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घटते हुए (r) गुणकों के बाद बचे ((n-r)!) से factorial पूरा होता है। परीक्षा में missing tail को denominator बनाएं। / After (r) decreasing factors the remaining tail is ((n-r)!). In exams put the missing tail in the denominator.
(^{n}C_5=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{5!}) होता है। परीक्षा में \(^{n}C_r\) के denominator में (r!) रखें। / (^{n}C_5=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{5!}). In exams keep (r!) in the denominator of \(^{n}C_r\).
(^{n}C_4=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4!}) होता है। परीक्षा में \(^{n}C_r\) के denominator में (r!) आता है। / (^{n}C_4=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4!}). In exams (r!) appears in the denominator of \(^{n}C_r\).
(^{n}C_2=\frac{n(n-1)}{2!}) और (2!=2) होता है। परीक्षा में small factorial values याद रखें। / (^{n}C_2=\frac{n(n-1)}{2!}) and (2!=2). In exams remember small factorial values.
यह (n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)=55440) है। \(11\times10\times9\times8\times7=55440\) इसलिए (n=11) है। / This is (n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)=55440). Since \(11\times10\times9\times8\times7=55440\), (n=11).
यह (n(n-1)(n-2)(n-3)=3024) है। \(9\times8\times7\times6=3024\) इसलिए (n=9) है। / This is (n(n-1)(n-2)(n-3)=3024). Since \(9\times8\times7\times6=3024\), (n=9).
ऊपर (1+1+2+6=10) और (4!=24) है। इसलिए मान \(\frac{10}{24}=\frac{5}{12}\) है। / The numerator is (1+1+2+6=10) and (4!=24). Hence the value is \(\frac{10}{24}=\frac{5}{12}\).
(0!=1) और योग \(1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{8}{3}\) है। (0!) को (0) न मानें। / (0!=1) and the sum is \(1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{8}{3}\). Do not take (0!) as (0).
यह (n(n-1)(n-2)=210) देता है और \(7\times6\times5=210\) है। इसलिए (n=7) है। / This gives (n(n-1)(n-2)=210) and \(7\times6\times5=210\). Therefore (n=7).
(\frac{(m+2)!}{m!}=(m+2)(m+1)), इसलिए \(10\cdot9=90\) से (m=8)। लगातार संख्याओं का गुणनफल पहचानें। / (\frac{(m+2)!}{m!}=(m+2)(m+1)), so \(10\cdot9=90\) gives (m=8). Identify the product of consecutive numbers.
\(9!=9\times8\times7\times6!\), इसलिए \(\frac{9!}{6!}=9\times8\times7\)। अंतिम शेष संख्या के बाद वाले फैक्टोरियल से भाग दें। / \(9!=9\times8\times7\times6!\), so \(\frac{9!}{6!}=9\times8\times7\). Divide by the factorial after the last required factor.
घटने वाले मान (3,6,14,40) हैं इसलिए \(a_5=57\) है। पूरे घटावों का योग पहले निकालें। / The subtracted values are (3,6,14,40), so \(a_5=57\). Exam tip: find the sum of all subtractions first.
घटने वाले मान (3,6,12,32) हैं इसलिए \(a_5=37\) है। हर घटाव को क्रम से लिखें। / The subtracted values are (3,6,12,32), so \(a_5=37\). Exam tip: write each subtraction in order.
घटने वाले मान (1,2,6,24) हैं इसलिए \(a_5=67\) है। फैक्टोरियल घटावों को क्रम से लिखें। / The subtracted values are (1,2,6,24), so \(a_5=67\). Exam tip: write factorial subtractions in order.
Sequential selection में हर selected block का internal order हटता है। परीक्षा में कई labelled groups दिखें तो multinomial denominator बनाएं। / In sequential selection the internal order of each selected block is removed. In exams form a multinomial denominator when many labelled groups appear.
पहले (a) objects और फिर बचे हुए से (b) objects चुनना labelled grouping जैसा है। परीक्षा में sequential selections को factorial division में बदलें। / Choosing (a) objects first and then (b) from the remaining objects is like labelled grouping. In exams convert sequential selections into factorial division.
A. चुने और न चुने groups के internal orders हटाने के लिए/To remove internal orders of chosen and unchosen groups
Explanation
Simple Explanation
(n!) वाली गिनती में दोनों groups के अंदर के क्रम extra गिने जाते हैं। परीक्षा में (r!) और ((n-r)!) दोनों corrections समझें। / In the (n!) count, the orders inside both groups are counted extra. In exams understand both corrections (r!) and ((n-r)!).
