\(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता सिद्ध करने में उलटी मान्यता क्या ली जाती है?
What opposite assumption is taken while proving the irrationality of \(\sqrt{2}\)?
#irrationality proof
#contradiction
#sqrt2
#class 10
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? Hint Small clue
A \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{2}\) is irrational
B \(\sqrt{2}\) परिमेय है / \(\sqrt{2}\) is rational
C \(\sqrt{2}=0\) है / \(\sqrt{2}=0\)
D \(\sqrt{2}\) ऋणात्मक है / \(\sqrt{2}\) is negative
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Correct Answer
B. \(\sqrt{2}\) परिमेय है / \(\sqrt{2}\) is rational
Step 1
Concept
विरोधाभास विधि में जिस बात को सिद्ध करना हो, उसकी उलटी बात मानी जाती है। / In contradiction, we assume the opposite of what we want to prove.
Step 2
Why this answer is correct
यहां सिद्ध करना है कि \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है, इसलिए शुरुआत में उसे परिमेय मानते हैं। / Here we want to prove \(\sqrt{2}\) irrational, so we first assume it rational.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में उलटी मान्यता साफ लिखें। / In exams, write the opposite assumption clearly.
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\(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) लिखते समय कौन सी शर्त जरूरी है?
Which condition is necessary while writing \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\)?
#rational form
#denominator
#sqrt3
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (q=0)
B (p=q)
C \(q\neq 0\)
D (p=0)
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Correct Answer
C. \(q\neq 0\)
Step 1
Concept
किसी भी भिन्न का हर शून्य नहीं हो सकता। / The denominator of any fraction cannot be zero.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(\frac{p}{q}\) में \(q\neq 0\) लिखना जरूरी है। / So in \(\frac{p}{q}\), we must write \(q\neq 0\).
Step 3
Exam Tip
परिमेय संख्या का रूप लिखते समय यह छोटी शर्त न भूलें। / Do not forget this small condition while writing the rational form.
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यदि \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) है, तो दोनों ओर वर्ग करने के बाद कौन सा समीकरण मिलेगा?
If \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\), which equation is obtained after squaring both sides?
#sqrt5 proof
#squaring
#real numbers
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(p^2=2q^2\)
B \(p^2=3q^2\)
C (p=5q)
D \(p^2=5q^2\)
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Correct Answer
D. \(p^2=5q^2\)
Step 1
Concept
दोनों ओर वर्ग करने पर \(5=\frac{p^2}{q^2}\) मिलेगा। / Squaring both sides gives \(5=\frac{p^2}{q^2}\).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों ओर \(q^2\) से गुणा करने पर \(p^2=5q^2\) मिलता है। / Multiplying both sides by \(q^2\) gives \(p^2=5q^2\).
Step 3
Exam Tip
हर हटाने का चरण हमेशा ध्यान से लिखें। / Always write the denominator-clearing step carefully.
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यदि \(p^2\) (2) से विभाज्य है, तो (p) के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?
If \(p^2\) is divisible by (2), what is the correct conclusion about (p)?
#even square
#divisibility
#sqrt2
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (p) (2) से विभाज्य है / (p) is divisible by (2)
B (p) (3) से विभाज्य है / (p) is divisible by (3)
C (p=1)
D (p) विषम है / (p) is odd
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Correct Answer
A. (p) (2) से विभाज्य है / (p) is divisible by (2)
Step 1
Concept
यदि किसी पूर्णांक का वर्ग सम है, तो वह पूर्णांक भी सम होता है। / If the square of an integer is even, the integer itself is even.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(p^2\) (2) से विभाज्य होने पर (p) भी (2) से विभाज्य होगा। / So if \(p^2\) is divisible by (2), then (p) is also divisible by (2).
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में यही मुख्य नियम है। / This is the key rule in the proof of \(\sqrt{2}\).
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यदि \(p^2=3q^2\), तो \(p^2\) किससे विभाज्य है?
If \(p^2=3q^2\), by what is \(p^2\) divisible?
#sqrt3 proof
#divisibility
#class 10
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A (2)
B (3)
C (5)
D (9) ही / Only (9)
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Step 1
Concept
समीकरण के दाईं ओर \(3q^2\) है। / The right side of the equation is \(3q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(p^2\) में (3) गुणनखंड है और वह (3) से विभाज्य है। / So \(p^2\) has factor (3) and is divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में दाईं ओर का गुणनखंड पहचानें। / In such questions, identify the factor on the right side.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में \(p^2=5q^2\) से पहला सही निष्कर्ष कौन सा है?
In the proof of \(\sqrt{5}\), what is the first correct conclusion from \(p^2=5q^2\)?
#sqrt5 proof
#first conclusion
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (p=q)
B (q=5p)
C \(p^2\) (5) से विभाज्य है / \(p^2\) is divisible by (5)
D (p) (2) से विभाज्य है / (p) is divisible by (2)
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Correct Answer
C. \(p^2\) (5) से विभाज्य है / \(p^2\) is divisible by (5)
Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) में दाईं ओर (5) गुणनखंड है। / In \(p^2=5q^2\), the right side has factor (5).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(p^2\) (5) से विभाज्य है। / Therefore \(p^2\) is divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
पहले वर्ग की विभाज्यता लिखें, फिर (p) के बारे में निष्कर्ष लें। / First write divisibility of the square, then conclude about (p).
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यदि (p) (3) से विभाज्य है, तो (p) को किस रूप में लिखना सही है?
If (p) is divisible by (3), what is the correct form of (p)?
#sqrt3 proof
#divisible by 3
#class 10
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A (p=2k)
B (p=3k)
C (p=k+3)
D \(p=\frac{k}{3}\)
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Step 1
Concept
(3) से विभाज्य संख्या में (3) गुणनखंड होता है। / A number divisible by (3) has (3) as a factor.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए उसे (p=3k) लिखा जाता है, जहां (k) पूर्णांक है। / So it is written as (p=3k), where (k) is an integer.
Step 3
Exam Tip
प्रमाण में विभाज्यता मिलने पर इसी तरह का रूप लिखें। / In proofs, write this type of form after getting divisibility.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में (p=2k) रखने पर \(p^2\) का सही रूप क्या होगा?
