किस कथन से किसी अनुक्रम के समांतर श्रेणी होने की पुष्टि सीधे होती है?
Which statement directly confirms that a sequence is an AP?
#ap
#definition
#proof
A \(a_{n+1}-a_n\) हर (n) के लिए स्थिर है / \(a_{n+1}-a_n\) is constant for every (n)
B \(a_n\) हमेशा धनात्मक है / \(a_n\) is always positive
C \(a_n\) कभी शून्य नहीं है / \(a_n\) is never zero
D \(a_{n+1}+a_n\) स्थिर है / \(a_{n+1}+a_n\) is constant
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Correct Answer
A. \(a_{n+1}-a_n\) हर (n) के लिए स्थिर है / \(a_{n+1}-a_n\) is constant for every (n)
Explanation
Simple Explanation
समांतर श्रेणी की परिभाषा लगातार अंतर के स्थिर होने पर आधारित है। परीक्षा में परिभाषा-आधारित प्रश्नों में यही कसौटी लगाएं। / The definition of an AP is based on a constant consecutive difference. In definition-based questions, use this test.
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यदि (r) शून्येतर परिमेय संख्या है और (s) अपरिमेय संख्या है, तो \(\frac{s}{r}\) किस प्रकार की संख्या होगी?
If (r) is a non-zero rational number and (s) is an irrational number, what type of number is \(\frac{s}{r}\)?
#rational-irrational
#division
#proof
A अपरिमेय / Irrational
B परिमेय / Rational
C पूर्णांक / Integer
D शून्य / Zero
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. अपरिमेय / Irrational
Explanation
Simple Explanation
यदि \(\frac{s}{r}\) परिमेय हो तो \(s=r\cdot\frac{s}{r}\) परिमेय हो जाएगा जो गलत है। परीक्षा में शून्येतर शर्त जरूर देखें। / If \(\frac{s}{r}\) were rational then \(s=r\cdot\frac{s}{r}\) would be rational which is false. In exams check the non-zero condition.
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यदि \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानकर \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) लिखा जाता है, जहां (p) और (q) सहअभाज्य हैं, तो विरोधाभास किससे मिलता है?
If \(\sqrt{3}\) is assumed rational and written as \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), where (p) and (q) are coprime, where does the contradiction arise?
#proof
#irrationality
#contradiction
A (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हो जाते हैं / Both (p) and (q) become divisible by (3)
B (p) और (q) दोनों (2) से विभाज्य हो जाते हैं / Both (p) and (q) become divisible by (2)
C (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य हो जाते हैं / Both (p) and (q) become divisible by (5)
D (p) और (q) दोनों विषम हो जाते हैं / Both (p) and (q) become odd
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हो जाते हैं / Both (p) and (q) become divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) से \(p^2=3q^2\) मिलता है, इसलिए (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हो जाते हैं। परीक्षा में सहअभाज्य शर्त को अंत में उपयोग करें। / From \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), we get \(p^2=3q^2\), so both (p) and (q) become divisible by (3). In exams use the coprime condition at the end.
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निम्न में से कौन सा विकल्प \(\frac{1}{3}+\sqrt{11}\) की संख्या-प्रकृति सही तरीके से बताता है?
Which option correctly describes the nature of \(\frac{1}{3}+\sqrt{11}\)?
#rational-irrational
#real-numbers
#proof
#number-classification
A अपरिमेय संख्या / Irrational number
B परिमेय संख्या / Rational number
C पूर्णांक / Integer
D सांत दशमलव / Terminating decimal
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Correct Answer
A. अपरिमेय संख्या / Irrational number
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{11}\) एक अपरिमेय संख्या है और \(\frac{1}{3}\) परिमेय है। यदि मान लें कि उनका योग परिमेय हो तो \(\sqrt{11}=\big(\frac{1}{3}+\sqrt{11}\big)-\frac{1}{3}\) परिमेय बनेगा (परिमेय − परिमेय = परिमेय), जो असंभव है क्योंकि \(\sqrt{11}\) अपरिमेय है। इसलिए उनका योग अपरिमेय है। निकटतम भ्रामक विकल्प परिमेय है — वह गलत है क्योंकि किसी भी अपरिमेय संख्या में किसी परिमेय संख्या को जोड़ने पर परिणाम अपरिमेय ही रहता है। परीक्षाई सुझाव: किसी योग में यदि एक पद अपरिमेय है और अन्य परिमेय, तो पूरा योग автоматически अपरिमेय माना जा सकता है; तर्क के लिए विरोधाभास की विधि लिखें। / \(\sqrt{11}\) is irrational while \(\frac{1}{3}\) is rational. Assume for contradiction that \(\frac{1}{3}+\sqrt{11}\) is rational; then \(\sqrt{11}=\big(\frac{1}{3}+\sqrt{11}\big)-\frac{1}{3}\) would be a difference of two rationals and hence rational, contradicting that \(\sqrt{11}\) is irrational. Thus the sum is irrational. The closest distractor, “rational,” fails because a rational plus an irrational cannot be rational. Exam tip: when one term is irrational, directly use contradiction (subtract the rational term) to show the sum is irrational.
