बाहरी कोष्ठक के पहले ऋण चिह्न है, इसलिए दूसरे कोष्ठक के प्रत्येक पद का चिह्न बदल जाएगा: \(2x^2-3x+5-x^2-4x+7\)। समान पदों को मिलाने पर \((2x^2-x^2)+(-3x-4x)+(5+7)=x^2-7x+12\) मिलता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प D में स्थिर पद का चिह्न गलत लिया गया है। परीक्षा टिप: किसी कोष्ठक के पहले ऋण चिह्न हो तो उसके भीतर के सभी पदों के चिह्न बदलें। / A minus sign before the second bracket changes the sign of every term inside it: \(2x^2-3x+5-x^2-4x+7\). Combining like terms gives \((2x^2-x^2)+(-3x-4x)+(5+7)=x^2-7x+12\). Therefore, option A is correct. In option D, the constant term has been given the wrong sign. Exam tip: when a bracket is preceded by a minus sign, change the sign of every term inside it.
यहाँ \(x=-2\) रखने पर \(3x^3-2x^2+5x-1=3(-2)^3-2(-2)^2+5(-2)-1\) होगा। अब \((-2)^3=-8\) और \((-2)^2=4\), इसलिए मान \(-24-8-10-1=-43\) है। \(-35\) जैसा विकल्प घातों या ऋण चिह्नों का गलत प्रयोग करने पर मिल सकता है। परीक्षा में ऋणात्मक संख्या की विषम और सम घात का चिह्न अलग-अलग जाँचें। / Substitute \(x=-2\): \(3x^3-2x^2+5x-1=3(-2)^3-2(-2)^2+5(-2)-1\). Since \((-2)^3=-8\) and \((-2)^2=4\), the value is \(-24-8-10-1=-43\). A value such as \(-35\) can result from mishandling powers or negative signs. Exam tip: check the signs of odd and even powers of a negative number separately.
समान पदों को ही जोड़ा या घटाया जाता है। \(a^2b\) वाले पदों का योग \(4a^2b+5a^2b=9a^2b\) है और \(ab^2\) वाले पदों का योग \(-3ab^2+7ab^2=4ab^2\) है। अतः सरल रूप \(9a^2b+4ab^2\) होगा। \(16a^3b^3\) गलत है, क्योंकि यह गुणा करने पर बनने वाला रूप होगा, जबकि यहाँ पदों को जोड़ना है। परीक्षा टिप: पदों को मिलाने से पहले उनके चरों और घातों की जाँच करें। / Only like terms can be added or subtracted. The \(a^2b\) terms give \(4a^2b+5a^2b=9a^2b\), and the \(ab^2\) terms give \(-3ab^2+7ab^2=4ab^2\). Therefore, the simplified expression is \(9a^2b+4ab^2\). \(16a^3b^3\) is incorrect because it would result from multiplication, whereas this question requires addition of terms. Exam tip: Check both the variables and their exponents before combining terms.
विकल्प A में कोष्ठक खोलने पर \(3(2p-5)-(p+3)=6p-15-p-3=5p-18\) प्राप्त होता है। इसलिए यह सही है। विकल्प B का सरल रूप \(7p-18\) है, क्योंकि \(2(3p-9)+p=6p-18+p\)। परीक्षा टिप: ऋण चिह्न के बाद वाले कोष्ठक को खोलते समय उसके प्रत्येक पद का चिह्न बदलना याद रखें। / In option A, opening the brackets gives \(3(2p-5)-(p+3)=6p-15-p-3=5p-18\). Hence, it is correct. Option B simplifies to \(7p-18\), since \(2(3p-9)+p=6p-18+p\). Exam tip: When removing brackets preceded by a minus sign, change the sign of every term inside the bracket.
दिए गए मान रखने पर \(m^2n=3^2\times(-2)=9\times(-2)=-18\) तथा \(2mn^2=2\times3\times(-2)^2=2\times3\times4=24\)। अतः \(m^2n-2mn^2=-18-24=-42\)। विकल्प \(-18\) केवल पहले पद का मान है; उसमें दूसरे पद को घटाया नहीं गया है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्या का वर्ग धनात्मक होता है, इसलिए \((-2)^2=4\)। / Substituting the given values, \(m^2n=3^2\times(-2)=9\times(-2)=-18\), and \(2mn^2=2\times3\times(-2)^2=2\times3\times4=24\). Therefore, \(m^2n-2mn^2=-18-24=-42\). The option \(-18\) is only the value of the first term; it does not subtract the second term. Exam tip: the square of a negative number is positive, so \((-2)^2=4\).
