A. जब सहप्रांत \([0,\infty\)) ही रहे/When codomain remains \([0,\infty\))
Step 1
Concept
(f(x)=(x+1)2), so its range is \([0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain is also \([0,\infty\)), so every codomain element is attained.
Step 3
Exam Tip
In exams, first find the range and then compare it with the codomain. चरण 1: (f(x)=(x+1)2) है इसलिए इसका परिसर \([0,\infty\)) है। चरण 2: सहप्रांत भी \([0,\infty\)) है इसलिए हर सहप्रांतीय मान का पूर्वप्रतिबिंब मिलता है। चरण 3: परीक्षा में पहले परिसर निकालें फिर उसे सहप्रांत से मिलाएँ।
As \(x\to\infty\), its value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), its value goes to \(-\infty\), so all real values occur.
Step 3
Exam Tip
For odd degree continuous polynomials, check end behavior. चरण 1: \(x^3-3x\) एक विषम घात वाला बहुपद है। चरण 2: \(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर मान \(-\infty\) जाता है, इसलिए सभी वास्तविक मान मिलते हैं। चरण 3: विषम घात वाले सतत बहुपदों में आच्छादिता जाँचते समय सिरों का व्यवहार देखें।
Its range is (\(-\infty,4]\), equal to the codomain.
Step 3
Exam Tip
For a parabola, use the vertex to find the range quickly. चरण 1: (4-(x-2)2) का अधिकतम मान (4) है। चरण 2: इसका परिसर (\(-\infty,4]\) है जो सहप्रांत के बराबर है। चरण 3: ऊपर या नीचे खुलने वाले परवलय में शीर्ष से परिसर जल्दी निकाला जा सकता है।
At (x=1), the value is (0), and as (x) increases all non-negative values occur.
Step 3
Exam Tip
For restricted domains, find the range using that exact domain. चरण 1: (f(x)=(x-1)2) और \(x\ge1\) है। चरण 2: (x=1) पर (0) मिलता है और (x) बढ़ने पर सभी गैरऋणात्मक मान मिलते हैं। चरण 3: सीमित प्रांत में उसी प्रांत के अनुसार परिसर निकालें।
For every (y>0), taking \(x=\ln y\) gives (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
For exponential functions, codomain (\(0,\infty\)) makes onto verification direct. चरण 1: \(e^x\) का मान हमेशा (0) से बड़ा होता है। चरण 2: हर (y>0) के लिए \(x=\ln y\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। चरण 3: घातीय फलन में सहप्रांत यदि (\(0,\infty\)) हो तो आच्छादिता तुरंत जाँची जा सकती है।
A. क्योंकि ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ प्रतिबिंब नहीं हैं/Because negative real numbers are not images
Step 1
Concept
The range of \(e^x\) is \((0,\infty)\).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain is \(\mathbb{R}\), but values like (-1) are never attained.
Step 3
Exam Tip
If even one codomain element is missed, the function is not onto. चरण 1: \(e^x\) का परिसर \((0,\infty)\) होता है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) है लेकिन (-1) जैसे मान कभी नहीं मिलते। चरण 3: एक भी सहप्रांतीय मान छूट जाए तो फलन आच्छादी नहीं होता।
A. (f) आच्छादी है लेकिन एकैकी नहीं/(f) is onto but not one-one
Step 1
Concept
The range of \(\sin x\) is ([-1,1]).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain is also ([-1,1]), so the function is onto.
Step 3
Exam Tip
Since \(\sin x\) is periodic, different inputs can give the same output. चरण 1: \(\sin x\) का परिसर ([-1,1]) है। चरण 2: सहप्रांत भी ([-1,1]) है इसलिए फलन आच्छादी है। चरण 3: \(\sin x\) आवर्ती है इसलिए अलग-अलग (x) पर समान मान आ सकते हैं।
On the given domain, \(\sin x\) is strictly increasing.
Step 2
Why this answer is correct
Its range is ([-1,1]), equal to the codomain.