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किस विकल्प में विरोधाभास द्वारा प्रमाण का सही अर्थ दिया गया है?
Which option correctly explains proof by contradiction?
#real-numbers
#contradiction-method
#irrationality
#proof
A जिस बात को सिद्ध करना है, उसे सीधे याद करके लिख देना / Write the statement directly by memory
B विपरीत मान्यता लेकर उससे असंभव परिणाम प्राप्त करना / Assume the opposite and derive an impossible result
C दशमलव मान निकालकर निष्कर्ष देना / Find the decimal value and conclude
D केवल चित्र बनाकर उत्तर देना / Draw only a diagram and answer
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. विपरीत मान्यता लेकर उससे असंभव परिणाम प्राप्त करना / Assume the opposite and derive an impossible result
Step 1
Concept
विरोधाभास द्वारा प्रमाण में पहले विपरीत बात मानी जाती है। / In proof by contradiction, the opposite statement is assumed first.
Step 2
Why this answer is correct
फिर उस मान्यता से दी गई शर्त के विरुद्ध परिणाम मिलता है। / Then that assumption leads to a result against the given condition.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\) के प्रमाण इसी विधि से लिखे जाते हैं। / The proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\) are written by this method.
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किस विकल्प में \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (q) पर पहुँचने की सही दलील है?
Which option gives the correct reasoning to reach (q) in the proof for \(\sqrt{3}\)?
#real-numbers
#root3
#q-divisibility
#proof
A (p=3k) रखने से \(q^2=3k^2\), इसलिए \(3\mid q\) / Putting (p=3k) gives \(q^2=3k^2\), so \(3\mid q\)
B (p=3k) रखने से (q=3) / Putting (p=3k) gives (q=3)
C (p=3k) रखने से (q=p) / Putting (p=3k) gives (q=p)
D (p=3k) रखने से (q) सम है / Putting (p=3k) gives (q) even
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Correct Answer
A. (p=3k) रखने से \(q^2=3k^2\), इसलिए \(3\mid q\) / Putting (p=3k) gives \(q^2=3k^2\), so \(3\mid q\)
Step 1
Concept
(p=3k) को \(p^2=3q^2\) में रखें। / Substitute (p=3k) in \(p^2=3q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
सरल करने पर \(q^2=3k^2\) मिलता है, जिससे \(3\mid q^2\) और \(3\mid q\) मिलता है। / Simplifying gives \(q^2=3k^2\), so \(3\mid q^2\) and \(3\mid q\).
Step 3
Exam Tip
यही दूसरा विभाज्यता कदम है। / This is the second divisibility step.
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\(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में कौन-सा भाग विरोधाभास की विधि को दर्शाता है?
Which part of the proof of irrationality of \(\sqrt{2}\) shows proof by contradiction?
#real-numbers
#root2
#contradiction-method
#proof
A पहले \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर अंत में असंभव साझा गुणनखंड पाना / First assuming \(\sqrt{2}\) rational and finally getting an impossible common factor
B सीधे \(\sqrt{2}\) को अपरिमेय लिख देना / Directly writing that \(\sqrt{2}\) is irrational
C केवल \(\sqrt{2}\) का मान निकालना / Only finding the value of \(\sqrt{2}\)
D केवल (2) को अभाज्य लिखना / Only writing that (2) is prime
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Correct Answer
A. पहले \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर अंत में असंभव साझा गुणनखंड पाना / First assuming \(\sqrt{2}\) rational and finally getting an impossible common factor
Step 1
Concept
विरोधाभास की विधि में विपरीत बात को मानते हैं। / Proof by contradiction assumes the opposite statement.
Step 2
Why this answer is correct
फिर वह मान्यता असंभव परिणाम देती है। / Then that assumption gives an impossible result.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{2}\) में साझा गुणनखंड (2) मिलना यही असंभव परिणाम है। / In \(\sqrt{2}\), the common factor (2) is that impossible result.
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कौन-सा कथन \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता सिद्ध करने के लिए पर्याप्त तर्क का हिस्सा नहीं है?
Which statement is not part of a sufficient argument for proving \(\sqrt{2}\) irrational?