कोष्ठक खोलने पर व्यंजक 2x+6y-6x+3y+4x बनता है। समान पदों को मिलाने पर x के गुणांक 2-6+4=0 होते हैं, जबकि y के गुणांक 6+3=9 होते हैं। इसलिए सरल रूप 9y है। 6x+9y तब मिलता यदि x-पदों का सही योग न किया जाए। परीक्षा टिप: कोष्ठक के पहले ऋण चिह्न या ऋण गुणांक होने पर भीतर के प्रत्येक पद का चिह्न ध्यान से बदलें। / On expanding the brackets, the expression becomes 2x+6y-6x+3y+4x. Combining like terms, the coefficient of x is 2-6+4=0, while the coefficient of y is 6+3=9. Hence, the simplified expression is 9y. The option 6x+9y results from combining the x-terms incorrectly. Exam tip: When a bracket is multiplied by a negative number, apply the sign change to every term inside it.
यहाँ \(kx\) और \(6x\) समान पद हैं, इसलिए \(kx+6x=(k+6)x\)। इसे \(11x\) के बराबर होने के लिए \(k+6=11\) होना चाहिए। अतः \(k=5\) होगा। \(k=6\) लेने पर व्यंजक \(12x\) बनता है, \(11x\) नहीं। परीक्षा टिप: समान पदों को जोड़ते समय उनके गुणांकों को जोड़ें। / The terms \(kx\) and \(6x\) are like terms, so \(kx+6x=(k+6)x\). For this to equal \(11x\), we need \(k+6=11\). Therefore, \(k=5\). If \(k=6\), the expression becomes \(12x\), not \(11x\). Exam tip: add the coefficients when combining like terms.
दिए गए व्यंजक में समान पदों को मिलाने पर \(7u^2v+3u^2v=10u^2v\) और \(-4uv^2-9uv^2=-13uv^2\) मिलता है। अतः सरल रूप \(10u^2v-13uv^2\) है, इसलिए \(uv^2\) का गुणांक \(-13\) है। \(-4\) केवल एक पद का गुणांक है, दोनों समान पदों को जोड़ने के बाद का नहीं। परीक्षा टिप: गुणांक ज्ञात करते समय उसी चर-भाग वाले सभी समान पदों को पहले मिलाएँ। / Combining like terms gives \(7u^2v+3u^2v=10u^2v\) and \(-4uv^2-9uv^2=-13uv^2\). Thus, the simplified expression is \(10u^2v-13uv^2\), so the coefficient of \(uv^2\) is \(-13\). The value \(-4\) is the coefficient of only one term, not the combined like terms. Exam tip: first collect all terms with exactly the same variable part before identifying a coefficient.
दिए गए मान रखने पर: \(2x^2-xy+y^2=2(1)^2-(1)(-3)+(-3)^2\)। अतः \(2+3+9=14\)। इसलिए सही उत्तर 14 है। विकल्प 8 तब मिल सकता है जब \(-xy\) में ऋण चिह्नों के गुणन को गलत तरीके से ऋण मान लिया जाए। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्या का वर्ग हमेशा धनात्मक होता है और \(- (1\times -3)=+3\) होता है। / Substituting the given values: \(2x^2-xy+y^2=2(1)^2-(1)(-3)+(-3)^2\). Thus, \(2+3+9=14\). Therefore, the correct answer is 14. Option 8 may result from incorrectly treating \(-xy\) as negative despite both \(x\) and \(y\) being multiplied with a negative sign. Exam tip: the square of a negative number is positive, and \(- (1\times -3)=+3\).
दूसरे कोष्ठक के पहले ऋण चिह्न है, इसलिए उसके भीतर के सभी पदों के चिह्न बदलेंगे: \(5x^2-(2x^2-3x)+(4x-7)=5x^2-2x^2+3x+4x-7=3x^2+7x-7\)। अतः \(x\) का गुणांक \(7\) है। \(-7\) स्थिर पद है, \(x\) का गुणांक नहीं। परीक्षा टिप: किसी कोष्ठक के पहले ऋण चिह्न होने पर उसके प्रत्येक पद का चिह्न अवश्य बदलें। / A minus sign precedes the second bracket, so the signs of all its terms change: \(5x^2-(2x^2-3x)+(4x-7)=5x^2-2x^2+3x+4x-7=3x^2+7x-7\). Therefore, the coefficient of \(x\) is \(7\). The number \(-7\) is the constant term, not the coefficient of \(x\). Exam tip: When a bracket is preceded by a minus sign, change the sign of every term inside it.