Step 3
Exam Tip
On restricted trigonometric intervals, check both monotonicity and range. चरण 1: दिए गए प्रांत पर \(\sin x\) लगातार बढ़ता है। चरण 2: इसका परिसर ([-1,1]) है जो सहप्रांत के बराबर है। चरण 3: सीमित अंतराल पर त्रिकोणमितीय फलन की एकरसता और परिसर दोनों जाँचें।
A. यह एकैकी और आच्छादी दोनों है/It is both one-one and onto
Step 1
Concept
On \([0,\pi]\), \(\cos x\) is strictly decreasing.
Step 2
Why this answer is correct
\(\cos 0=1\) and \(\cos \pi=-1\), so all values in ([-1,1]) occur.
Step 3
Exam Tip
A strictly monotonic function is one-one and becomes onto when its range equals the codomain. चरण 1: \([0,\pi]\) पर \(\cos x\) लगातार घटता है। चरण 2: \(\cos 0=1\) और \(\cos \pi=-1\), इसलिए सभी मान ([-1,1]) में मिलते हैं। चरण 3: घटता या बढ़ता फलन एकैकी होता है और पूरा सहप्रांत ढकने पर आच्छादी भी।
A. क्योंकि इसका परिसर (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)) है/Because its range is (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\))
Step 1
Concept
Values of \(\tan^{-1}x\) lie only in (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain is \(\mathbb{R}\), so many real values are missed.
Step 3
Exam Tip
Remember the principal range of inverse trigonometric functions. चरण 1: \(\tan^{-1}x\) का मान केवल (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)) में आता है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) है इसलिए कई वास्तविक संख्याएँ छूट जाती हैं। चरण 3: प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों में मानों की सीमा याद रखें।
A. (f) एकैकी और आच्छादी है/(f) is one-one and onto
Step 1
Concept
\(\tan^{-1}x\) is strictly increasing, so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
Its range is (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)), equal to the codomain.
Step 3
Exam Tip
Choosing the exact range as codomain often makes a function onto. चरण 1: \(\tan^{-1}x\) सख्ती से बढ़ता है इसलिए एकैकी है। चरण 2: इसका परिसर (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)) है जो सहप्रांत के बराबर है। चरण 3: सही सहप्रांत चुनने पर कई फलन आच्छादी बन जाते हैं।
A. नहीं क्योंकि केवल विषम पूर्णांक मिलते हैं/No because only odd integers are obtained
Step 1
Concept
(2n+1) is always an odd integer.
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{Z}\) also contains even integers, which are not images.
Step 3
Exam Tip
For integer functions, parity checks are very useful for onto questions. चरण 1: (2n+1) हमेशा विषम पूर्णांक होता है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) में सम पूर्णांक भी हैं, जो प्रतिबिंब नहीं बनते। चरण 3: पूर्णांकों पर आच्छादिता में सम-विषम जाँच बहुत उपयोगी है।
For any odd (y), \(n=\frac{y-1}{2}\) is an integer.
Step 3
Exam Tip
Onto is proved when every target element has a preimage. चरण 1: (f(n)=2n+1) सभी विषम पूर्णांक देता है। चरण 2: किसी भी विषम (y) के लिए \(n=\frac{y-1}{2}\) पूर्णांक होता है। चरण 3: लक्ष्य समुच्चय को ठीक परिसर के बराबर करने से आच्छादिता सिद्ध होती है।
A. क्योंकि (1,2,3) प्रतिबिंब नहीं हैं/Because (1,2,3) are not images
Step 1
Concept
For \(n\in\mathbb{N}\), (f(n)\ge4).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{N}\) contains (1,2,3), but they are not attained.
Step 3
Exam Tip
For natural number functions, check the smallest possible image. चरण 1: \(n\in\mathbb{N}\) होने पर (f(n)\ge4) है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{N}\) में (1,2,3) भी हैं, पर वे नहीं मिलते। चरण 3: प्राकृतिक संख्याओं वाले फलन में सबसे छोटे मान से आच्छादिता जाँचें।
In onto proofs, take an arbitrary (y) and find its preimage. चरण 1: (f(n)=n+3) का पहला मान (4) है। चरण 2: हर \(y\ge4\) के लिए (n=y-3) प्राकृतिक संख्या है। चरण 3: आच्छादिता में (y) लेकर उसका पूर्वप्रतिबिंब निकालना मजबूत तरीका है।
A. नहीं क्योंकि प्रांत में तत्व कम हैं/No because the domain has fewer elements
Step 1
Concept
In an onto function, every element of the codomain must be hit at least once.
