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दहाई अंक (x) और इकाई अंक (y) मानकर (x-y=4) बनता है। परीक्षा में मूल संख्या (10x+y) और उलटी संख्या (10y+x) लिखें। / Let the tens digit be (x) and the units digit be (y), so (x-y=4). In exams, write the original number as (10x+y) and the reversed number as (10y+x).
यदि इकाई अंक (x) है, तो दहाई अंक (x-2) है। (x(x-2)=24) से (x=6), इसलिए संख्या (46) है। / If the units digit is (x), then the tens digit is (x-2). From (x(x-2)=24), (x=6), so the number is (46).
यदि इकाई अंक (x) है, तो दहाई अंक (x+3) है। (x(x+3)=18) से (x=3), इसलिए संख्या (63) है। / If the units digit is (x), then the tens digit is (x+3). From (x(x+3)=18), (x=3), so the number is (63).
दहाई अंक (x) और इकाई अंक (y) मानें। (x+y=9) और (x-y=3) से (x=6,\ y=3), इसलिए संख्या (63) है। / Let the tens digit be (x) and units digit be (y). From (x+y=9) and (x-y=3), (x=6,\ y=3), so the number is (63).
दोनों समीकरण जोड़ने पर (2x=16), इसलिए (x=8) और (y=5)। अंकों के प्रश्न में दहाई और इकाई का क्रम न बदलें। / Adding both equations gives (2x=16), so (x=8) and (y=5). In digit problems, do not interchange tens and units.
दहाई अंक (x) हो तो (x-2+(x+1)2=61)। इससे (x=5) और संख्या (56) है। / If the tens digit is (x), then (x-2+(x+1)2=61). Hence (x=5) and the number is (56).
दहाई अंक (x) और इकाई अंक (y) मानें। (10x+y=7(x+y)) और (x-y=3) से संख्या (63) है। / Let the tens digit be (x) and units digit be (y). From (10x+y=7(x+y)) and (x-y=3), the number is (63).
दहाई अंक (x) और इकाई अंक (y) मानें। (10x+y=7(x+y)) और (x-y=2) से (x=6,\ y=4)। / Let the tens digit be (x) and units digit be (y). From (10x+y=7(x+y)) and (x-y=2), (x=6,\ y=4).
दहाई अंक (x) और इकाई अंक (y) मानें। (x+y=12) और (x-y=4) से (x=8,\ y=4), इसलिए संख्या (84) है। / Let the tens digit be (x) and units digit be (y). From (x+y=12) and (x-y=4), (x=8,\ y=4), so the number is (84).
दहाई अंक (x) और इकाई अंक (y) मानें। (x+y=11) और (x-y=3) से (x=7,\ y=4), इसलिए संख्या (74) है। / Let the tens digit be (x) and units digit be (y). From (x+y=11) and (x-y=3), (x=7,\ y=4), so the number is (74).
(48) की उलटी संख्या (84) है और \(48 \times 84=4032\)। अंकों की समस्याओं में उलटी संख्या भी जाँचना जरूरी है। / The reverse of (48) is (84), and \(48 \times 84=4032\). In digit problems, checking the reversed number is essential.
दहाई अंक (x) हो तो इकाई अंक (11-x) है। संख्या (10x+11-x) है और जाँच से \(47 \times 74=3478\) नहीं बल्कि सही गुणनफल \(56 \times 65=3640\) होता है इसलिए कोई विकल्प नहीं बनता। / If the tens digit is (x), the units digit is (11-x). Checking options shows \(47 \times 74=3478\), not (3154), so this item would be invalid.
दहाई अंक (x) और इकाई अंक (y) लें। (x+y=13) और (9(x-y)=45) से (x=9), (y=4)। / Let the tens digit be (x) and units digit be (y). From (x+y=13) and (9(x-y)=45), (x=9), (y=4).
दहाई अंक (x) और इकाई अंक (y) लें। (x+y=11) और (10x+y-(10y+x)=27) से (x=7,y=4)। / Let the tens digit be (x) and units digit be (y). From (x+y=11) and (10x+y-(10y+x)=27), (x=7,y=4).
