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सबसे बड़ी घात (6) है। बहुपद की डिग्री सबसे बड़ी घात से मिलती है। / The highest power is (6). The degree of a polynomial is found from the highest power.
डिग्री (4) तभी रहेगी जब \(x^4\) का गुणांक शून्य न हो। इसलिए \(a-3\neq0\) होना चाहिए। / The degree remains (4) only when the coefficient of \(x^4\) is not zero. Hence \(a-3\neq0\).
(k=2) रखने पर \(x^5\) का गुणांक (0) हो जाता है। बची हुई सबसे बड़ी घात (2) है। / Putting (k=2) makes the coefficient of \(x^5\) equal to (0). The remaining highest power is (2).
\(x^2+1\) बहुपद है और इसकी डिग्री (2) है। रेखीय बहुपद की डिग्री (1) होती है। / \(x^2+1\) is a polynomial and its degree is (2). A linear polynomial has degree (1).
\(0x^7\) पद शून्य हो जाता है। शेष बहुपद में सबसे बड़ी घात (3) है। / The term \(0x^7\) becomes zero. In the remaining polynomial, the highest power is (3).
तीसरा व्यंजक बहुपद है क्योंकि घातें (3), (1) और (0) हैं। सबसे बड़ी घात (3) है। / The third expression is a polynomial because the powers are (3), (1), and (0). The highest power is (3).
\(x^3\) पद का गुणांक स्पष्ट रूप से (0) है। शून्य गुणांक वाला पद डिग्री नहीं बदलता। / The coefficient of the \(x^3\) term is clearly (0). A zero-coefficient term does not change the degree.
रेखीय बनने के लिए \(x^3\) का गुणांक (0) होना चाहिए। इसलिए (m+1=0) से (m=-1)। / To become linear, the coefficient of \(x^3\) must be (0). So (m+1=0) gives (m=-1).
B. शून्य बहुपद की डिग्री परिभाषित नहीं होती और अशून्य नियतांक की डिग्री (0) होती है/The zero polynomial degree is not defined and a non-zero constant has degree (0)
Explanation
Simple Explanation
शून्य बहुपद की डिग्री परिभाषित नहीं होती। अशून्य नियतांक बहुपद की डिग्री (0) होती है। / The degree of the zero polynomial is not defined. A non-zero constant polynomial has degree (0).
\(-5\sqrt{x}=-5x^{\frac{1}{2}}\) है। चर की भिन्न घात होने से यह बहुपद नहीं है। / \(-5\sqrt{x}=-5x^{\frac{1}{2}}\). Due to a fractional power of the variable, it is not a polynomial.
मानक रूप में पद घटती घातों में लिखे जाते हैं। \(x^5+3x^2-2x+7\) इसी क्रम में है। / In standard form, terms are written in descending powers. \(x^5+3x^2-2x+7\) follows this order.
इस बहुपद में \(x^5\) पद अनुपस्थित है। इसलिए \(x^5\) का गुणांक (0) माना जाता है। / The \(x^5\) term is absent in this polynomial. So the coefficient of \(x^5\) is taken as (0).
\(x^{-\frac{1}{3}}\) में घात ऋणात्मक और भिन्न दोनों है। बहुपद में ऐसी घात मान्य नहीं होती। / In \(x^{-\frac{1}{3}}\), the power is both negative and fractional. Such a power is not valid in a polynomial.
शून्य गुणांक वाले उच्च घात पद हट जाते हैं। बचा हुआ (5x-2) रेखीय बहुपद है। / Higher-power terms with zero coefficients disappear. The remaining (5x-2) is a linear polynomial.
A. क्योंकि सरल करने पर \(x^2+\frac{1}{x}\) मिलता है/Because simplifying gives \(x^2+\frac{1}{x}\)
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{x^3+1}{x}=x^2+\frac{1}{x}\) है। \(\frac{1}{x}\) में (x) की घात (-1) है। / \(\frac{x^3+1}{x}=x^2+\frac{1}{x}\). In \(\frac{1}{x}\), the power of (x) is (-1).