Step 2
Why this answer is correct
Here the domain has (3) elements and the codomain has (4), so covering all four elements is impossible.
Step 3
Exam Tip
For finite sets, first compare the number of elements. चरण 1: आच्छादी फलन में सहप्रांत का हर तत्व कम से कम एक बार आना चाहिए। चरण 2: यहाँ प्रांत में (3) और सहप्रांत में (4) तत्व हैं, इसलिए चारों तत्वों को ढकना असंभव है। चरण 3: सीमित समुच्चयों में पहले तत्वों की संख्या देखें।
For finite sets with equal size, an onto function is automatically one-one.
Step 2
Why this answer is correct
Hence such functions are bijections, counted by (4!).
Step 3
Exam Tip
(4!=24); for equal finite sizes, onto counting becomes permutation counting. चरण 1: समान संख्या वाले सीमित समुच्चयों में आच्छादी फलन अपने आप एकैकी भी होगा। चरण 2: इसलिए ऐसे फलन द्वयात्मक हैं और उनकी संख्या (4!) है। चरण 3: (4!=24), समान आकार पर आच्छादी गिनती में क्रमचय याद रखें।
The non-onto functions are the (2) constant functions.
Step 3
Exam Tip
Onto functions are (8-2=6); for small sets, subtract the missed cases. चरण 1: कुल फलन \(2^3=8\) हैं। चरण 2: आच्छादी नहीं होने वाले वे (2) फलन हैं जिनमें सभी तत्व एक ही सहप्रांतीय तत्व पर जाएँ। चरण 3: आच्छादी फलन (8-2=6) हैं, छोटे समुच्चयों में छूटे हुए फलन घटाएँ।
Since (g) is onto, (g(y)=z) for some \(y\in B\), and since (f) is onto, (f(x)=y) for some \(x\in A\).
Step 3
Exam Tip
Thus (\(g\circ f\)(x)=z), so the composition is onto. चरण 1: (C) के किसी भी (z) को लें। चरण 2: (g) आच्छादी है इसलिए कोई \(y\in B\) है जिसके लिए (g(y)=z), और (f) आच्छादी है इसलिए कोई \(x\in A\) है जिसके लिए (f(x)=y)। चरण 3: तब (\(g\circ f\)(x)=z), इसलिए संयोजन भी आच्छादी है।
Since \(g\circ f\) is onto, every element of (C) is (\(g\circ f\)(x)) for some (x).
Step 2
Why this answer is correct
But (\(g\circ f\)(x)=g(f(x))), so that element is attained by (g).
Step 3
Exam Tip
If the composition is onto, the outer function must be onto. चरण 1: \(g\circ f\) आच्छादी है, इसलिए (C) का हर तत्व (\(g\circ f\)(x)) के रूप में मिलता है। चरण 2: (\(g\circ f\)(x)=g(f(x))), इसलिए वही तत्व (g) के द्वारा भी प्राप्त होता है। चरण 3: संयोजन आच्छादी हो तो बाहरी फलन (g) अवश्य आच्छादी होता है।
But (f) need not cover all of (B), because (g) may cover (C) using only part of (B).
Step 3
Exam Tip
In composition questions, keep the roles of inner and outer functions separate. चरण 1: \(g\circ f\) आच्छादी होने से (g) का आच्छादी होना निश्चित है। चरण 2: पर (f) पूरे (B) को ढके यह जरूरी नहीं, क्योंकि (g) को (C) ढकने के लिए (B) के सभी तत्वों की जरूरत नहीं हो सकती। चरण 3: संयोजन के निष्कर्ष में भीतरी और बाहरी फलन की भूमिका अलग रखें।
If \(a\ne0\), then for any \(y\in\mathbb{R}\), \(x=\frac{y-b}{a}\) is real.
Step 2
Why this answer is correct
Hence every (y) has a preimage.