#real-numbers
#root2
#decimal-error
#proof
A \(\sqrt{2}\) का दशमलव लगभग (1.414) है / The decimal of \(\sqrt{2}\) is approximately (1.414)
B \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) मानते हैं / Assume \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\)
C \(p^2=2q^2\) मिलता है / We get \(p^2=2q^2\)
D (p) और (q) दोनों सम निकलते हैं / Both (p) and (q) turn out even
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Correct Answer
A. \(\sqrt{2}\) का दशमलव लगभग (1.414) है / The decimal of \(\sqrt{2}\) is approximately (1.414)
Step 1
Concept
दशमलव का छोटा अनुमान अपरिमेयता सिद्ध नहीं करता। / A short decimal approximation does not prove irrationality.
Step 2
Why this answer is correct
ठोस प्रमाण में परिमेय मानकर विरोधाभास निकाला जाता है। / A solid proof assumes rationality and derives a contradiction.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में अनुमान की जगह तार्किक प्रमाण लिखें। / In exams, write logical proof instead of approximation.
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\(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता सिद्ध करते समय (x=5m) रखने के बाद (y) पर निष्कर्ष निकालने के लिए किस बात की जरूरत होती है?
While proving \(\sqrt{5}\) irrational, after putting (x=5m), what is needed to conclude about (y)?
#real-numbers
#root5
#prime-rule
#proof
A \(5\mid y^2\Rightarrow5\mid y\) का अभाज्य गुणनखंड नियम / The prime-factor rule \(5\mid y^2\Rightarrow5\mid y\)
B (y=0) मान लेना / Assuming (y=0)
C (x=y) लिखना / Writing (x=y)
D (5) को सम मानना / Treating (5) as even
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Correct Answer
A. \(5\mid y^2\Rightarrow5\mid y\) का अभाज्य गुणनखंड नियम / The prime-factor rule \(5\mid y^2\Rightarrow5\mid y\)
Step 1
Concept
(x=5m) रखने पर \(y^2=5m^2\) मिलता है। / Putting (x=5m) gives \(y^2=5m^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे \(5\mid y^2\) और अभाज्य नियम से \(5\mid y\) मिलता है। / Hence \(5\mid y^2\), and by the prime-factor rule \(5\mid y\).
Step 3
Exam Tip
यही अंतिम साझा गुणनखंड देता है। / This gives the final common factor.
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किस विकल्प में अपरिमेयता के प्रमाण में विरोधाभास की विधि का सही अर्थ है?
Which option correctly explains proof by contradiction in irrationality proofs?
#real-numbers
#contradiction-method
#irrationality
#proof
#hard
A जिसे सिद्ध करना है, उसके विपरीत को मानकर असंभव परिणाम दिखाना / Assume the opposite of what is to be proved and show an impossible result
B सही उत्तर को बिना कारण लिख देना / Write the correct answer without reason
C हर संख्या को दशमलव में बदलना / Convert every number into decimal form
D केवल अनुमान से निष्कर्ष निकालना / Conclude only by guessing
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Correct Answer
A. जिसे सिद्ध करना है, उसके विपरीत को मानकर असंभव परिणाम दिखाना / Assume the opposite of what is to be proved and show an impossible result
Step 1
Concept
विरोधाभास की विधि में विपरीत मान्यता से शुरुआत होती है। / In proof by contradiction, we begin with the opposite assumption.
Step 2
Why this answer is correct
फिर ऐसा परिणाम मिलता है जो दी गई शर्त से मेल नहीं खाता। / Then we reach a result that conflicts with the given condition.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\) के प्रमाण इसी ढाँचे पर आधारित हैं। / The proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\) follow this structure.
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\(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता सिद्ध करने में सबसे पहले कौन-सी मान्यता ली जाती है?
What is the first assumption made while proving the irrationality of \(\sqrt{5}\)?
#real-numbers
#root5
#contradiction-method
#proof
#hard
A मान लें \(\sqrt{5}\) परिमेय है / Assume \(\sqrt{5}\) is rational
B मान लें \(\sqrt{5}\) पूर्णांक है / Assume \(\sqrt{5}\) is an integer
C मान लें (5) सम है / Assume (5) is even
D मान लें (5=0) है / Assume (5=0)
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Correct Answer
A. मान लें \(\sqrt{5}\) परिमेय है / Assume \(\sqrt{5}\) is rational
Step 1
Concept
विरोधाभास की विधि में जिस बात को गलत सिद्ध करना है, पहले उसे सही मानते हैं। / In proof by contradiction, we first assume the opposite of what we want to prove.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(\sqrt{5}\) को परिमेय मानकर \(\frac{a}{b}\) लिखा जाता है। / So \(\sqrt{5}\) is assumed rational and written as \(\frac{a}{b}\).
Step 3
Exam Tip
शुरुआत में विधि साफ लिखने से उत्तर मजबूत बनता है। / Writing the method clearly at the start strengthens the answer.
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\(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में \(a^2=5b^2\) से (a) के (5) से विभाज्य होने का कारण क्या है?
