पाइथागोरस प्रमेय से कर्ण \( \sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2} \) है। परीक्षा में पहला त्रिभुज हमेशा \( \sqrt{2} \) से जोड़ें। / By Pythagoras, the hypotenuse is \( \sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2} \). In exams, connect the first triangle with \( \sqrt{2} \).
नई त्रिज्या ( \sqrt{\(\sqrt{8}\)2+12}=\sqrt{9}=3 ) होगी। याद रखें हर नए चरण में वर्ग के अंदर (1) जुड़ता है। / The new radius is ( \sqrt{\(\sqrt{8}\)2+12}=\sqrt{9}=3 ). Remember that each new step adds (1) inside the square root.
A. त्रिज्या पर लंबवत (1) इकाई/Perpendicular unit segment of (1)
Explanation
Simple Explanation
\( \sqrt{5} \) के लिए \( \sqrt{4} \) पर (1) इकाई लंबवत जोड़ते हैं। निर्माण में लंबवतता सबसे जरूरी संकेत है। / For \( \sqrt{5} \), a unit segment (1) is drawn perpendicular to \( \sqrt{4} \). Perpendicularity is the key construction clue.
हर नए समकोण त्रिभुज में बाहरी भुजा (1) इकाई होती है। इसी से \(OP_{n+1}=\sqrt{n+1}\) मिलता है। / Each new right triangle uses an outer side of (1) unit. This gives \(OP_{n+1}=\sqrt{n+1}\).
B. अगली त्रिज्या निश्चित रूप से \( \sqrt{8} \) नहीं मानी जा सकती/The next radius cannot be surely taken as \( \sqrt{8} \)
Explanation
Simple Explanation
पाइथागोरस प्रमेय के लिए समकोण जरूरी है। लंबवत भुजा न हो तो \( \sqrt{n+1} \) की गारंटी नहीं रहती। / A right angle is necessary for Pythagoras. Without a perpendicular side, \( \sqrt{n+1} \) is not guaranteed.
\( \sqrt{2} \) से \( \sqrt{10} \) तक (2) से (10) जाने में (8) वृद्धि होती हैं। हर वृद्धि के लिए एक नया इकाई रेखाखंड लगता है। / From \( \sqrt{2} \) to \( \sqrt{10} \), the inside number increases (8) times. Each increase needs one new unit segment.
अगले त्रिभुज की लंबवत भुजाएँ \( \sqrt{6} \) और (1) हैं। क्षेत्रफल \( \frac{1}{2}\times \sqrt{6}\times 1=\frac{\sqrt{6}}{2} \) होगा। / The next triangle has perpendicular sides \( \sqrt{6} \) and (1). Its area is \( \frac{1}{2}\times \sqrt{6}\times 1=\frac{\sqrt{6}}{2} \).
(13) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए \( \sqrt{13} \) अपरिमेय है। वर्गमूल सर्पिल ऐसे वर्गमूलों को रचनात्मक रूप से दिखाता है। / Since (13) is not a perfect square, \( \sqrt{13} \) is irrational. The square root spiral shows such square roots geometrically.
\(OP_{k+1}=\sqrt{k+1}\), इसलिए \(k+1=17\) और \(k=16\)। सूचकांक में एक की वृद्धि ध्यान रखें। / Since \(OP_{k+1}=\sqrt{k+1}\), \(k+1=17\) and \(k=16\). Track the one-step increase carefully.
क्योंकि \( \sqrt{9}=3 \), इसलिए दूरी (3) इकाई है। पूर्ण वर्गों के वर्गमूल को तुरंत सरल करें। / Because \( \sqrt{9}=3 \), the distance is (3) units. Simplify square roots of perfect squares immediately.
नया समकोण त्रिभुज \(OP_n\) और (1) से बनता है। इसलिए कर्ण के वर्ग में (1) जुड़ता है। / The new right triangle is formed using \(OP_n\) and (1). Hence the square of the hypotenuse increases by (1).
नई लंबाई \( \sqrt{5^2+1^2}=\sqrt{26} \) है। लंबाई (1) सीधे नहीं जुड़ती, वर्गों में जुड़ती है। / The new length is \( \sqrt{5^2+1^2}=\sqrt{26} \). The length (1) is not added directly; squares are added.
