा या अलग कुछ नहीं देगा; इसलिए \(A\cup B=B\) हमेशा सत्य है। विकल्प C (\(A\cap B=B\)) तब ही सत्य होगा जब \(B\subseteq A\) हो — यहाँ दिया गया है \(A\subseteq B\), अतः सामान्यतः \(A\cap B=A\)। विकल्प B (\(A\cup B=A\)) उसी तरह तभी सत्य होगा जब \(B\subseteq A\)। विकल्प D गलत है क्योंकि \(A\setminus B=\emptyset\) जब \(A\subseteq B\) हो, न कि \(B\)। परीक्षा की टिप: सबसे पहले \(A\subseteq B\) का मतलब याद रखें — सभी तत्व A के B में होते हैं; फिर संघ और छेद (intersection) के सिद्धांत लागू करें। / If \(A\subseteq B\), every element of \(A\) is already an element of \(B\). Hence forming the union adds no new elements and \(A\cup B=B\) always holds. Option C (\(A\cap B=B\)) would require \(B\subseteq A\), so in our case the intersection equals \(A\), not \(B\). Option B (\(A\cup B=A\)) is likewise only true when \(B\subseteq A\). Option D is incorrect because when \(A\subseteq B\) we have \(A\setminus B=\emptyset\), not \(B\). Exam tip: translate the subset relation into “every element of A is in B” and then apply union/intersection identities: \(A\cup B=B\), \(A\cap B=A\), \(A\setminus B=\emptyset\) when \(A\subseteq B\).
(A) का हर सदस्य (B) में है, इसलिए साझा भाग (A) ही है। चित्र बनाकर यह पहचान जल्दी होती है। / Every element of (A) is in (B), so the common part is (A). A quick Venn diagram helps identify this.
यदि \(A\cup B = B\), तो किसी भी तत्व \(x\) के लिए, यदि \(x\in A\) तो निश्चित रूप से \(x\in A\cup B\), और इसलिए \(x\in B\)। इसका सीधा अर्थ है कि हर तत्व जो \(A\) में है वह \(B\) में भी है, यानी \(A\subseteq B\)। विकल्प B (\(B\subseteq A\)) तभी सत्य होगा जब \(A=B\) हो — यह जरूरी नहीं है। विकल्प C (\(A=B^{c}\)) और D (\(A\cap B=\emptyset\)) भी आवश्यक सत्य नहीं हैं क्योंकि वे अतिरिक्त परिस्थितियों पर निर्भर करते हैं। परीक्षा-टिप: यूनियन का अर्थ तत्व-स्तर पर जांचें — यदि \(A\cup B=B\), तो हर \(A\) का तत्व \(B\) में होना चाहिए। / From \(A\cup B = B\) consider any element \(x\). If \(x\in A\) then \(x\in A\cup B\), so by equality \(x\in B\). Thus every element of \(A\) is in \(B\), i.e. \(A\subseteq B\). Option B (\(B\subseteq A\)) would hold only if \(A=B\), which is not guaranteed. Options C (\(A=B^{c}\)) and D (\(A\cap B=\emptyset\)) are not implied by the given equality and require extra assumptions. Exam tip: use element-wise reasoning — check what membership in \(A\) implies from the union equality.
यदि \(A\cap B = A\), तो हर तत्व \(x\in A\) के लिए \(x\in A\cap B\) भी होगा, इसका अर्थ है कि वह \(x\) \(B\) में भी है। इसलिए हर तत्व \(A\) का सदस्य \(B\) में है, अर्थात् \(A\subseteq B\)। विकल्प B (\(B\subseteq A\)) हमेशा सही नहीं है — उदाहरण के लिये \(A=\{1\},\;B=\{1,2\}\) में \(B\subseteq A\) असत्य है। विकल्प C केवल तब सही होगा जब \(A\) शून्यसमुच्चय हो; सामान्यतः गलत। विकल्प D का कोई सामान्य कारण नहीं है और अधिकतर मामलों में असत्य रहेगा। परीक्षा टिप: उपसमुच्चय सिद्ध करने के लिये तत्व-स्तर पर दिखाएँ — 'यदि \(x\in A\) तो ...' तरीका तेज और सुरक्षित रहता है। / If \(A\cap B = A\), then for every element \(x\in A\) we also have \(x\in A\cap B\), which implies \(x\in B\). Hence every element of \(A\) is in \(B\), i.e. \(A\subseteq B\). Option B (\(B\subseteq A\)) need not hold (counterexample: \(A=\{1\},B=\{1,2\}\)). Option C holds only if \(A\) is empty, so it is not generally true. Option D (\(A=B^{c}\)) is unrelated and usually false. Exam tip: Prove subset claims by element-wise argument — assume \(x\in A\) and show \(x\in B\).