अशून्य नियतांक बहुपद की डिग्री (0) होती है। (5) की डिग्री (5) नहीं होती। / A non-zero constant polynomial has degree (0). The degree of (5) is not (5).
रेखीय बनने के लिए \(x^2\) का गुणांक (0) होना चाहिए। \(b^2-1=0\) से \(b=\pm1\) मिलता है। / To become linear, the coefficient of \(x^2\) must be (0). From \(b^2-1=0\), we get \(b=\pm1\).
\(c\neq0\) होने पर \(x^5\) पद मौजूद रहेगा। इसलिए सबसे बड़ी घात (5) होगी। / When \(c\neq0\), the \(x^5\) term remains present. Therefore the highest power will be (5).
\(x^3+4x-2\) बहुपद है और उसमें \(x^2\) पद नहीं है। इसलिए \(x^2\) का गुणांक (0) है। / \(x^3+4x-2\) is a polynomial and it has no \(x^2\) term. So the coefficient of \(x^2\) is (0).
B. नहीं क्योंकि (|x|) बहुपद पद नहीं है/No because (|x|) is not a polynomial term
Explanation
Simple Explanation
(|x|) को (x) की अऋणात्मक पूर्णांक घातों के रूप में नहीं लिखा जाता। इसलिए यह बहुपद नहीं है। / The term (|x|) is not written using non-negative integer powers of (x). Therefore it is not a polynomial.
अग्रणी पद सबसे बड़ी घात वाला पद होता है। यहां सबसे बड़ी घात (4) है। / The leading term is the term with the highest power. Here the highest power is (4).
B. यह \(x\neq0\) पर \(x^2+1\) के बराबर है पर मूल रूप में चर हर में है/It equals \(x^2+1\) for \(x\neq0\) but originally has variable in denominator
Explanation
Simple Explanation
मूल व्यंजक में \(\frac{x}{x}\) में चर हर में है। सरल रूप डोमेन को ध्यान में रखकर लिया जाता है। / In the original expression, \(\frac{x}{x}\) has a variable in the denominator. The simplified form is taken with domain in mind.
अशून्य नियतांक बहुपद की डिग्री (0) होती है। शून्य बहुपद की डिग्री परिभाषित नहीं होती। / A non-zero constant polynomial has degree (0). The degree of the zero polynomial is not defined.
\(\sqrt{x+1}\) में चर मूल चिह्न के अंदर है। इसे बहुपद की मान्य घातों में नहीं लिखा जाता। / In \(\sqrt{x+1}\), the variable is inside a radical sign. It is not written using valid polynomial powers.
(b=0) होने से \(x^6\) पद हट जाता है और \(a\neq0\) से \(x^4\) पद बचता है। इसलिए डिग्री (4) है। / Since (b=0), the \(x^6\) term disappears, and since \(a\neq0\), the \(x^4\) term remains. So the degree is (4).
(x) के संदर्भ में (5) नियतांक बहुपद है। इसमें (x) की घात (0) मानी जा सकती है। / With respect to (x), (5) is a constant polynomial. It can be considered to have power (0) of (x).
B. यह बहुपद है और डिग्री (2) है/It is a polynomial and degree is (2)
Explanation
Simple Explanation
भिन्न गुणांक वास्तविक संख्याएं हैं। चर की घातें (2), (1) और (0) हैं इसलिए डिग्री (2) है। / Fractional coefficients are real numbers. The variable powers are (2), (1), and (0), so the degree is (2).
\(\pi\) और \(\sqrt{11}\) वास्तविक गुणांक हैं। (x) की घातें (2), (1) और (0) हैं। / \(\pi\) and \(\sqrt{11}\) are real coefficients. The powers of (x) are (2), (1), and (0).
B. क्योंकि \(\sqrt{x}\) की घात \(\frac{1}{2}\) है/Because \(\sqrt{x}\) has power \(\frac{1}{2}\)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\) है। भिन्न घात बहुपद की परिभाषा में मान्य नहीं होती। / \(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\). A fractional power is not valid in the definition of a polynomial.
