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A. पहचान प्रमाण प्रभाव और सुधार/Identification evidence effect and correction
Explanation
Simple Explanation
विशेषज्ञ उत्तर विश्लेषण और अनुप्रयोग दोनों दिखाता है। परीक्षा में evidence plus correction जोड़ें। / Expert answer shows both analysis and application. Exam tip: add evidence plus correction.
A. पहचान प्रमाण प्रभाव और सुधार/Identification evidence effect and correction
Explanation
Simple Explanation
उच्च स्तर उत्तर विश्लेषण और अनुप्रयोग दोनों दिखाता है। परीक्षा में evidence plus correction जोड़ें। / High-level answer shows both analysis and application. Exam tip: add evidence plus correction.
C. व्यावहारिक शक्ति संतुलन और निर्णय की सीमा/Practical power balance and limitation of decision making
Explanation
Simple Explanation
वीटो बड़ी शक्तियों को साथ रखने का साधन था पर निर्णय रोक भी सकता है। परीक्षा में वीटो को शक्ति और कमजोरी दोनों मानें। / Veto kept major powers involved but can also block decisions. For exams treat veto as both strength and weakness.
शेष (0) का अर्थ है कि संख्या तीनों से पूरी तरह विभाजित है। / Remainder (0) means the number is exactly divisible by all three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(225=3^2\times5^2\), \(270=2\times3^3\times5\), \(315=3^2\times5\times7\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य (9450) है। / \(225=3^2\times5^2\), \(270=2\times3^3\times5\), and \(315=3^2\times5\times7\), so the LCM is (9450).
Step 3
Exam Tip
सबसे छोटी विभाज्य संख्या के लिए लघुत्तम समापवर्त्य निकालें। / For the smallest divisible number, find the LCM.
संख्या में से (17) घटाने पर वह तीनों संख्याओं से विभाजित होगी। / Subtracting (17) makes the number divisible by all three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(64=2^6\), \(80=2^4\times5\), \(96=2^5\times3\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य (960) है। अतः संख्या (960+17=977) है। / \(64=2^6\), \(80=2^4\times5\), and \(96=2^5\times3\), so the LCM is (960). Hence the number is (960+17=977).
Step 3
Exam Tip
समान शेष को अंत में जोड़ें। / Add the common remainder at the end.
शेष (0) का अर्थ है कि संख्या तीनों से पूरी तरह विभाजित है। / Remainder (0) means the number is exactly divisible by all three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(168=2^3\times3\times7\), \(210=2\times3\times5\times7\), \(280=2^3\times5\times7\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^3\times3\times5\times7=840\) है। / \(168=2^3\times3\times7\), \(210=2\times3\times5\times7\), and \(280=2^3\times5\times7\), so LCM \(=2^3\times3\times5\times7=840\).
Step 3
Exam Tip
सबसे छोटी विभाज्य संख्या के लिए लघुत्तम समापवर्त्य निकालें। / For the smallest divisible number, find the LCM.
संख्या में से (15) घटाने पर वह तीनों संख्याओं से विभाजित होगी। / Subtracting (15) makes the number divisible by all three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(40=2^3\times5\), \(56=2^3\times7\), \(88=2^3\times11\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^3\times5\times7\times11=3080\) है। अतः संख्या (3080+15=3095) है। / \(40=2^3\times5\), \(56=2^3\times7\), and \(88=2^3\times11\), so LCM \(=2^3\times5\times7\times11=3080\). Hence the number is (3080+15=3095).
Step 3
Exam Tip
समान शेष को अंत में जोड़ें। / Add the common remainder at the end.
शेष (0) का अर्थ है कि संख्या तीनों से पूरी तरह विभाजित है। / Remainder (0) means the number is exactly divisible by all three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(144=2^4\times3^2\), \(180=2^2\times3^2\times5\), \(216=2^3\times3^3\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^4\times3^3\times5=2160\) है। / \(144=2^4\times3^2\), \(180=2^2\times3^2\times5\), and \(216=2^3\times3^3\), so LCM \(=2^4\times3^3\times5=2160\).