\(A - B = \emptyset\) का अर्थ है कि सेट \(A\) का कोई भी सदस्य ऐसा नहीं है जो \(B\) के बाहर हो। यही कहता है कि प्रत्येक \(x\in A\) के लिए \(x\in B\) भी सत्य है, अतः \(A\subseteq B\)। यह समकक्षता (equality) \(A= B\) की गारंटी नहीं देता क्योंकि \(B\) में ऐसे सदस्य हो सकते हैं जो \(A\) में न हों। समान रूप से \(A\cap B=\emptyset\) या \(B\subseteq A\) के विकल्प गलत हैं। परीक्षा टिप: सेट-भेद \(A-B\) का हमेशा अर्थ याद रखें — यह वही तत्व देता है जो \(A\) में हैं पर \(B\) में नहीं। / \(A - B = \emptyset\) means there is no element of \(A\) that lies outside \(B\). Therefore every \(x\in A\) is also in \(B\), so \(A\subseteq B\). This does not imply equality \(A= B\) because \(B\) may have extra elements; nor does it imply \(B\subseteq A\) or that \(A\) and \(B\) are disjoint. Exam tip: translate set-difference statements into "for every element..." form to decide subset relations quickly.
सममित अंतर रिक्त है तो कोई सदस्य केवल एक ही सेट में नहीं है। इसलिए दोनों सेटों के सदस्य समान हैं। / If the symmetric difference is empty, no element belongs to exactly one set. Thus the sets have identical elements.
(18) के अभाज्य भाजक केवल (2) और (3) हैं। भाजक और अभाज्य भाजक में अंतर ध्यान रखें। / The prime divisors of (18) are only (2) and (3). Note the difference between divisors and prime divisors.
24 के सभी भाजक हैं {1,2,3,4,6,8,12,24} और इनके सम (even) भाजक A = {2,4,6,8,12,24} होंगे। विकल्प {2,4,6,8} के सभी तत्व A में मौजूद हैं, अतः वह A का उपसमुच्चय है। निकटवर्ती गलती करने वाले विकल्पों में {1,2,4} है — इसमें 1 है जो सम भाजक नहीं है और इसलिए A में नहीं है; इसी तरह {2,4,5} में 5, और {10,12} में 10 A में नहीं है। परीक्षा संकेत: पहले मूल सेट A लिखें और फिर हर विकल्प का प्रत्येक सदस्य A में है या नहीं यह क्रम से जाँचें। / Divisors of 24 are {1,2,3,4,6,8,12,24}; the even divisors (set A) are {2,4,6,8,12,24}. Every element of {2,4,6,8} belongs to A, so it is a subset. A close distractor is {1,2,4} — 1 is not an even divisor and thus not in A. Similarly {2,4,5} contains 5 (not a divisor) and {10,12} contains 10 (not a divisor). Exam tip: list A first, then verify each element of the candidate subset belongs to A one by one.
यहाँ 2 और 7 अनिवार्य रूप से शामिल हैं, इसलिए शेष दो तत्व 3 और 5 स्वतंत्र रूप से शामिल या न शामिल हो सकते हैं। हर एक के 2 विकल्प हैं, अतः कुल उपसमुच्चय की संख्या है \(2^2=4\)। विकल्प C (8) गलत है क्योंकि वह तीन स्वतंत्र विकल्पों की गिनती का परिणाम होता (\(2^3\)) — यहाँ ऐसे तीन स्वतंत्र तत्व नहीं हैं; विकल्प A (2) छोटा आकलन है। परीक्षा संकेत: यदि मूल सेट में कुल n तत्व और k अनिवार्य तत्व हों तो उत्तर \(2^{n-k}\) होगा। / Since 2 and 7 must be included, the remaining elements 3 and 5 can each be either present or absent independently. That gives 2 choices per element, so the total number of subsets is \(2^2=4\). Option C (8) is incorrect because it corresponds to counting 3 independent choices (\(2^3\)), which doesn't apply here; option A (2) undercounts. Exam tip: for a set of size n with k fixed elements, the number of subsets containing those k elements is \(2^{n-k}\).