In the proof of \(\sqrt{2}\), if (p=2k), what is the correct form of \(p^2\)?
#sqrt2 proof
#algebra
#squaring
#class 10
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A \(2k^2\)
B \(k^2+2\)
C \(4k^2\)
D (2k)
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Correct Answer
C. \(4k^2\)
Step 1
Concept
(p=2k) है। / We have (p=2k).
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग करने पर (p-2 =(2k)2 =4k-2 ) मिलेगा। / Squaring gives (p-2 =(2k)2 =4k-2 ).
Step 3
Exam Tip
गुणांक का वर्ग करना न भूलें। / Do not forget to square the coefficient.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में (p=5k) रखने पर \(p^2\) क्या होगा?
In the proof of \(\sqrt{5}\), if (p=5k), what will \(p^2\) be?
#sqrt5 proof
#algebra
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
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A \(25k^2\)
B \(5k^2\)
C \(10k^2\)
D \(k^2+5\)
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Correct Answer
A. \(25k^2\)
Step 1
Concept
(p=5k) को वर्ग करें। / Square (p=5k).
Step 2
Why this answer is correct
((5k)2 =25k-2 ), इसलिए \(p^2=25k^2\)। / Since ((5k)2 =25k-2 ), \(p^2=25k^2\).
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में यह बीजगणितीय चरण बहुत ध्यान से करें। / Do this algebraic step carefully in the proof of \(\sqrt{5}\).
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (p=3k) रखने के बाद \(9k^2=3q^2\) मिलता है। इससे क्या निकलेगा?
In the proof of \(\sqrt{3}\), after putting (p=3k), we get \(9k^2=3q^2\). What follows from this?
#sqrt3 proof
#substitution
#simplification
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
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A \(q^2=3k^2\)
B \(q^2=9k^2\)
C (q=3)
D (q=k+3)
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Correct Answer
A. \(q^2=3k^2\)
Step 1
Concept
\(9k^2=3q^2\) के दोनों ओर (3) से भाग करें। / Divide both sides of \(9k^2=3q^2\) by (3).
Step 2
Why this answer is correct
\(3k^2=q^2\), यानी \(q^2=3k^2\) मिलेगा। / We get \(3k^2=q^2\), that is \(q^2=3k^2\).
Step 3
Exam Tip
इससे (q) के (3) से विभाज्य होने की राह खुलती है। / This leads to (q) being divisible by (3).
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यदि (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं, तो वे सहअभाज्य क्यों नहीं हो सकते?
If both (p) and (q) are found even, why can they not be coprime?
#coprime
#even numbers
#sqrt2
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
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A क्योंकि दोनों में (2) साझा गुणनखंड है / Because both have (2) as a common factor
B क्योंकि दोनों में (3) साझा गुणनखंड है / Because both have (3) as a common factor
C क्योंकि दोनों बराबर हैं / Because both are equal
D क्योंकि दोनों शून्य हैं / Because both are zero
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Correct Answer
A. क्योंकि दोनों में (2) साझा गुणनखंड है / Because both have (2) as a common factor
Step 1
Concept
सम संख्या (2) से विभाज्य होती है। / An even number is divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
यदि (p) और (q) दोनों सम हैं, तो दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। / If both (p) and (q) are even, both have (2) as a common factor.
Step 3
Exam Tip
सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा साझा गुणनखंड नहीं होता। / Coprime numbers have no common factor except (1).
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में विरोधाभास किस बात से आता है?
What creates the contradiction in the proof of \(\sqrt{5}\)?
#sqrt5 contradiction
#coprime
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (p) और (q) दोनों (2) से विभाज्य मिलते हैं / Both (p) and (q) are found divisible by (2)
B (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं / Both (p) and (q) are found divisible by (5)
C (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं / Both (p) and (q) are found divisible by (3)
D (p) और (q) दोनों (7) से विभाज्य मिलते हैं / Both (p) and (q) are found divisible by (7)
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Correct Answer
B. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं / Both (p) and (q) are found divisible by (5)
Step 1
Concept
\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में \(p^2=5q^2\) से (p) (5) से विभाज्य मिलता है। / In the proof of \(\sqrt{5}\), \(p^2=5q^2\) makes (p) divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
फिर (q) भी (5) से विभाज्य मिलता है। / Then (q) is also found divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
दोनों में (5) साझा गुणनखंड होना सहअभाज्य शर्त से टकराता है। / Having common factor (5) contradicts the coprime condition.
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\(\sqrt{3}\) को अपरिमेय सिद्ध करने में कौन सा अभाज्य गुणनखंड मुख्य भूमिका निभाता है?
Which prime factor plays the main role in proving \(\sqrt{3}\) irrational?
#sqrt3 proof
#prime factor
#class 10
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A (2)
B (5)
C (3)
D (9)
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Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) को परिमेय मानने पर \(p^2=3q^2\) मिलता है। / Assuming \(\sqrt{3}\) rational gives \(p^2=3q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
यहां (3) का गुणनखंड ही (p) और (q) में साझा रूप से आता है। / The factor (3) appears commonly in (p) and (q).
Step 3
Exam Tip
जिस संख्या का वर्गमूल हो, वही मुख्य गुणनखंड बनती है। / The number under the square root becomes the key factor.
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\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता में कौन सी विधि समान है?
Which method is common in proving the irrationality of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#method of contradiction
#irrationality
#class 10
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A वर्गमूल विधि / Square root method
B विरोधाभास विधि / Method of contradiction
C मापन विधि / Measurement method
D अनुमान विधि / Estimation method
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Correct Answer
B. विरोधाभास विधि / Method of contradiction
Step 1
Concept
तीनों प्रमाणों में पहले संख्या को परिमेय मानते हैं। / In all three proofs, the number is first assumed rational.
Step 2
Why this answer is correct
फिर सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास दिखाते हैं। / Then a contradiction is shown using the coprime condition.
Step 3
Exam Tip
इसलिए इसे विरोधाभास विधि कहा जाता है। / Therefore it is called the method of contradiction.