Step 3
Exam Tip
सबसे छोटी विभाज्य संख्या के लिए लघुत्तम समापवर्त्य निकालें। / For the smallest divisible number, find the LCM.
संख्या से (11) घटाने पर वह तीनों संख्याओं से विभाजित होगी। / After subtracting (11), the number must be divisible by all three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(32=2^5\), \(48=2^4\times3\), \(72=2^3\times3^2\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^5\times3^2=288\) है। अतः संख्या (288+11=299) है। / \(32=2^5\), \(48=2^4\times3\), and \(72=2^3\times3^2\), so LCM \(=2^5\times3^2=288\). Hence the number is (288+11=299).
Step 3
Exam Tip
समान शेष को अंत में जोड़ें। / Add the common remainder at the end.
संख्या से (4) घटाने पर वह तीनों संख्याओं से पूरी तरह विभाजित होगी। / After subtracting (4), the number must be divisible by all three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
(21), (28), (36) का लघुत्तम समापवर्त्य (252) है, इसलिए संख्या (252+4=256) होगी। / The LCM of (21), (28), and (36) is (252), so the number is (252+4=256).
Step 3
Exam Tip
समान शेष वाले प्रश्नों में पहले लघुत्तम समापवर्त्य निकालें। / In common-remainder questions, find the LCM first.
संख्या में से (4) घटाने पर वह (21), (28) और (36) से विभाजित होगी। / Subtracting (4) makes the number divisible by (21), (28), and (36).
Step 2
Why this answer is correct
\(21=3\times7\), \(28=2^2\times7\), \(36=2^2\times3^2\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^2\times3^2\times7=252\) है। अतः सबसे छोटी संख्या (252+4=256) है। / \(21=3\times7\), \(28=2^2\times7\), and \(36=2^2\times3^2\), so LCM \(=2^2\times3^2\times7=252\). Hence the smallest number is (252+4=256).
Step 3
Exam Tip
समान शेष को अंत में जोड़ना न भूलें। / Add the common remainder at the end.
शेष (0) का अर्थ है कि संख्या तीनों से पूरी तरह विभाजित है। / Remainder (0) means the number is divisible by all three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(48=2^4\times3\), \(80=2^4\times5\), \(112=2^4\times7\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^4\times3\times5\times7=1680\) है। / \(48=2^4\times3\), \(80=2^4\times5\), and \(112=2^4\times7\), so LCM \(=2^4\times3\times5\times7=1680\).
Step 3
Exam Tip
सबसे छोटी विभाज्य संख्या के लिए लघुत्तम समापवर्त्य लें। / For the smallest divisible number, use LCM.
संख्या में से (3) घटाने पर वह (16), (20) और (25) से विभाजित होगी। / Subtracting (3) makes the number divisible by (16), (20), and (25).
Step 2
Why this answer is correct
\(16=2^4\), \(20=2^2\times5\), \(25=5^2\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^4\times5^2=400\) है। अतः संख्या (400+3=403) है। / \(16=2^4\), \(20=2^2\times5\), and \(25=5^2\), so LCM \(=2^4\times5^2=400\). Hence the number is (400+3=403).
Step 3
Exam Tip
समान शेष वाले प्रश्न में शेष अंत में जोड़ें। / Add the common remainder at the end.
A. ऐसा कोई जोड़ा संभव नहीं/No such pair is possible
Step 1
Concept
महत्तम समापवर्तक को लघुत्तम समापवर्त्य का भाजक होना चाहिए। / The HCF must divide the LCM.
Step 2
Why this answer is correct
(420) को (12) से भाग देने पर पूर्णांक नहीं मिलता, इसलिए ऐसी दो पूर्ण संख्याएँ संभव नहीं हैं। / (420) is not exactly divisible by (12), so no such pair of whole numbers is possible.