दिए गए सेट में विषम तत्व \(1,3,5\) हैं — कुल 3 तत्व। किसी भी सेट के उपसमुच्चयों की संख्या सूत्र \(2^n\) से दी जाती है जहाँ \(n\) उस सेट के तत्वों की संख्या है। अत: उपसमुच्चयों की संख्या \(2^3=8\) होगी (यहां खाली सेट भी शामिल है)। विकल्प B (6) भ्रम का सामान्य उदाहरण है जब छात्र तत्वों की संख्या को गलती से सीधे उत्तर मान लेते हैं या खाली सेट शामिल करना भूल जाते हैं। परीक्षा सुझाव: पहले केवल विषम तत्व गिनें, फिर तुरंत \(2^n\) लागू करें और खाली सेट को न भूलें। / The odd elements in the set are 1, 3 and 5 — so n = 3. The number of subsets of a set with n elements is given by 2^n, hence 23 = 8 subsets (including the empty set). Option B (6) is incorrect — a common mistake is to confuse the number of elements with the number of subsets or to omit the empty set. Exam tip: identify the relevant elements first, then apply 2^n; always remember the empty subset is counted.
किसी सेट के कुल उपसमुच्चयों की संख्या \(2^n\) होती है जहाँ \(n\) तत्वों की संख्या है। यहाँ \(n=4\) अतः कुल उपसमुच्चय \(2^4=16\) हैं। इनमें से केवल रिक्त समुच्चय (empty set) को हटाना है ताकि कम-से-कम एक सदस्य वाले उपसमुच्चय बचेँ: \(16-1=15\)। विकल्प C (16) इसलिए गलत है क्योंकि वह रिक्त समुच्चय को भी गिनता है। विकल्प A (14) तब आ सकता है यदि किसी ने गलती से दो उपसमुच्चयों को निकाल दिया हो — यह गलत कटौती है। परीक्षा-सूत्र: गैर-रिक्त उपसमुच्चयों की त्वरित गिनती के लिए फार्मूला \(2^n-1\) याद रखें। / The number of all subsets of an n-element set is \(2^n\). Here \(n=4\), so total subsets = \(2^4=16\). Excluding only the empty set gives the non-empty subsets: \(16-1=15\). Choice C (16) is incorrect because it includes the empty set. Choice A (14) would result from incorrectly excluding an extra subset and is therefore wrong. Exam tip: use the formula for non-empty subsets \(2^n-1\) to answer quickly.
यदि A में 3 सदस्य हैं तो पावर सेट \(\mathcal{P}(A)\) के सदस्यों की संख्या \(2^3=8\) होगी। किसी 8-सदस्यीय सेट के कुल उपसमुच्चय \(2^8=256\) होते हैं। उचित उपसमुच्चयों में स्वयं समुच्चय शामिल नहीं होता, अत: संख्या \(2^8-1=256-1=255\)। विकल्प C (256) को चुनना इस गलती से आता है कि वे सभी उपसमुच्चयों (जिसमें पूरा सेट भी शामिल है) को गिन लेते हैं। विकल्प A (127) और D (511) गलत गणनाओं के परिणाम हैं (127 = \(2^7-1\), 511 = \(2^9-1\)) और यहाँ प्रासंगिक नहीं हैं। परीक्षा का सुझाव: पहले चरण-दर-चरण सेट का आकार तय करें (यहाँ \(2^3=8\)) और फिर उसी पर उपसमुच्चय सूत्र लगाएँ। / If A has 3 elements then the power set \(\mathcal{P}(A)\) has \(2^3=8\) elements. The total number of subsets of an 8-element set is \(2^8=256\). Proper subsets exclude the set itself, so the count is \(2^8-1=256-1=255\). Option C (256) incorrectly counts the set itself as a proper subset. Options A (127) and D (511) correspond to wrong exponents (\(2^7-1\) and \(2^9-1\) respectively) and are not relevant here. Exam tip: compute the size of \(\mathcal{P}(A)\) first, then apply the subset formula; don’t confuse subsets of A with subsets of \(\mathcal{P}(A)\).
हर सदस्य के लिए तीन स्थितियां हैं: दोनों में नहीं, केवल (Y) में, या दोनों में। इसलिए कुल \(3^3=27\) है। / Each element has three choices: in neither set, in (Y) only, or in both. Thus the total is \(3^3=27\).
