A. \(a_{n+1}-a_n\) हर (n) के लिए स्थिर है/\(a_{n+1}-a_n\) is constant for every (n)
Step 1
Concept
The definition of an AP is based on a constant consecutive difference. In definition-based questions, use this test.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(a_{n+1}-a_n\) हर (n) के लिए स्थिर है / \(a_{n+1}-a_n\) is constant for every (n). The definition of an AP is based on a constant consecutive difference. In definition-based questions, use this test.
Step 3
Exam Tip
समांतर श्रेणी की परिभाषा लगातार अंतर के स्थिर होने पर आधारित है। परीक्षा में परिभाषा-आधारित प्रश्नों में यही कसौटी लगाएं।
If \(\frac{s}{r}\) were rational then \(s=r\cdot\frac{s}{r}\) would be rational which is false. In exams check the non-zero condition.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. अपरिमेय / Irrational. If \(\frac{s}{r}\) were rational then \(s=r\cdot\frac{s}{r}\) would be rational which is false. In exams check the non-zero condition.
Step 3
Exam Tip
यदि \(\frac{s}{r}\) परिमेय हो तो \(s=r\cdot\frac{s}{r}\) परिमेय हो जाएगा जो गलत है। परीक्षा में शून्येतर शर्त जरूर देखें।
A. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हो जाते हैं/Both (p) and (q) become divisible by (3)
Step 1
Concept
From \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), we get \(p^2=3q^2\), so both (p) and (q) become divisible by (3). In exams use the coprime condition at the end.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हो जाते हैं / Both (p) and (q) become divisible by (3). From \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), we get \(p^2=3q^2\), so both (p) and (q) become divisible by (3). In exams use the coprime condition at the end.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\) से \(p^2=3q^2\) मिलता है, इसलिए (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हो जाते हैं। परीक्षा में सहअभाज्य शर्त को अंत में उपयोग करें।
B. विपरीत मान्यता लेकर उससे असंभव परिणाम प्राप्त करना/Assume the opposite and derive an impossible result
Step 1
Concept
In proof by contradiction, the opposite statement is assumed first.
Step 2
Why this answer is correct
Then that assumption leads to a result against the given condition.
Step 3
Exam Tip
The proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\) are written by this method. चरण 1: विरोधाभास द्वारा प्रमाण में पहले विपरीत बात मानी जाती है। चरण 2: फिर उस मान्यता से दी गई शर्त के विरुद्ध परिणाम मिलता है। चरण 3: \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\) के प्रमाण इसी विधि से लिखे जाते हैं।
A. (p=3k) रखने से \(q^2=3k^2\), इसलिए \(3\mid q\)/Putting (p=3k) gives \(q^2=3k^2\), so \(3\mid q\)
Step 1
Concept
Substitute (p=3k) in \(p^2=3q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Simplifying gives \(q^2=3k^2\), so \(3\mid q^2\) and \(3\mid q\).
Step 3
Exam Tip
This is the second divisibility step. चरण 1: (p=3k) को \(p^2=3q^2\) में रखें। चरण 2: सरल करने पर \(q^2=3k^2\) मिलता है, जिससे \(3\mid q^2\) और \(3\mid q\) मिलता है। चरण 3: यही दूसरा विभाज्यता कदम है।
A. पहले \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर अंत में असंभव साझा गुणनखंड पाना/First assuming \(\sqrt{2}\) rational and finally getting an impossible common factor
Step 1
Concept
Proof by contradiction assumes the opposite statement.
Step 2
Why this answer is correct
Then that assumption gives an impossible result.
Step 3
Exam Tip
In \(\sqrt{2}\), the common factor (2) is that impossible result. चरण 1: विरोधाभास की विधि में विपरीत बात को मानते हैं। चरण 2: फिर वह मान्यता असंभव परिणाम देती है। चरण 3: \(\sqrt{2}\) में साझा गुणनखंड (2) मिलना यही असंभव परिणाम है।
A. \(\sqrt{2}\) का दशमलव लगभग (1.414) है/The decimal of \(\sqrt{2}\) is approximately (1.414)
Step 1
Concept
A short decimal approximation does not prove irrationality.
Step 2
Why this answer is correct
A solid proof assumes rationality and derives a contradiction.