Step 3
Exam Tip
जोड़ा खोजने से पहले यह आवश्यक शर्त जाँचें। / Check this necessary condition before trying pairs.
यदि \(d=2^a\times3^b\times7^c\), तो \(d^2=2^{2a}\times3^{2b}\times7^{2c}\) होगा। / If \(d=2^a\times3^b\times7^c\), then \(d^2=2^{2a}\times3^{2b}\times7^{2c}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(2a\le6\), \(2b\le2\), \(2c\le2\), इसलिए (a=0,1,2,3) चार तरीके, (b=0,1) दो तरीके, (c=0,1) दो तरीके। कुल \(4\times2\times2=16\)। / Conditions are \(2a\le6\), \(2b\le2\), \(2c\le2\), so choices are (4,2,2). Total (=16).
Step 3
Exam Tip
वर्ग विभाजन में घातों को दुगना करके सीमा लगाएं। / For square divisibility, double the exponents and compare.
दाखिलों की संख्या \(25,30,35,\ldots\) है और \(S_{20}=1450\)। परीक्षा में कुल दाखिलों के लिए योग सूत्र लगाएं। / The admissions are \(25,30,35,\ldots\), and \(S_{20}=1450\). Exam tip: use the sum formula for total admissions.
A. ज्ञान कौशल और तकनीक भी संसाधन हैं/Knowledge skill and technology are also resources
Explanation
Simple Explanation
मानवीय क्षमता संसाधनों को उपयोगी बनाती है। परीक्षा में मानव निर्मित और मानव संसाधन भी याद रखें। / Human capacity makes resources useful. Exam tip: remember human-made and human resources too.
D. भविष्यवाणी और प्रारंभिक चीनी लेखन/Divination and early Chinese writing
Explanation
Simple Explanation
ओरेकल हड्डियां भविष्यवाणी के साथ प्रारंभिक चीनी लेखन दिखाती हैं। परीक्षा में इन्हें शांग राजवंश से जोड़ें। / Oracle bones show divination along with early Chinese writing. Connect them with the Shang dynasty in exams.
A. माया पुरातत्व और उष्णकटिबंधीय वन/Maya archaeology and tropical forest
Explanation
Simple Explanation
तिकल में माया नगर अवशेष और वन पारिस्थितिकी दोनों महत्वपूर्ण हैं। परीक्षा में ग्वाटेमाला याद रखें। / At Tikal both Maya city remains and forest ecology are important. For exams remember Guatemala.
दोनों से विभाजित होने वाली सबसे छोटी संख्या उनका लघुत्तम समापवर्त्य होगी। / The smallest number divisible by both is their LCM.
Step 2
Why this answer is correct
बड़ी घातें \(2^6\), \(3^2\), (5) और (7) हैं, इसलिए मान \(64\times9\times5\times7=20160\) है। / The highest powers are \(2^6\), \(3^2\), (5), and (7), so the value is \(64\times9\times5\times7=20160\).
Step 3
Exam Tip
सभी जरूरी अभाज्य घातों को साथ लें। / Include all required prime powers together.
ऐसी सबसे छोटी संख्या दोनों संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य होगी। / The smallest such number is the LCM of the two given numbers.
Step 2
Why this answer is correct
(3) की घातें (2) और (5) हैं, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य में बड़ी घात (5) होगी। / The powers of (3) are (2) and (5), so the higher power (5) will be used.
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता के लिए बड़ी घात चुनें। / For divisibility, choose the higher power.
हर बार भाजक और शेष का अंतर (9) है, इसलिए संख्या में (9) जोड़ने पर वह तीनों भाजकों से पूरी तरह विभाजित होगी। / In each case, divisor minus remainder is (9), so adding (9) to the number makes it exactly divisible by all three divisors.
Step 2
Why this answer is correct
(72), (90) और (126) का लघुत्तम समापवर्त्य (2520) है, इसलिए संख्या (2520-9=2511) होगी। / The LCM of (72), (90), and (126) is (2520), so the number is (2520-9=2511).