यहाँ \(B-A\) में केवल एक तत्व \(9\) है, इसलिए किसी भी समुच्चय \(X\) को \(A\) के सभी तत्व अवश्य रखने होंगे और केवल यह तय करना होगा कि \(9\) को रखा जाए या नहीं। इसलिए संभावनाएँ दो हैं: \(X=A\) या \(X=A\cup\{9\}=B\)। सामान्य सूत्र से भी: संभव \(X\) की संख्या = \(2^{|B-A|}=2^{1}=2\)। सबसे नज़दीकी भ्रामक विकल्प (3) गलत है क्योंकि केवल एक वैकल्पिक तत्व होने पर तीन भिन्न उपसमुच्चय बनना संभव नहीं है। परीक्षात्मक सुझाव: जब पूछे कि कितने \(X\) के लिए \(A\subseteq X\subseteq B\), तब सीधे \(2^{|B-A|}\) का प्रयोग करें। / Since \(B-A\) contains exactly one element (9), any set \(X\) must include all elements of \(A\) and may either exclude or include 9. Thus there are two possibilities: \(X=A\) or \(X=A\cup\{9\}=B\). Using the general formula, number of such \(X\)=\(2^{|B-A|}=2^{1}=2\). The nearest distractor (3) is incorrect because a single optional element yields only two distinct choices, not three. Exam tip: use the formula \(2^{|B-A|}\) for counting sets satisfying \(A\subseteq X\subseteq B\).
दो एक-सदस्यीय समुच्चय तब और केवल तब बराबर होते हैं जब उनके तत्व समान हों। अतः \\(\{2a+1\}=\{7\}\) होने पर \\(2a+1=7\\)। इसे हल करने पर \\(2a=6\\) और इसलिए \\(a=3\\)। विकल्प A (2) गलत है क्योंकि \\(2\) रखने पर \\(2a+1=5\\) मिलता है, विकल्प C (4) रखने पर \\(2a+1=9\\) मिलता है। परीक्षा टिप: समुच्चयों की समानता में समुच्चयों के भीतर के तत्वों की बराबरी करना याद रखें — एक-सदस्यीय समुच्चयों के लिए यह सीधे समतुल्य समीकरण देता है। / Two singleton sets are equal iff their single elements are equal. Therefore from \\(
\{2a+1\}=\{7\}\\) we get the equation \\(2a+1=7\\). Solving gives \\(2a=6\\) and \\(a=3\\). Option A (2) is incorrect because it yields \\(2a+1=5\\); option C (4) is incorrect because it yields \\(2a+1=9\\). Exam tip: For equality of singleton sets, equate the lone elements to form a simple equation.
समुच्चयों की समानता का अर्थ है कि दोनों में एक ही सदस्य होंगे। {a,4} = {2,b} होने पर सदस्यों का सेट
{2,4} होना चाहिए। दिया गया है कि a \ne 4, अतः a = 2 होना अनिवार्य है; फिर b को 4 होना चाहिए ताकि दाएँ ओर भी सदस्य 2 और 4 ही हों। विकल्प B (a = 4, b = 2) गलत है क्योंकि वह a = 4 मानता है जो शर्त के विपरीत है। परीक्षा टिप: सेट में क्रम का कोई महत्व नहीं, इसलिए केवल सदस्यताएँ मिलानी होती हैं। / Equality of sets means they contain the same elements. From {a,4} = {2,b} the element set must be {2,4}. Given a \ne 4, a cannot be 4 and therefore must be 2; consequently b = 4 so the two sets match. Option B (a = 4, b = 2) is invalid because it contradicts a \ne 4. Exam tip: remember order doesn't matter in sets—match elements, not positions.
(k) भी बड़े समुच्चय का सदस्य होना चाहिए। (k=1) होने पर समुच्चय ({1}) बनता है, जो उपसमुच्चय है। / The value (k) must be an element of the larger set. If (k=1), the set becomes ({1}), which is still a subset.
शर्त में कहा गया है कि \(x\) पूर्णांक (integer) है और सीमा \(-2\le x<2\) है। इसका अर्थ है बाएँ छोर \(-2\) शामिल है पर दाँया छोर \(2\) शामिल नहीं है। इसलिए उस अंतराल में आने वाले सभी पूर्णांक हैं \(-2,-1,0,1\), जो विकल्प A में ठीक दिए गए हैं। सबसे निकट भ्रम वाले विकल्प C में गलत तरीके से \(2\) भी शामिल है; विकल्प B में \(-2\) गायब है; और विकल्प D कुछ ही पूर्णांकों को दिखाता और भी गलत है। परीक्षा टिप: पहले चेक करें किन एंडपॉइंट्स पर समावेश (\(\le\)) है और किन पर असमावेश (\(<\)) और फिर उन अंत बिंदुओं के बीच के सभी पूर्णांकों को सूचीबद्ध करें। / The condition requires integers with \(-2\le x<2\). This includes \(-2\) but excludes \(2\), so the integers in the set are \(-2,-1,0,1\). Choice A matches exactly and is correct. Choice C is the closest distractor but is wrong because it wrongly includes \(2\); choice B omits \(-2\); choice D lists only a subset (and includes \(2\) which is not allowed). Exam tip: First determine which endpoints are included (\(\le\) vs \(<\)), then list every integer inside that interval in order to avoid missing or extra elements.