In the proof of irrationality of \(\sqrt{5}\), why does \(a^2=5b^2\) imply that (a) is divisible by (5)?
#real-numbers
#root5
#prime-factor
#proof
#hard
A क्योंकि (5) अभाज्य है और \(5\mid a^2\) / Because (5) is prime and \(5\mid a^2\)
B क्योंकि (5) सम संख्या है / Because (5) is an even number
C क्योंकि (b) हमेशा (5) होता है / Because (b) is always (5)
D क्योंकि (a) हमेशा (25) होता है / Because (a) is always (25)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (5) अभाज्य है और \(5\mid a^2\) / Because (5) is prime and \(5\mid a^2\)
Step 1
Concept
\(a^2=5b^2\) से साफ है कि \(a^2\) में (5) गुणनखंड है। / From \(a^2=5b^2\), \(a^2\) clearly has (5) as a factor.
Step 2
Why this answer is correct
(5) अभाज्य होने के कारण (a) में भी (5) गुणनखंड होना चाहिए। / Since (5) is prime, (a) must also have (5) as a factor.
Step 3
Exam Tip
अभाज्य गुणनखंड नियम को ठीक से लागू करें। / Apply the prime-factor rule carefully.
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कौन-सा विकल्प \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में गलत कदम है?
Which option is an incorrect step in the proof of \(\sqrt{2}\) being irrational?
#real-numbers
#root2
#error-analysis
#proof
#hard
A \(p^2=2q^2\) से (p) सम है / From \(p^2=2q^2\), (p) is even
B (p) सम है तो (p=2k) लिखा जा सकता है / If (p) is even, (p=2k) can be written
C \(q^2=2k^2\) से (q) सम है / From \(q^2=2k^2\), (q) is even
D (p) सम है इसलिए (q) अवश्य विषम है / Since (p) is even, (q) must be odd
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
D. (p) सम है इसलिए (q) अवश्य विषम है / Since (p) is even, (q) must be odd
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) से (p) सम होना सही है। / From \(p^2=2q^2\), it is correct that (p) is even.
Step 2
Why this answer is correct
(p=2k) रखने पर (q) भी सम निकलता है, विषम नहीं। / After putting (p=2k), (q) also becomes even, not odd.
Step 3
Exam Tip
गलत विकल्प पहचानने वाले प्रश्नों में हर कदम को समीकरण से मिलाएँ। / In error-identification questions, match every step with the equation.
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कौन-सा तर्क सीधे सिद्ध करता है कि \(\sqrt{3}\) परिमेय नहीं हो सकता?
Which argument directly proves that \(\sqrt{3}\) cannot be rational?
#real-numbers
#root3
#proof
#common-factor
#hard
A मानने पर अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य हो जाते हैं / On assuming it rational, numerator and denominator both become divisible by (3)
B मानने पर अंश और हर दोनों विषम हो जाते हैं / On assuming it rational, numerator and denominator both become odd
C मानने पर अंश और हर बराबर हो जाते हैं / On assuming it rational, numerator and denominator become equal
D मानने पर अंश हर से बड़ा हो जाता है / On assuming it rational, numerator becomes greater than denominator
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. मानने पर अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य हो जाते हैं / On assuming it rational, numerator and denominator both become divisible by (3)
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) को \(\frac{p}{q}\) मानकर \(p^2=3q^2\) बनता है। / Taking \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) gives \(p^2=3q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (p) और (q) दोनों में (3) साझा गुणनखंड बन जाता है। / This forces both (p) and (q) to have (3) as a common factor.
Step 3
Exam Tip
यही बात सहअभाज्यता से टकराती है। / That contradicts the condition of being coprime.
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यदि \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) लिखा जाए, जहाँ (p) और (q) सहअभाज्य हैं, तो विरोधाभास मुख्य रूप से किस बात से आता है?
If \(\sqrt{2}\) is assumed rational and written as \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), where (p) and (q) are coprime, where does the contradiction mainly come from?
#real-numbers
#irrationality
#root2
#proof
#hard
A (p) और (q) दोनों सम हो जाते हैं / (p) and (q) both become even
B केवल (p) विषम हो जाता है / Only (p) becomes odd
C केवल (q) विषम हो जाता है / Only (q) becomes odd
D (p) और (q) दोनों ऋणात्मक हो जाते हैं / (p) and (q) both become negative
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Correct Answer
A. (p) और (q) दोनों सम हो जाते हैं / (p) and (q) both become even
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) मानने पर \(p^2=2q^2\) मिलता है। / Assuming \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) gives \(p^2=2q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे \(p^2\) सम और इसलिए (p) सम होता है। फिर (q) भी सम निकलता है। / So \(p^2\) is even, hence (p) is even, and then (q) also becomes even.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में याद रखें कि सहअभाज्य संख्याएँ दोनों सम नहीं हो सकतीं। / In exams, remember that coprime numbers cannot both be even.