Step 3
Exam Tip
In exams, write logical proof instead of approximation. चरण 1: दशमलव का छोटा अनुमान अपरिमेयता सिद्ध नहीं करता। चरण 2: ठोस प्रमाण में परिमेय मानकर विरोधाभास निकाला जाता है। चरण 3: परीक्षा में अनुमान की जगह तार्किक प्रमाण लिखें।
A. \(5\mid y^2\Rightarrow5\mid y\) का अभाज्य गुणनखंड नियम/The prime-factor rule \(5\mid y^2\Rightarrow5\mid y\)
Step 1
Concept
Putting (x=5m) gives \(y^2=5m^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Hence \(5\mid y^2\), and by the prime-factor rule \(5\mid y\).
Step 3
Exam Tip
This gives the final common factor. चरण 1: (x=5m) रखने पर \(y^2=5m^2\) मिलता है। चरण 2: इससे \(5\mid y^2\) और अभाज्य नियम से \(5\mid y\) मिलता है। चरण 3: यही अंतिम साझा गुणनखंड देता है।
A. जिसे सिद्ध करना है, उसके विपरीत को मानकर असंभव परिणाम दिखाना/Assume the opposite of what is to be proved and show an impossible result
Step 1
Concept
In proof by contradiction, we begin with the opposite assumption.
Step 2
Why this answer is correct
Then we reach a result that conflicts with the given condition.
Step 3
Exam Tip
The proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\) follow this structure. चरण 1: विरोधाभास की विधि में विपरीत मान्यता से शुरुआत होती है। चरण 2: फिर ऐसा परिणाम मिलता है जो दी गई शर्त से मेल नहीं खाता। चरण 3: \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\) के प्रमाण इसी ढाँचे पर आधारित हैं।
A. मान लें \(\sqrt{5}\) परिमेय है/Assume \(\sqrt{5}\) is rational
Step 1
Concept
In proof by contradiction, we first assume the opposite of what we want to prove.
Step 2
Why this answer is correct
So \(\sqrt{5}\) is assumed rational and written as \(\frac{a}{b}\).
Step 3
Exam Tip
Writing the method clearly at the start strengthens the answer. चरण 1: विरोधाभास की विधि में जिस बात को गलत सिद्ध करना है, पहले उसे सही मानते हैं। चरण 2: इसलिए \(\sqrt{5}\) को परिमेय मानकर \(\frac{a}{b}\) लिखा जाता है। चरण 3: शुरुआत में विधि साफ लिखने से उत्तर मजबूत बनता है।
A. क्योंकि (5) अभाज्य है और \(5\mid a^2\)/Because (5) is prime and \(5\mid a^2\)
Step 1
Concept
From \(a^2=5b^2\), \(a^2\) clearly has (5) as a factor.
Step 2
Why this answer is correct
Since (5) is prime, (a) must also have (5) as a factor.
Step 3
Exam Tip
Apply the prime-factor rule carefully. चरण 1: \(a^2=5b^2\) से साफ है कि \(a^2\) में (5) गुणनखंड है। चरण 2: (5) अभाज्य होने के कारण (a) में भी (5) गुणनखंड होना चाहिए। चरण 3: अभाज्य गुणनखंड नियम को ठीक से लागू करें।
D. (p) सम है इसलिए (q) अवश्य विषम है/Since (p) is even, (q) must be odd
Step 1
Concept
From \(p^2=2q^2\), it is correct that (p) is even.
Step 2
Why this answer is correct
After putting (p=2k), (q) also becomes even, not odd.
Step 3
Exam Tip
In error-identification questions, match every step with the equation. चरण 1: \(p^2=2q^2\) से (p) सम होना सही है। चरण 2: (p=2k) रखने पर (q) भी सम निकलता है, विषम नहीं। चरण 3: गलत विकल्प पहचानने वाले प्रश्नों में हर कदम को समीकरण से मिलाएँ।
This forces both (p) and (q) to have (3) as a common factor.
Step 3
Exam Tip
That contradicts the condition of being coprime. चरण 1: \(\sqrt{3}\) को \(\frac{p}{q}\) मानकर \(p^2=3q^2\) बनता है। चरण 2: इससे (p) और (q) दोनों में (3) साझा गुणनखंड बन जाता है। चरण 3: यही बात सहअभाज्यता से टकराती है।
So \(p^2\) is even, hence (p) is even, and then (q) also becomes even.