A. बची हुई वस्तुओं के क्रम को ignore करना/Ignoring the order of remaining objects
Explanation
Simple Explanation
Permutation में केवल चुनी (r) वस्तुओं का order चाहिए और बची वस्तुओं का order नहीं चाहिए। परीक्षा में (n!) से unwanted tail हटाएँ। / Permutation needs the order of only the selected (r) objects and not the order of remaining objects. In exams remove the unwanted tail from (n!).
A. न चुनी गई वस्तुओं के internal orders हटाने के लिए/To remove internal orders of unchosen objects
Explanation
Simple Explanation
(n!) वाली गिनती में न चुने गए समूह के क्रम भी extra गिने जाते हैं। परीक्षा में (r!) और ((n-r)!) दोनों corrections समझें। / In the (n!) count the orders inside the unchosen group are also counted extra. In exams understand both corrections (r!) and ((n-r)!).
(n!) में न चुनी गई ((n-r)) वस्तुओं के अंदरूनी क्रम extra हैं इसलिए उन्हें हटाया जाता है। परीक्षा में permutation formula में remaining part पहचानें। / In (n!), internal orders of the unchosen ((n-r)) objects are extra, so they are removed. In exams identify the remaining part in the permutation formula.
तीन चुनी वस्तुओं की अंदरूनी व्यवस्थाएँ (3!) होती हैं। परीक्षा में (P) और (C) को जोड़ते समय (r!) याद रखें। / The internal arrangements of three chosen objects are (3!). In exams remember (r!) while connecting (P) and (C).
A. चुनी गई (r) वस्तुओं के अंदरूनी क्रम/Internal orders of selected (r) objects
Explanation
Simple Explanation
Combination में चुनी वस्तुओं का क्रम अलग नहीं माना जाता। परीक्षा में unordered selection में internal order हटाएँ। / In combination the order of selected objects is not considered different. In exams remove internal order in unordered selection.
A. क्योंकि समान अक्षरों की आपसी अदला-बदली नई व्यवस्था नहीं बनाती/Because interchanging identical letters does not make a new arrangement
Explanation
Simple Explanation
एक जैसे अक्षरों की अंदरूनी व्यवस्था अलग नहीं दिखाई देती। परीक्षा में repeated letters पहचानकर उनके factorial से भाग दें। / Internal arrangements of identical letters are not visibly different. In exams identify repeated letters and divide by their factorials.
पहला पद \(30\times29\) और दूसरा \(29\times28\) है। अंतर (29(30-28)=58) है। / The first term is \(30\times29\) and the second is \(29\times28\). The difference is (29(30-28)=58).
\(343=7^3\) है और (21!) में (7,14,21) से तीन (7) मिलते हैं। इसलिए न्यूनतम (n=21) है। / \(343=7^3\) and (21!) gets three factors of (7) from (7,14,21). Therefore the least (n=21).
\(\frac{24!}{21!\times3!}=\frac{24\times23\times22}{6}=2024\) है। बड़े फैक्टोरियल को पूरा फैलाने से बचें। / \(\frac{24!}{21!\times3!}=\frac{24\times23\times22}{6}=2024\). Avoid expanding the whole large factorial.
घात \(\left\lfloor\frac{75}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{75}{25}\right\rfloor=15+3=18\) है। अभाज्य की सभी संभव घातों के भागफल जोड़ें। / The exponent is \(\left\lfloor\frac{75}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{75}{25}\right\rfloor=15+3=18\). Add quotients of all possible powers of the prime.
((n+4)(n+3)(n+2)=990) मिलता है। \(13\times12\times11=1716\) नहीं इसलिए क्रमागत गुणनखंड ध्यान से मिलाएं और (n=9) सही है। / We get ((n+4)(n+3)(n+2)=990). Match consecutive factors carefully; (n=9) is correct.
((n+5)(n+4)=210) है। \(14\times15=210\) से (n=10) नहीं बल्कि (n+4=14) होने पर (n=10) मिलता है। / ((n+5)(n+4)=210). Since \(14\times15=210\), (n+4=14) gives (n=10).
मान \(\frac{21\times20}{2}-\frac{20\times19}{2}\) है। यह (20) के बराबर है। / The value is \(\frac{21\times20}{2}-\frac{20\times19}{2}\). It equals (20).
पहला मान \(\frac{18\times17}{2}\) और दूसरा \(\frac{17\times16}{2}\) है। अंतर (17) है। / The first value is \(\frac{18\times17}{2}\) and the second is \(\frac{17\times16}{2}\). The difference is (17).