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यदि कोई भिन्न सरलतम रूप में है, तो उसके अंश और हर के बारे में क्या सही है?
If a fraction is in lowest form, what is true about its numerator and denominator?
#lowest form
#coprime
#fraction
#class 10
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A वे दोनों बराबर होते हैं / They are equal
B वे सहअभाज्य होते हैं / They are coprime
C वे दोनों शून्य होते हैं / They are both zero
D वे दोनों अपरिमेय होते हैं / They are both irrational
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Correct Answer
B. वे सहअभाज्य होते हैं / They are coprime
Step 1
Concept
सरलतम रूप का अर्थ है कि भिन्न को और छोटा नहीं किया जा सकता। / Lowest form means the fraction cannot be reduced further.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए अंश और हर का साझा गुणनखंड केवल (1) होता है। / So the numerator and denominator have only (1) as a common factor.
Step 3
Exam Tip
अपरिमेयता के प्रमाण में यही बात जरूरी होती है। / This fact is important in irrationality proofs.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(p^2=2q^2\) से सीधे कौन सा गलत निष्कर्ष नहीं निकालना चाहिए?
In the proof of \(\sqrt{2}\), which wrong conclusion should not be drawn directly from \(p^2=2q^2\)?
#common mistake
#sqrt2 proof
#class 10
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A \(p^2\) सम है / \(p^2\) is even
B (p) सम है / (p) is even
C (p=2q)
D (p=2k)
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Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) से केवल यह मिलता है कि \(p^2\) सम है। / From \(p^2=2q^2\), we get only that \(p^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
फिर नियम से (p) सम है और (p=2k) लिखा जा सकता है। / Then by rule, (p) is even and can be written as (p=2k).
Step 3
Exam Tip
इससे सीधे (p=2q) लिखना गलत है। / Writing (p=2q) directly from it is wrong.
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कौन सा कथन \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में सही नहीं है?
Which statement is not correct in the proof of \(\sqrt{5}\)?
#wrong statement
#sqrt5 proof
#class 10
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A \(\sqrt{5}\) को परिमेय मानते हैं / We assume \(\sqrt{5}\) rational
B \(p^2=5q^2\) मिलता है / We get \(p^2=5q^2\)
C \(\sqrt{5}=5\) मान लेते हैं / We take \(\sqrt{5}=5\)
D (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं / Both (p) and (q) are found divisible by (5)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. \(\sqrt{5}=5\) मान लेते हैं / We take \(\sqrt{5}=5\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{5}=5\) गलत है क्योंकि \(5^2=25\) होता है। / \(\sqrt{5}=5\) is false because \(5^2=25\).
Step 2
Why this answer is correct
सही प्रमाण में \(\sqrt{5}\) को परिमेय मानकर विरोधाभास निकाला जाता है। / In the correct proof, \(\sqrt{5}\) is assumed rational and a contradiction is obtained.
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल को अंदर की संख्या के बराबर न मानें। / Do not treat a square root as equal to the number under it.
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\(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता के प्रमाण की सही शुरुआत कौन सी है?
What is the correct beginning of the proof of irrationality of \(\sqrt{3}\)?
#sqrt3 proof
#beginning
#class 10
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A मान लें \(\sqrt{3}=3\) है / Assume \(\sqrt{3}=3\)
B मान लें \(\sqrt{3}\) परिमेय है / Assume \(\sqrt{3}\) is rational
C मान लें (3=0) है / Assume (3=0)
D मान लें \(\sqrt{3}\) ऋणात्मक है / Assume \(\sqrt{3}\) is negative
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Correct Answer
B. मान लें \(\sqrt{3}\) परिमेय है / Assume \(\sqrt{3}\) is rational
Step 1
Concept
अपरिमेयता सिद्ध करने के लिए उलटी बात मानते हैं। / To prove irrationality, we assume the opposite statement.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए शुरुआत में \(\sqrt{3}\) को परिमेय माना जाता है। / So at the beginning, \(\sqrt{3}\) is assumed rational.
Step 3
Exam Tip
फिर उसे सरलतम भिन्न के रूप में लिखा जाता है। / Then it is written as a fraction in lowest form.
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यदि \(p^2\) (5) से विभाज्य है, तो (p) के बारे में कौन सा निष्कर्ष लिया जाता है?
If \(p^2\) is divisible by (5), what conclusion is taken about (p)?
#prime divisibility
#sqrt5
#class 10
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A (p) (2) से विभाज्य है / (p) is divisible by (2)
B (p) (3) से विभाज्य है / (p) is divisible by (3)
C (p) (5) से विभाज्य है / (p) is divisible by (5)
D (p=1)
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Correct Answer
C. (p) (5) से विभाज्य है / (p) is divisible by (5)
Step 1
Concept
(5) अभाज्य संख्या है। / (5) is a prime number.
Step 2
Why this answer is correct
यदि किसी पूर्णांक का वर्ग (5) से विभाज्य है, तो वह पूर्णांक भी (5) से विभाज्य होगा। / If the square of an integer is divisible by (5), then the integer is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
यह नियम \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में उपयोग होता है। / This rule is used in the proof of \(\sqrt{5}\).
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(4k^2=2q^2\) से क्या मिलेगा?
In the proof of \(\sqrt{2}\), what follows from \(4k^2=2q^2\)?
#sqrt2 proof
#simplification
#class 10
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A \(q^2=2k^2\)
B \(q^2=4k^2\)
C (q=k)
D (q=2)
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Correct Answer
A. \(q^2=2k^2\)
Step 1
Concept
\(4k^2=2q^2\) के दोनों ओर (2) से भाग करें। / Divide both sides of \(4k^2=2q^2\) by (2).
Step 2
Why this answer is correct
\(2k^2=q^2\), यानी \(q^2=2k^2\) मिलेगा। / We get \(2k^2=q^2\), that is \(q^2=2k^2\).
Step 3
Exam Tip
यही आगे (q) के सम होने का संकेत देता है। / This indicates that (q) is even later.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में \(25k^2=5q^2\) से क्या सही निष्कर्ष मिलता है?
