यदि दो संख्याओं के लिए (x+y=12) और (2x-y=3) समीकरण बनते हैं, तो हल-स्थिति क्या होगी?

Correct Answer: A. एक अद्वितीय हल / One unique solution. Explanation: पहले समीकरण के गुणांक हैं \(a_1=1, b_1=1\), और दूसरे के \(a_2=2, b_2=-1\)। यहाँ \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{1}{2}\) तथा \(\frac{b_1}{b_2}=-1\) हैं, जो बराबर नहीं हैं। इसलिए दोनों रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं और युग्म का एक अद्वितीय हल होता है। विकल्प B तब सही होता जब दोनों अनुपात बराबर होते और रेखाएँ समानांतर होतीं। परीक्षा-युक्ति: यदि \(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\), तो दो रैखिक समीकरणों का एक अद्वितीय हल होता है। / For the first equation, \(a_1=1, b_1=1\), and for the second equation, \(a_2=2, b_2=-1\). Here, \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{1}{2}\) and \(\frac{b_1}{b_2}=-1\), so the two ratios are unequal. Therefore, the corresponding lines intersect at exactly one point, giving one unique solution. Option B would apply if the relevant ratios were equal and the lines were parallel. Exam tip: if \(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\), a pair of linear equations has a unique solution.