यदि \(A\cap B = A\), तो निम्न में से कौन सा निष्कर्ष सदैव सही होगा?

Correct Answer: A. \(A\subseteq B\). Explanation: यदि \(A\cap B = A\), तो हर तत्व \(x\in A\) के लिए \(x\in A\cap B\) भी होगा, इसका अर्थ है कि वह \(x\) \(B\) में भी है। इसलिए हर तत्व \(A\) का सदस्य \(B\) में है, अर्थात् \(A\subseteq B\)। विकल्प B (\(B\subseteq A\)) हमेशा सही नहीं है — उदाहरण के लिये \(A=\{1\},\;B=\{1,2\}\) में \(B\subseteq A\) असत्य है। विकल्प C केवल तब सही होगा जब \(A\) शून्यसमुच्चय हो; सामान्यतः गलत। विकल्प D का कोई सामान्य कारण नहीं है और अधिकतर मामलों में असत्य रहेगा। परीक्षा टिप: उपसमुच्चय सिद्ध करने के लिये तत्व-स्तर पर दिखाएँ — 'यदि \(x\in A\) तो ...' तरीका तेज और सुरक्षित रहता है। / If \(A\cap B = A\), then for every element \(x\in A\) we also have \(x\in A\cap B\), which implies \(x\in B\). Hence every element of \(A\) is in \(B\), i.e. \(A\subseteq B\). Option B (\(B\subseteq A\)) need not hold (counterexample: \(A=\{1\},B=\{1,2\}\)). Option C holds only if \(A\) is empty, so it is not generally true. Option D (\(A=B^{c}\)) is unrelated and usually false. Exam tip: Prove subset claims by element-wise argument — assume \(x\in A\) and show \(x\in B\).