Step 3
Exam Tip
जब शेष भाजक से समान अंतर पर हो, तो लघुत्तम समापवर्त्य से वह अंतर घटाएँ। / When each remainder is equally less than the divisor, subtract that common difference from the LCM.
हर बार भाजक और शेष का अंतर (7) है, इसलिए संख्या में (7) जोड़ने पर वह तीनों से विभाजित होगी। / In each case, divisor minus remainder is (7), so adding (7) to the number makes it divisible by all three divisors.
Step 2
Why this answer is correct
(45), (75) और (90) का लघुत्तम समापवर्त्य (450) है, इसलिए संख्या (450-7=443) है। / The LCM of (45), (75), and (90) is (450), so the number is (450-7=443).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में समान अंतर पहचानकर लघुत्तम समापवर्त्य से घटाएँ। / Spot the common difference and subtract it from the LCM.
हर बार भाजक और शेष का अंतर (7) है, इसलिए संख्या में (7) जोड़ने पर वह तीनों संख्याओं से विभाजित होगी। / In each case, divisor minus remainder is (7), so adding (7) to the number makes it divisible by all three divisors.
Step 2
Why this answer is correct
(36), (54) और (90) का लघुत्तम समापवर्त्य (540) है, इसलिए संख्या (540-7=533) है। / The LCM of (36), (54), and (90) is (540), so the number is (540-7=533).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में समान अंतर पहचानकर लघुत्तम समापवर्त्य से घटाएँ। / In such questions, identify the common difference and subtract it from the LCM.
हर स्थिति में भाजक और शेष का अंतर (5) है, इसलिए संख्या में (5) जोड़ने पर वह (48), (72) और (120) से पूरी तरह विभाजित होगी। / In each case, the difference between divisor and remainder is (5), so adding (5) to the number makes it divisible by (48), (72), and (120).
Step 2
Why this answer is correct
इनका लघुत्तम समापवर्त्य (720) है, इसलिए सबसे छोटी संख्या (720-5=715) होगी। / Their LCM is (720), so the smallest number is (720-5=715).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में समान अंतर पहचानना गणना को बहुत आसान बना देता है। / In such questions, spotting the common difference makes the calculation much easier.
हर स्थिति में भाजक से शेष घटाने पर (5) बचता है, इसलिए संख्या में (5) जोड़ने पर वह तीनों से विभाजित होगी। / In each case, divisor minus remainder is (5), so adding (5) to the number makes it divisible by all three divisors.
Step 2
Why this answer is correct
(36), (48) और (60) का लघुत्तम समापवर्त्य (720) है, इसलिए संख्या (720-5=715) है। / The LCM of (36), (48), and (60) is (720), so the number is (720-5=715).
Step 3
Exam Tip
जब शेष भाजक से समान अंतर पर हों, तो लघुत्तम समापवर्त्य से वह अंतर घटाएँ। / When remainders are equally less than divisors, subtract that difference from the LCM.
दाखिलों की संख्या \(60,80,100,\ldots\) है और \(S_n=3000\) से (n=15)। परीक्षा में कुल लक्ष्य को योग सूत्र से जोड़ें। / The admissions are \(60,80,100,\ldots\) and \(S_n=3000\) gives (n=15). Exam tip: connect the target total with the sum formula.
दाखिलों की संख्या \(45,60,75,\ldots\) है और \(S_n=2520\) से (n=16)। परीक्षा में कुल लक्ष्य को योग सूत्र से जोड़ें। / The admissions are \(45,60,75,\ldots\) and \(S_n=2520\) gives (n=16). Exam tip: connect the target total with the sum formula.
दाखिलों की संख्या \(30,40,50,\ldots\) है और \(S_n=2500\) से (n=20)। परीक्षा में कुल लक्ष्य को योग सूत्र से जोड़ें। / The admissions are \(30,40,50,\ldots\) and \(S_n=2500\) gives (n=20). Exam tip: connect the target total with the sum formula.
