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Subjects
Class 11 Mathematics Sets Expert Level 8

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) है, तो कम-से-कम एक सदस्य वाले उपसमुच्चयों की संख्या कितनी है?

If \(A=\{1,2,3,4\}\), how many subsets of A have at least one element?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

B. 15

Explanation

Simple Explanation

किसी सेट के कुल उपसमुच्चयों की संख्या \(2^n\) होती है जहाँ \(n\) तत्वों की संख्या है। यहाँ \(n=4\) अतः कुल उपसमुच्चय \(2^4=16\) हैं। इनमें से केवल रिक्त समुच्चय (empty set) को हटाना है ताकि कम-से-कम एक सदस्य वाले उपसमुच्चय बचेँ: \(16-1=15\)। विकल्प C (16) इसलिए गलत है क्योंकि वह रिक्त समुच्चय को भी गिनता है। विकल्प A (14) तब आ सकता है यदि किसी ने गलती से दो उपसमुच्चयों को निकाल दिया हो — यह गलत कटौती है। परीक्षा-सूत्र: गैर-रिक्त उपसमुच्चयों की त्वरित गिनती के लिए फार्मूला \(2^n-1\) याद रखें। / The number of all subsets of an n-element set is \(2^n\). Here \(n=4\), so total subsets = \(2^4=16\). Excluding only the empty set gives the non-empty subsets: \(16-1=15\). Choice C (16) is incorrect because it includes the empty set. Choice A (14) would result from incorrectly excluding an extra subset and is therefore wrong. Exam tip: use the formula for non-empty subsets \(2^n-1\) to answer quickly.

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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) है, तो कम-से-कम एक सदस्य वाले उपसमुच्चयों की संख्या कितनी है? / If \(A=\{1,2,3,4\}\), how many subsets of A have at least one element?

Correct Answer: B. 15. Explanation: किसी सेट के कुल उपसमुच्चयों की संख्या \(2^n\) होती है जहाँ \(n\) तत्वों की संख्या है। यहाँ \(n=4\) अतः कुल उपसमुच्चय \(2^4=16\) हैं। इनमें से केवल रिक्त समुच्चय (empty set) को हटाना है ताकि कम-से-कम एक सदस्य वाले उपसमुच्चय बचेँ: \(16-1=15\)। विकल्प C (16) इसलिए गलत है क्योंकि वह रिक्त समुच्चय को भी गिनता है। विकल्प A (14) तब आ सकता है यदि किसी ने गलती से दो उपसमुच्चयों को निकाल दिया हो — यह गलत कटौती है। परीक्षा-सूत्र: गैर-रिक्त उपसमुच्चयों की त्वरित गिनती के लिए फार्मूला \(2^n-1\) याद रखें। / The number of all subsets of an n-element set is \(2^n\). Here \(n=4\), so total subsets = \(2^4=16\). Excluding only the empty set gives the non-empty subsets: \(16-1=15\). Choice C (16) is incorrect because it includes the empty set. Choice A (14) would result from incorrectly excluding an extra subset and is therefore wrong. Exam tip: use the formula for non-empty subsets \(2^n-1\) to answer quickly.