By Pythagoras, the hypotenuse is \( \sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2} \). In exams, connect the first triangle with \( \sqrt{2} \).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \( \sqrt{2} \). By Pythagoras, the hypotenuse is \( \sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2} \). In exams, connect the first triangle with \( \sqrt{2} \).
Step 3
Exam Tip
पाइथागोरस प्रमेय से कर्ण \( \sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2} \) है। परीक्षा में पहला त्रिभुज हमेशा \( \sqrt{2} \) से जोड़ें।
The new radius is ( \sqrt{\(\sqrt{8}\)2+12}=\sqrt{9}=3 ). Remember that each new step adds (1) inside the square root.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. \( \sqrt{9} \). The new radius is ( \sqrt{\(\sqrt{8}\)2+12}=\sqrt{9}=3 ). Remember that each new step adds (1) inside the square root.
Step 3
Exam Tip
नई त्रिज्या ( \sqrt{\(\sqrt{8}\)2+12}=\sqrt{9}=3 ) होगी। याद रखें हर नए चरण में वर्ग के अंदर (1) जुड़ता है।
A. त्रिज्या पर लंबवत (1) इकाई/Perpendicular unit segment of (1)
Step 1
Concept
For \( \sqrt{5} \), a unit segment (1) is drawn perpendicular to \( \sqrt{4} \). Perpendicularity is the key construction clue.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. त्रिज्या पर लंबवत (1) इकाई / Perpendicular unit segment of (1). For \( \sqrt{5} \), a unit segment (1) is drawn perpendicular to \( \sqrt{4} \). Perpendicularity is the key construction clue.
Step 3
Exam Tip
\( \sqrt{5} \) के लिए \( \sqrt{4} \) पर (1) इकाई लंबवत जोड़ते हैं। निर्माण में लंबवतता सबसे जरूरी संकेत है।
B. अगली त्रिज्या निश्चित रूप से \( \sqrt{8} \) नहीं मानी जा सकती/The next radius cannot be surely taken as \( \sqrt{8} \)
Step 1
Concept
A right angle is necessary for Pythagoras. Without a perpendicular side, \( \sqrt{n+1} \) is not guaranteed.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. अगली त्रिज्या निश्चित रूप से \( \sqrt{8} \) नहीं मानी जा सकती / The next radius cannot be surely taken as \( \sqrt{8} \). A right angle is necessary for Pythagoras. Without a perpendicular side, \( \sqrt{n+1} \) is not guaranteed.
Step 3
Exam Tip
पाइथागोरस प्रमेय के लिए समकोण जरूरी है। लंबवत भुजा न हो तो \( \sqrt{n+1} \) की गारंटी नहीं रहती।
The next triangle has perpendicular sides \( \sqrt{6} \) and (1). Its area is \( \frac{1}{2}\times \sqrt{6}\times 1=\frac{\sqrt{6}}{2} \).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \( \frac{\sqrt{6}}{2} \). The next triangle has perpendicular sides \( \sqrt{6} \) and (1). Its area is \( \frac{1}{2}\times \sqrt{6}\times 1=\frac{\sqrt{6}}{2} \).
Step 3
Exam Tip
अगले त्रिभुज की लंबवत भुजाएँ \( \sqrt{6} \) और (1) हैं। क्षेत्रफल \( \frac{1}{2}\times \sqrt{6}\times 1=\frac{\sqrt{6}}{2} \) होगा।
Since (13) is not a perfect square, \( \sqrt{13} \) is irrational. The square root spiral shows such square roots geometrically.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. अपरिमेय संख्या / Irrational number. Since (13) is not a perfect square, \( \sqrt{13} \) is irrational. The square root spiral shows such square roots geometrically.
Step 3
Exam Tip
(13) पूर्ण वर्ग नहीं है इसलिए \( \sqrt{13} \) अपरिमेय है। वर्गमूल सर्पिल ऐसे वर्गमूलों को रचनात्मक रूप से दिखाता है।
Because \( \sqrt{9}=3 \), the distance is (3) units. Simplify square roots of perfect squares immediately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (3) इकाई / (3) units. Because \( \sqrt{9}=3 \), the distance is (3) units. Simplify square roots of perfect squares immediately.
Step 3
Exam Tip
क्योंकि \( \sqrt{9}=3 \), इसलिए दूरी (3) इकाई है। पूर्ण वर्गों के वर्गमूल को तुरंत सरल करें।
The new right triangle is formed using \(OP_n\) and (1). Hence the square of the hypotenuse increases by (1).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(OP_{n+1}^2=OP_n^2+1\). The new right triangle is formed using \(OP_n\) and (1). Hence the square of the hypotenuse increases by (1).