Step 3
Exam Tip
A linear function on \(\mathbb{R}\) is onto when its slope is non-zero. चरण 1: यदि \(a\ne0\), तो किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=\frac{y-b}{a}\) वास्तविक है। चरण 2: इसलिए हर (y) का पूर्वप्रतिबिंब है। चरण 3: रैखिक फलन में ढाल शून्य न हो तो वह \(\mathbb{R}\) पर आच्छादी होता है।
A. किसी भी वास्तविक (k) के लिए नहीं/For no real (k)
Step 1
Concept
If (k>0), values are at least (1).
Step 2
Why this answer is correct
If (k<0), values are at most (1), and if (k=0), the function is constant.
Step 3
Exam Tip
In no case does the range become all of \(\mathbb{R}\), so it cannot be onto. चरण 1: यदि (k>0), तो मान (1) से बड़े या बराबर हैं। चरण 2: यदि (k<0), तो मान (1) से छोटे या बराबर हैं, और (k=0) पर फलन स्थिर है। चरण 3: किसी भी स्थिति में पूरा \(\mathbb{R}\) नहीं मिलता, इसलिए आच्छादी नहीं हो सकता।
For every \(y\ge2\), taking \(x=\sqrt{y-2}\) gives (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
For square functions, identify the minimum value to get the range. चरण 1: \(x^2\ge0\), इसलिए \(x^2+2\ge2\)। चरण 2: हर \(y\ge2\) के लिए \(x=\sqrt{y-2}\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। चरण 3: वर्ग वाले फलन में न्यूनतम मान से परिसर पहचानें।
A. क्योंकि ऋणात्मक वास्तविक मान नहीं मिलते/Because negative real values are not attained
Step 1
Concept
\(\sqrt{x}\) is always non-negative.
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) includes negative values, which are not attained.
Step 3
Exam Tip
Remember that the range of the square root function is \([0,\infty\)). चरण 1: \(\sqrt{x}\) का मान हमेशा (0) या उससे बड़ा होता है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में ऋणात्मक मान भी हैं, जो नहीं मिलते। चरण 3: मूल फलन में परिसर \([0,\infty\)) याद रखें।
\(\sqrt{x}\) is increasing on \([0,\infty\)), so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
For every \(y\ge0\), choose \(x=y^2\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
Thinking through the inverse helps prove onto quickly. चरण 1: \(\sqrt{x}\) \([0,\infty\)) पर बढ़ता है, इसलिए एकैकी है। चरण 2: हर \(y\ge0\) के लिए \(x=y^2\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। चरण 3: प्रतिलोम जैसी सोच से आच्छादिता जल्दी सिद्ध होती है।
A. (f) एकैकी और आच्छादी है/(f) is one-one and onto
Step 1
Concept
\(\frac{1}{x}\) is never (0), and (0) is excluded from the domain.
Step 2
Why this answer is correct
For any \(y\ne0\), choosing \(x=\frac{1}{y}\) gives (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
For reciprocal functions, solve for (x) in terms of (y). चरण 1: \(\frac{1}{x}\) कभी (0) नहीं होता और प्रांत में (0) नहीं है। चरण 2: किसी भी \(y\ne0\) के लिए \(x=\frac{1}{y}\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। चरण 3: व्युत्क्रम रूप वाले फलन में (y) से (x) निकालकर जाँचें।
From (y(x+1)=x), we get \(x=\frac{y}{1-y}\), defined for \(y\ne1\).
Step 3
Exam Tip
Since (1) is excluded from the codomain, every codomain value has a preimage. चरण 1: \(y=\frac{x}{x+1}\) मानें। चरण 2: (y(x+1)=x) से \(x=\frac{y}{1-y}\) मिलता है, जो \(y\ne1\) पर परिभाषित है। चरण 3: सहप्रांत से (1) हटाया गया है, इसलिए हर सहप्रांतीय (y) का पूर्वप्रतिबिंब मिलता है।
A. क्योंकि (1) कभी नहीं मिलता/Because (1) is never attained
Step 1
Concept
Setting \(\frac{x}{x+1}=1\) gives (x=x+1), which is impossible.
Step 2
Why this answer is correct
So (1) is not in the range, while the codomain is \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
In rational functions, identify the impossible output value. चरण 1: \(\frac{x}{x+1}=1\) रखने पर (x=x+1) मिलता है, जो असंभव है। चरण 2: इसलिए (1) परिसर में नहीं है जबकि सहप्रांत \(\mathbb{R}\) है। चरण 3: परिमेय फलन में जो मान असंभव हो उसे पहचानना जरूरी है।
For any (0<y<1), solving gives \(x=\ln\frac{y}{1-y}\).