(10) की घात (2) और (5) की जोड़ी से बनती है। (5) की घात (8+1=9) है इसलिए उत्तर (9) है। / The power of (10) comes from pairs of (2) and (5). The exponent of (5) is (8+1=9), so the answer is (9).
घात \( \left\lfloor\frac{30}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{30}{4}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{30}{8}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{30}{16}\right\rfloor=15+7+3+1=26\) है। सभी घातों के भागफल जोड़ें। / The exponent is \(\left\lfloor\frac{30}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{30}{4}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{30}{8}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{30}{16}\right\rfloor=15+7+3+1=26\). Add quotients for all powers.
(8!) में (3) की घात \(\left\lfloor\frac{8}{3}\right\rfloor=2\) होती है इसलिए यह सही नहीं है। सही जाँच में (9!) के लिए घात (4) है। / For (8!), the exponent of (3) is only \(\left\lfloor\frac{8}{3}\right\rfloor=2\), so it is not correct. Checking properly gives exponent (4) for (9!).
पहला पद \(17\times16\) और दूसरा \(16\times15\) है। अंतर (16(17-15)=32) है। / The first term is \(17\times16\) and the second is \(16\times15\). The difference is (16(17-15)=32).
यह \(\frac{8\times7}{7}=8\) देता है। भाग के प्रश्न में दूसरे भिन्न को उलटना याद रखें। / It gives \(\frac{8\times7}{7}=8\). In division questions remember to invert the second fraction.
पहला भाग \(8\times7\) और दूसरा \(7\times6\) है। अनुपात \(\frac{56}{42}=\frac{4}{3}\) है इसलिए दिए विकल्पों से मिलान नहीं होगा। / The first part is \(8\times7\) and the second is \(7\times6\). The ratio is \(\frac{56}{42}=\frac{4}{3}\), so it will not match these options.
बीच का (5!) कट जाता है और \(\frac{7!}{6!}=7\) बचता है। श्रृंखला कटौती में क्रम न बदलें। / The middle (5!) cancels and \(\frac{7!}{6!}=7\) remains. Do not change the order in chained cancellation.
मान (\(7\times6\)\times\frac{1}{6\times5}= \frac{7}{5}) नहीं बल्कि \(\frac{7!4!}{5!6!}=\frac{7}{5}\) है। विकल्पों में कोई नहीं दिखता इसलिए प्रश्न को सावधानी से पढ़ें। / The value is (\(7\times6\)\times\frac{1}{6\times5}= \frac{7}{5}) not an integer. Since options do not match, read the expression carefully.
ऊपर (n!(n+2)) बनता है और भाग देने पर (n(n+2)=150) मिलता है। \(10\times12=120\) नहीं इसलिए सावधानी से जाँचें। / The numerator becomes (n!(n+2)) and division gives (n(n+2)=150). Check carefully because \(10\times12=120\) is not enough.
पहला पद ((n+3)(n+2)) और दूसरा ((n+2)(n+1)) है। अंतर (2(n+2)) है। / The first term is ((n+3)(n+2)) and the second is ((n+2)(n+1)). The difference is (2(n+2)).
\(\frac{16!}{14!\times8}=\frac{16\times15}{8}=30\) है। पहले (16) को (8) से काटें। / \(\frac{16!}{14!\times8}=\frac{16\times15}{8}=30\). First cancel (16) with (8).
\(\frac{25!}{23!}=25\times24=600\) होता है। केवल बचे हुए दो पदों को गुणा करें। / \(\frac{25!}{23!}=25\times24=600\). Multiply only the two remaining terms.
घात \( \left\lfloor\frac{80}{7}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{80}{49}\right\rfloor=11+1=12\) है। अभाज्य की घातों तक ही जोड़ें। / The exponent is \(\left\lfloor\frac{80}{7}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{80}{49}\right\rfloor=11+1=12\). Add only up to powers of the prime.
घात \( \left\lfloor\frac{100}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{100}{25}\right\rfloor=20+4=24\) है। उच्च घात के लिए भागफल जोड़ें। / The exponent is \(\left\lfloor\frac{100}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{100}{25}\right\rfloor=20+4=24\). For highest power add the quotients.
शून्य की संख्या \(\left\lfloor\frac{50}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{50}{25}\right\rfloor=10+2=12\) है। (5) की घात गिनना सबसे तेज तरीका है। / The number of zeros is \(\left\lfloor\frac{50}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{50}{25}\right\rfloor=10+2=12\). Counting powers of (5) is the fastest method.