Step 3
Exam Tip
In exams, remember that coprime numbers cannot both be even. चरण 1: \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) मानने पर \(p^2=2q^2\) मिलता है। चरण 2: इससे \(p^2\) सम और इसलिए (p) सम होता है। फिर (q) भी सम निकलता है। चरण 3: परीक्षा में याद रखें कि सहअभाज्य संख्याएँ दोनों सम नहीं हो सकतीं।
A. वर्गमूल को अंदर की संख्या के बराबर मानना/Treating the square root as equal to the number inside it
Step 1
Concept
Writing \(\sqrt{2}=2\), \(\sqrt{3}=3\), or \(\sqrt{5}=5\) is wrong.
Step 2
Why this answer is correct
The correct method assumes rationality, writes a fraction, and squares.
Step 3
Exam Tip
Do not treat a square root as equal to the number inside. चरण 1: \(\sqrt{2}=2\), \(\sqrt{3}=3\), या \(\sqrt{5}=5\) लिखना गलत है। चरण 2: सही विधि में परिमेय मानकर भिन्न लिखते हैं और वर्ग करते हैं। चरण 3: वर्गमूल को अंदर की संख्या के बराबर न मानें।
A. वर्गमूल को उसके अंदर की संख्या के बराबर मान लेना/Treating the square root as equal to the number inside it
Step 1
Concept
Writing \(\sqrt{2}=2\), \(\sqrt{3}=3\), or \(\sqrt{5}=5\) is wrong.
Step 2
Why this answer is correct
The correct method assumes rationality, writes a fraction, and squares.
Step 3
Exam Tip
Do not treat a square root as equal to the number inside. चरण 1: \(\sqrt{2}=2\), \(\sqrt{3}=3\), या \(\sqrt{5}=5\) लिखना गलत है। चरण 2: सही विधि में परिमेय मानकर भिन्न रूप लिया जाता है और वर्ग किया जाता है। चरण 3: वर्गमूल को अंदर की संख्या के बराबर न मानें।
A. दोनों में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड है/They have a common factor other than (1)
Step 1
Concept
Coprime numbers have only (1) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
If any common factor other than (1) is found, they are not coprime.
Step 3
Exam Tip
This contradiction is searched for in irrationality proofs. चरण 1: सहअभाज्य संख्याओं में साझा गुणनखंड केवल (1) होता है। चरण 2: यदि (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड मिले, तो वे सहअभाज्य नहीं होंगे। चरण 3: अपरिमेयता के प्रमाण में यही विरोधाभास खोजा जाता है।
In contradiction, we work with the opposite assumption.
Step 2
Why this answer is correct
If that assumption becomes impossible, the original statement is true.
Step 3
Exam Tip
So when rationality fails, irrationality is proved. चरण 1: विरोधाभास विधि में उलटी मान्यता लेकर चलते हैं। चरण 2: यदि वह मान्यता असंभव निकले, तो मूल कथन सही होता है। चरण 3: इसलिए परिमेय मान्यता टूटने पर अपरिमेयता सिद्ध होती है।
A. जिस बात को सिद्ध करना है, उसके विपरीत को मानकर असंभव परिणाम दिखाते हैं/We assume the opposite of what is to be proved and show an impossible result
Step 1
Concept
In contradiction, we take the opposite assumption.
Step 2
Why this answer is correct
If it leads to an impossible result, the original statement is proved true.
Step 3
Exam Tip
This method is very useful in irrationality proofs. चरण 1: विरोधाभास विधि में उलटी मान्यता ली जाती है। चरण 2: यदि उससे असंभव बात मिलती है, तो मूल कथन सही सिद्ध होता है। चरण 3: अपरिमेयता के प्रमाणों में यह विधि बहुत उपयोगी है।
B. क्योंकि परिमेय संख्या में अपरिमेय संख्या जोड़ने पर परिणाम अपरिमेय होता है/Because adding an irrational number to a rational number gives an irrational result
Step 1
Concept
\(\frac{3}{2}\) is rational and \(\sqrt{5}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
If their sum were rational, then \(\sqrt{5}\) would become the difference of two rational numbers, which is impossible.
Step 3
Exam Tip
For rational-plus-irrational questions, contradiction is a very useful method. चरण 1: \(\frac{3}{2}\) परिमेय संख्या है और \(\sqrt{5}\) अपरिमेय संख्या है। चरण 2: यदि उनका योग परिमेय मानें तो \(\sqrt{5}\) को दो परिमेय संख्याओं के अंतर के रूप में लिखना पड़ेगा जो असंभव है। चरण 3: परिमेय और अपरिमेय के योग वाले प्रश्नों में विरोधाभास विधि बहुत उपयोगी है।
Squaring gives \(5-2\sqrt{6}\), forcing \(\sqrt{6}\) to be rational which is false.