Step 3
Exam Tip
When the codomain is an open interval, endpoints need not be attained. चरण 1: इस फलन का मान हमेशा (0) और (1) के बीच होता है। चरण 2: किसी भी (0<y<1) के लिए समीकरण हल करने पर \(x=\ln\frac{y}{1-y}\) मिलता है। चरण 3: खुला अंतराल सहप्रांत हो तो सिरों को न जोड़ें।
A. यह आच्छादी नहीं है क्योंकि (0) और (1) नहीं मिलते/It is not onto because (0) and (1) are not attained
Step 1
Concept
The function values lie between (0) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
Neither (0) nor (1) is attained for any real (x), but both are in the codomain.
Step 3
Exam Tip
The difference between open and closed intervals is crucial in onto questions. चरण 1: फलन के मान (0) और (1) के बीच रहते हैं। चरण 2: (0) या (1) किसी वास्तविक (x) पर नहीं मिलता, पर वे सहप्रांत में शामिल हैं। चरण 3: खुले और बंद अंतराल का अंतर आच्छादिता में बहुत महत्वपूर्ण है।
The minimum value is (-1), and the range is \([-1,\infty\)).
Step 3
Exam Tip
Completing the square is a clean method to test onto for quadratics. चरण 1: (x-2+2x=(x+1)2-1)। चरण 2: इसका न्यूनतम मान (-1) है और परिसर \([-1,\infty\)) है। चरण 3: वर्ग पूर्ण करके परिसर निकालना आच्छादिता के लिए सबसे साफ तरीका है।
At (x=-1), the value is (-1), and as (x) increases all larger values occur.
Step 3
Exam Tip
Use the domain to select the correct branch of the parabola. चरण 1: (f(x)=(x+1)2-1) और \(x\ge-1\) है। चरण 2: (x=-1) पर (-1) मिलता है और (x) बढ़ने पर सभी बड़े मान मिलते हैं। चरण 3: प्रांत को देखकर परवलय का सही भाग चुनें।
A. क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते/Because negative values are not attained
Step 1
Concept
If (x<0), then (|x|+x=-x+x=0).
Step 2
Why this answer is correct
If \(x\ge0\), then (|x|+x=2x), so values are non-negative.
Step 3
Exam Tip
Use piecewise behavior to find the range. चरण 1: यदि (x<0), तो (|x|+x=-x+x=0)। चरण 2: यदि \(x\ge0\), तो (|x|+x=2x), इसलिए मान गैरऋणात्मक हैं। चरण 3: खंडों में परिभाषित व्यवहार से परिसर निकालें।
For \(y\ge0\), choose \(x=\frac{y}{2}\), then (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
Use the branch that covers the whole codomain to build the preimage. चरण 1: फलन का परिसर \([0,\infty\)) है। चरण 2: \(y\ge0\) के लिए \(x=\frac{y}{2}\) लेने पर (f(x)=y) मिल जाता है। चरण 3: जिस शाखा से पूरा सहप्रांत ढकता हो, उसे पूर्वप्रतिबिंब बनाने में इस्तेमाल करें।
For every \(y\ge0\), choosing (x=3+y) gives (|x-3|=y).
Step 3
Exam Tip
For modulus functions, distance interpretation makes the range easy. चरण 1: (|x-3|) का न्यूनतम मान (0) है। चरण 2: हर \(y\ge0\) के लिए (x=3+y) लेने पर (|x-3|=y) मिलता है। चरण 3: परिमाण फलन में दूरी की व्याख्या से परिसर सरल बनता है।
A. क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते/Because negative values are not attained
Step 1
Concept
An absolute value is never negative.
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains values like (-1), which cannot be (f(x)).
Step 3
Exam Tip
A too-large codomain can make a function non-onto. चरण 1: परिमाण का मान कभी ऋणात्मक नहीं होता। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (-1) जैसे मान हैं, जो (f(x)) नहीं बन सकते। चरण 3: सहप्रांत बड़ा होने पर आच्छादिता टूट सकती है।
A. (f) एकैकी और आच्छादी है/(f) is one-one and onto
Step 1
Concept
\(x^3\) takes all real values.