इन त्रिज्या-खंडों की लंबाइयाँ क्रमशः \(\sqrt{20}\) और \(\sqrt{21}\) हैं। उनके वर्गों का अंतर \((\sqrt{21})^2-(\sqrt{20})^2=21-20=1\) होगा। इसलिए सही उत्तर 1 है। \(\sqrt{21}-\sqrt{20}\) स्वयं त्रिज्याओं का अंतर है, उनके वर्गों का अंतर नहीं। परीक्षा टिप: वर्गमूल वाले पद का वर्ग करने पर मूलांक सीधे प्राप्त होता है। / The lengths of the two radii are \(\sqrt{20}\) and \(\sqrt{21}\). The difference between their squares is \((\sqrt{21})^2-(\sqrt{20})^2=21-20=1\). Hence, the correct answer is 1. \(\sqrt{21}-\sqrt{20}\) is the difference between the radii themselves, not the difference between their squares. Exam tip: squaring a square root directly gives its radicand.
पुराना कर्ण \(\sqrt{14}\) है, इसलिए उसका वर्ग \(14\) है। इसके साथ 1 इकाई की लंबवत भुजा जोड़ने पर नए कर्ण का वर्ग \(14+1^2=15\) होगा, अर्थात नया कर्ण \(\sqrt{15}\) है। अतः नए और पुराने कर्णों के वर्गों का अनुपात \(15:14\) है। विकल्प D कर्णों का अनुपात बताता है, उनके वर्गों का नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले पाइथागोरस प्रमेय से कर्ण का वर्ग ज्ञात करें। / The old hypotenuse is \(\sqrt{14}\), so its square is \(14\). Adding a perpendicular side of length 1 gives the square of the new hypotenuse as \(14+1^2=15\), so the new hypotenuse is \(\sqrt{15}\). Therefore, the ratio of the squares of the new and old hypotenuses is \(15:14\). Option D gives the ratio of the hypotenuses, not the ratio of their squares. Exam tip: In such questions, use the Pythagorean theorem to find the square of the hypotenuse first.
\( \sqrt{1} \) से \( \sqrt{11} \) तक कुल (11) बिंदु होते हैं। गिनती में आरंभिक \( \sqrt{1} \) को भी शामिल करें। / From \( \sqrt{1} \) to \( \sqrt{11} \), there are (11) points. Include the initial \( \sqrt{1} \) in counting.
\( \sqrt{18} \) पिछले कर्ण \( \sqrt{17} \) पर (1) लंबवत जोड़कर बनता है। क्रम में हमेशा पिछले वर्गमूल को देखें। / \( \sqrt{18} \) is formed by adding a perpendicular (1) to the previous hypotenuse \( \sqrt{17} \). Always check the previous square root in the sequence.
A. कथन गलत है; नई त्रिज्या का वर्ग पिछली त्रिज्या के वर्ग से 1 अधिक होता है।/The statement is incorrect; the square of the new radius is 1 more than the square of the previous radius.
Explanation
Simple Explanation
हर चरण में 1 इकाई की नई भुजा पिछली त्रिज्या पर लंब होती है। अतः पाइथागोरस से \(r_{\text{new}}^2=r_{\text{old}}^2+1\), न कि \(r_{\text{old}}+1\)। परीक्षा में कर्ण के वर्गों की तुलना करें। / At each step, the new unit side is perpendicular to the previous radius. Thus Pythagoras gives \(r_{\text{new}}^2=r_{\text{old}}^2+1\), not \(r_{\text{old}}+1\). Exam tip: compare squares of successive radii.
कर्ण ( \sqrt{\(\sqrt{11}\)2+12}=\sqrt{12} ) है। चरण का नाम नए कर्ण से पहचाना जाता है। / The hypotenuse is ( \sqrt{\(\sqrt{11}\)2+12}=\sqrt{12} ). The step is identified by the new hypotenuse.