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कौन सा कथन \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) की सिद्धि में गलत तरीका है?
Which statement is a wrong method in the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#common mistake
#square root
#proof
#class 10
A वर्गमूल को अंदर की संख्या के बराबर मानना / Treating the square root as equal to the number inside it
B परिमेय मानकर भिन्न रूप लेना / Assuming rational and taking fraction form
C दोनों ओर वर्ग करना / Squaring both sides
D साझा गुणनखंड से विरोधाभास लेना / Taking contradiction from common factor
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. वर्गमूल को अंदर की संख्या के बराबर मानना / Treating the square root as equal to the number inside it
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}=2\), \(\sqrt{3}=3\), या \(\sqrt{5}=5\) लिखना गलत है। / Writing \(\sqrt{2}=2\), \(\sqrt{3}=3\), or \(\sqrt{5}=5\) is wrong.
Step 2
Why this answer is correct
सही विधि में परिमेय मानकर भिन्न लिखते हैं और वर्ग करते हैं। / The correct method assumes rationality, writes a fraction, and squares.
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल को अंदर की संख्या के बराबर न मानें। / Do not treat a square root as equal to the number inside.
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कौन सा विकल्प तीनों प्रमाणों में गलत सोच को दिखाता है?
Which option shows a wrong idea in all three proofs?
#common misconception
#square root
#proof
#class 10
A वर्गमूल को उसके अंदर की संख्या के बराबर मान लेना / Treating the square root as equal to the number inside it
B संख्या को परिमेय मानकर शुरू करना / Starting by assuming the number rational
C दोनों ओर वर्ग करना / Squaring both sides
D साझा गुणनखंड से विरोधाभास लेना / Taking contradiction from a common factor
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Correct Answer
A. वर्गमूल को उसके अंदर की संख्या के बराबर मान लेना / Treating the square root as equal to the number inside it
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}=2\), \(\sqrt{3}=3\), या \(\sqrt{5}=5\) लिखना गलत है। / Writing \(\sqrt{2}=2\), \(\sqrt{3}=3\), or \(\sqrt{5}=5\) is wrong.
Step 2
Why this answer is correct
सही विधि में परिमेय मानकर भिन्न रूप लिया जाता है और वर्ग किया जाता है। / The correct method assumes rationality, writes a fraction, and squares.
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल को अंदर की संख्या के बराबर न मानें। / Do not treat a square root as equal to the number inside.
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कौन सा विकल्प बताता है कि (p) और (q) सहअभाज्य नहीं हैं?
Which option shows that (p) and (q) are not coprime?
#coprime
#common factor
#proof
#class 10
A दोनों में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड है / They have a common factor other than (1)
B दोनों पूर्णांक हैं / Both are integers
C दोनों धनात्मक हैं / Both are positive
D दोनों भिन्न में लिखे गए हैं / Both are written in a fraction
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Correct Answer
A. दोनों में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड है / They have a common factor other than (1)
Step 1
Concept
सहअभाज्य संख्याओं में साझा गुणनखंड केवल (1) होता है। / Coprime numbers have only (1) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड मिले, तो वे सहअभाज्य नहीं होंगे। / If any common factor other than (1) is found, they are not coprime.
Step 3
Exam Tip
अपरिमेयता के प्रमाण में यही विरोधाभास खोजा जाता है। / This contradiction is searched for in irrationality proofs.
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यदि परिमेय मान्यता से विरोधाभास मिल जाए, तो मूल कथन के बारे में क्या निष्कर्ष होगा?
If the rational assumption leads to a contradiction, what is the conclusion about the original statement?
#contradiction logic
#proof
#class 10
A मूल कथन सही है / The original statement is true
B मूल कथन गलत है / The original statement is false
C कोई निष्कर्ष नहीं मिलता / No conclusion is obtained
D संख्या शून्य है / The number is zero
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Correct Answer
A. मूल कथन सही है / The original statement is true
Step 1
Concept
विरोधाभास विधि में उलटी मान्यता लेकर चलते हैं। / In contradiction, we work with the opposite assumption.
Step 2
Why this answer is correct
यदि वह मान्यता असंभव निकले, तो मूल कथन सही होता है। / If that assumption becomes impossible, the original statement is true.
Step 3
Exam Tip
इसलिए परिमेय मान्यता टूटने पर अपरिमेयता सिद्ध होती है। / So when rationality fails, irrationality is proved.
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कौन सा कथन विरोधाभास विधि को सही ढंग से समझाता है?
Which statement correctly explains the method of contradiction?