कोष्ठक खोलने पर \(3(2a-b)-2(a+3b)+5b=6a-3b-2a-6b+5b\) मिलता है। समान पदों को मिलाने पर \(6a-2a=4a\) तथा \(-3b-6b+5b=-4b\) होता है। इसलिए सरल रूप \(4a-4b\) है। \(4a+4b\) में \(b\)-पदों के ऋण चिह्नों को गलत तरीके से जोड़ा गया है। परीक्षा टिप: कोष्ठक के पहले ऋण चिह्न हो तो भीतर के प्रत्येक पद का चिह्न बदलें। / On expanding the brackets, \(3(2a-b)-2(a+3b)+5b=6a-3b-2a-6b+5b\). Combining like terms gives \(6a-2a=4a\) and \(-3b-6b+5b=-4b\). Therefore, the simplified expression is \(4a-4b\). The option \(4a+4b\) results from handling the negative signs of the \(b\)-terms incorrectly. Exam tip: when a minus sign precedes a bracket, change the sign of every term inside it.
दिया है कि \(x=3\) रखने पर व्यंजक का मान 0 है। अतः \(2(3)^2+3k-15=0\)। यानी \(18+3k-15=0\), इसलिए \(3+3k=0\) और \(k=-1\)। \(k=1\) रखने पर व्यंजक का मान 6 आएगा, 0 नहीं। परीक्षा टिप: किसी बहुपद का मान शून्य दिया हो, तो दिए गए \(x\) का मान सीधे व्यंजक में रखकर समीकरण हल करें। / The value of the expression is 0 when \(x=3\). So, \(2(3)^2+3k-15=0\). This gives \(18+3k-15=0\), hence \(3+3k=0\) and \(k=-1\). If \(k=1\), the expression equals 6, not 0. Exam tip: When a polynomial is stated to be zero at a given value of \(x\), substitute that value directly and solve the resulting equation.
दिए गए व्यंजक में समान पदों को मिलाने पर
\(4x^2y+2x^2y=6x^2y\) और \(-6xy+9xy=3xy\) प्राप्त होता है। अतः सरल रूप \(6x^2y+3xy-5\) है। इसमें \(x^2y\) वाला पद, \(xy\) वाला पद और स्थिर पद \(-5\)—कुल 3 अलग-अलग प्रकार के पद हैं। \(6x^2y\) और \(3xy\) समान पद नहीं हैं, क्योंकि उनके चर-भाग अलग हैं। परीक्षा टिप: पदों को मिलाने से पहले उनके चर और घातों की जाँच करें। / Combining like terms gives \(4x^2y+2x^2y=6x^2y\) and \(-6xy+9xy=3xy\). Thus, the simplified expression is \(6x^2y+3xy-5\). It contains three different types of terms: an \(x^2y\) term, an \(xy\) term, and the constant term \(-5\). The terms \(6x^2y\) and \(3xy\) are not like terms because their variable parts are different. Exam tip: check both variables and their exponents before combining terms.
वितरण गुण का प्रयोग करें: \(2p(p-3)=2p^2-6p\) तथा \(4(p+1)=4p+4\)। अब समान पदों को जोड़ने पर \(2p^2-6p+4p+4=2p^2-2p+4\) मिलता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C में दूसरे कोष्ठक के \(4p\) पद को नहीं जोड़ा गया है। परीक्षा टिप: कोष्ठक हटाने के बाद समान घात वाले पदों को ही मिलाएँ। / Use the distributive property: \(2p(p-3)=2p^2-6p\) and \(4(p+1)=4p+4\). Combining like terms gives \(2p^2-6p+4p+4=2p^2-2p+4\). Therefore, option A is correct. Option C incorrectly omits the \(4p\) term from the second bracket. Exam tip: after expanding brackets, combine only like terms with the same power of the variable.
दिया है कि \,\(x+y=5\)। इसलिए व्यंजक \,\(2(x+y)-3\) में पूरे समूह \,\(x+y\) के स्थान पर 5 रखेंगे: \,\(2\times 5-3=10-3=7\)। अतः सही उत्तर 7 है। विकल्प 10 में केवल \,\(2(x+y)\) का मान लिया गया है और 3 घटाना भूल गया है। परीक्षा टिप: कोष्ठक में दिए गए पूरे व्यंजक को एक इकाई मानकर प्रतिस्थापित करें। / Given \,\(x+y=5\), substitute 5 for the complete group \,\(x+y\) in \,\(2(x+y)-3\): \,\(2\times 5-3=10-3=7\). Therefore, the correct answer is 7. Option 10 results from finding \,\(2(x+y)\) but forgetting to subtract 3. Exam tip: When a grouped expression is given a value, substitute the value for the entire group.