B. दोनों में नई बाहरी भुजा (1) इकाई और लंबवत है/The new outer side is (1) unit and perpendicular in both
Explanation
Simple Explanation
हर नए चरण में नई जोड़ी गई भुजा (1) इकाई और लंबवत होती है। पुरानी त्रिज्या बदलती रहती है। / At every new step, the added side is (1) unit and perpendicular. The old radius keeps changing.
वर्गमूल सर्पिल में मूल बिंदु से अंतिम बिंदु की दूरी संबंधित वर्गमूल के बराबर होती है, अर्थात \(\sqrt{27}\)। क्योंकि \(25<27<36\) और \(25=5^2,\;36=6^2\), इसलिए \(5<\sqrt{27}<6\)। अतः दूरी 5 और 6 के बीच होगी। 4 और 5 वाला अंतराल गलत है क्योंकि उसका वर्ग-सीमा \(16\) से \(25\) तक होती है। परीक्षा टिप: किसी वर्गमूल का अंतराल ज्ञात करने के लिए उसके दोनों ओर के निकटतम पूर्ण वर्ग देखें। / In a square-root spiral, the distance of the final point from the origin is the corresponding square root, here \(\sqrt{27}\). Since \(25<27<36\), with \(25=5^2\) and \(36=6^2\), we get \(5<\sqrt{27}<6\). Therefore, the distance lies between 5 and 6. The interval 4 to 5 is incorrect because its squared bounds run from \(16\) to \(25\). Exam tip: To locate a square root, compare the number with the nearest perfect squares on either side.
\( \sqrt{16}=4 \), इसलिए यह पूर्णांक दूरी (4) पर आता है। पूर्ण वर्गों पर सर्पिल के बिंदु पूर्णांक दूरी देते हैं। / \( \sqrt{16}=4 \), so it lies at integer distance (4). Points for perfect squares give integer distances in the spiral.
C. क्योंकि यह \( \sqrt{n} \) जैसी दूरियों को रचनात्मक रूप से देता है/Because it geometrically gives distances like \( \sqrt{n} \)
Explanation
Simple Explanation
सर्पिल \( \sqrt{n} \) लंबाई वाले कर्ण बनाता है। जब (n) पूर्ण वर्ग नहीं होता, तब ऐसी लंबाइयाँ अपरिमेय होती हैं। / The spiral constructs hypotenuse lengths \( \sqrt{n} \). When (n) is not a perfect square, such lengths are irrational.
समकोण त्रिभुज में नया कर्ण पाइथागोरस प्रमेय से \(\sqrt{(\sqrt{24})^2+1^2}=\sqrt{24+1}=\sqrt{25}=5\) होगा। इसलिए यह 5 के सबसे निकट ही नहीं, बल्कि ठीक 5 है। 4 या 6 निकटवर्ती पूर्णांक हैं, पर नया कर्ण \(\sqrt{25}\) होने के कारण वे सही नहीं हैं। परीक्षा टिप: वर्गमूल सर्पिल में प्रत्येक नई इकाई लंब के बाद कर्ण का वर्ग पिछले कर्ण के वर्ग से 1 बढ़ता है। / By the Pythagorean theorem, the new hypotenuse is \(\sqrt{(\sqrt{24})^2+1^2}=\sqrt{24+1}=\sqrt{25}=5\). Thus, it is not merely closest to 5; it is exactly 5. Although 4 and 6 are neighbouring integers, they cannot be correct because the new hypotenuse is \(\sqrt{25}\). Exam tip: in a square-root spiral, adding a unit perpendicular increases the square of the hypotenuse by 1.
A. अगला कर्ण \( \sqrt{7} \) होगा/The next hypotenuse is \( \sqrt{7} \)
Explanation
Simple Explanation
अगला कर्ण \( \sqrt{(\sqrt{6})^2+1^2}=\sqrt{7} \) है। लंबाइयाँ नहीं, वर्ग जोड़े जाते हैं। / The next hypotenuse is \( \sqrt{(\sqrt{6})^2+1^2}=\sqrt{7} \). Squares are added, not lengths.
पुराना कर्ण \( \sqrt{2} \) नई भुजा (1) के साथ समकोण बनाता है। नया कर्ण \( \sqrt{3} \) होता है। / The old hypotenuse \( \sqrt{2} \) makes a right angle with the new side (1). The new hypotenuse is \( \sqrt{3} \).
