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Subjects
Class 11 Mathematics Sets Expert Level 8

यदि A में 3 सदस्य हैं, तो \(\mathcal{P}(A)\) के कितने उचित उपसमुच्चय होंगे?

If A has 3 elements, how many proper subsets does \(\mathcal{P}(A)\) have?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

B. 255

Explanation

Simple Explanation

यदि A में 3 सदस्य हैं तो पावर सेट \(\mathcal{P}(A)\) के सदस्यों की संख्या \(2^3=8\) होगी। किसी 8-सदस्यीय सेट के कुल उपसमुच्चय \(2^8=256\) होते हैं। उचित उपसमुच्चयों में स्वयं समुच्चय शामिल नहीं होता, अत: संख्या \(2^8-1=256-1=255\)। विकल्प C (256) को चुनना इस गलती से आता है कि वे सभी उपसमुच्चयों (जिसमें पूरा सेट भी शामिल है) को गिन लेते हैं। विकल्प A (127) और D (511) गलत गणनाओं के परिणाम हैं (127 = \(2^7-1\), 511 = \(2^9-1\)) और यहाँ प्रासंगिक नहीं हैं। परीक्षा का सुझाव: पहले चरण-दर-चरण सेट का आकार तय करें (यहाँ \(2^3=8\)) और फिर उसी पर उपसमुच्चय सूत्र लगाएँ। / If A has 3 elements then the power set \(\mathcal{P}(A)\) has \(2^3=8\) elements. The total number of subsets of an 8-element set is \(2^8=256\). Proper subsets exclude the set itself, so the count is \(2^8-1=256-1=255\). Option C (256) incorrectly counts the set itself as a proper subset. Options A (127) and D (511) correspond to wrong exponents (\(2^7-1\) and \(2^9-1\) respectively) and are not relevant here. Exam tip: compute the size of \(\mathcal{P}(A)\) first, then apply the subset formula; don’t confuse subsets of A with subsets of \(\mathcal{P}(A)\).

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यदि A में 3 सदस्य हैं, तो \(\mathcal{P}(A)\) के कितने उचित उपसमुच्चय होंगे? / If A has 3 elements, how many proper subsets does \(\mathcal{P}(A)\) have?

Correct Answer: B. 255. Explanation: यदि A में 3 सदस्य हैं तो पावर सेट \(\mathcal{P}(A)\) के सदस्यों की संख्या \(2^3=8\) होगी। किसी 8-सदस्यीय सेट के कुल उपसमुच्चय \(2^8=256\) होते हैं। उचित उपसमुच्चयों में स्वयं समुच्चय शामिल नहीं होता, अत: संख्या \(2^8-1=256-1=255\)। विकल्प C (256) को चुनना इस गलती से आता है कि वे सभी उपसमुच्चयों (जिसमें पूरा सेट भी शामिल है) को गिन लेते हैं। विकल्प A (127) और D (511) गलत गणनाओं के परिणाम हैं (127 = \(2^7-1\), 511 = \(2^9-1\)) और यहाँ प्रासंगिक नहीं हैं। परीक्षा का सुझाव: पहले चरण-दर-चरण सेट का आकार तय करें (यहाँ \(2^3=8\)) और फिर उसी पर उपसमुच्चय सूत्र लगाएँ। / If A has 3 elements then the power set \(\mathcal{P}(A)\) has \(2^3=8\) elements. The total number of subsets of an 8-element set is \(2^8=256\). Proper subsets exclude the set itself, so the count is \(2^8-1=256-1=255\). Option C (256) incorrectly counts the set itself as a proper subset. Options A (127) and D (511) correspond to wrong exponents (\(2^7-1\) and \(2^9-1\) respectively) and are not relevant here. Exam tip: compute the size of \(\mathcal{P}(A)\) first, then apply the subset formula; don’t confuse subsets of A with subsets of \(\mathcal{P}(A)\).