यदि A = {2, 3, 5, 7} है, तो कितने उपसमुच्चय ऐसे होंगे जो दोनों तत्व 2 और 7 को शामिल करते हों?

Correct Answer: B. 4. Explanation: यहाँ 2 और 7 अनिवार्य रूप से शामिल हैं, इसलिए शेष दो तत्व 3 और 5 स्वतंत्र रूप से शामिल या न शामिल हो सकते हैं। हर एक के 2 विकल्प हैं, अतः कुल उपसमुच्चय की संख्या है \(2^2=4\)। विकल्प C (8) गलत है क्योंकि वह तीन स्वतंत्र विकल्पों की गिनती का परिणाम होता (\(2^3\)) — यहाँ ऐसे तीन स्वतंत्र तत्व नहीं हैं; विकल्प A (2) छोटा आकलन है। परीक्षा संकेत: यदि मूल सेट में कुल n तत्व और k अनिवार्य तत्व हों तो उत्तर \(2^{n-k}\) होगा। / Since 2 and 7 must be included, the remaining elements 3 and 5 can each be either present or absent independently. That gives 2 choices per element, so the total number of subsets is \(2^2=4\). Option C (8) is incorrect because it corresponds to counting 3 independent choices (\(2^3\)), which doesn't apply here; option A (2) undercounts. Exam tip: for a set of size n with k fixed elements, the number of subsets containing those k elements is \(2^{n-k}\).