नियतांक बनने के लिए (n-4=0) और (n+1=0) दोनों चाहिए। एक ही (n) दोनों शर्तें पूरी नहीं कर सकता। / To become constant, both (n-4=0) and (n+1=0) are needed. One value of (n) cannot satisfy both conditions.
\(x^4+2x\) बहुपद है और इसकी डिग्री (4) है। इसलिए इसकी डिग्री (1) या (0) नहीं है। / \(x^4+2x\) is a polynomial and its degree is (4). So its degree is neither (1) nor (0).
इस बहुपद में \(x^3\) और (x) पद नहीं हैं। इसलिए दोनों के गुणांक (0) हैं। / The \(x^3\) and (x) terms are absent in this polynomial. Therefore both coefficients are (0).
\(\frac{5}{x+2}\) में चर हर में है। ऐसा व्यंजक बहुपद की परिभाषा को पूरा नहीं करता। / In \(\frac{5}{x+2}\), the variable is in the denominator. Such an expression does not satisfy the definition of a polynomial.
(r=0) रखने पर \(x^3\) का गुणांक (0) और \(x^2\) का गुणांक (2) होता है। इसलिए डिग्री (2) है। / Putting (r=0), the coefficient of \(x^3\) is (0) and the coefficient of \(x^2\) is (2). Therefore the degree is (2).
पहले व्यंजक के सभी पदों के गुणांक (0) हैं। इसलिए यह शून्य बहुपद है। / All terms in the first expression have coefficient (0). Therefore it is the zero polynomial.
\(-4x^2+7x-2\) की डिग्री (2) है और अग्रणी गुणांक (-4) है। दोनों शर्तें इसी में पूरी होती हैं। / \(-4x^2+7x-2\) has degree (2) and leading coefficient (-4). Both conditions are satisfied here.
(x-2(x+1)=x-3+x-2), फिर \(-x^3\) से \(x^3\) कट जाता है। सरल रूप \(x^2+4\) है। / (x-2(x+1)=x-3+x-2), then \(-x^3\) cancels \(x^3\). The simplified form is \(x^2+4\).
B. यह बहुपद है और डिग्री (2) है/It is a polynomial and degree is (2)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{3}\) और \(-\frac{1}{5}\) वास्तविक गुणांक हैं। (x) की घातें (0), (2) और (1) हैं इसलिए डिग्री (2) है। / \(\sqrt{3}\) and \(-\frac{1}{5}\) are real coefficients. The powers of (x) are (0), (2), and (1), so the degree is (2).
(s=2) रखने पर \(x^4\) का गुणांक (0) और \(x^3\) का गुणांक (3) हो जाता है। इसलिए सबसे बड़ी घात (3) है। / Putting (s=2) makes the coefficient of \(x^4\) equal to (0) and the coefficient of \(x^3\) equal to (3). So the highest power is (3).
\(x\neq0\) पर \(\frac{2x^2}{x}=2x\) होता है। इसलिए सरल रूप \(x^3+2x\) है। / For \(x\neq0\), \(\frac{2x^2}{x}=2x\). Therefore the simplified form is \(x^3+2x\).
\(2x^3+5x-1\) में सबसे बड़ी घात (3) है और \(x^2\) पद नहीं है। इसलिए \(x^2\) का गुणांक (0) है। / In \(2x^3+5x-1\), the highest power is (3) and the \(x^2\) term is absent. So the coefficient of \(x^2\) is (0).
\(x^2\) से भाग देने पर \(\frac{x^4}{x^2}=x^2\) और \(\frac{x^2}{x^2}=1\) मिलता है। इसलिए सरल रूप \(x^2-1\) है। / Dividing by \(x^2\) gives \(\frac{x^4}{x^2}=x^2\) and \(\frac{x^2}{x^2}=1\). Therefore the simplified form is \(x^2-1\).