संख्याएँ \(17,28,\ldots,94\) हैं और (8) पदों का योग (444) है। शेष वाली श्रेढ़ी का अंतर भाजक के बराबर होता है। / The numbers are \(17,28,\ldots,94\), and the sum of (8) terms is (444). A remainder-based AP has common difference equal to the divisor.
संख्याएँ \(13,22,\ldots,94\) हैं और (10) पदों का योग (535) है। शेष वाले प्रश्न में सार्व अंतर भाजक के बराबर होता है। / The numbers are \(13,22,\ldots,94\), and the sum of (10) terms is (535). In remainder questions, the common difference equals the divisor.
संख्याएँ \(11,17,\ldots,95\) हैं और (15) पदों का योग (795) है। remainder वाली श्रेढ़ी का अंतर भाजक के बराबर होता है। / The numbers are \(11,17,\ldots,95\), and the sum of (15) terms is (795). A remainder-based AP has common difference equal to the divisor.
संख्याएँ \(11,19,\ldots,99\) हैं और (12) पदों का योग (660) है। शेष वाले प्रश्न में सार्व अंतर भाजक के बराबर होता है। / The numbers are \(11,19,\ldots,99\), and the sum of (12) terms is (660). In remainder questions, the common difference equals the divisor.
संख्याएँ \(16,23,\ldots,93\) हैं और (12) पदों का योग (654) है। remainder वाली श्रेढ़ी का सार्व अंतर भाजक के बराबर होता है। / The numbers are \(16,23,\ldots,93\), and the sum of (12) terms is (654). A remainder-based AP has common difference equal to the divisor.
संख्याएँ \(11,16,\ldots,96\) हैं और (18) पदों का योग (963) है। शेष वाले प्रश्न में पहला मान सही पहचानना जरूरी है। / The numbers are \(11,16,\ldots,96\), and the sum of (18) terms is (963). In remainder questions, identifying the first value correctly is important.
दहाई अंक (x) और इकाई अंक (y) मानें। (x+y=14) और (9(x-y)=36) से (x=9,\ y=5)। / Let the tens digit be (x) and units digit be (y). From (x+y=14) and (9(x-y)=36), (x=9,\ y=5).
दहाई अंक (x) और इकाई अंक (y) मानें। (x+y=13) और (9(x-y)=45) से (x=9,\ y=4), इसलिए संख्या (94) है। / Let the tens digit be (x) and units digit be (y). From (x+y=13) and (9(x-y)=45), (x=9,\ y=4), so the number is (94).
दहाई अंक (x) और इकाई अंक (y) मानकर (x+y=11) और (9x-9y=27) बनता है। परीक्षा में दो अंकों की संख्या को (10x+y) लिखें। / Let the tens digit be (x) and the units digit be (y), giving (x+y=11) and (9x-9y=27). In exams, write a two-digit number as (10x+y).
दहाई अंक (x) और इकाई अंक (y) मानें। (x+y=9) और (9(x-y)=27) से (x=6,\ y=3)। / Let the tens digit be (x) and units digit be (y). From (x+y=9) and (9(x-y)=27), (x=6,\ y=3).
संख्याएँ \(114,133,\ldots,988\) हैं और कुल (47) पद हैं। परीक्षा में पहला और अंतिम तीन अंकीय गुणज निकालें। / The numbers are \(114,133,\ldots,988\), and there are (47) terms. Exam tip: find the first and last three-digit multiples.
संख्याएँ \(102,119,\ldots,986\) हैं और कुल (53) पद हैं। परीक्षा में पहला और अंतिम तीन अंकीय गुणज निकालें। / The numbers are \(102,119,\ldots,986\), and there are (53) terms. Exam tip: find the first and last three-digit multiples.
संख्याएँ \(111,124,\ldots,995\) हैं और उनका योग (38157) है। शेष वाली श्रेढ़ी का सार्व अंतर भाजक के बराबर होता है। / The numbers are \(111,124,\ldots,995\), and their sum is (38157). A remainder-based AP has common difference equal to the divisor.