In the proof of \(\sqrt{5}\), what correct conclusion follows from \(25k^2=5q^2\)?
#sqrt5 proof
#substitution
#class 10
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A \(q^2=25k^2\)
B \(q^2=5k^2\)
C (q=5)
D (q=k)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. \(q^2=5k^2\)
Step 1
Concept
\(25k^2=5q^2\) के दोनों ओर (5) से भाग करें। / Divide both sides of \(25k^2=5q^2\) by (5).
Step 2
Why this answer is correct
\(5k^2=q^2\), यानी \(q^2=5k^2\) मिलता है। / We get \(5k^2=q^2\), that is \(q^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
इससे (q) के (5) से विभाज्य होने की बात आगे आती है। / This later shows that (q) is divisible by (5).
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कौन सा वर्गमूल परिमेय है, इसलिए उस पर \(\sqrt{2}\) जैसी अपरिमेयता सिद्धि लागू नहीं होती?
Which square root is rational, so an irrationality proof like \(\sqrt{2}\) does not apply to it?
#perfect square
#rational square root
#class 10
50 50-50 2 wrong hide
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A \(\sqrt{2}\)
B \(\sqrt{3}\)
C \(\sqrt{4}\)
D \(\sqrt{5}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. \(\sqrt{4}\)
Step 1
Concept
(4) पूर्ण वर्ग है। / (4) is a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{4}=2\), जो परिमेय संख्या है। / \(\sqrt{4}=2\), which is rational.
Step 3
Exam Tip
पूर्ण वर्गों के वर्गमूल परिमेय होते हैं। / Square roots of perfect squares are rational.
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\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) को पूर्णांक क्यों नहीं माना जाता?
Why are \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\) not taken as integers?
#non perfect square
#irrational roots
#class 10
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A क्योंकि (2), (3), और (5) पूर्ण वर्ग नहीं हैं / Because (2), (3), and (5) are not perfect squares
B क्योंकि ये सभी सम हैं / Because all of them are even
C क्योंकि ये सभी ऋणात्मक हैं / Because all of them are negative
D क्योंकि ये सभी शून्य हैं / Because all of them are zero
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Correct Answer
A. क्योंकि (2), (3), और (5) पूर्ण वर्ग नहीं हैं / Because (2), (3), and (5) are not perfect squares
Step 1
Concept
किसी पूर्ण वर्ग का वर्गमूल पूर्णांक होता है। / The square root of a perfect square is an integer.
Step 2
Why this answer is correct
(2), (3), और (5) पूर्ण वर्ग नहीं हैं। / (2), (3), and (5) are not perfect squares.
Step 3
Exam Tip
इसलिए इनके वर्गमूलों की अपरिमेयता सिद्ध की जाती है। / Therefore their square roots are proved irrational.
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यदि \(\sqrt{2}\) परिमेय हो, तो उसे किस रूप में लिखा जा सकता है?
If \(\sqrt{2}\) is rational, in which form can it be written?
#rational number definition
#sqrt2
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में / As a ratio of two integers
B केवल पूर्णांक के रूप में / Only as an integer
C केवल ऋणात्मक संख्या के रूप में / Only as a negative number
D केवल शून्य के रूप में / Only as zero
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Correct Answer
A. दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में / As a ratio of two integers
Step 1
Concept
परिमेय संख्या दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में लिखी जा सकती है। / A rational number can be written as a ratio of two integers.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर \(\frac{p}{q}\) लिखा जाता है। / So assuming \(\sqrt{2}\) rational, we write it as \(\frac{p}{q}\).
Step 3
Exam Tip
परिभाषा से प्रमाण की शुरुआत करें। / Start the proof from the definition.
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यदि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), तो वर्ग करने पर दाईं ओर क्या बनेगा?
If \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), what does the right side become after squaring?
#fraction square
#sqrt3 proof
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(p^2q^2\)
B \(\frac{p}{q^2}\)
C \(\frac{p^2}{q^2}\)
D \(\frac{3p}{q}\)
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Correct Answer
C. \(\frac{p^2}{q^2}\)
Step 1
Concept
भिन्न का वर्ग करते समय अंश और हर दोनों का वर्ग होता है। / While squaring a fraction, both numerator and denominator are squared.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (\left\(\frac{p}{q}\right\)2 =\frac{p-2 }{q-2 })। / Hence (\left\(\frac{p}{q}\right\)2 =\frac{p-2 }{q-2 }).
Step 3
Exam Tip
केवल अंश का वर्ग करना सामान्य गलती है। / Squaring only the numerator is a common mistake.
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\(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) को वर्ग करने पर बाईं ओर क्या बनेगा?
When \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) is squared, what does the left side become?
#sqrt5 proof
#squaring
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\sqrt{5}\)
B (5)
C (25)
D \(\frac{5}{q}\)
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Step 1
Concept
\(\sqrt{5}\) का वर्ग (5) होता है। / The square of \(\sqrt{5}\) is (5).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए बाईं ओर (\(\sqrt{5}\)2 =5) मिलेगा। / So the left side becomes (\(\sqrt{5}\)2 =5).
Step 3
Exam Tip
वर्ग और वर्गमूल एक-दूसरे को हटाते हैं। / A square and square root cancel each other.
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कौन सा कथन अभाज्य गुणनखंड के नियम को सही बताता है?
Which statement correctly states the prime factor rule?
#prime factor rule
#irrationality proof
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यदि अभाज्य संख्या किसी वर्ग को विभाजित करे, तो वह मूल संख्या को भी विभाजित करती है / If a prime divides a square, it also divides the original number
B हर अभाज्य संख्या पूर्ण वर्ग होती है / Every prime number is a perfect square
C हर वर्गमूल परिमेय होता है / Every square root is rational
D यदि संख्या धनात्मक है, तो वह अभाज्य है / If a number is positive, it is prime
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Correct Answer
A. यदि अभाज्य संख्या किसी वर्ग को विभाजित करे, तो वह मूल संख्या को भी विभाजित करती है / If a prime divides a square, it also divides the original number
Step 1
Concept
अभाज्य गुणनखंड वर्ग में जोड़े में आते हैं। / Prime factors in a square occur in pairs.