इंद्रावती और प्राणहिता गोदावरी नदी तंत्र की प्रमुख सहायक नदियां हैं। परीक्षा में गोदावरी को विशाल प्रायद्वीपीय नदी प्रणाली के रूप में याद रखें। / Indravati and Pranhita are major tributaries of the Godavari river system. For exams, remember Godavari as a large peninsular river system.
श्रीरंगपट्टनम और तिरुचिरापल्ली कावेरी नदी क्षेत्र से जुड़े हैं। परीक्षा में कावेरी को कर्नाटक और तमिलनाडु दोनों से याद रखें। / Srirangapatna and Tiruchirappalli are associated with the Cauvery river region. For exams, remember Cauvery with both Karnataka and Tamil Nadu.
रूपकुंड झील उत्तराखंड के उच्च हिमालयी क्षेत्र में स्थित है। परीक्षा में रूपकुंड को पर्वतीय झील और रहस्यमयी झील के रूप में याद रखें। / Roopkund Lake is located in the high Himalayan region of Uttarakhand. For exams remember Roopkund as a mountain lake and a mysterious lake.
सुकरी और जवाई लूनी नदी तंत्र की सहायक नदियां हैं। राजस्थान की मौसमी नदियों को समूह में याद करें। / Sukri and Jawai are tributaries of the Luni river system. Remember Rajasthan’s seasonal rivers in groups.
ओंकारेश्वर और शूलपाणेश्वर नर्मदा नदी क्षेत्र से जुड़े हैं। सांस्कृतिक और भौगोलिक स्थल नदी पहचान में मदद करते हैं। / Omkareshwar and Shoolpaneshwar are linked with the Narmada River region. Cultural and geographic places help identify rivers.
मिजोरम की कई नदियां बराक तंत्र से जुड़ती हैं। पूर्वोत्तर के छोटे नदी तंत्रों को राज्यवार पढ़ना चाहिए। / Many rivers of Mizoram are linked with the Barak system. Small river systems of the northeast should be studied state-wise.
A. राष्ट्रीय आंदोलन स्थानीय समस्याओं के साथ जुड़ गया था/The national movement became connected with local problems
Step 1
Concept
हर क्षेत्र की अपनी समस्याएं थीं। / Each region had its own problems.
Step 2
Why this answer is correct
जब लोगों ने जंगल कानून जैसे स्थानीय नियंत्रणों को चुनौती दी तो आंदोलन स्थानीय अर्थ लेने लगा। / Challenging forest laws gave the movement local meaning.
Step 3
Exam Tip
राष्ट्रीय और स्थानीय संबंध को उदाहरण सहित लिखें। / Explain the national-local link with examples.
कैलाश लद्दाख और काराकोरम श्रेणियां ट्रांस-हिमालयी क्षेत्र से जुड़ी हैं। परीक्षा में इन्हें हिमालय के पार के उच्च क्षेत्र से जोड़ें। / Kailash, Ladakh, and Karakoram ranges are associated with the Trans-Himalayan region. For exams, connect them with high regions beyond the Himalayas.
दिहांग में लोहित और दिबांग जैसी नदियों के मिलने के बाद असम में ब्रह्मपुत्र का रूप स्पष्ट होता है। परीक्षा में दिहांग-लोहित-दिबांग संगम क्रम याद रखें। / After the Dihang is joined by rivers such as Lohit and Dibang, it becomes clearly known as the Brahmaputra in Assam. For exams, remember the Dihang-Lohit-Dibang sequence.
क्रमिक परिवर्तन लय में बढ़त और गति का भाव देता है। परीक्षा में progressive rhythm को growth से जोड़ें। / Gradual change gives growth and movement in rhythm. Exam tip: connect progressive rhythm with growth.