Step 3
Exam Tip
नया समकोण त्रिभुज \(OP_n\) और (1) से बनता है। इसलिए कर्ण के वर्ग में (1) जुड़ता है।
From \( \sqrt{1} \) to \( \sqrt{11} \), there are (11) points. Include the initial \( \sqrt{1} \) in counting.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \( \sqrt{11} \). From \( \sqrt{1} \) to \( \sqrt{11} \), there are (11) points. Include the initial \( \sqrt{1} \) in counting.
Step 3
Exam Tip
\( \sqrt{1} \) से \( \sqrt{11} \) तक कुल (11) बिंदु होते हैं। गिनती में आरंभिक \( \sqrt{1} \) को भी शामिल करें।
\( \sqrt{18} \) is formed by adding a perpendicular (1) to the previous hypotenuse \( \sqrt{17} \). Always check the previous square root in the sequence.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \( \sqrt{17} \). \( \sqrt{18} \) is formed by adding a perpendicular (1) to the previous hypotenuse \( \sqrt{17} \). Always check the previous square root in the sequence.
Step 3
Exam Tip
\( \sqrt{18} \) पिछले कर्ण \( \sqrt{17} \) पर (1) लंबवत जोड़कर बनता है। क्रम में हमेशा पिछले वर्गमूल को देखें।
B. दोनों में नई बाहरी भुजा (1) इकाई और लंबवत है/The new outer side is (1) unit and perpendicular in both
Step 1
Concept
At every new step, the added side is (1) unit and perpendicular. The old radius keeps changing.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. दोनों में नई बाहरी भुजा (1) इकाई और लंबवत है / The new outer side is (1) unit and perpendicular in both. At every new step, the added side is (1) unit and perpendicular. The old radius keeps changing.
Step 3
Exam Tip
हर नए चरण में नई जोड़ी गई भुजा (1) इकाई और लंबवत होती है। पुरानी त्रिज्या बदलती रहती है।
Since (25<27<36), \(5<\sqrt{27}<6\). Estimating with perfect squares is a quick method.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (5) और (6) के बीच / Between (5) and (6). Since (25<27<36), \(5<\sqrt{27}<6\). Estimating with perfect squares is a quick method.
Step 3
Exam Tip
क्योंकि (25<27<36), इसलिए \(5<\sqrt{27}<6\)। पूर्ण वर्गों से अनुमान लगाना तेज तरीका है।
C. क्योंकि यह \( \sqrt{n} \) जैसी दूरियों को रचनात्मक रूप से देता है/Because it geometrically gives distances like \( \sqrt{n} \)
Step 1
Concept
The spiral constructs hypotenuse lengths \( \sqrt{n} \). When (n) is not a perfect square, such lengths are irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. क्योंकि यह \( \sqrt{n} \) जैसी दूरियों को रचनात्मक रूप से देता है / Because it geometrically gives distances like \( \sqrt{n} \). The spiral constructs hypotenuse lengths \( \sqrt{n} \). When (n) is not a perfect square, such lengths are irrational.
Step 3
Exam Tip
सर्पिल \( \sqrt{n} \) लंबाई वाले कर्ण बनाता है। जब (n) पूर्ण वर्ग नहीं होता, तब ऐसी लंबाइयाँ अपरिमेय होती हैं।
A. अगला कर्ण \( \sqrt{7} \) होगा/The next hypotenuse is \( \sqrt{7} \)
Step 1
Concept
The next hypotenuse is ( \sqrt{\(\sqrt{6}\)2+12}=\sqrt{7} ). Squares are added, not lengths.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. अगला कर्ण \( \sqrt{7} \) होगा / The next hypotenuse is \( \sqrt{7} \). The next hypotenuse is ( \sqrt{\(\sqrt{6}\)2+12}=\sqrt{7} ). Squares are added, not lengths.
Step 3
Exam Tip
अगला कर्ण ( \sqrt{\(\sqrt{6}\)2+12}=\sqrt{7} ) है। लंबाइयाँ नहीं, वर्ग जोड़े जाते हैं।
The old hypotenuse \( \sqrt{2} \) makes a right angle with the new side (1). The new hypotenuse is \( \sqrt{3} \).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. भुजाएँ \( \sqrt{2} \), (1), कर्ण \( \sqrt{3} \) / Sides \( \sqrt{2} \), (1), hypotenuse \( \sqrt{3} \). The old hypotenuse \( \sqrt{2} \) makes a right angle with the new side (1). The new hypotenuse is \( \sqrt{3} \).