Step 2
Why this answer is correct
यदि कोई अभाज्य \(p^2\) को विभाजित करता है, तो वह (p) को भी विभाजित करेगा। / If a prime divides \(p^2\), it also divides (p).
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में यह नियम जरूरी है। / This rule is needed in the proofs of \(\sqrt{3}\) and \(\sqrt{5}\).
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में अंत में कौन सी बात सिद्ध होती है?
What is proved at the end in the proof of \(\sqrt{2}\)?
#sqrt2 conclusion
#irrationality
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\sqrt{2}\) परिमेय है / \(\sqrt{2}\) is rational
B \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{2}\) is irrational
C \(\sqrt{2}=2\)
D \(\sqrt{2}=0\)
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Correct Answer
B. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{2}\) is irrational
Step 1
Concept
परिमेय मानने से (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं। / Assuming rationality makes both (p) and (q) even.
Step 2
Why this answer is correct
यह उनके सहअभाज्य होने के विरुद्ध है। / This contradicts their being coprime.
Step 3
Exam Tip
इसलिए आरंभिक मान्यता गलत और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। / Therefore the initial assumption is false and \(\sqrt{2}\) is irrational.
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में अंतिम विरोधाभास को सही ढंग से कौन सा विकल्प बताता है?
Which option correctly states the final contradiction in the proof of \(\sqrt{3}\)?
#sqrt3 contradiction
#coprime
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (p) और (q) दोनों (2) से विभाज्य हैं / Both (p) and (q) are divisible by (2)
B (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं / Both (p) and (q) are divisible by (3)
C (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य हैं / Both (p) and (q) are divisible by (5)
D (p) और (q) दोनों (9) के बराबर हैं / Both (p) and (q) are equal to (9)
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Correct Answer
B. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं / Both (p) and (q) are divisible by (3)
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं। / In the proof of \(\sqrt{3}\), both (p) and (q) are found divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन शुरुआत में वे सहअभाज्य माने गए थे। / But they were assumed coprime at the beginning.
Step 3
Exam Tip
यही अंतिम विरोधाभास है। / This is the final contradiction.
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\(\sqrt{5}\) की सिद्धि में यदि (p=5k) लिख दिया गया, तो अगला उद्देश्य क्या होता है?
In the proof of \(\sqrt{5}\), after writing (p=5k), what is the next aim?
#sqrt5 proof
#next step
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
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A यह दिखाना कि (q) भी (5) से विभाज्य है / To show that (q) is also divisible by (5)
B यह दिखाना कि (q=1) है / To show that (q=1)
C यह दिखाना कि (p=q) है / To show that (p=q)
D यह दिखाना कि \(\sqrt{5}=5\) है / To show that \(\sqrt{5}=5\)
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Correct Answer
A. यह दिखाना कि (q) भी (5) से विभाज्य है / To show that (q) is also divisible by (5)
Step 1
Concept
पहले (p) (5) से विभाज्य मिलता है। / First, (p) is found divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
(p=5k) को समीकरण में रखने पर (q) के लिए भी (5) से विभाज्यता मिलती है। / Substituting (p=5k) gives divisibility by (5) for (q) too.
Step 3
Exam Tip
दोनों में साझा गुणनखंड मिलना विरोधाभास है। / A common factor in both creates the contradiction.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में (p) और (q) को सहअभाज्य लिखने का मुख्य कारण क्या है?
What is the main reason for writing (p) and (q) coprime in the proof of \(\sqrt{2}\)?
#sqrt2 proof
#coprime
#lowest form
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि वे दोनों (2) हैं / Because both are (2)
B क्योंकि \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में लिया गया है / Because \(\frac{p}{q}\) is taken in lowest form
C क्योंकि वे दोनों शून्य हैं / Because both are zero
D क्योंकि वे दोनों अपरिमेय हैं / Because both are irrational
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Correct Answer
B. क्योंकि \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में लिया गया है / Because \(\frac{p}{q}\) is taken in lowest form
Step 1
Concept
परिमेय संख्या को सरलतम भिन्न के रूप में लिया जाता है। / A rational number is taken as a fraction in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
सरलतम रूप में अंश और हर सहअभाज्य होते हैं। / In lowest form, numerator and denominator are coprime.
Step 3
Exam Tip
बाद में साझा गुणनखंड मिलना इसी शर्त से टकराता है। / Finding a common factor later contradicts this condition.
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यदि (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य हैं, तो उनके सहअभाज्य होने पर क्या असर पड़ेगा?
If both (p) and (q) are divisible by (5), what happens to their being coprime?
#coprime
#divisible by 5
#sqrt5
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A वे सहअभाज्य नहीं रहेंगे / They will not remain coprime
B वे अवश्य सहअभाज्य रहेंगे / They will definitely remain coprime
C वे दोनों शून्य बन जाएंगे / Both will become zero
D वे दोनों अपरिमेय बन जाएंगे / Both will become irrational
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Correct Answer
A. वे सहअभाज्य नहीं रहेंगे / They will not remain coprime
Step 1
Concept
दोनों (5) से विभाज्य हैं तो (5) साझा गुणनखंड है। / If both are divisible by (5), then (5) is a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा साझा गुणनखंड नहीं होना चाहिए। / Coprime numbers should not have a common factor other than (1).
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह स्थिति सहअभाज्य होने के विरुद्ध है। / So this situation goes against being coprime.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता का सही छोटा कारण है?
Which option is the correct short reason for the irrationality of \(\sqrt{2}\)?
#sqrt2 short reason
#irrationality
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A परिमेय मानने पर सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों सम हो जाते हैं / Assuming rational makes numerator and denominator of a lowest-form fraction both even
B क्योंकि (2) ऋणात्मक है / Because (2) is negative
C क्योंकि \(\sqrt{2}=2\) है / Because \(\sqrt{2}=2\)
D क्योंकि हर वर्गमूल पूर्णांक होता है / Because every square root is an integer
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Correct Answer
A. परिमेय मानने पर सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों सम हो जाते हैं / Assuming rational makes numerator and denominator of a lowest-form fraction both even
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर सरलतम भिन्न में लिखते हैं। / Assume \(\sqrt{2}\) rational and write it in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण से अंश और हर दोनों सम मिलते हैं। / The proof gives both numerator and denominator even.