क्रमिक बदलाव लय में गति और बढ़त दिखाता है। परीक्षा में progressive rhythm को growth से जोड़ें। / Gradual change shows movement and growth in rhythm. Exam tip: connect progressive rhythm with growth.
रंगत्व रंग की पहचान या नाम बताता है। परीक्षा में hue का अर्थ रंग का नाम याद रखें। / Hue tells the identity or name of a colour. Exam tip: remember hue as the colour name.
A. सुल्तान की अलौकिक प्रतिष्ठा और राजसत्ता की गरिमा बढ़ाना/To raise the sacred prestige of the Sultan and dignity of kingship
Explanation
Simple Explanation
बलबन ने दरबार को कठोर और भव्य बनाकर सुल्तान की प्रतिष्ठा बढ़ाई। इसे केंद्रीकृत सत्ता से जोड़ें। / Balban made the court strict and grand to raise the Sultan's prestige. Link it with centralized authority.
बलबन ने सुल्तान की प्रतिष्ठा और कठोर दरबारी अनुशासन पर जोर दिया। इसे मजबूत राजसत्ता से जोड़ें। / Balban emphasized the Sultan's prestige and strict court discipline. Link it with strong kingship.
A. उन्होंने स्थानीय स्तर पर ब्रिटिश सत्ता को चुनौती दी/They challenged British authority at the local level
Explanation
Simple Explanation
समानांतर सरकारें 1942 के जन प्रतिरोध की तीव्रता दिखाती हैं। परीक्षा में इन्हें स्थानीय विद्रोही प्रशासन से जोड़ें। / Parallel governments show the intensity of mass resistance in 1942. Exam tip is to link them with local rebel administration.
संख्याओं को (18m) और (18n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। / Let the numbers be (18m) and (18n), where (m) and (n) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(18mn=6930), इसलिए \(mn=385=5\times7\times11\)। तीन अलग अभाज्य गुणनखंडों से (4) अव्यवस्थित सहाभाज्य जोड़े बनते हैं। / (18mn=6930), so \(mn=385=5\times7\times11\). Three distinct prime factors give (4) unordered coprime pairs.
Step 3
Exam Tip
जोड़े गिनते समय क्रम को दो बार न गिनें। / Do not count the reversed order again.
संख्याओं को (30m) और (30n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। / Let the numbers be (30m) and (30n), where (m) and (n) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(30mn=2730), इसलिए \(mn=91=7\times13\); अव्यवस्थित सहाभाज्य जोड़े ((1,91)) और ((7,13)) हैं। / (30mn=2730), so \(mn=91=7\times13\); the unordered coprime pairs are ((1,91)) and ((7,13)).
Step 3
Exam Tip
जोड़ों की गिनती में उल्टे क्रम को अलग न गिनें। / Do not count reversed order as a new pair.
संख्याओं को (48m) और (48n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। / Let the numbers be (48m) and (48n), where (m) and (n) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(48mn=2112), इसलिए \(mn=44=2^2\times11\); सहाभाज्य अव्यवस्थित जोड़े ((1,44)) और ((4,11)) हैं, इसलिए संख्या (2) है। / (48mn=2112), so \(mn=44=2^2\times11\); the unordered coprime pairs are ((1,44)) and ((4,11)), so the count is (2).
Step 3
Exam Tip
समान अभाज्य गुणनखंड दोनों भागों में न जाने दें। / Do not split the same prime factor into both parts.
संख्याओं को (42m) और (42n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। / Let the numbers be (42m) and (42n), where (m) and (n) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(42mn=2772), इसलिए \(mn=66=2\times3\times11\)। तीन अलग अभाज्य गुणनखंडों को दो समूहों में बाँटने से (4) अव्यवस्थित जोड़े मिलते हैं। / (42mn=2772), so \(mn=66=2\times3\times11\). Splitting three distinct prime factors into two groups gives (4) unordered pairs.
Step 3
Exam Tip
जोड़ों की गिनती में यह जरूर देखें कि (m) और (n) सहाभाज्य रहें। / While counting pairs, make sure (m) and (n) remain coprime.