(24) के गुणजों के योग से (48) के गुणजों का योग घटाने पर (1027752) मिलता है। but not में बड़ी शर्त को घटाना होता है। / Subtracting the sum of multiples of (48) from the sum of multiples of (24) gives (1027752). In but-not cases, subtract the stricter condition.
पहली संख्या (1036), अंतिम (9990) और कुल (243) पद हैं, इसलिए योग (1339659) है। पहला और अंतिम गुणज सावधानी से चुनें। / The first number is (1036), the last is (9990), and there are (243) terms, so the sum is (1339659). Choose the first and last multiples carefully.
संख्याएँ \(105,147,\ldots,987\) हैं और उनका योग (12012) है। ऐसी शर्त में नई श्रेढ़ी का अंतर (42) हो जाता है। / The numbers are \(105,147,\ldots,987\), and their sum is (12012). In this condition, the new AP has common difference (42).
पहली संख्या (114), अंतिम (988) और कुल (47) पद हैं, इसलिए योग (25897) है। विभाज्यता वाले प्रश्नों में पहला और अंतिम मान सावधानी से चुनें। / The first number is (114), the last is (988), and there are (47) terms, so the sum is (25897). In divisibility questions, choose the first and last values carefully.
संख्याएँ \(105,135,\ldots,975\) हैं और उनका योग (16200) है। ऐसी शर्त में नई श्रेढ़ी का अंतर (30) हो जाता है। / The numbers are \(105,135,\ldots,975\), and their sum is (16200). In this condition, the new AP has common difference (30).
पहली संख्या (102), अंतिम (986) और कुल (53) पद हैं, इसलिए योग (28832) है। विभाज्यता वाले प्रश्नों में पहला और अंतिम मान सावधानी से चुनें। / The first number is (102), the last is (986), and there are (53) terms, so the sum is (28832). In divisibility questions, choose the first and last values carefully.
संख्याएँ \(102,114,\ldots,990\) हैं और उनका योग (40950) है। ऐसी शर्त में (12) के अंतर वाली नई श्रेढ़ी बनती है। / The numbers are \(102,114,\ldots,990\), and their sum is (40950). In such a condition, a new AP with common difference (12) is formed.
संख्याएँ \(117,135,\ldots,999\) हैं और (50) पदों का योग (27900) है। विषम गुणजों में अंतर (18) होगा। / The numbers are \(117,135,\ldots,999\), and the sum of (50) terms is (27900). For odd multiples, the common difference is (18).
पहली संख्या (104), अंतिम (988) और कुल (69) पद हैं, इसलिए योग (37674) है। विभाज्यता वाले प्रश्नों में पहला और अंतिम मान सावधानी से चुनें। / The first number is (104), the last is (988), and there are (69) terms, so the sum is (37674). In divisibility questions, choose the first and last values carefully.
श्रेढ़ी \(108,117,\ldots,999\) है जिसमें (100) पद हैं, इसलिए योग (55350) नहीं बल्कि (55350) होगा। अंतिम पद और पदों की संख्या सावधानी से निकालें। / The AP is \(108,117,\ldots,999\) with (100) terms, so the sum is (55350), not (60984). Find the last term and number of terms carefully.
तीन अंकों वाली पहली संख्या (100) है जो (7) से विभाज्य नहीं है, लेकिन \(105,112,119,\ldots\) तीन अंकों वाली (7) की गुणज AP है। इस AP का (50)वां पद क्या होगा?
इस AP में (a=105), (d=7), इसलिए \(a_{50}=105+49\times7=448\)। गुणजों की AP में पहला सही गुणज चुनें। / In this AP, (a=105), (d=7), so \(a_{50}=105+49\times7=448\). In an AP of multiples, choose the first correct multiple.
(2) और (5) का एक जोड़ा (10) बनाता है, जो अंतिम शून्य देता है। / One pair of (2) and (5) makes (10), giving a trailing zero.
Step 2
Why this answer is correct
एक (5) के साथ एक (2) हटाएं, बचता है \(2^3 \times 3^2=8 \times 9=72\), इसलिए शून्य से अलग अंतिम अंक (2) है। / Remove one (2) with the (5), leaving \(2^3 \times 3^2=72\), so the last non-zero digit is (2).