Step 3
Exam Tip
यह सरलतम रूप से विरोध करता है, इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। / This contradicts lowest form, so \(\sqrt{2}\) is irrational.
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कौन सा कथन \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में गलत कदम है?
Which statement is a wrong step in the proof of \(\sqrt{3}\)?
#common mistake
#sqrt3 proof
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(p^2=3q^2\) से \(p^2\) (3) से विभाज्य है / From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by (3)
B \(p^2\) (3) से विभाज्य है, इसलिए (p) (3) से विभाज्य है / Since \(p^2\) is divisible by (3), (p) is divisible by (3)
C (p) (3) से विभाज्य है, इसलिए (p=3k) / Since (p) is divisible by (3), (p=3k)
D \(p^2=3q^2\) से (p=3q) / From \(p^2=3q^2\), (p=3q)
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Correct Answer
D. \(p^2=3q^2\) से (p=3q) / From \(p^2=3q^2\), (p=3q)
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) से \(p^2\) (3) से विभाज्य है। / From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (p) (3) से विभाज्य है, लेकिन सीधे (p=3q) नहीं लिखा जा सकता। / This gives (p) divisible by (3), but we cannot directly write (p=3q).
Step 3
Exam Tip
सही तरीका है (p=3k) लिखना। / The correct way is to write (p=3k).
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में (p) सम मिलने के बाद (p=2k) में (k) कैसा होता है?
In the proof of \(\sqrt{2}\), after (p) is found even, what type of number is (k) in (p=2k)?
#integer
#even form
#sqrt2
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A पूर्णांक / Integer
B अपरिमेय संख्या / Irrational number
C वर्गमूल / Square root
D ऋणात्मक ही / Necessarily negative
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Correct Answer
A. पूर्णांक / Integer
Step 1
Concept
सम पूर्णांक को (2) गुणा किसी पूर्णांक के रूप में लिखा जाता है। / An even integer is written as (2) times an integer.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (p=2k) में (k) पूर्णांक है। / Therefore in (p=2k), (k) is an integer.
Step 3
Exam Tip
(k) का प्रकार लिखना प्रमाण को स्पष्ट बनाता है। / Mentioning the type of (k) makes the proof clear.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\) के प्रमाण का सही क्रम बताता है?
Which option gives the correct order of the proof of \(\sqrt{2}\)?
#proof order
#sqrt2
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A परिमेय मानना, वर्ग करना, दोनों सम मिलना, विरोधाभास / Assume rational, square, find both even, contradiction
B दोनों सम मानना, फिर वर्गमूल निकालना / Assume both even, then find square root
C पहले दशमलव लिखना, फिर उत्तर मानना / Write decimal first, then assume answer
D पहले \(\sqrt{2}=2\) लिखना / First write \(\sqrt{2}=2\)
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Correct Answer
A. परिमेय मानना, वर्ग करना, दोनों सम मिलना, विरोधाभास / Assume rational, square, find both even, contradiction
Step 1
Concept
पहले \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानते हैं। / First assume \(\sqrt{2}\) is rational.
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग करने के बाद (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं। / After squaring, both (p) and (q) are found even.
Step 3
Exam Tip
दोनों सम होना सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास देता है। / Both being even contradicts the coprime condition.
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\(\sqrt{5}\) की सिद्धि में \(p^2=5q^2\) के बाद (p) के लिए सही रूप कौन सा है?
In the proof of \(\sqrt{5}\), after \(p^2=5q^2\), what is the correct form for (p)?
#sqrt5 proof
#divisibility form
#class 10
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (p=5k)
B (p=2k)
C (p=q)
D (p=k+1)
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Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है। / From \(p^2=5q^2\), \(p^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (p) भी (5) से विभाज्य है और (p=5k) लिखा जाता है। / So (p) is also divisible by (5) and is written as (p=5k).
Step 3
Exam Tip
संख्या के अनुसार सही गुणनखंड चुनें। / Choose the correct factor according to the number.
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यदि परिमेय मान्यता से विरोधाभास मिल जाए, तो मूल कथन के बारे में क्या निष्कर्ष होगा?
If the rational assumption leads to a contradiction, what is the conclusion about the original statement?
#contradiction logic
#proof
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A मूल कथन सही है / The original statement is true
B मूल कथन गलत है / The original statement is false
C कोई निष्कर्ष नहीं मिलता / No conclusion is obtained
D संख्या शून्य है / The number is zero
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Correct Answer
A. मूल कथन सही है / The original statement is true
Step 1
Concept
विरोधाभास विधि में उलटी मान्यता लेकर चलते हैं। / In contradiction, we work with the opposite assumption.
Step 2
Why this answer is correct
यदि वह मान्यता असंभव निकले, तो मूल कथन सही होता है। / If that assumption becomes impossible, the original statement is true.
Step 3
Exam Tip
इसलिए परिमेय मान्यता टूटने पर अपरिमेयता सिद्ध होती है। / So when rationality fails, irrationality is proved.
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किस प्रमाण में (p) और (q) दोनों (2) से विभाज्य मिलते हैं?
In which proof are both (p) and (q) found divisible by (2)?
#sqrt2 proof
#divisible by 2
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
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A \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में / In the proof of irrationality of \(\sqrt{2}\)
B \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में / In the proof of irrationality of \(\sqrt{3}\)
C \(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में / In the proof of irrationality of \(\sqrt{5}\)
D \(\sqrt{9}\) की परिमेयता में / In the rationality of \(\sqrt{9}\)
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Correct Answer
A. \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में / In the proof of irrationality of \(\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(p^2=2q^2\) मिलता है। / In the proof of \(\sqrt{2}\), we get \(p^2=2q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (p) और (q) दोनों (2) से विभाज्य यानी सम मिलते हैं। / This makes both (p) and (q) divisible by (2), that is even.
Step 3
Exam Tip
(2) वाला साझा गुणनखंड विरोधाभास बनाता है। / The common factor (2) creates the contradiction.