#method of contradiction
#proof
#class 10
A जिस बात को सिद्ध करना है, उसके विपरीत को मानकर असंभव परिणाम दिखाते हैं / We assume the opposite of what is to be proved and show an impossible result
B बिना मान्यता के केवल उत्तर लिखते हैं / We write only the answer without any assumption
C केवल अनुमान लगाते हैं / We only make a guess
D हर बार दशमलव निकालते हैं / We always find the decimal
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Correct Answer
A. जिस बात को सिद्ध करना है, उसके विपरीत को मानकर असंभव परिणाम दिखाते हैं / We assume the opposite of what is to be proved and show an impossible result
Step 1
Concept
विरोधाभास विधि में उलटी मान्यता ली जाती है। / In contradiction, we take the opposite assumption.
Step 2
Why this answer is correct
यदि उससे असंभव बात मिलती है, तो मूल कथन सही सिद्ध होता है। / If it leads to an impossible result, the original statement is proved true.
Step 3
Exam Tip
अपरिमेयता के प्रमाणों में यह विधि बहुत उपयोगी है। / This method is very useful in irrationality proofs.
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कौन सा विकल्प सिद्ध करता है कि \(\frac{3}{2}+\sqrt{5}\) अपरिमेय है?
Which option proves that \(\frac{3}{2}+\sqrt{5}\) is irrational?
#rational plus irrational
#proof
#class 10
#real numbers
A क्योंकि \(\frac{3}{2}\) अपरिमेय है / Because \(\frac{3}{2}\) is irrational
B क्योंकि परिमेय संख्या में अपरिमेय संख्या जोड़ने पर परिणाम अपरिमेय होता है / Because adding an irrational number to a rational number gives an irrational result
C क्योंकि \(\sqrt{5}\) पूर्णांक है / Because \(\sqrt{5}\) is an integer
D क्योंकि हर भिन्न अपरिमेय होती है / Because every fraction is irrational
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Correct Answer
B. क्योंकि परिमेय संख्या में अपरिमेय संख्या जोड़ने पर परिणाम अपरिमेय होता है / Because adding an irrational number to a rational number gives an irrational result
Step 1
Concept
\(\frac{3}{2}\) परिमेय संख्या है और \(\sqrt{5}\) अपरिमेय संख्या है। / \(\frac{3}{2}\) is rational and \(\sqrt{5}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
यदि उनका योग परिमेय मानें तो \(\sqrt{5}\) को दो परिमेय संख्याओं के अंतर के रूप में लिखना पड़ेगा जो असंभव है। / If their sum were rational, then \(\sqrt{5}\) would become the difference of two rational numbers, which is impossible.
Step 3
Exam Tip
परिमेय और अपरिमेय के योग वाले प्रश्नों में विरोधाभास विधि बहुत उपयोगी है। / For rational-plus-irrational questions, contradiction is a very useful method.
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यदि \(x=\sqrt{3}-\sqrt{2}\) है तो (x) के बारे में सही कथन कौन सा है?
If \(x=\sqrt{3}-\sqrt{2}\) then which statement about (x) is correct?
#difference of irrationals
#proof
#class 10
A (x) परिमेय है / (x) is rational
B (x) अपरिमेय है / (x) is irrational
C (x=1) है / (x=1)
D (x=0) है / (x=0)
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Correct Answer
B. (x) अपरिमेय है / (x) is irrational
Step 1
Concept
मान लें \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) परिमेय है। / Suppose \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) is rational.
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग करने पर \(5-2\sqrt{6}\) से \(\sqrt{6}\) परिमेय होना पड़ेगा जो गलत है। / Squaring gives \(5-2\sqrt{6}\), forcing \(\sqrt{6}\) to be rational which is false.
Step 3
Exam Tip
अलग-अलग वर्गमूलों का अंतर सीधे पूर्णांक नहीं माना जाता। / The difference of unlike radicals is not directly an integer.
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यदि \(a+b\sqrt{2}=0\) है जहां (a) और (b) परिमेय हैं तथा \(b\neq 0\) है तो क्या निष्कर्ष निकलेगा?
If \(a+b\sqrt{2}=0\) where (a) and (b) are rational and \(b\neq 0\) then what conclusion follows?
#linear form
#irrational numbers
#proof
#class 10
A \(\sqrt{2}=-\frac{a}{b}\) परिमेय होगा जो असंभव है / \(\sqrt{2}=-\frac{a}{b}\) would be rational which is impossible
B (a) अपरिमेय होगा / (a) would be irrational
C (b=0) नहीं हो सकता इसलिए उत्तर (1) है / Since \(b\neq 0\) the answer is (1)
D यह हर स्थिति में सही है / It is true in every case
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Correct Answer
A. \(\sqrt{2}=-\frac{a}{b}\) परिमेय होगा जो असंभव है / \(\sqrt{2}=-\frac{a}{b}\) would be rational which is impossible
Step 1
Concept
समीकरण से \(\sqrt{2}=-\frac{a}{b}\) मिलेगा। / The equation gives \(\sqrt{2}=-\frac{a}{b}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(-\frac{a}{b}\) परिमेय है लेकिन \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। / \(-\frac{a}{b}\) is rational but \(\sqrt{2}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में अपरिमेयता से विरोधाभास बनता है। / Such questions use irrationality to create a contradiction.