समान पदों को मिलाने पर \(r^2s\) वाले पद \(9r^2s\) और \(-5r^2s\) हैं। अतः \(9r^2s-5r^2s=4r^2s\), इसलिए \(r^2s\) का गुणांक 4 है। \(-4rs+rs=-3rs\) बनता है, पर यह \(r^2s\) का समान पद नहीं है। परीक्षा टिप: केवल उन्हीं पदों को जोड़ें या घटाएँ जिनके चर और उनकी घातें बिल्कुल समान हों। / The like terms containing \(r^2s\) are \(9r^2s\) and \(-5r^2s\). Thus, \(9r^2s-5r^2s=4r^2s\), so the coefficient of \(r^2s\) is 4. Although \(-4rs+rs=-3rs\), this is not a like term of \(r^2s\). Exam tip: Combine only terms with exactly the same variables raised to the same powers.
वाक्यांश “(3x-2y) के 4 गुने में (x+y) जोड़ना” का अर्थ पहले पूरे व्यंजक \((3x-2y)\) को 4 से गुणा करना और फिर \((x+y)\) जोड़ना है। इसलिए सही व्यंजक \(4(3x-2y)+(x+y)\) है। विकल्प B में योग के बाद पूरे परिणाम को 4 से गुणा किया गया है, इसलिए वह अलग व्यंजक है। परीक्षा टिप: “किसी व्यंजक का गुना” लिखते समय पूरे व्यंजक को कोष्ठक में रखें। / The phrase “adding \((x+y)\) to four times \((3x-2y)\)” means first multiply the complete expression \((3x-2y)\) by 4, and then add \((x+y)\). Hence, \(4(3x-2y)+(x+y)\) is correct. In option B, 4 multiplies the entire sum, so it represents a different expression. Exam tip: When a whole expression is multiplied, enclose it in brackets.
दोनों बहुपदों के समान पद जोड़ें: \(x^2+2x^2=3x^2\), \(2x-x=x\), और \(-3+4=1\)। अतः योग \(3x^2+x+1\) है। विकल्प \(3x^4+x+1\) गलत है, क्योंकि जोड़ करने पर घातें नहीं जुड़तीं; केवल समान घात वाले पदों के गुणांक जोड़े जाते हैं। परीक्षा टिप: बहुपदों को घात के घटते क्रम में लिखकर समान पदों को एक साथ मिलाएँ। / Add the like terms in the two polynomials: \(x^2+2x^2=3x^2\), \(2x-x=x\), and \(-3+4=1\). Therefore, the sum is \(3x^2+x+1\). The option \(3x^4+x+1\) is incorrect because powers are not added while adding polynomials; only coefficients of like terms are combined. Exam tip: Arrange terms in descending powers before combining like terms.
दूसरे बहुपद को घटाने के लिए उसके प्रत्येक पद का चिह्न बदलें: \((5x^2-3x+8)-(2x^2+4x-1)=5x^2-3x+8-2x^2-4x+1\)। समान पदों को मिलाने पर \(3x^2-7x+9\) मिलता है। इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प C में \(4x\) घटाते समय ऋण चिह्न की त्रुटि हुई है। परीक्षा टिप: कोष्ठक के पहले ऋण चिह्न हो तो भीतर के सभी पदों के चिह्न बदलें। / To subtract the second polynomial, change the sign of every term in it: \((5x^2-3x+8)-(2x^2+4x-1)=5x^2-3x+8-2x^2-4x+1\). Combining like terms gives \(3x^2-7x+9\). Hence, option B is correct. Option C results from an incorrect sign while subtracting \(4x\). Exam tip: a minus sign before brackets changes the sign of every term inside them.
दिया है a-b=4 और b=3। b का मान रखने पर a-3=4, अतः a=7। इसलिए 2a-b=2(7)-3=14-3=11। विकल्प 14 में b को घटाना भूल गया है। परीक्षा टिप: पहले दिए गए चर का मान समीकरण में रखकर दूसरे चर का मान निकालें, फिर व्यंजक का मान ज्ञात करें। / Given a-b=4 and b=3, substitute b=3 to get a-3=4; hence a=7. Therefore, 2a-b=2(7)-3=14-3=11. Option 14 results from forgetting to subtract b. Exam tip: First find the value of the unknown variable by substitution, then evaluate the required expression.