(0) निश्चित है और दूसरा सदस्य (1,2,3) में से चुना जाएगा। इसलिए (3) उपसमुच्चय बनते हैं। / Element (0) is fixed, and the second element is chosen from (1,2,3). So there are (3) subsets.
(A) में दो अलग सदस्य हैं: \(\emptyset\) और \({\emptyset}\)। इसलिए उपसमुच्चय \(2^2=4\) हैं। / The set (A) has two distinct elements: \(\emptyset\) and \({\emptyset}\). Hence it has \(2^2=4\) subsets.
उपसमुच्चय होने के लिए प्रत्येक सदस्य मूल समुच्चय के सदस्य होना चाहिए। विकल्प D में संख्या 2 शामिल है, पर \(2\) समुच्चय \(A\) का सदस्य नहीं है; इसलिए \(\{1,2\}\) उपसमुच्चय नहीं है और यह सही उत्तर है। निकट भ्रामक विकल्प — विकल्प B (\(\{\{\emptyset\}\}\)) — कुछ छात्रों को भ्रमित कर सकता है, पर इसका एकमात्र सदस्य \(\{\emptyset\}\) है और वह स्पष्ट रूप से \(A\) का सदस्य है, अतः यह वास्तव में \(A\) का उपसमुच्चय है। परखने का सुझाव: सदैव जाँचें कि प्रत्येक तत्व मूल समुच्चय में मौजूद है और \(\emptyset\) तथा \(\{\emptyset\}\) में अंतर समझें। / For a set to be a subset, every element of that set must be an element of the original set. Option D contains the element 2, but 2 is not an element of \(A\); therefore \(\{1,2\}\) is not a subset and is the correct choice. A close distractor is option B (\(\{\{\emptyset\}\}\)), which may look tricky: its sole element is \(\{\emptyset\}\), and since \(\{\emptyset\}\in A\), B is actually a subset. Exam tip: check membership element-by-element and be careful to distinguish between \(\emptyset\) and \(\{\emptyset\}\).
तर्क: \(A\subseteq B\) का अर्थ है हर तत्व जो \(A\) में है वह \(B\) में भी है। किसी भी तत्व \(x\) के लिए यदि \(x\in B^c\) (यानी \(x\notin B\)), तो निश्चित रूप से \(x\notin A\) भी होगा; अतः \(x\in A^c\)। इसलिए हर \(B^c\) का तत्व \(A^c\) में है यानी \(B^c\subseteq A^c\)। गलत विकल्पों के बारे में: विकल्प B उल्टा Inclusion दर्शाता है और सामान्यतः गलत है (सिर्फ तब सही होगा जब \(A=B\))। विकल्प C तभी सही होगा जब \(A=B\)। विकल्प D तब ही सही हो सकता है जब \(A\cup B\) सार्वभौमिक सेट हो; यह सामान्य स्थिति नहीं है। परीक्षा सुझाव: तत्व-आधारित तर्क (element-wise) या वेन-आकृति से पूरक संबंध को जल्दी सत्यापित करें। / Reason: From \(A\subseteq B\) every element of \(A\) is in \(B\). If \(x\in B^c\) (so \(x\notin B\)), then certainly \(x\notin A\), hence \(x\in A^c\). Thus every element of \(B^c\) lies in \(A^c\), i.e. \(B^c\subseteq A^c\). About the distractors: option B reverses the inclusion and is false in general (true only if \(A=B\)); option C holds only when \(A=B\); option D asserts an empty intersection of complements which would mean \(A\cup B\) is the universal set — not generally true. Exam tip: Use element-wise proof or a Venn diagram; complements reverse subset relations.
कथन: यदि \(A\subset B\), तो (\mathcal{P}(A)\subset \mathcal{P}(B))। कारण: (A) का हर उपसमुच्चय (B) का भी उपसमुच्चय है और (B) स्वयं (\mathcal{P}(B)) में है पर (\mathcal{P}(A)) में नहीं। सही विकल्प चुनिए।
A. कथन और कारण दोनों सही हैं, कारण सही व्याख्या है/Both assertion and reason are true, and the reason explains it
Explanation
Simple Explanation
उचित उपसमुच्चय होने पर घात समुच्चय भी उचित रूप से शामिल होता है। कारण में दोनों भाग सही व्याख्या देते हैं। / A proper subset gives a proper inclusion of power sets. The reason correctly explains both inclusion and properness.