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कौन सा विकल्प परिमेय और अपरिमेय संख्या के अंतर का सही सामान्य निष्कर्ष देता है?
Which option gives the correct general conclusion for the difference of a rational and an irrational number?
#properties
#irrational numbers
#proof
#class 10
A सदैव परिमेय / Always rational
B सदैव अपरिमेय / Always irrational
C सदैव शून्य / Always zero
D सदैव पूर्णांक / Always integer
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Correct Answer
B. सदैव अपरिमेय / Always irrational
Step 1
Concept
मान लें परिमेय (r) और अपरिमेय (s) हैं। / Let (r) be rational and (s) be irrational.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (r-s) परिमेय हो तो (s=r-(r-s)) परिमेय हो जाएगा जो गलत है। / If (r-s) were rational then (s=r-(r-s)) would be rational which is false.
Step 3
Exam Tip
परिमेय और अपरिमेय को जोड़ने या घटाने पर परिणाम अपरिमेय रहता है। / Adding or subtracting a rational and an irrational number gives an irrational number.
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यदि (p) और (q) सहअभाज्य धनात्मक पूर्णांक हैं और \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) मान लिया जाए तो विरोधाभास कहां बनता है?
If (p) and (q) are coprime positive integers and \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) is assumed then where does the contradiction arise?
#proof
#irrationality
#sqrt2
#class 10
A (p) और (q) दोनों विषम मिलते हैं / Both (p) and (q) become odd
B (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं / Both (p) and (q) become even
C (p) अभाज्य नहीं मिलता / (p) is not prime
D (q=1) मिल जाता है / (q=1) is obtained
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Correct Answer
B. (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं / Both (p) and (q) become even
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) से \(p^2=2q^2\) मिलता है। / From \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) we get \(p^2=2q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (p) सम और फिर (q) भी सम मिलता है। / This makes (p) even and then (q) even.
Step 3
Exam Tip
सहअभाज्य संख्याएं दोनों सम नहीं हो सकतीं इसलिए मान्यता गलत है। / Coprime numbers cannot both be even so the assumption is false.
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बारह लगातार पूर्णांकों में से कम से कम एक संख्या 12 से विभाज्य क्यों होती है?
Why is at least one number among twelve consecutive integers divisible by 12?
#euclids-division-lemma
#consecutive-integers
#proof
A क्योंकि 12 से भाग देने पर शेषफल 0 से 11 तक चक्र में आते हैं / Because division by 12 gives remainders from 0 to 11 in a cycle
B क्योंकि सभी बारह संख्याएं 12 से विभाज्य होती हैं / Because all twelve numbers are divisible by 12
C क्योंकि उनका योग हमेशा 12 होता है / Because their sum is always 12
D क्योंकि हर तीसरी संख्या 12 से विभाज्य होती है / Because every third number is divisible by 12
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Correct Answer
A. क्योंकि 12 से भाग देने पर शेषफल 0 से 11 तक चक्र में आते हैं / Because division by 12 gives remainders from 0 to 11 in a cycle
Step 1
Concept
12 से भाग देने पर संभावित शेषफल 0 से 11 तक हैं। / On division by 12, possible remainders are from 0 to 11.
Step 2
Why this answer is correct
बारह लगातार पूर्णांकों में ये सभी शेषफल एक बार आते हैं। / Twelve consecutive integers cover all these remainders once.
Step 3
Exam Tip
जिस संख्या का शेषफल 0 है, वही 12 से विभाज्य होगी। / The number with remainder 0 is divisible by 12.
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किसी पूर्णांक को 11 से भाग देने पर उसके वर्ग का शेषफल कौन-कौन सा हो सकता है?
When an integer is divided by 11, what remainders can its square have?
#euclids-division-lemma
#square-remainders
#proof
A केवल 0, 1, 3, 4, 5 और 9 / Only 0, 1, 3, 4, 5 and 9
B केवल 1, 2, 6, 7 और 10 / Only 1, 2, 6, 7 and 10
C केवल 0, 2, 5 और 8 / Only 0, 2, 5 and 8
D 0 से 10 तक सभी / All from 0 to 10
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Correct Answer
A. केवल 0, 1, 3, 4, 5 और 9 / Only 0, 1, 3, 4, 5 and 9
Step 1
Concept
11 से भाग देने पर शेषफल 0 से 10 तक हो सकते हैं। / On division by 11, remainders can be from 0 to 10.