समान पदों को मिलाने पर \(3xy+4xy=7xy\) और \(-2x+7x=5x\) मिलता है। अतः व्यंजक का सरल रूप \(7xy+5x-5y\) है, जिसमें \(9x\) पद नहीं है। \(5x\) निकटतम भ्रमकारी विकल्प है, क्योंकि वह \(-2x\) और \(7x\) को जोड़ने पर वास्तव में प्राप्त होता है। परीक्षा टिप: केवल समान चर और समान घात वाले पदों को ही जोड़ें या घटाएँ। / Combining like terms gives \(3xy+4xy=7xy\) and \(-2x+7x=5x\). Thus, the simplified expression is \(7xy+5x-5y\), so \(9x\) does not remain. \(5x\) is a close distractor because it is correctly obtained by adding the two \(x\)-terms. Exam tip: combine only terms that have the same variables with the same powers.
पहले वितरण गुण का प्रयोग करें: \(2x(x-4)=2x^2-8x\)। अब \(3x\) जोड़ने पर \(2x^2-8x+3x=2x^2-5x\) मिलता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में \(3x\) को गलती से स्थिर पद \(3\) मान लिया गया है। परीक्षा टिप: केवल समान पदों को ही जोड़ें या घटाएँ; \(-8x+3x=-5x\) है। / First apply the distributive property: \(2x(x-4)=2x^2-8x\). Adding \(3x\) gives \(2x^2-8x+3x=2x^2-5x\). Therefore, option A is correct. In option B, \(3x\) has incorrectly been treated as the constant term \(3\). Exam tip: combine only like terms; \(-8x+3x=-5x\).
दिया है कि \(x=2\) पर व्यंजक का मान \(16\) है। अतः \(2^2+2k+6=16\), यानी \(10+2k=16\)। इसलिए \(2k=6\) और \(k=3\)। विकल्प 2 लेने पर मान 14 आएगा, 16 नहीं। परीक्षा टिप: किसी व्यंजक का मान ज्ञात करते समय पहले दिए गए \(x\) का मान हर पद में प्रतिस्थापित करें। / At \(x=2\), the expression is given to have value \(16\). So, \(2^2+2k+6=16\), which gives \(10+2k=16\). Hence, \(2k=6\) and \(k=3\). If \(k=2\), the value would be 14, not 16. Exam tip: Substitute the given value of \(x\) into every term before simplifying.
समान पदों को मिलाएँ: \(2a^2+a^2=3a^2\), \(-3ab+5ab=2ab\) और \(4b^2-b^2=3b^2\)। इसलिए सरल व्यंजक \(3a^2+2ab+3b^2\) है। विकल्प D में \(ab\) पद का गुणांक \(8\) लिया गया है, जबकि सही योग \(2\) है। परीक्षा टिप: केवल एक ही चर और समान घात वाले पदों को ही जोड़ा या घटाया जाता है। / Combine like terms: \(2a^2+a^2=3a^2\), \(-3ab+5ab=2ab\), and \(4b^2-b^2=3b^2\). Hence, the simplified expression is \(3a^2+2ab+3b^2\). In option D, the coefficient of \(ab\) is incorrectly taken as \(8\); its correct sum is \(2\). Exam tip: add or subtract only terms with the same variables raised to the same powers.
दिए गए बहुपद में \(x^2\) वाला पद \(-4x^2\) है। \(x^2\) के साथ गुणा होने वाली संख्या \(-4\) है, इसलिए इसका गुणांक \(-4\) है। \(6\), \(1\) और \(-9\) क्रमशः \(x^3\), \(x\) और अचर पद से जुड़े हैं। परीक्षा टिप: किसी घात का गुणांक ज्ञात करने के लिए उसी घात वाले पद को पहचानें। / In the given polynomial, the term containing \(x^2\) is \(-4x^2\). The number multiplying \(x^2\) is \(-4\), so its coefficient is \(-4\). The numbers \(6\), \(1\), and \(-9\) belong to the \(x^3\) term, the \(x\) term, and the constant term respectively. Exam tip: To find a coefficient, first identify the term with the required power.
व्यंजक में x वाला पद px है। px में x का गुणांक p होता है। दिया है कि x का गुणांक -7 है, इसलिए p=-7। 7 विकल्प सही नहीं है क्योंकि वह ऋण चिह्न को छोड़ देता है। परीक्षा टिप: किसी पद में चर के साथ गुणा होने वाली संख्या या अक्षर उसका गुणांक होता है। / The term containing x is px. In px, the coefficient of x is p. Since the coefficient of x is given as -7, p=-7. Option 7 is incorrect because it ignores the negative sign. Exam tip: The number or letter multiplying a variable in a term is its coefficient.