संख्याओं को (18m) और (18n) मानें, जहाँ (m) और (n) सहाभाज्य होंगे। / Let the numbers be (18m) and (18n), where (m) and (n) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
(18mn=1260), इसलिए \(mn=70=2\times5\times7\); इसके अव्यवस्थित सहाभाज्य जोड़े (4) बनते हैं। / (18mn=1260), so \(mn=70=2\times5\times7\); this gives (4) unordered coprime factor pairs.
Step 3
Exam Tip
वर्गमुक्त गुणनफल में अव्यवस्थित जोड़े गिनते समय अभाज्य गुणनखंडों को दो भागों में बाँटें। / For a square-free product, split prime factors into two groups to count unordered pairs.
मान लें \(d=2^a\times3^b\times5^c\), तो \(d^3=2^{3a}\times3^{3b}\times5^{3c}\)। / Let \(d=2^a\times3^b\times5^c\), so \(d^3=2^{3a}\times3^{3b}\times5^{3c}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(3a\le5\) से (a=0,1), \(3b\le4\) से (b=0,1), \(3c\le3\) से (c=0,1)। कुल \(2\times2\times2=8\)। / \(3a\le5\), \(3b\le4\), and \(3c\le3\), giving (2) choices each. Total (=8).
Step 3
Exam Tip
घन वाले प्रश्न में घातों को (3) गुना करके सीमा जांचें। / For cube divisibility, triple the exponents and compare.
दाखिलों की संख्या \(72,90,108,\ldots\) है और \(S_n=3780\) से (n=15)। परीक्षा में कुल लक्ष्य को \(S_n\) से जोड़ें। / The admissions are \(72,90,108,\ldots\) and \(S_n=3780\) gives (n=15). Exam tip: connect the target total with \(S_n\).
यदि (N) ऐसी सबसे छोटी संख्या है जो \(2^5\times3^2\times7\) और \(2^3\times3^4\times5\) दोनों से विभाजित होती है, तथा (M) इन दोनों संख्याओं का महत्तम समापवर्तक है, तो \(\frac{N}{M}\) क्या होगा?
सबसे छोटी विभाज्य संख्या (N) लघुत्तम समापवर्त्य होगी और (M) महत्तम समापवर्तक होगा। / The smallest divisible number (N) is the LCM, and (M) is the HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(N=2^5\times3^4\times5\times7\) और \(M=2^3\times3^2\), इसलिए \(\frac{N}{M}=2^2\times3^2\times5\times7\)। / \(N=2^5\times3^4\times5\times7\) and \(M=2^3\times3^2\), so \(\frac{N}{M}=2^2\times3^2\times5\times7\).
Step 3
Exam Tip
भाग करते समय समान आधारों की घातें घटाएँ। / While dividing, subtract powers of the same base.
A. मासूम और कोमल भाव कमजोर हो सकता है/Innocent and soft mood may weaken
Explanation
Simple Explanation
कोमल विषय में नरम आकार और हल्के मान उपयोगी होते हैं। परीक्षा में subject mood और element choice मिलाएं। / Soft shapes and light values suit gentle subjects. Exam tip: match subject mood and element choice.
A. दृश्य संतुलन और ध्यान क्रम प्रभावित होंगे/Visual balance and attention order will be affected
Explanation
Simple Explanation
खाली स्थान भी रचना को व्यवस्थित करता है। परीक्षा में negative space placement देखें। / Empty space also organizes composition. Exam tip: observe negative space placement.
A. स्पष्टता और रूप फिर भी कमजोर हो सकते हैं/Clarity and form can still be weak
Explanation
Simple Explanation
रंग और मान दोनों संदेश और स्पष्टता पर असर डालते हैं। परीक्षा में colour and value together देखें। / Both colour and value affect message and clarity. Exam tip: observe colour and value together.
