यदि \(A\cup B = B\) है, तो कौन-सा निष्कर्ष अनिवार्य रूप से सत्य है?

Correct Answer: A. \(A\subseteq B\). Explanation: यदि \(A\cup B = B\), तो किसी भी तत्व \(x\) के लिए, यदि \(x\in A\) तो निश्चित रूप से \(x\in A\cup B\), और इसलिए \(x\in B\)। इसका सीधा अर्थ है कि हर तत्व जो \(A\) में है वह \(B\) में भी है, यानी \(A\subseteq B\)। विकल्प B (\(B\subseteq A\)) तभी सत्य होगा जब \(A=B\) हो — यह जरूरी नहीं है। विकल्प C (\(A=B^{c}\)) और D (\(A\cap B=\emptyset\)) भी आवश्यक सत्य नहीं हैं क्योंकि वे अतिरिक्त परिस्थितियों पर निर्भर करते हैं। परीक्षा-टिप: यूनियन का अर्थ तत्व-स्तर पर जांचें — यदि \(A\cup B=B\), तो हर \(A\) का तत्व \(B\) में होना चाहिए। / From \(A\cup B = B\) consider any element \(x\). If \(x\in A\) then \(x\in A\cup B\), so by equality \(x\in B\). Thus every element of \(A\) is in \(B\), i.e. \(A\subseteq B\). Option B (\(B\subseteq A\)) would hold only if \(A=B\), which is not guaranteed. Options C (\(A=B^{c}\)) and D (\(A\cap B=\emptyset\)) are not implied by the given equality and require extra assumptions. Exam tip: use element-wise reasoning — check what membership in \(A\) implies from the union equality.