योग करने के लिए समान घात वाले पदों को मिलाते हैं: \(2x^2+x^2=3x^2\), \(-3x+x=-2x\), और \(1-4=-3\)। अतः प्राप्त व्यंजक \(3x^2-2x-3\) है। विकल्प B में \(x\) के पद जोड़ने में त्रुटि है। परीक्षा टिप: बहुपद जोड़ते समय \(x^2\), \(x\) और स्थिर पदों को अलग-अलग जोड़ें। / To add the polynomials, combine like terms: \(2x^2+x^2=3x^2\), \(-3x+x=-2x\), and \(1-4=-3\). Therefore, the resulting expression is \(3x^2-2x-3\). Option B has an error in adding the \(x\)-terms. Exam tip: add the \(x^2\)-terms, \(x\)-terms, and constants separately.
दिए गए मान रखने पर: \(a^3+3a^2b+2b^3\)=23+3\(2^2\)(-1)+2(-1)3=8-12-2=-6। इसलिए सही उत्तर -6 है। विकल्प -2 तब मिल सकता है जब 3a²b वाले पद को छोड़ दिया जाए। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्या की विषम घात ऋणात्मक रहती है, जैसे (-1)3=-1। / Substituting the given values: \(a^3+3a^2b+2b^3\)=23+3\(2^2\)(-1)+2(-1)3=8-12-2=-6. Therefore, the correct answer is -6. The value -2 may result from omitting the term 3a²b. Exam tip: An odd power of a negative number remains negative; for example, (-1)3=-1.
सबसे पहले अंदर वाले कोष्ठक को सरल करें: \(2x-(3x-4)=2x-3x+4=-x+4\)। अब \(5x-(-x+4)=5x+x-4=6x-4\) होगा। इसलिए सही उत्तर \(6x-4\) है। \(6x+4\) में अंतिम \(-4\) का चिन्ह गलत रूप से बदल दिया गया है। परीक्षा टिप: किसी कोष्ठक के पहले ऋण चिह्न हो तो उसके अंदर के प्रत्येक पद का चिन्ह बदलता है। / First simplify the innermost bracket: \(2x-(3x-4)=2x-3x+4=-x+4\). Then \(5x-(-x+4)=5x+x-4=6x-4\). Therefore, the correct answer is \(6x-4\). In \(6x+4\), the sign of the final \(-4\) has been changed incorrectly. Exam tip: when a bracket is preceded by a minus sign, change the sign of every term inside it.
समान पदों में चरों के घात सहित चर-भाग बिल्कुल समान होता है; केवल संख्यात्मक गुणांक अलग हो सकता है। दिए गए पद 6x-2yz का चर-भाग x-2yz है। इसलिए 9x-2yz इसका समान पद है। 9xy-2z में x और y के घात बदल गए हैं, इसलिए वह समान पद नहीं है। परीक्षा टिप: समान पद पहचानते समय गुणांक को छोड़कर प्रत्येक चर की घात मिलाइए। / Like terms have exactly the same variable part, including the exponent of every variable; only their numerical coefficients may differ. The variable part of 6x-2yz is x-2yz, so 9x-2yz is a like term. In 9xy-2z, the exponents of x and y are different, so it is not a like term. Exam tip: Ignore the coefficient and compare the exponent of each variable.
A. \(x^{-1}\) में चर की घात ऋणात्मक है, इसलिए यह बहुपद नहीं है/The exponent of the variable in \(x^{-1}\) is negative, so it is not a polynomial.
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घात \(0,1,2,\dots\) जैसी अशून्य पूर्ण संख्या होनी चाहिए। यहाँ \(x^{-1}=1/x\) है, इसलिए यह बहुपद नहीं है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक घात तुरंत जाँचें। / In a polynomial, variable exponents must be non-negative integers such as \(0,1,2,\dots\). Here \(x^{-1}=1/x\), so the expression is not a polynomial. Exam tip: check for negative exponents first.
\(x=3\) रखने पर अंश का मान \(3^2+2(3)-3=9+6-3=12\) होता है। अतः पूरा व्यंजक \(\frac{12}{3}=4\) है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प 12 केवल अंश का मान है; उसे हर \(x=3\) से भाग देना आवश्यक है। परीक्षा टिप: भिन्नात्मक व्यंजक में पहले अंश और हर का मान अलग-अलग निकालकर फिर भाग करें। / On substituting \(x=3\), the numerator is \(3^2+2(3)-3=9+6-3=12\). Therefore, the complete expression is \(\frac{12}{3}=4\), so option A is correct. Option 12 is only the value of the numerator; it still has to be divided by the denominator, \(x=3\). Exam tip: In a fractional expression, evaluate the numerator and denominator separately before dividing.
x के किसी भी बहुपद में x वाले प्रत्येक पद में x का कम-से-कम एक गुणनखंड होता है। x=0 रखने पर ऐसे सभी पद 0 हो जाते हैं और केवल स्थिर पद बचता है। इसलिए हर बहुपद का मान x=0 पर उसके स्थिर पद के बराबर होता है। केवल द्विघात या केवल रैखिक बहुपद कहना गलत है, क्योंकि यह नियम सभी घातों के बहुपदों पर लागू होता है। परीक्षा टिप: किसी बहुपद का स्थिर पद तुरंत जानने के लिए उसमें x=0 रख दें। / In any polynomial in x, every term containing x has at least one factor of x. On substituting x=0, all such terms become 0, leaving only the constant term. Hence, the value of every polynomial at x=0 equals its constant term. “Only quadratic” or “only linear” is incorrect because this rule applies to polynomials of every degree. Exam tip: To find a polynomial’s constant term quickly, substitute x=0.