हर चरण में वर्ग के अंदर संख्या (1) बढ़ती है। इसलिए \( \sqrt{30} \) के बाद \( \sqrt{31} \) बनेगा। / At each step, the number under the square root increases by (1). Therefore, after \( \sqrt{30} \), \( \sqrt{31} \) is formed.
यदि कर्णों को पहले बने समकोण त्रिभुज से गिनें, तो क्रम \( \sqrt{2} \) से शुरू होता है। आधार \( \sqrt{1} \) प्रारंभिक त्रिज्या है। / If hypotenuses are counted from the first right triangle, the sequence starts at \( \sqrt{2} \). The base \( \sqrt{1} \) is the initial radius.
\( \sqrt{50}=\sqrt{25\times 2}=5\sqrt{2} \) है। सरलीकरण में सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग निकालें। / \( \sqrt{50}=\sqrt{25\times 2}=5\sqrt{2} \). Extract the largest perfect square while simplifying.
नया कर्ण \( \sqrt{36}=6 \) होगा, जो (6) के बराबर है। दिए विकल्पों में सही जानकारी के अनुसार यह (6) और (7) वाले क्षेत्र से जुड़ता है। / The new hypotenuse is \( \sqrt{36}=6 \), exactly (6). Among the given options, it is associated with the (6) and (7) range.
\( \sqrt{15} \) के लिए पिछली त्रिज्या \( \sqrt{14} \) होती है और नई भुजा (1) होती है। यही क्रम सर्पिल की पहचान है। / For \( \sqrt{15} \), the previous radius is \( \sqrt{14} \) and the new side is (1). This sequence identifies the spiral.
\(OP_{n+3}^2=n+3\) और \(OP_n^2=n\), इसलिए अंतर (3) है। वर्गों पर काम करने से प्रश्न आसान होता है। / \(OP_{n+3}^2=n+3\) and \(OP_n^2=n\), so the difference is (3). Working with squares makes the question easier.
\(2\sqrt{3}\) को एक ही वर्गमूल के रूप में लिखें: \(2\sqrt{3}=\sqrt{2^2\times3}=\sqrt{12}\)। अतः वर्गमूल सर्पिल में नया कर्ण \(\sqrt{12}\) वाले चरण पर मिलता है। \(\sqrt{9}=3\) है, इसलिए वह \(2\sqrt{3}\) के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: किसी गुणांक को वर्गमूल के भीतर ले जाने के लिए \(a\sqrt{b}=\sqrt{a^2b}\) का प्रयोग करें। / Write the surd as a single square root: \(2\sqrt{3}=\sqrt{2^2\times3}=\sqrt{12}\). Therefore, in the square root spiral, the new hypotenuse occurs at the \(\sqrt{12}\) step. Note that \(\sqrt{9}=3\), so it is not equal to \(2\sqrt{3}\). Exam tip: use \(a\sqrt{b}=\sqrt{a^2b}\) to move a coefficient inside a square root.
\(40=4\times10\) है, जिसमें \(4\) पूर्ण वर्ग है। इसलिए \(\sqrt{40}=\sqrt{4\times10}=\sqrt4\times\sqrt{10}=2\sqrt{10}\)। विकल्प \(\sqrt{20}\) अभी भी सरलतम रूप में नहीं है, क्योंकि \(\sqrt{20}=2\sqrt5\)। परीक्षा टिप: वर्गमूल को सरल करते समय संख्या के सबसे बड़े पूर्ण-वर्ग गुणनखंड को पहले पहचानें। / Since \(40=4\times10\), and \(4\) is a perfect square, \(\sqrt{40}=\sqrt{4\times10}=\sqrt4\times\sqrt{10}=2\sqrt{10}\). The option \(\sqrt{20}\) is not in simplest form because \(\sqrt{20}=2\sqrt5\). Exam tip: first identify the greatest perfect-square factor while simplifying a surd.