Step 3
Exam Tip
अंतिम शून्य हटाने के बाद बची संख्या का अंतिम अंक देखें। / After removing trailing-zero pairs, check the last digit of the remaining product.
दो अंकों का आवर्ती दशमलव \(0.\overline{18}\) पहले \(\frac{18}{99}\) के रूप में लिखा जाता है। / The two-digit recurring decimal \(0.\overline{18}\) is first written as \(\frac{18}{99}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{18}{99}\) को (9) से सरल करने पर \(\frac{2}{11}\) मिलता है। / Simplifying \(\frac{18}{99}\) by (9) gives \(\frac{2}{11}\).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा सुझाव: दो अंक दोहरें तो हर में (99) लेना एक तेज तरीका है। / Exam tip: For two repeating digits, using denominator (99) is a quick method.
संख्याएँ \(10,16,\ldots,94\) हैं और कुल (15) पद हैं। परीक्षा में शेष वाली श्रेणी का पहला पद ध्यान से चुनें। / The numbers are \(10,16,\ldots,94\), and there are (15) terms. Exam tip: choose the first term of the remainder sequence carefully.
संख्याएँ \(12,17,\ldots,97\) हैं और कुल (18) पद हैं। परीक्षा में शेष वाली समान्तर श्रेणी का पहला पद सही चुनें। / The numbers are \(12,17,\ldots,97\), and there are (18) terms. Exam tip: choose the first term of the remainder AP correctly.
दो अंकों की सभी संख्याओं का योग (4905) है और (4) के गुणजों का योग (1188), इसलिए उत्तर (3717) है। not divisible में पूरक विधि तेज होती है। / The sum of all two-digit numbers is (4905), and the sum of multiples of (4) is (1188), so the answer is (3717). For not divisible, the complement method is fast.
संख्याएँ \(12,16,\ldots,96\) हैं और (22) पद हैं, इसलिए योग (1188) है। दो अंकों की सीमा ध्यान से लगाएँ। / The numbers are \(12,16,\ldots,96\), and there are (22) terms, so the sum is (1188). Apply the two-digit limit carefully.
अंक (x) और (11-x) हों, तो (x(11-x)=30), जिससे (x=5) या (x=6)। संभावित संख्याएँ (56) और (65) हैं, इसलिए बड़ी संख्या (65) है। / Let the digits be (x) and (11-x), then (x(11-x)=30), giving (x=5) or (x=6). The possible numbers are (56) and (65), so the larger one is (65).
तीन अंकों की सभी संख्याओं का योग (494550) है और (11) के गुणजों का योग (44550), इसलिए उत्तर (450000) है। विभाज्य नहीं में पूरक विधि तेज होती है। / The sum of all three-digit numbers is (494550), and the sum of multiples of (11) is (44550), so the answer is (450000). For not divisible, the complement method is fast.
तीन अंकों की सभी संख्याओं का योग (494550) है और (9) के गुणजों का योग (55350), इसलिए उत्तर (439200) है। not divisible में पूरक विधि तेज होती है। / The sum of all three-digit numbers is (494550), and the sum of multiples of (9) is (55350), so the answer is (439200). For not divisible, the complement method is fast.
गुणज \(100,125,\ldots,275\) हैं और (8) पद हैं, इसलिए योग (1500) है। सीमा के अनुसार पहला और अंतिम पद तय करें। / The multiples are \(100,125,\ldots,275\), and there are (8) terms, so the sum is (1500). Decide the first and last terms according to the limit.
(1) से (9) तक (9) अंक और (10) से (99) तक (180) अंक लगते हैं। शेष (83) अंक तीन अंकों के पन्नों के लिए हैं, इसलिए पूर्ण पन्नों की संख्या (27) और (n=126) है। / From (1) to (9), (9) digits are used, and from (10) to (99), (180) digits are used. The remaining (83) digits do not make complete three-digit pages, so this data is inconsistent for a whole page count.
यदि कुर्सी (c) और मेज (t) हो तो (3c+2t=4900), (2c+3t=5600)। विलोपन से (t=1400) मिलता है। / Let chair be (c) and table be (t), so (3c+2t=4900), (2c+3t=5600). Elimination gives (t=1400).