Step 2
Why this answer is correct
\(x^3+1\) also takes all real values, because for any (y), \(x=\sqrt[3]{y-1}\) works.
Step 3
Exam Tip
A vertical shift of a cubic does not destroy onto behavior over \(\mathbb{R}\). चरण 1: \(x^3\) सभी वास्तविक मान लेता है। चरण 2: \(x^3+1\) भी सभी वास्तविक मान लेता है, क्योंकि किसी भी (y) के लिए \(x=\sqrt[3]{y-1}\) मिल जाता है। चरण 3: घन फलन में स्थानांतरण आच्छादिता नहीं बदलता।
A. यह सतत है और \(-\infty\) से \(\infty\) तक मान लेता है/It is continuous and takes values from \(-\infty\) to \(\infty\)
Step 1
Concept
\(x^3+x\) is defined and continuous for all real (x).
Step 2
Why this answer is correct
As \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\).
Step 3
Exam Tip
Continuity plus end behavior shows onto over \(\mathbb{R}\). चरण 1: \(x^3+x\) हर वास्तविक (x) पर परिभाषित और सतत है। चरण 2: \(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर मान \(-\infty\) जाता है। चरण 3: सततता और सिरों का व्यवहार मिलकर \(\mathbb{R}\) पर आच्छादिता दिखाते हैं।
A. क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते/Because negative values are not attained
Step 1
Concept
\(x^4\ge0\) and \(x^2\ge0\).
Step 2
Why this answer is correct
Therefore (f(x)\ge0), so no negative real number is an image.
Step 3
Exam Tip
For sums of even powers, focus on the minimum value and range. चरण 1: \(x^4\ge0\) और \(x^2\ge0\) हैं। चरण 2: इसलिए (f(x)\ge0), अतः कोई ऋणात्मक वास्तविक संख्या प्रतिबिंब नहीं है। चरण 3: सम घातों के योग में न्यूनतम और परिसर पर ध्यान दें।
Put \(t=x^2\ge0\); then \(f=t^2+t\), increasing continuously from (0) to \(\infty\).
Step 3
Exam Tip
Use a helper variable to find the range of difficult polynomials. चरण 1: \(x^4+x^2\) का न्यूनतम मान (0) है। चरण 2: \(t=x^2\ge0\) रखने पर \(f=t^2+t\), जो \(t\ge0\) पर (0) से \(\infty\) तक लगातार बढ़ता है। चरण 3: कठिन बहुपद में सहायक चर रखकर परिसर निकालें।
A. आच्छादी है लेकिन एकैकी नहीं/Onto but not one-one
Step 1
Concept
On ([-2,2]), the range of \(x^2\) is ([0,4]).
Step 2
Why this answer is correct
The codomain is the same, so it is onto, but (f(-1)=f(1)), so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
Even functions often give equal outputs for different inputs. चरण 1: ([-2,2]) पर \(x^2\) का परिसर ([0,4]) है। चरण 2: सहप्रांत बराबर है इसलिए आच्छादी है, पर (f(-1)=f(1)) होने से एकैकी नहीं। चरण 3: सम फलन में समान मान वाले दो (x) मिल सकते हैं।
Restricting the square function to the non-negative branch can make it bijective. चरण 1: ([0,2]) पर \(x^2\) लगातार बढ़ता है। चरण 2: इसका परिसर ([0,4]) है, जो सहप्रांत से मेल खाता है। चरण 3: वर्ग फलन को धनात्मक भाग पर सीमित करने से वह द्वयात्मक बन सकता है।
A. नहीं क्योंकि केवल पूर्णांक मान मिलते हैं/No because only integer values are attained
Step 1
Concept
\(\lfloor x\rfloor\) is always an integer.
Step 2
Why this answer is correct
The codomain \(\mathbb{R}\) contains non-integers like \(\frac{1}{2}\), which are not attained.