\(125=5^3\) है और (15!) में (5,10,15) से तीन (5) मिलते हैं। इसलिए न्यूनतम (n=15) है। / \(125=5^3\) and (15!) gives three factors of (5) from (5,10,15). So the least (n=15).
\(72=2^3\times3^2\) है और (6!) में ये सभी गुणनखंड हैं। ऐसे प्रश्नों में अभाज्य गुणनखंड पहले लिखें। / \(72=2^3\times3^2\) and (6!) contains all these factors. In such questions write prime factors first.
\(\frac{20!}{18!\times19}=\frac{20\times19}{19}=20\) है। कटौती के बाद बचा हुआ गुणनखंड देखें। / \(\frac{20!}{18!\times19}=\frac{20\times19}{19}=20\). Look at the remaining factor after cancellation.
\(\frac{15!}{13!\times3}=\frac{15\times14}{3}=70\) है। पहले समान भाज्य हटाने से गलती कम होती है। / \(\frac{15!}{13!\times3}=\frac{15\times14}{3}=70\). Removing common factorials first reduces mistakes.
\(\frac{12!}{10!\times 2!}=\frac{12\times11}{2}=66\) होता है। ऐसे प्रश्नों में पूरा गुणनफल न फैलाएं। / \(\frac{12!}{10!\times 2!}=\frac{12\times11}{2}=66\). Do not expand the whole product in such questions.
\(\frac{9!}{7!}=72\) और \(\frac{8!}{6!}=56\) इसलिए योग (128) है। परीक्षा में बड़े गुणनखंडों को तुरंत काटें। / Here \(\frac{9!}{7!}=72\) and \(\frac{8!}{6!}=56\) so the sum is (128). In exams cancel larger factorials quickly.
हर को काटने पर (n(n-1)(n+1)=120) मिलता है और (n=4) संतुष्ट करता है। परीक्षा में पहले क्रमागत गुणनखंड लिखें। / After cancellation we get (n(n-1)(n+1)=120) and (n=4) satisfies it. In exams write consecutive factors first.
दोनों पदों में ( (n+3)(n+2) ) सामान्य है। इसलिए सरल रूप ( (n+3)(n+2)(2n+5) ) मिलता है। / The common factor in both terms is ( (n+3)(n+2) ). Therefore the simplified form is ( (n+3)(n+2)(2n+5) ).
(n=6) रखने पर \(9\cdot8\cdot7+7\cdot6\cdot5=504+210=714\) नहीं मिलता। इसलिए यह समीकरण विकल्पों से मेल नहीं खाता। / Putting (n=6) gives \(9\cdot8\cdot7+7\cdot6\cdot5=504+210=714\). Therefore the equation does not match the options.
पहला पद ((n+3)(n+2)(n+1)) और दूसरा ((n+1)n(n-1)) है। जोड़ने पर \(2n^3+6n^2+4n+6\) मिलता है। / The first term is ((n+3)(n+2)(n+1)) and the second is ((n+1)n(n-1)). Adding gives \(2n^3+6n^2+4n+6\).
दोनों पदों का अनुपात सीधे \( \frac{19}{15} \) बनता है। बड़े मान निकालने के बजाय फैक्टोरियल काटें। / The ratio of the two terms directly becomes \( \frac{19}{15} \). Cancel factorials instead of finding large values.
सरल रूप \( \frac{n}{n+1} \) है। \( \frac{n}{n+1}=\frac{13}{14} \), इसलिए (n=13)। / The simplified form is \( \frac{n}{n+1} \). Since \( \frac{n}{n+1}=\frac{13}{14} \), (n=13).
सरल रूप (3(n+6)(n+5)) है। \(3\cdot15\cdot14=630\) नहीं, इसलिए सही विकल्प नहीं है। / The simplified form is (3(n+6)(n+5)). Since \(3\cdot15\cdot14=630\), no option is correct.
सामान्य ((n+6)(n+5)) निकालें। अंतर ((n+7)-(n+4)=3) नहीं, क्योंकि दूसरा पद ((n+6)(n+5)(n+4)) है और अंतर (3(n+6)(n+5)) है। / Take common ((n+6)(n+5)). The difference is ((n+7)-(n+4)=3), so the correct form is (3(n+6)(n+5)).
\( \frac{8!}{7!}=8 \) और \( \frac{11!}{10!}=11 \) है। इसलिए मान (88) है। / \( \frac{8!}{7!}=8 \) and \( \frac{11!}{10!}=11 \). Therefore the value is (88).