\(36=6^2\) और \(49=7^2\), इसलिए \(6<\sqrt{48}<7\)। पूर्ण वर्गों की तुलना हमेशा भरोसेमंद रहती है। / Since \(36=6^2\) and \(49=7^2\), \(6<\sqrt{48}<7\). Comparing with perfect squares is always reliable.
B. \(OP_4=\sqrt{4}\) और दूरी (2) इकाई है/\(OP_4=\sqrt{4}\) and the distance is (2) units
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \( \sqrt{4}=2 \), इसलिए \(OP_4\) की दूरी (2) है। सूचकांक और दूरी को अलग-अलग समझें। / Because \( \sqrt{4}=2 \), the distance \(OP_4\) is (2). Understand the index and the distance separately.
\(63=9\times 7\) है, जहाँ \(9\) एक पूर्ण वर्ग है। इसलिए \(\sqrt{63}=\sqrt{9\times7}=\sqrt9\times\sqrt7=3\sqrt7\)। \(7\sqrt3\) सही नहीं है, क्योंकि उसका वर्ग \(147\) होता है, \(63\) नहीं। परीक्षा टिप: वर्गमूल को सरल करने के लिए संख्या में सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड खोजें। / Since \(63=9\times 7\), and \(9\) is a perfect square, \(\sqrt{63}=\sqrt{9\times7}=\sqrt9\times\sqrt7=3\sqrt7\). \(7\sqrt3\) is not correct because its square is \(147\), not \(63\). Exam tip: To simplify a square root, first identify the greatest perfect-square factor of the number.
\(\sqrt{5}\) की त्रिज्या का वर्ग \(5\) और \(\sqrt{13}\) की त्रिज्या का वर्ग \(13\) होता है। अतः वर्गों का अंतर \(13-5=8\) है। \(\sqrt{8}\) केवल अंतर 8 का वर्गमूल है, इसलिए वह सही उत्तर नहीं है। परीक्षा टिप: \((\sqrt{n})^2=n\) का नियम सीधे लागू करें। / The square of the radius \(\sqrt{5}\) is \(5\), and the square of the radius \(\sqrt{13}\) is \(13\). Therefore, the difference is \(13-5=8\). \(\sqrt{8}\) is the square root of the difference, not the difference itself. Exam tip: use \((\sqrt{n})^2=n\) directly.
\( \sqrt{72}=\sqrt{36\times 2}=6\sqrt{2} \), इसलिए \(a=6\)। गुणनखंड में पूर्ण वर्ग ढूँढें। / \( \sqrt{72}=\sqrt{36\times 2}=6\sqrt{2} \), so \(a=6\). Look for a perfect-square factor.
D. क्योंकि ( \(\sqrt{n}\)2+12=n+1 )/Because ( \(\sqrt{n}\)2+12=n+1 )
Explanation
Simple Explanation
पाइथागोरस प्रमेय से नए कर्ण का वर्ग (n+1) होता है। इसलिए नया कर्ण \( \sqrt{n+1} \) है। / By Pythagoras, the square of the new hypotenuse is (n+1). Therefore the new hypotenuse is \( \sqrt{n+1} \).
\(64<80<81\), इसलिए \(8<\sqrt{80}<9\)। पूर्ण वर्गों को याद रखना ऐसे प्रश्नों में मदद करता है। / Since \(64<80<81\), \(8<\sqrt{80}<9\). Remembering perfect squares helps in such questions.
\(45=9\times5\) और \(9\) एक पूर्ण वर्ग है। इसलिए \(\sqrt{45}=\sqrt{9\times5}=\sqrt9\times\sqrt5=3\sqrt5\)। अतः सही विकल्प C है। \(5\sqrt3\) गलत है, क्योंकि उसका वर्ग \(75\) होता है, \(45\) नहीं। परीक्षा टिप: वर्गमूल को सरल करते समय संख्या के सबसे बड़े पूर्ण-वर्ग गुणनखंड को बाहर निकालें। / Since \(45=9\times5\) and \(9\) is a perfect square, \(\sqrt{45}=\sqrt{9\times5}=\sqrt9\times\sqrt5=3\sqrt5\). Therefore, option C is correct. \(5\sqrt3\) is not correct because its square is \(75\), not \(45\). Exam tip: simplify a surd by taking out its greatest perfect-square factor.
