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Subjects
Class 11 Mathematics Sets Expert Level 8

यदि \(A\subseteq B\) है, तो उनके पूरकों के संबंध के बारे में कौन-सा कथन सही है?

If \(A\subseteq B\), which statement about their complements is true?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(B^c\subseteq A^c\)

Explanation

Simple Explanation

तर्क: \(A\subseteq B\) का अर्थ है हर तत्व जो \(A\) में है वह \(B\) में भी है। किसी भी तत्व \(x\) के लिए यदि \(x\in B^c\) (यानी \(x\notin B\)), तो निश्चित रूप से \(x\notin A\) भी होगा; अतः \(x\in A^c\)। इसलिए हर \(B^c\) का तत्व \(A^c\) में है यानी \(B^c\subseteq A^c\)। गलत विकल्पों के बारे में: विकल्प B उल्टा Inclusion दर्शाता है और सामान्यतः गलत है (सिर्फ तब सही होगा जब \(A=B\))। विकल्प C तभी सही होगा जब \(A=B\)। विकल्प D तब ही सही हो सकता है जब \(A\cup B\) सार्वभौमिक सेट हो; यह सामान्य स्थिति नहीं है। परीक्षा सुझाव: तत्व-आधारित तर्क (element-wise) या वेन-आकृति से पूरक संबंध को जल्दी सत्यापित करें। / Reason: From \(A\subseteq B\) every element of \(A\) is in \(B\). If \(x\in B^c\) (so \(x\notin B\)), then certainly \(x\notin A\), hence \(x\in A^c\). Thus every element of \(B^c\) lies in \(A^c\), i.e. \(B^c\subseteq A^c\). About the distractors: option B reverses the inclusion and is false in general (true only if \(A=B\)); option C holds only when \(A=B\); option D asserts an empty intersection of complements which would mean \(A\cup B\) is the universal set — not generally true. Exam tip: Use element-wise proof or a Venn diagram; complements reverse subset relations.

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यदि \(A\subseteq B\) है, तो उनके पूरकों के संबंध के बारे में कौन-सा कथन सही है? / If \(A\subseteq B\), which statement about their complements is true?

Correct Answer: A. \(B^c\subseteq A^c\). Explanation: तर्क: \(A\subseteq B\) का अर्थ है हर तत्व जो \(A\) में है वह \(B\) में भी है। किसी भी तत्व \(x\) के लिए यदि \(x\in B^c\) (यानी \(x\notin B\)), तो निश्चित रूप से \(x\notin A\) भी होगा; अतः \(x\in A^c\)। इसलिए हर \(B^c\) का तत्व \(A^c\) में है यानी \(B^c\subseteq A^c\)। गलत विकल्पों के बारे में: विकल्प B उल्टा Inclusion दर्शाता है और सामान्यतः गलत है (सिर्फ तब सही होगा जब \(A=B\))। विकल्प C तभी सही होगा जब \(A=B\)। विकल्प D तब ही सही हो सकता है जब \(A\cup B\) सार्वभौमिक सेट हो; यह सामान्य स्थिति नहीं है। परीक्षा सुझाव: तत्व-आधारित तर्क (element-wise) या वेन-आकृति से पूरक संबंध को जल्दी सत्यापित करें। / Reason: From \(A\subseteq B\) every element of \(A\) is in \(B\). If \(x\in B^c\) (so \(x\notin B\)), then certainly \(x\notin A\), hence \(x\in A^c\). Thus every element of \(B^c\) lies in \(A^c\), i.e. \(B^c\subseteq A^c\). About the distractors: option B reverses the inclusion and is false in general (true only if \(A=B\)); option C holds only when \(A=B\); option D asserts an empty intersection of complements which would mean \(A\cup B\) is the universal set — not generally true. Exam tip: Use element-wise proof or a Venn diagram; complements reverse subset relations.