मान \( \frac{24\cdot23}{12\cdot11}=\frac{46}{11} \) है। भाग में दोनों फैक्टोरियल अनुपात फैलाएं। / The value is \( \frac{24\cdot23}{12\cdot11}=\frac{46}{11} \). Expand both factorial ratios in division.
शून्यों की संख्या \( \left\lfloor\frac{80}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{80}{25}\right\rfloor=19 \) है। (5) की घातों का योगदान जोड़ें। / The number of zeros is \( \left\lfloor\frac{80}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{80}{25}\right\rfloor=19 \). Add the contribution of powers of (5).
सरल रूप \( \frac{n+3}{n-2} \) है। \( \frac{n+3}{n-2}=\frac{5}{2} \) से (n=4) मिलता है। / The simplified form is \( \frac{n+3}{n-2} \). From \( \frac{n+3}{n-2}=\frac{5}{2} \), we get (n=4).
दोनों बड़े अनुपातों के समान गुणक कट जाते हैं। अंत में \( \frac{n+3}{n-2} \) बचता है। / The common factors of both large ratios cancel out. Finally \( \frac{n+3}{n-2} \) remains.
यह ((n+2)(n+1)n(n-1)=5040) है। \(10\cdot9\cdot8\cdot7=5040\), इसलिए (n=8)। / It is ((n+2)(n+1)n(n-1)=5040). Since \(10\cdot9\cdot8\cdot7=5040\), (n=8).
विस्तार ((n+2)(n+1)n(n-1)(n-2)(n-3)) है। इसलिए (6) लगातार गुणक मिलते हैं। / The expansion is ((n+2)(n+1)n(n-1)(n-2)(n-3)). Therefore there are (6) consecutive factors.
(12!) में (2) की घात (10) और (3) की घात (5) होती है। इसलिए दी गई सभी शर्तें पहली बार (12!) में पूरी होती हैं। / (12!) has exponent (10) of (2) and exponent (5) of (3). Therefore all given conditions are first satisfied by (12!).
घात \( \left\lfloor\frac{35}{3}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{35}{9}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{35}{27}\right\rfloor=15 \) है। उच्च घातों का योगदान जोड़ना न भूलें। / The exponent is \( \left\lfloor\frac{35}{3}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{35}{9}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{35}{27}\right\rfloor=15 \). Do not forget the contribution of higher powers.
सरल रूप (n(n+1)(n+4)) है। \(8\cdot9\cdot12=864\) नहीं, इसलिए समीकरण त्रुटिपूर्ण है। / The simplified form is (n(n+1)(n+4)). Since \(8\cdot9\cdot12=864\), the equation is invalid.
सरल रूप (n(n+1)(n+4)) है। \(9\cdot10\cdot13=1170\) नहीं, इसलिए सही विकल्पों में मान नहीं है। / The simplified form is (n(n+1)(n+4)). Since \(9\cdot10\cdot13=1170\), no given option satisfies the equation.
ऊपर ((n+4)(n+3)(n+2)(n+1)n(n-1)!) है। काटने पर (n(n+1)(n+4)) बचेगा। / The numerator is ((n+4)(n+3)(n+2)(n+1)n(n-1)!). After cancellation (n(n+1)(n+4)) remains.
\( \frac{10!}{8!}=90 \) और \( \frac{3\cdot9!}{8!}=27 \) है। कुल (117) है। / \( \frac{10!}{8!}=90 \) and \( \frac{3\cdot9!}{8!}=27 \). The total is (117).
पहला पद \(14\cdot13\cdot12=2184\) और दूसरा \(3\cdot13\cdot12=468\) है। अंतर (1716) है। / The first term is \(14\cdot13\cdot12=2184\) and the second is \(3\cdot13\cdot12=468\). The difference is (1716).
दोनों पद ((n+6)(n+5)) और ((n+5)(n+4)) हैं। समान ((n+5)) निकालने पर (2(n+5)2) मिलता है। / The two terms are ((n+6)(n+5)) and ((n+5)(n+4)). Taking common ((n+5)) gives (2(n+5)2).
सरल रूप (3(n+5)(n+4)) है। \(3\cdot13\cdot12=468\) नहीं, सही \(3\cdot14\cdot13=546\) से (n=8) मिलता है। / The simplified form is (3(n+5)(n+4)). Since \(3\cdot13\cdot12=468\) is wrong and \(3\cdot14\cdot13=546\), (n=8).