व्यंजक को खोलने पर: \(2(3a-2b)+5(a+b)-4a=6a-4b+5a+5b-4a\)। समान पदों को मिलाने पर \((6a+5a-4a)+(-4b+5b)=7a+b\) प्राप्त होता है। अतः \(b\) का गुणांक \(1\) है। \(-1\) तब मिलता यदि \(-4b+5b\) को गलत तरीके से जोड़ा जाए। परीक्षा टिप: किसी चर का गुणांक ज्ञात करते समय केवल उसी चर वाले पदों को पहले मिलाएँ। / On expanding, \(2(3a-2b)+5(a+b)-4a=6a-4b+5a+5b-4a\). Combining like terms gives \((6a+5a-4a)+(-4b+5b)=7a+b\). Therefore, the coefficient of \(b\) is \(1\). The value \(-1\) would result from incorrectly adding \(-4b\) and \(5b\). Exam tip: to find a variable’s coefficient, first combine only the terms containing that variable.
दिया है कि x² = 9 और x = 3। अतः 4x² - 5x + 2 = 4(9) - 5(3) + 2 = 36 - 15 + 2 = 23। इसलिए सही उत्तर 23 है। 17 प्राप्त करना 2 को घटाने जैसी चिह्न-त्रुटि से हो सकता है। परीक्षा टिप: x² और x के दिए गए मानों को उनके संबंधित पदों में अलग-अलग प्रतिस्थापित करें। / Given x² = 9 and x = 3, substitute each value into its corresponding term: 4x² - 5x + 2 = 4(9) - 5(3) + 2 = 36 - 15 + 2 = 23. Therefore, 23 is correct. The value 17 can result from a sign error, such as subtracting 2 instead of adding it. Exam tip: Substitute the given values for x² and x separately in their respective terms.
दोनों बहुपदों के समान पदों को जोड़ते हैं: \(2x^2-x^2=x^2\), \(-3xy+5xy=2xy\) तथा \(y^2-4y^2=-3y^2\)। इसलिए प्राप्त व्यंजक \(x^2+2xy-3y^2\) है। विकल्प D में \(y^2\) वाले पदों के चिह्नों को सही ढंग से नहीं जोड़ा गया है। परीक्षा टिप: बहुपद जोड़ते समय केवल समान चर और समान घात वाले पदों को ही मिलाइए। / Add the like terms in the two polynomials: \(2x^2-x^2=x^2\), \(-3xy+5xy=2xy\), and \(y^2-4y^2=-3y^2\). Therefore, the resulting expression is \(x^2+2xy-3y^2\). Option D incorrectly combines the \(y^2\) terms. Exam tip: while adding polynomials, combine only terms with the same variables raised to the same powers.
दिया है (3x-2=10)। दोनों पक्षों में 2 जोड़ने पर 3x=12 प्राप्त होता है, अतः x=4। इसलिए x-2+x=42+4=16+4=20। विकल्प 16 केवल x-2 का मान है; इसमें +x जोड़ना भी आवश्यक है। परीक्षा टिप: पहले x का मान निकालें, फिर उसे पूरे व्यंजक में रखें। / Given (3x-2=10), adding 2 to both sides gives 3x=12, so x=4. Hence, x-2+x=42+4=16+4=20. The value 16 is only x-2; the +x term must also be included. Exam tip: First find x, then substitute it into the complete expression.
कोष्ठक के पहले ऋण चिह्न होने पर भीतर के प्रत्येक पद का चिह्न बदलता है: \(10x^2-3x+1-4x^2+8x-6\)। अब समान पदों को मिलाने पर \((10-4)x^2+(-3+8)x+(1-6)=6x^2+5x-5\) मिलता है। विकल्प B में \(-8x\) का चिह्न सही ढंग से नहीं बदला गया है। परीक्षा टिप: किसी कोष्ठक के पहले ‘−’ हो, तो कोष्ठक हटाने से पहले सभी पदों के चिह्न बदलें। / The minus sign before the bracket changes the sign of every term inside it: \(10x^2-3x+1-4x^2+8x-6\). Combining like terms gives \((10-4)x^2+(-3+8)x+(1-6)=6x^2+5x-5\). In option B, the sign of \(-8x\) has not been changed correctly. Exam tip: When removing brackets preceded by a minus sign, reverse the sign of every term inside the bracket.