Step 2
Why this answer is correct
इनके वर्गों के अलग-अलग शेषफल 0, 1, 3, 4, 5 और 9 मिलते हैं। / Their distinct square remainders are 0, 1, 3, 4, 5, and 9.
Step 3
Exam Tip
वर्ग वाले प्रश्नों में सभी संभावित शेषफलों की छोटी सूची बनाना उपयोगी है। / In square-remainder questions, making a short list of possible remainders is useful.
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दस लगातार पूर्णांकों में से कम से कम एक संख्या 10 से विभाज्य क्यों होती है?
Why is at least one number among ten consecutive integers divisible by 10?
#euclids-division-lemma
#consecutive-integers
#proof
A क्योंकि 10 से भाग देने पर शेषफल 0 से 9 तक चक्र में आते हैं / Because division by 10 gives remainders from 0 to 9 in a cycle
B क्योंकि सभी दस संख्याएं 10 से विभाज्य होती हैं / Because all ten numbers are divisible by 10
C क्योंकि उनका योग हमेशा 10 होता है / Because their sum is always 10
D क्योंकि हर दूसरी संख्या 10 से विभाज्य होती है / Because every second number is divisible by 10
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Correct Answer
A. क्योंकि 10 से भाग देने पर शेषफल 0 से 9 तक चक्र में आते हैं / Because division by 10 gives remainders from 0 to 9 in a cycle
Step 1
Concept
10 से भाग देने पर संभावित शेषफल 0 से 9 तक हैं। / On division by 10, possible remainders are from 0 to 9.
Step 2
Why this answer is correct
दस लगातार पूर्णांकों में ये सभी शेषफल एक बार आते हैं। / Ten consecutive integers cover all these remainders once.
Step 3
Exam Tip
जिस संख्या का शेषफल 0 है, वही 10 से विभाज्य होगी। / The number with remainder 0 is divisible by 10.
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किसी पूर्णांक को 9 से भाग देने पर उसके वर्ग का शेषफल कौन-कौन सा हो सकता है?
When an integer is divided by 9, what remainders can its square have?
#euclids-division-lemma
#square-remainders
#proof
A केवल 0, 1, 4 और 7 / Only 0, 1, 4 and 7
B केवल 1, 2, 5 और 8 / Only 1, 2, 5 and 8
C केवल 0, 3 और 6 / Only 0, 3 and 6
D 0 से 8 तक सभी / All from 0 to 8
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Correct Answer
A. केवल 0, 1, 4 और 7 / Only 0, 1, 4 and 7
Step 1
Concept
9 से भाग देने पर शेषफल 0 से 8 तक हो सकते हैं। / On division by 9, remainders can be from 0 to 8.
Step 2
Why this answer is correct
इनके वर्गों के शेषफल 0, 1, 4, 0, 7, 7, 0, 4, 1 मिलते हैं। / Their square remainders are 0, 1, 4, 0, 7, 7, 0, 4, and 1.
Step 3
Exam Tip
इसलिए वर्ग का शेषफल केवल 0, 1, 4 या 7 हो सकता है। / So the square remainder can only be 0, 1, 4, or 7.
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आठ लगातार पूर्णांकों में से कम से कम एक संख्या 8 से विभाज्य क्यों होती है?
Why is at least one number among eight consecutive integers divisible by 8?
#euclids-division-lemma
#consecutive-integers
#proof
A क्योंकि 8 से भाग देने पर शेषफल 0 से 7 तक चक्र में आते हैं / Because division by 8 gives remainders from 0 to 7 in a cycle
B क्योंकि सभी आठ संख्याएं 8 से विभाज्य होती हैं / Because all eight numbers are divisible by 8
C क्योंकि उनका गुणनफल 8 होता है / Because their product is 8
D क्योंकि हर तीसरी संख्या 8 से विभाज्य होती है / Because every third number is divisible by 8
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Correct Answer
A. क्योंकि 8 से भाग देने पर शेषफल 0 से 7 तक चक्र में आते हैं / Because division by 8 gives remainders from 0 to 7 in a cycle
Step 1
Concept
8 से भाग देने पर संभावित शेषफल 0 से 7 तक होते हैं। / On division by 8, possible remainders are from 0 to 7.
Step 2
Why this answer is correct
आठ लगातार पूर्णांकों में ये सभी शेषफल एक बार आते हैं। / Eight consecutive integers cover all these remainders once.
Step 3
Exam Tip
जिस संख्या का शेषफल 0 है, वह 8 से विभाज्य होती है। / The number with remainder 0 is divisible by 8.
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