Step 3
Exam Tip
The difference of unlike radicals is not directly an integer. चरण 1: मान लें \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) परिमेय है। चरण 2: वर्ग करने पर \(5-2\sqrt{6}\) से \(\sqrt{6}\) परिमेय होना पड़ेगा जो गलत है। चरण 3: अलग-अलग वर्गमूलों का अंतर सीधे पूर्णांक नहीं माना जाता।
A. \(\sqrt{2}=-\frac{a}{b}\) परिमेय होगा जो असंभव है/\(\sqrt{2}=-\frac{a}{b}\) would be rational which is impossible
Step 1
Concept
The equation gives \(\sqrt{2}=-\frac{a}{b}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(-\frac{a}{b}\) is rational but \(\sqrt{2}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
Such questions use irrationality to create a contradiction. चरण 1: समीकरण से \(\sqrt{2}=-\frac{a}{b}\) मिलेगा। चरण 2: \(-\frac{a}{b}\) परिमेय है लेकिन \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में अपरिमेयता से विरोधाभास बनता है।
If (r-s) were rational then (s=r-(r-s)) would be rational which is false.
Step 3
Exam Tip
Adding or subtracting a rational and an irrational number gives an irrational number. चरण 1: मान लें परिमेय (r) और अपरिमेय (s) हैं। चरण 2: यदि (r-s) परिमेय हो तो (s=r-(r-s)) परिमेय हो जाएगा जो गलत है। चरण 3: परिमेय और अपरिमेय को जोड़ने या घटाने पर परिणाम अपरिमेय रहता है।
B. (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं/Both (p) and (q) become even
Step 1
Concept
From \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) we get \(p^2=2q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
This makes (p) even and then (q) even.
Step 3
Exam Tip
Coprime numbers cannot both be even so the assumption is false. चरण 1: \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) से \(p^2=2q^2\) मिलता है। चरण 2: इससे (p) सम और फिर (q) भी सम मिलता है। चरण 3: सहअभाज्य संख्याएं दोनों सम नहीं हो सकतीं इसलिए मान्यता गलत है।
A. क्योंकि 12 से भाग देने पर शेषफल 0 से 11 तक चक्र में आते हैं/Because division by 12 gives remainders from 0 to 11 in a cycle
Step 1
Concept
On division by 12, possible remainders are from 0 to 11.
Step 2
Why this answer is correct
Twelve consecutive integers cover all these remainders once.
Step 3
Exam Tip
The number with remainder 0 is divisible by 12. चरण 1: 12 से भाग देने पर संभावित शेषफल 0 से 11 तक हैं। चरण 2: बारह लगातार पूर्णांकों में ये सभी शेषफल एक बार आते हैं। चरण 3: जिस संख्या का शेषफल 0 है, वही 12 से विभाज्य होगी।
A. केवल 0, 1, 3, 4, 5 और 9/Only 0, 1, 3, 4, 5 and 9
Step 1
Concept
On division by 11, remainders can be from 0 to 10.
Step 2
Why this answer is correct
Their distinct square remainders are 0, 1, 3, 4, 5, and 9.
Step 3
Exam Tip
In square-remainder questions, making a short list of possible remainders is useful. चरण 1: 11 से भाग देने पर शेषफल 0 से 10 तक हो सकते हैं। चरण 2: इनके वर्गों के अलग-अलग शेषफल 0, 1, 3, 4, 5 और 9 मिलते हैं। चरण 3: वर्ग वाले प्रश्नों में सभी संभावित शेषफलों की छोटी सूची बनाना उपयोगी है।
A. क्योंकि 10 से भाग देने पर शेषफल 0 से 9 तक चक्र में आते हैं/Because division by 10 gives remainders from 0 to 9 in a cycle
Step 1
Concept
On division by 10, possible remainders are from 0 to 9.
Step 2
Why this answer is correct
Ten consecutive integers cover all these remainders once.
Step 3
Exam Tip
The number with remainder 0 is divisible by 10. चरण 1: 10 से भाग देने पर संभावित शेषफल 0 से 9 तक हैं। चरण 2: दस लगातार पूर्णांकों में ये सभी शेषफल एक बार आते हैं। चरण 3: जिस संख्या का शेषफल 0 है, वही 10 से विभाज्य होगी।