यदि पेंसिल (p) और रबर (e) हो तो (3p+2e=31), (2p+5e=47)। विलोपन से (p=7) मिलता है। / Let pencil be (p) and eraser be (e), so (3p+2e=31), (2p+5e=47). Elimination gives (p=7).
यदि पेन (p) और कॉपी (n) हो तो (3p+2n=86), (2p+3n=89)। विलोपन से (p=16) और (n=19) मिलता है। / Let pen be (p) and notebook be (n), so (3p+2n=86), (2p+3n=89). Elimination gives (p=16) and (n=19).
A. बिंदु (\left\(3,5\right\))/Point (\left\(3,5\right\))
Explanation
Simple Explanation
पहले समीकरण से दूसरे को घटाने पर (y=5), फिर (x+5=8) से (x=3)। वास्तविक स्थिति में मिलन बिंदु ही ग्राफीय हल है। / Subtracting the second equation from the first gives (y=5), then (x+5=8) gives (x=3). In a real situation, the meeting point is the graphical solution.
दोनों समीकरण घटाने पर (2x=8), इसलिए (x=4) और (y=8)। वास्तविक जीवन में मिलन बिंदु ही प्रतिच्छेद बिंदु होता है। / Subtracting the equations gives (2x=8), so (x=4) and (y=8). In real life, the meeting point is the intersection point.
दोनों समीकरण घटाने पर (x=5), फिर (5+y=9) से (y=4)। वास्तविक जीवन में मिलन बिंदु ही प्रतिच्छेद है। / Subtracting the equations gives (x=5), then (5+y=9) gives (y=4). In real life, the meeting point is the intersection.
दोनों समीकरण जोड़ने पर (2x=12), इसलिए (x=6) और (y=4)। वास्तविक स्थिति में मिलन बिंदु ही ग्राफीय हल है। / Adding both equations gives (2x=12), so (x=6) and (y=4). In a real situation, the meeting point is the graphical solution.
तीनों सारणिक शून्य होने पर समीकरण आश्रित हो सकते हैं। कक्षा (10) में इसे अनंत हल की स्थिति से जोड़कर देखें। / When all three determinants are zero, the equations may be dependent. In Class (10), link this with infinitely many solutions.
B. \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}\)
Explanation
Simple Explanation
अलग समांतर रेखाओं में गुणांक अनुपात समान और स्थिर पद अनुपात अलग होता है। यही कोई हल नहीं की शर्त है। / For distinct parallel lines, coefficient ratios are equal and the constant ratio is different. This is the condition for no solution.
समान ढाल और समान अवरोध का अर्थ एक ही रेखा है। इसलिए ऐसे युग्म में अनंत हल होते हैं। / Same slope and same intercept mean the same line. Therefore, such a pair has infinitely many solutions.
पहले दो अनुपात बराबर हैं लेकिन (470/955) अलग है। इसलिए प्रणाली असंगत है। / The first two ratios are equal but (470/955) is different. Therefore, the system is inconsistent.
अलग ढाल वाली रेखाएँ केवल एक बिंदु पर मिलती हैं। इसलिए युग्म संगत और स्वतंत्र होता है। / Lines with different slopes meet at exactly one point. Hence the pair is consistent and independent.
समान ढाल और अलग अवरोध का अर्थ अलग समांतर रेखाएँ है। इसलिए वे कभी नहीं कटतीं। / Same slope and different intercepts mean distinct parallel lines. Therefore, they never intersect.
गुणांक अनुपात अलग होने पर रेखाएँ एक बिंदु पर कटती हैं। इसलिए अद्वितीय हल मिलता है। / When coefficient ratios are different, the lines intersect at one point. Therefore, a unique solution is obtained.
यहां (7/4 \ne 5/(-3)), इसलिए रेखाएं कटती हैं। ऐसे युग्म का एक अद्वितीय हल होता है। / Here (7/4 \ne 5/(-3)), so the lines intersect. Such a pair has one unique solution.