Step 3
Exam Tip
Being defined everywhere and being onto are different ideas. चरण 1: \(\lfloor x\rfloor\) सदैव पूर्णांक होता है। चरण 2: सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में \(\frac{1}{2}\) जैसे गैरपूर्णांक भी हैं, जो नहीं मिलते। चरण 3: परिभाषित होना और आच्छादी होना अलग बातें हैं।
For any \(n\in\mathbb{Z}\), choose (x=n), then \(\lfloor x\rfloor=n\).
Step 2
Why this answer is correct
So every integer in the codomain has a preimage.
Step 3
Exam Tip
The floor function is onto when the codomain is \(\mathbb{Z}\). चरण 1: किसी भी \(n\in\mathbb{Z}\) के लिए (x=n) लेने पर \(\lfloor x\rfloor=n\) मिलता है। चरण 2: इसलिए हर पूर्णांक सहप्रांतीय तत्व का पूर्वप्रतिबिंब है। चरण 3: तल फलन \(\mathbb{Z}\) सहप्रांत पर आच्छादी होता है।
For any \(n\in\mathbb{Z}\), choosing (x=n) gives \(\lceil x\rceil=n\).
Step 3
Exam Tip
For the ceiling function, codomain \(\mathbb{Z}\) is fully covered. चरण 1: \(\lceil x\rceil\) हमेशा पूर्णांक देता है। चरण 2: किसी भी \(n\in\mathbb{Z}\) के लिए (x=n) लेने पर \(\lceil x\rceil=n\) मिलता है। चरण 3: छत फलन के लिए सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) हो तो हर पूर्णांक ढक जाता है।
A. क्योंकि इसका परिसर ([0,1)) है/Because its range is ([0,1))
Step 1
Concept
Since \(x^2\ge0\), the value is at least (0).
Step 2
Why this answer is correct
Also \(\frac{x^2}{1+x^2}<1\), so (1) and larger values are not attained.
Step 3
Exam Tip
Compare numerator and denominator to understand the range. चरण 1: \(x^2\ge0\), इसलिए मान (0) या उससे बड़ा है। चरण 2: \(\frac{x^2}{1+x^2}<1\), इसलिए (1) और उससे बड़े मान नहीं मिलते। चरण 3: भिन्न में अंश-हर की तुलना से परिसर समझें।
For any \(0\le y<1\), \(x^2=\frac{y}{1-y}\) is possible, so a real (x) exists.
Step 3
Exam Tip
In equations involving \(x^2\), a non-negative right side gives real preimages. चरण 1: इसका परिसर ([0,1)) है। चरण 2: किसी भी \(0\le y<1\) के लिए \(x^2=\frac{y}{1-y}\) संभव है, इसलिए कोई वास्तविक (x) मिल जाता है। चरण 3: वर्ग वाले समीकरण में दायाँ पक्ष गैरऋणात्मक हो तो वास्तविक पूर्वप्रतिबिंब मिल सकता है।
A. कम से कम एक \(a\in A\) होगा जिसके लिए (f(a)=b)/There exists at least one \(a\in A\) such that (f(a)=b)
Step 1
Concept
Onto means no element of the codomain is left out.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, for each \(b\in B\), at least one preimage \(a\in A\) must exist.
Step 3
Exam Tip
An onto function may have multiple preimages; one-one is a separate condition. चरण 1: आच्छादी फलन का अर्थ है कि सहप्रांत का कोई भी तत्व खाली न छूटे। चरण 2: इसलिए प्रत्येक \(b\in B\) के लिए कम से कम एक पूर्वप्रतिबिंब \(a\in A\) होना चाहिए। चरण 3: आच्छादी में एक से अधिक पूर्वप्रतिबिंब हो सकते हैं, एकैकी की शर्त अलग है।
Since ((x-2)3) takes all real values, ((x-2)3+3) also takes all real values.
Step 3
Exam Tip
A horizontal or vertical shift of a cubic still remains onto from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\). चरण 1: (x-3-6x-2+12x-5=(x-2)3+3) लिखा जा सकता है। चरण 2: ((x-2)3) सभी वास्तविक मान लेता है, इसलिए ((x-2)3+3) भी सभी वास्तविक मान लेता है। चरण 3: घन फलन में क्षैतिज या ऊर्ध्व स्थानांतरण होने पर भी \(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) पर आच्छादिता बनी रहती है।