दिया है कि \(a+b=7\) और \(ab=10\)। अतः व्यंजक \(3(a+b)-2ab\) में सीधे मान रखने पर \(3\times7-2\times10=21-20=1\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर 1 है। विकल्प 31 तब मिल सकता है जब घटाव के स्थान पर गलती से जोड़ कर दिया जाए। परीक्षा टिप: जिन राशियों के मान सीधे दिए हों, उन्हें पहले कोष्ठक सहित प्रतिस्थापित करें। / Given \(a+b=7\) and \(ab=10\), substitute these values directly into \(3(a+b)-2ab\): \(3\times7-2\times10=21-20=1\). Therefore, the correct answer is 1. Option 31 may result from incorrectly adding instead of subtracting. Exam tip: When the values of grouped expressions are given, substitute the complete groups first.
विकल्प A में \(x\) की घातें 4, 1 और 0 हैं; सबसे बड़ी घात 4 है, इसलिए यह चतुर्थ घात का बहुपद है। \(-\sqrt{3}\) अपरिमेय गुणांक है। विकल्प B में \(x^{-1}\) आता है। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घातें केवल अशून्य पूर्णांक होनी चाहिए। / In option A, the powers of \(x\) are 4, 1 and 0, so the highest power is 4. Hence it is a fourth-degree polynomial, and \(-\sqrt{3}\) is an irrational coefficient. Option B contains \(x^{-1}\), so it is not a polynomial. Exam tip: variable exponents in a polynomial must be non-negative integers.
स्थिर पद वह पद होता है जिसमें चर नहीं होता। व्यंजक 2x-2+3x+5 में 5 ही ऐसा पद है जिसमें x नहीं है, इसलिए यह स्थिर पद है। 5 हटाने पर 2x-2+3x बचेगा, जिसमें कोई स्थिर पद नहीं होगा। 3x हटाने पर भी 5 स्थिर पद के रूप में बना रहेगा। परीक्षा टिप: जिस पद में कोई चर न हो, उसे स्थिर पद पहचानें। / A constant term is a term with no variable. In 2x-2+3x+5, only 5 has no x, so it is the constant term. Removing 5 leaves 2x-2+3x, which has no constant term. Removing 3x would still leave 5 as the constant term. Exam tip: Identify the term without a variable to find the constant term.
C. दोनों व्यंजकों का मान बराबर है/Both expressions have equal values
Explanation
Simple Explanation
पहले व्यंजक में से सामान्य गुणनखंड \(xy\) लेने पर \(x^2y+xy^2=xy(x+y)\) मिलता है। अतः दोनों व्यंजक बीजीय रूप से समान हैं। \(x=2\), \(y=3\) रखने पर पहला मान \(2^2\cdot3+2\cdot3^2=12+18=30\) तथा दूसरा मान \(2\cdot3\cdot(2+3)=30\) है। इसलिए दोनों के मान बराबर हैं। परीक्षा टिप: समान पदों में सामान्य गुणनखंड निकालकर व्यंजकों की तुलना जल्दी की जा सकती है। / Taking the common factor \(xy\) from the first expression gives \(x^2y+xy^2=xy(x+y)\). Hence, the two expressions are algebraically identical. For \(x=2\) and \(y=3\), the first value is \(2^2\cdot3+2\cdot3^2=12+18=30\), while the second is \(2\cdot3\cdot(2+3)=30\). Therefore, both values are equal. Exam tip: Factor out the common term to compare algebraic expressions quickly.
समान पदों को जोड़ें: \(7x^2-4x^2=3x^2\), \(-2xy+6xy=4xy\), तथा \(3y^2-8y^2=-5y^2\)। अतः सरल व्यंजक \(3x^2+4xy-5y^2\) है। विकल्प B में \(x^2\) और \(y^2\) के गुणांकों को जोड़ने में गलती है। परीक्षा टिप: केवल समान चर और समान घात वाले पदों को ही मिलाएँ। / Combine like terms: \(7x^2-4x^2=3x^2\), \(-2xy+6xy=4xy\), and \(3y^2-8y^2=-5y^2\). Therefore, the simplified expression is \(3x^2+4xy-5y^2\). Option B results from incorrectly adding the coefficients of the \(x^2\) and \(y^2\) terms. Exam tip: combine only terms having the same variables with the same powers.