A. दर्शक का ध्यान विभाजित होगा/Viewer attention will divide
Explanation
Simple Explanation
बराबर जोर दृश्य क्रम को कमजोर करता है। परीक्षा में प्राथमिक और सहायक केंद्र अलग करें। / Equal emphasis weakens visual order. Exam tip: separate primary and supporting focus.
A. गहराई सीमित और कम मजबूत होगी/Depth will be limited and less strong
Explanation
Simple Explanation
एक संकेत से गहराई बनती है पर कई संकेत उसे मजबूत करते हैं। परीक्षा में multiple cues लिखें। / One cue creates depth but many cues strengthen it. Exam tip: write multiple cues.
A. स्थानिक भ्रम पैदा होगा/Spatial confusion will occur
Explanation
Simple Explanation
depth cues का एक दूसरे से मेल जरूरी है। परीक्षा में consistency of depth देखें। / Depth cues must match each other. Exam tip: observe consistency of depth.
A. गहराई आंशिक रूप से भ्रमित लगेगी/Depth will look partly confusing
Explanation
Simple Explanation
गहराई में कई संकेत साथ सही होने चाहिए। परीक्षा में perspective और relative size दोनों जांचें। / Many cues must be correct together in depth. Exam tip: check both perspective and relative size.
A. केंद्र का आकर्षण कम हो सकता है/Attraction of centre may reduce
Explanation
Simple Explanation
रेडियल व्यवस्था में केंद्र और बाहरी भार का संतुलन जरूरी है। परीक्षा में radial visual weight देखें। / Balance of centre and outer weight is needed in radial arrangement. Exam tip: observe radial visual weight.
\(0.\overline{018}\) में अंकों की पुनरावृत्ति है, इसलिए यह परिमेय है। / \(0.\overline{018}\) has a repeating block, so it is rational.
Step 2
Why this answer is correct
यह समाप्त नहीं होता, इसलिए सांत दशमलव नहीं है। बाकी सांत हैं या अपरिमेय हैं। / It does not end, so it is not a terminating decimal. The other options are either terminating or irrational.
Step 3
Exam Tip
आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। / Recurring decimals are rational.
ठीक (5) दशमलव स्थानों के लिए सरलतम हर में (2) और (5) की बड़ी घात (5) होनी चाहिए। / For exactly (5) decimal places, the larger exponent of (2) and (5) in the reduced denominator must be (5).
Step 2
Why this answer is correct
\(3125=5^5\), इसलिए यह (5) स्थान देता है। (250) और (40) कम स्थान देते हैं, जबकि \(1600=2^6\cdot 5^2\) (6) स्थान देगा। / \(3125=5^5\), so it gives (5) places. (250) and (40) give fewer places, while \(1600=2^6\cdot 5^2\) gives (6) places.
Step 3
Exam Tip
हर के अभाज्य घातों की तुलना करें। / Compare the prime exponents of the denominator.
कथन: सरल रूप में \(\frac{p}{q}\) का भाजक \(2^a5^b\) हो तो दशमलव विस्तार समाप्त होता है। कारण: ऐसी स्थिति में भाजक को \(10^k\) के रूप में बदला जा सकता है। सही विकल्प चुनिए।
A. कथन और कारण दोनों सही हैं, और कारण कथन को समझाता है/Both assertion and reason are true, and the reason explains the assertion
Step 1
Concept
(2) और (5) की घातों से बना भाजक (10) की घात में बदला जा सकता है। / A denominator made of powers of (2) and (5) can be converted into a power of (10).
Step 2
Why this answer is correct
जब भाजक \(10^k\) जैसा हो जाता है, तो दशमलव समाप्त होता है। / When the denominator becomes like \(10^k\), the decimal terminates.
Step 3
Exam Tip
कारण-प्रकार प्रश्नों में देखें कि कारण सच होने के साथ कथन को समझा भी रहा है या नहीं। / In assertion-reason questions, check whether the reason also explains the assertion.