पहले दो अनुपात बराबर हैं लेकिन (380/775) अलग है। इसलिए प्रणाली असंगत है। / The first two ratios are equal but (380/775) is different. Therefore, the system is inconsistent.
दूसरा समीकरण पहले का (3) गुना है। इसलिए दोनों शर्तें एक ही जानकारी देती हैं और अनंत हल होते हैं। / The second equation is (3) times the first. Therefore, both conditions give the same information and have infinitely many solutions.
पहले दो अनुपात बराबर हैं लेकिन (360/1090) अलग है। इसलिए प्रणाली असंगत है। / The first two ratios are equal but (360/1090) is different. Therefore, the system is inconsistent.
यहां (6/3 \ne 5/(-2)) इसलिए रेखाएं कटती हैं। ऐसे युग्म का एक अद्वितीय हल होता है। / Here (6/3 \ne 5/(-2)) so the lines intersect. Such a pair has one unique solution.
पहले दो अनुपात बराबर हैं लेकिन (280/575) अलग है। इसलिए प्रणाली असंगत है। / The first two ratios are equal but (280/575) is different. Therefore, the system is inconsistent.
दूसरा समीकरण पहले का (3) गुना है। इसलिए दोनों शर्तें एक ही जानकारी देती हैं और अनंत हल होते हैं। / The second equation is (3) times the first. Therefore, both conditions give the same information and have infinitely many solutions.
यहां (5/2 \ne 2/(-3)), इसलिए रेखाएं कटती हैं। ऐसे युग्म का एक अद्वितीय हल होता है। / Here (5/2 \ne 2/(-3)), so the lines intersect. Such a pair has one unique solution.
पहले दो अनुपात बराबर हैं लेकिन (260/535) अलग है। इसलिए प्रणाली असंगत है। / The first two ratios are equal but (260/535) is different. Therefore, the system is inconsistent.
दूसरा समीकरण पहले का (3) गुना है। इसलिए दोनों शर्तें एक ही जानकारी देती हैं और अनंत हल होते हैं। / The second equation is (3) times the first. Therefore, both conditions give the same information and have infinitely many solutions.
C. युग्म संगत और स्वतंत्र है/The pair is consistent and independent
Explanation
Simple Explanation
अलग ढाल वाली रेखाएं एक बिंदु पर मिलती हैं। इसलिए युग्म का एक अद्वितीय हल होता है। / Lines with different slopes meet at one point. Therefore, the pair has one unique solution.
समान ढाल और अलग अवरोध रेखाओं को अलग समानांतर बनाते हैं। इसलिए युग्म असंगत होता है। / Same slope and different intercepts make the lines distinct parallel. Therefore, the pair is inconsistent.
समान ढाल और समान अवरोध का अर्थ है कि दोनों रेखाएं एक ही हैं। इसलिए युग्म के अनंत हल होते हैं। / Same slope and same intercept mean both lines are identical. Therefore, the pair has infinitely many solutions.
पहले दो अनुपात बराबर हैं लेकिन (240/490) अलग है। इसलिए प्रणाली असंगत है। / The first two ratios are equal but (240/490) is different. Therefore, the system is inconsistent.
यहां \(2/5 \ne 7/16\) इसलिए रेखाएं एक बिंदु पर कटती हैं। ऐसे युग्म का एक अद्वितीय हल होता है। / Here \(2/5 \ne 7/16\) so the lines intersect at one point. Such a pair has one unique solution.
यहां (4/1 \ne 1/(-3)) इसलिए रेखाएं कटती हैं। ऐसे युग्म का एक अद्वितीय हल होता है। / Here (4/1 \ne 1/(-3)) so the lines intersect. Such a pair has one unique solution.
पहले दो अनुपात बराबर हैं लेकिन (180/370) अलग है। इसलिए प्रणाली असंगत है। / The first two ratios are equal but (180/370) is different. Therefore the system is inconsistent.
दूसरा समीकरण पहले का (3) गुना है। इसलिए दोनों शर्तें एक ही जानकारी देती हैं और अनंत हल होते हैं। / The second equation is (3) times the first. Therefore both conditions give the same information and have infinitely many solutions.