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कौन सा कथन \(\sqrt{2}\) के प्रमाण के लिए सही है?
Which statement is correct for the proof of \(\sqrt{2}\)?
#even square
#proof rule
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यदि \(p^2\) सम है, तो (p) सम है / If \(p^2\) is even, then (p) is even
B यदि \(p^2\) सम है, तो (p) विषम है / If \(p^2\) is even, then (p) is odd
C यदि \(p^2\) सम है, तो (p=1) / If \(p^2\) is even, then (p=1)
D यदि \(p^2\) सम है, तो (q=0) / If \(p^2\) is even, then (q=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यदि \(p^2\) सम है, तो (p) सम है / If \(p^2\) is even, then (p) is even
Step 1
Concept
सम संख्या का वर्ग सम होता है और विषम संख्या का वर्ग विषम होता है। / The square of an even number is even and the square of an odd number is odd.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(p^2\) सम होने पर (p) भी सम होगा। / So if \(p^2\) is even, (p) is also even.
Step 3
Exam Tip
यही नियम \(\sqrt{2}\) की सिद्धि में उपयोग होता है। / This rule is used in the proof of \(\sqrt{2}\).
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{3}\) के प्रमाण को पूरा करने वाला सही अंतिम वाक्य है?
Which option is the correct final sentence to complete the proof of \(\sqrt{3}\)?
#sqrt3 conclusion
#proof completion
#class 10
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+10 Time+ 10 sec extra
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A अतः \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है / Therefore \(\sqrt{3}\) is irrational
B अतः \(\sqrt{3}=3\) / Therefore \(\sqrt{3}=3\)
C अतः (3) पूर्ण वर्ग है / Therefore (3) is a perfect square
D अतः (p=q) / Therefore (p=q)
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Correct Answer
A. अतः \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है / Therefore \(\sqrt{3}\) is irrational
Step 1
Concept
परिमेय मान्यता से (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं। / The rational assumption makes both (p) and (q) divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
यह सहअभाज्य होने की शर्त से विरोधाभास है। / This contradicts the coprime condition.
Step 3
Exam Tip
इसलिए अंतिम निष्कर्ष \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। / Therefore the final conclusion is that \(\sqrt{3}\) is irrational.
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कौन सा विकल्प बताता है कि (p) और (q) सहअभाज्य नहीं हैं?
Which option shows that (p) and (q) are not coprime?
#coprime
#common factor
#proof
#class 10
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? Hint Small clue
A दोनों में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड है / They have a common factor other than (1)
B दोनों पूर्णांक हैं / Both are integers
C दोनों धनात्मक हैं / Both are positive
D दोनों भिन्न में लिखे गए हैं / Both are written in a fraction
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. दोनों में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड है / They have a common factor other than (1)
Step 1
Concept
सहअभाज्य संख्याओं में साझा गुणनखंड केवल (1) होता है। / Coprime numbers have only (1) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड मिले, तो वे सहअभाज्य नहीं होंगे। / If any common factor other than (1) is found, they are not coprime.
Step 3
Exam Tip
अपरिमेयता के प्रमाण में यही विरोधाभास खोजा जाता है। / This contradiction is searched for in irrationality proofs.
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं। यह किस बात के विरुद्ध है?
In the proof of \(\sqrt{5}\), both (p) and (q) are found divisible by (5). This is against what?
#sqrt5 contradiction
#coprime
#class 10
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A उनके सहअभाज्य होने के / Their being coprime
B उनके पूर्णांक होने के / Their being integers
C उनके धनात्मक होने के / Their being positive
D उनके भिन्न में होने के / Their being in a fraction
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Correct Answer
A. उनके सहअभाज्य होने के / Their being coprime
Step 1
Concept
(p) और (q) को शुरुआत में सहअभाज्य माना गया था। / At the beginning, (p) and (q) were assumed coprime.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों (5) से विभाज्य होने पर (5) साझा गुणनखंड बन जाता है। / If both are divisible by (5), then (5) becomes a common factor.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह सहअभाज्य होने के विरुद्ध है। / So this goes against their being coprime.
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कौन सा कथन \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) के प्रमाणों के लिए सही है?
Which statement is correct for the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#common pattern
#irrationality proof
#class 10
50 50-50 2 wrong hide
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A तीनों में पहले परिमेय मानकर सरलतम भिन्न लिखते हैं / In all three, we first assume rationality and write a lowest-form fraction
B तीनों में पहले संख्या को शून्य मानते हैं / In all three, we first assume the number is zero
C तीनों में केवल दशमलव मान लिखते हैं / In all three, we only write decimal values
D तीनों में वर्गमूल को अंदर की संख्या के बराबर मानते हैं / In all three, we take the square root equal to the number under it
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Correct Answer
A. तीनों में पहले परिमेय मानकर सरलतम भिन्न लिखते हैं / In all three, we first assume rationality and write a lowest-form fraction
Step 1
Concept
तीनों प्रमाण विरोधाभास विधि पर आधारित हैं। / All three proofs are based on contradiction.
Step 2
Why this answer is correct
शुरुआत में संख्या को परिमेय मानकर सरलतम भिन्न में लिखा जाता है। / At the start, the number is assumed rational and written as a lowest-form fraction.
Step 3
Exam Tip
फिर साझा गुणनखंड से विरोधाभास दिखाया जाता है। / Then a common factor gives a contradiction.
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परीक्षा में अपरिमेयता सिद्धि लिखते समय अंतिम पंक्ति में क्या स्पष्ट लिखना चाहिए?
In an exam, what should be clearly written in the last line of an irrationality proof?
#exam writing
#proof tip
#irrationality
#class 10
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? Hint Small clue
A मान्यता से विरोधाभास आया, इसलिए दी गई संख्या अपरिमेय है / The assumption led to a contradiction, so the given number is irrational
B दशमलव मान ही पर्याप्त है / The decimal value is enough
C अंश और हर लिखना जरूरी नहीं / It is not necessary to write numerator and denominator
D वर्ग करना जरूरी नहीं / Squaring is not necessary
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Correct Answer
A. मान्यता से विरोधाभास आया, इसलिए दी गई संख्या अपरिमेय है / The assumption led to a contradiction, so the given number is irrational
Step 1
Concept
प्रमाण में परिमेय मान्यता से शुरुआत होती है। / The proof starts with the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
अंत में वह मान्यता सहअभाज्य शर्त से टकराती है। / At the end, that assumption contradicts the coprime condition.
