यदि \(A\subseteq B\) तथा \(B\subseteq C\) हैं, तो कौन-सा निष्कर्ष सदैव सत्य होगा?

Correct Answer: A. \(A\subseteq C\). Explanation: उपसमुच्चय सम्बन्ध संक्रमणीय होता है। किसी भी तत्त्व \(x\) के लिए यदि \(x\in A\) है तो दिया गया है कि \(A\subseteq B\) होने पर \(x\in B\) और फिर \(B\subseteq C\) होने पर \(x\in C\)। इसलिए हर तत्त्व जो \(A\) में है, वह \(C\) में भी होगा — अतः \(A\subseteq C\) सदैव सत्य है। अन्य विकल्प गलत क्यों: (B) \(C\subseteq A\) तब ही सत्य होगा जब \(A\) और \(C\) बराबर हों; ऐसा निर्धारित नहीं है। (C) \(A=C\) तभी सत्य होगा जब दोनों दिशाओं में समावेशन दिया या सिद्ध किया जाए; केवल दिए हुए कथनों से यह आवश्यक नहीं है। (D) \(B=\emptyset\) आवश्यक नहीं है — B खाली भी हो सकता है या न भी हो; उदाहरण के लिये \(A=\{1\},B=\{1\},C=\{1,2\}\) में शर्तें पूरी होती हैं पर \(B\) खाली नहीं है। परीक्षा-सूत्र: उपसमुच्चय सिद्ध करने के लिये किसी भी तत्त्व \(x\) को लेकर उसे पूर्ववर्ती समुच्चयों के माध्यम से आगे बढ़ाएँ। / The subset relation is transitive. For any element \(x\), if \(x\in A\) and \(A\subseteq B\), then \(x\in B\); since \(B\subseteq C\), it follows \(x\in C\). Hence every element of \(A\) is in \(C\), so \(A\subseteq C\) always holds. Why other options fail: (B) \(C\subseteq A\) need not hold unless \(A\) and \(C\) are equal. (C) \(A=C\) requires both \(A\subseteq C\) and \(C\subseteq A\); only the first is given. (D) \(B=\emptyset\) is not implied — B may be empty or non-empty. Exam tip: To prove subset statements, take an arbitrary element of the assumed subset and follow membership through the given inclusions (element-chasing).