\( \sqrt{99} \) लगभग (10) से थोड़ा कम है क्योंकि (99) संख्या (100) के पास है। पूर्ण वर्ग (100) से तुलना करें। / \( \sqrt{99} \) is slightly less than (10) because (99) is close to (100). Compare with the perfect square (100).
\(OP_b^2=b\) और \(OP_a^2=a\), इसलिए अंतर \(b-a=5\) है। वर्गमूल हटाने के लिए वर्ग लें। / \(OP_b^2=b\) and \(OP_a^2=a\), so the difference is \(b-a=5\). Square the lengths to remove square roots.
पूर्णांक दूरी पूर्ण वर्गों पर मिलती है और (28) के बाद अगला पूर्ण वर्ग (36) है। इसलिए अगली पूर्णांक दूरी \( \sqrt{36}=6 \) पर मिलेगी। / Integer distances occur at perfect squares, and the next perfect square after (28) is (36). So the next integer distance is at \( \sqrt{36}=6 \).
B. यह \(5\) और \(6\) के बीच है/It is between \(5\) and \(6\)
Explanation
Simple Explanation
चूँकि \(5^2=25\) और \(6^2=36\) हैं तथा \(25<32<36\), इसलिए \(5<\sqrt{32}<6\)। अतः वर्गमूल सर्पिल में \(\sqrt{32}\) की दूरी \(5\) और \(6\) के बीच होगी। \(4\) और \(5\) वाला विकल्प गलत है क्योंकि \(\sqrt{32}>\sqrt{25}=5\)। परीक्षा टिप: किसी संख्या के वर्गमूल का अनुमान लगाने के लिए उसके दोनों ओर के निकटतम पूर्ण वर्ग खोजें। / Since \(5^2=25\) and \(6^2=36\), and \(25<32<36\), we get \(5<\sqrt{32}<6\). Therefore, the spiral distance \(\sqrt{32}\) lies between \(5\) and \(6\). The option between \(4\) and \(5\) is incorrect because \(\sqrt{32}>\sqrt{25}=5\). Exam tip: estimate a square root by locating the nearest perfect squares on either side of the number.
समकोण त्रिभुज में \( (\sqrt{7})^2+1^2=8 \) होता है। यह सीधे पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग है। / In the right triangle, \( (\sqrt{7})^2+1^2=8 \). This is a direct use of Pythagoras theorem.
\( \sqrt{17} \) संख्या (4) के पास है क्योंकि (17), (16) से केवल (1) अधिक है। पूर्ण वर्ग के सबसे नजदीक संख्या देखें। / \( \sqrt{17} \) is close to (4) because (17) is only (1) more than (16). Look for the number closest to a perfect square.
लगातार त्रिज्याएँ \( \sqrt{n} \), \( \sqrt{n+1} \), \( \sqrt{n+2} \) होती हैं। इनके वर्ग (n,n+1,n+2) हैं। / Consecutive radii are \( \sqrt{n} \), \( \sqrt{n+1} \), and \( \sqrt{n+2} \). Their squares are (n,n+1,n+2).
\(108=36\times3\) और \(36\) 108 का सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड है। इसलिए \(\sqrt{108}=\sqrt{36}\times\sqrt{3}=6\sqrt{3}\)। \(9\sqrt{2}\) सही नहीं है, क्योंकि इसका वर्ग \(81\times2=162\) होता है, 108 नहीं। परीक्षा में वर्गमूल को सरल करने के लिए संख्या में सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड पहले पहचानें। / Since \(108=36\times3\), and \(36\) is the largest perfect-square factor of 108, \(\sqrt{108}=\sqrt{36}\times\sqrt{3}=6\sqrt{3}\). \(9\sqrt{2}\) is not correct because its square is \(81\times2=162\), not 108. Exam tip: first identify the largest perfect-square factor when simplifying a surd.
\( \sqrt{121}=11 \), इसलिए दूरी (11) इकाई होगी। पूर्ण वर्ग आने पर वर्गमूल पूर्णांक बन जाता है। / \( \sqrt{121}=11 \), so the distance will be (11) units. A perfect square gives an integer square root.