Step 3
Exam Tip
अंतिम पंक्ति में विरोधाभास और अपरिमेयता दोनों साफ लिखें। / In the last line, clearly write both the contradiction and irrationality.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में यदि \(q^2=2k^2\) मिल जाए, तो (q) के बारे में क्या निष्कर्ष होगा?
In the proof of \(\sqrt{2}\), if \(q^2=2k^2\) is obtained, what conclusion follows about (q)?
#sqrt2 proof
#even square
#irrationality
#class 10
50 50-50 2 wrong hide
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A (q) सम है / (q) is even
B (q) विषम है / (q) is odd
C (q=1) है / (q=1)
D (q) अपरिमेय है / (q) is irrational
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Correct Answer
A. (q) सम है / (q) is even
Step 1
Concept
\(q^2=2k^2\) से \(q^2\) (2) से विभाज्य है। / From \(q^2=2k^2\), \(q^2\) is divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
यदि किसी पूर्णांक का वर्ग सम है, तो वह पूर्णांक भी सम होता है। / If the square of an integer is even, the integer is also even.
Step 3
Exam Tip
इसलिए (q) सम मिलेगा और यही विरोधाभास बनाने में मदद करता है। / So (q) is even, which helps form the contradiction.
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में यदि \(q^2=3k^2\) हो, तो (q) के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?
In the proof of \(\sqrt{3}\), if \(q^2=3k^2\), what is the correct conclusion about (q)?
#sqrt3 proof
#prime divisibility
#class 10
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A (q) (3) से विभाज्य है / (q) is divisible by (3)
B (q) (2) से विभाज्य है / (q) is divisible by (2)
C (q=3) है / (q=3)
D (q) शून्य है / (q) is zero
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Correct Answer
A. (q) (3) से विभाज्य है / (q) is divisible by (3)
Step 1
Concept
\(q^2=3k^2\) से \(q^2\) (3) से विभाज्य है। / From \(q^2=3k^2\), \(q^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(3) अभाज्य है, इसलिए (q) भी (3) से विभाज्य होगा। / Since (3) is prime, (q) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
इसी से (p) और (q) में साझा गुणनखंड दिखता है। / This shows a common factor in (p) and (q).
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में यदि \(q^2=5k^2\) मिल जाए, तो अगला सही निष्कर्ष कौन सा है?
In the proof of \(\sqrt{5}\), if \(q^2=5k^2\) is obtained, what is the next correct conclusion?
#sqrt5 proof
#divisibility
#contradiction
#class 10
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A (q) (5) से विभाज्य है / (q) is divisible by (5)
B (q) (2) से विभाज्य है / (q) is divisible by (2)
C (q=k) है / (q=k)
D (q) परिमेय नहीं है / (q) is not rational
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Correct Answer
A. (q) (5) से विभाज्य है / (q) is divisible by (5)
Step 1
Concept
\(q^2=5k^2\) से \(q^2\) (5) से विभाज्य है। / From \(q^2=5k^2\), \(q^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
(5) अभाज्य है, इसलिए (q) भी (5) से विभाज्य होगा। / Since (5) is prime, (q) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
दोनों (p) और (q) में (5) आना सहअभाज्य शर्त से टकराता है। / Having (5) in both (p) and (q) contradicts the coprime condition.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में सहअभाज्य शर्त टूटने को सही दिखाता है?
Which option correctly shows the breaking of the coprime condition in the proof of \(\sqrt{2}\)?
#sqrt2 proof
#coprime condition
#class 10
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A (p=2m) और (q=2n) मिलना / Getting (p=2m) and (q=2n)
B \(\sqrt{2}\) धनात्मक होना / \(\sqrt{2}\) being positive
C (p) और (q) पूर्णांक होना / (p) and (q) being integers
D \(q\neq 0\) होना / \(q\neq 0\)
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Correct Answer
A. (p=2m) और (q=2n) मिलना / Getting (p=2m) and (q=2n)
Step 1
Concept
(p=2m) और (q=2n) का अर्थ है कि दोनों (2) से विभाज्य हैं। / (p=2m) and (q=2n) mean both are divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
तब (2) उनका साझा गुणनखंड बन जाता है। / Then (2) becomes their common factor.
Step 3
Exam Tip
सरलतम भिन्न में ऐसा साझा गुणनखंड नहीं होना चाहिए। / A lowest-form fraction should not have such a common factor.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) की सिद्धि में समान सोच को सबसे अच्छी तरह बताता है?
Which option best describes the common idea in the proofs of \(\sqrt{3}\) and \(\sqrt{5}\)?
#sqrt3 sqrt5
#common idea
#irrationality proof
#class 10
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A परिमेय मानकर उसी अभाज्य गुणनखंड को अंश और हर दोनों में दिखाना / Assume rational and show the same prime factor in both numerator and denominator
B दशमलव मान निकालकर उत्तर लिखना / Find the decimal value and write the answer
C वर्गमूल को पूर्णांक मान लेना / Treat the square root as an integer
D अंश और हर को बराबर मान लेना / Assume numerator and denominator are equal
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Correct Answer
A. परिमेय मानकर उसी अभाज्य गुणनखंड को अंश और हर दोनों में दिखाना / Assume rational and show the same prime factor in both numerator and denominator
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) में गुणनखंड (3) और \(\sqrt{5}\) में गुणनखंड (5) काम करता है। / Factor (3) works in \(\sqrt{3}\) and factor (5) works in \(\sqrt{5}\).
Step 2
Why this answer is correct
परिमेय मान्यता से वही गुणनखंड अंश और हर दोनों में आ जाता है। / The rational assumption makes that same factor appear in both numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
यही साझा गुणनखंड सरलतम रूप से विरोध करता है। / This common factor contradicts lowest form.
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