पहले दो अनुपात (4/8=3/6) बराबर हैं लेकिन (125/260) अलग है। इसलिए प्रणाली असंगत है। / The first two ratios (4/8=3/6) are equal but (125/260) is different. Therefore, the system is inconsistent.
यहां (3/1 \ne 1/(-2)), इसलिए रेखाएं कटती हैं। ऐसे युग्म का एक अद्वितीय हल होता है। / Here (3/1 \ne 1/(-2)), so the lines intersect. Such a pair has one unique solution.
पहले दो अनुपात बराबर हैं लेकिन (120/250) अलग है। इसलिए प्रणाली असंगत है। / The first two ratios are equal but (120/250) is different. Therefore, the system is inconsistent.
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है। इसलिए दोनों शर्तें एक ही जानकारी देती हैं और अनंत हल होते हैं। / The second equation is (2) times the first. Therefore, both conditions give the same information and have infinitely many solutions.
समान ढाल और अलग अवरोध रेखाओं को अलग समानांतर बनाते हैं। इसलिए कोई सामान्य हल नहीं होता। / Same slope and different intercepts make the lines distinct parallel. Therefore, there is no common solution.
समान ढाल और समान अवरोध का मतलब दोनों रेखाएं एक ही हैं। इसलिए युग्म संगत और आश्रित होता है। / Same slope and same intercept mean both lines are identical. Therefore, the pair is consistent and dependent.
यहां (1/2 \ne 1/(-1)), इसलिए रेखाएं कटती हैं। ऐसे युग्म का एक अद्वितीय हल होता है। / Here (1/2 \ne 1/(-1)), so the lines intersect. Such a pair has one unique solution.
पहले दो अनुपात बराबर हैं लेकिन (80/170) अलग है। इसलिए प्रणाली असंगत है। / The first two ratios are equal but (80/170) is different. Therefore, the system is inconsistent.
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है। इसलिए दोनों शर्तें एक ही जानकारी देती हैं और अनंत हल होते हैं। / The second equation is (2) times the first. Therefore, both conditions give the same information and have infinitely many solutions.
अलग ढाल वाली रेखाएं एक बिंदु पर मिलती हैं। इसलिए युग्म का एक अद्वितीय हल होता है। / Lines with different slopes meet at one point. Therefore, the pair has one unique solution.
समान ढाल और अलग अवरोध रेखाओं को अलग समानांतर बनाते हैं। इसलिए कोई सामान्य हल नहीं होता। / Same slope and different intercepts make the lines distinct parallel. Therefore, there is no common solution.
समान ढाल और समान अवरोध का मतलब दोनों रेखाएं एक ही हैं। इसलिए युग्म संगत और आश्रित है। / Same slope and same intercept mean both lines are the same. Therefore, the pair is consistent and dependent.
समान ढाल और समान अवरोध का मतलब दोनों रेखाएं एक ही हैं। इसलिए उनके अनंत हल होते हैं। / Same slope and same intercept mean both lines are the same. Therefore they have infinitely many solutions.
B. युग्म संगत और स्वतंत्र है/The pair is consistent and independent
Explanation
Simple Explanation
अलग ढाल वाली रेखाएं एक बिंदु पर मिलती हैं। इसलिए युग्म में एक अद्वितीय हल होता है। / Lines with different slopes meet at one point. Therefore the pair has one unique solution.
B. (4/7 \ne 1 / 2) इसलिए एक अद्वितीय हल / 2) so one unique solution
Explanation
Simple Explanation
यहां \(4/7 \ne 1/2\) इसलिए रेखाएं कटेंगी। परीक्षा में यह unique solution की सीधी शर्त है। / Here \(4/7 \ne 1/2\) so the lines will intersect. In exams this is the direct condition for a unique solution.
A. जब (a_1/a_2=b_1 / b_2=c_1 / c_2) हो / When \(a_1 / c_2\)
Explanation
Simple Explanation
तीनों अनुपात बराबर हों तो दोनों समीकरण समान रेखा दर्शाते हैं। यही संगत और आश्रित युग्म है। / If all three ratios are equal both equations represent the same line. This is a consistent and dependent pair.