Step 3
Exam Tip
पुराना कर्ण \( \sqrt{2} \) नई भुजा (1) के साथ समकोण बनाता है। नया कर्ण \( \sqrt{3} \) होता है।
At each step, the number under the square root increases by (1). Therefore, after \( \sqrt{30} \), \( \sqrt{31} \) is formed.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \( \sqrt{31} \). At each step, the number under the square root increases by (1). Therefore, after \( \sqrt{30} \), \( \sqrt{31} \) is formed.
Step 3
Exam Tip
हर चरण में वर्ग के अंदर संख्या (1) बढ़ती है। इसलिए \( \sqrt{30} \) के बाद \( \sqrt{31} \) बनेगा।
If hypotenuses are counted from the first right triangle, the sequence starts at \( \sqrt{2} \). The base \( \sqrt{1} \) is the initial radius.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \( \sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{4},\sqrt{5} \). If hypotenuses are counted from the first right triangle, the sequence starts at \( \sqrt{2} \). The base \( \sqrt{1} \) is the initial radius.
Step 3
Exam Tip
यदि कर्णों को पहले बने समकोण त्रिभुज से गिनें, तो क्रम \( \sqrt{2} \) से शुरू होता है। आधार \( \sqrt{1} \) प्रारंभिक त्रिज्या है।
The new hypotenuse is \( \sqrt{36}=6 \), exactly (6). Among the given options, it is associated with the (6) and (7) range.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (6) और (7) / (6) and (7). The new hypotenuse is \( \sqrt{36}=6 \), exactly (6). Among the given options, it is associated with the (6) and (7) range.
Step 3
Exam Tip
नया कर्ण \( \sqrt{36}=6 \) होगा, जो (6) के बराबर है। दिए विकल्पों में सही जानकारी के अनुसार यह (6) और (7) वाले क्षेत्र से जुड़ता है।
For \( \sqrt{15} \), the previous radius is \( \sqrt{14} \) and the new side is (1). This sequence identifies the spiral.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \( \sqrt{14} \) और (1) / \( \sqrt{14} \) and (1). For \( \sqrt{15} \), the previous radius is \( \sqrt{14} \) and the new side is (1). This sequence identifies the spiral.
Step 3
Exam Tip
\( \sqrt{15} \) के लिए पिछली त्रिज्या \( \sqrt{14} \) होती है और नई भुजा (1) होती है। यही क्रम सर्पिल की पहचान है।
\(2\sqrt{3}=\sqrt{4\times 3}=\sqrt{12}\). So it appears at the \( \sqrt{12} \) step.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \( \sqrt{12} \) चरण / \( \sqrt{12} \) step. \(2\sqrt{3}=\sqrt{4\times 3}=\sqrt{12}\). So it appears at the \( \sqrt{12} \) step.
Step 3
Exam Tip
\(2\sqrt{3}=\sqrt{4\times 3}=\sqrt{12}\) है। इसलिए यह \( \sqrt{12} \) चरण पर मिलता है।
Since \(36=6^2\) and \(49=7^2\), \(6<\sqrt{48}<7\). Comparing with perfect squares is always reliable.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि (36<48<49) / Because (36<48<49). Since \(36=6^2\) and \(49=7^2\), \(6<\sqrt{48}<7\). Comparing with perfect squares is always reliable.
Step 3
Exam Tip
\(36=6^2\) और \(49=7^2\), इसलिए \(6<\sqrt{48}<7\)। पूर्ण वर्गों की तुलना हमेशा भरोसेमंद रहती है।
B. \(OP_4=\sqrt{4}\) और दूरी (2) इकाई है/\(OP_4=\sqrt{4}\) and the distance is (2) units
Step 1
Concept
Because \( \sqrt{4}=2 \), the distance \(OP_4\) is (2). Understand the index and the distance separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(OP_4=\sqrt{4}\) और दूरी (2) इकाई है / \(OP_4=\sqrt{4}\) and the distance is (2) units. Because \( \sqrt{4}=2 \), the distance \(OP_4\) is (2). Understand the index and the distance separately.
Step 3
Exam Tip
क्योंकि \( \sqrt{4}=2 \), इसलिए \(OP_4\) की दूरी (2) है। सूचकांक और दूरी को अलग-अलग समझें।
D. क्योंकि ( \(\sqrt{n}\)2+12=n+1 )/Because ( \(\sqrt{n}\)2+12=n+1 )
Step 1
Concept
By Pythagoras, the square of the new hypotenuse is (n+1). Therefore the new hypotenuse is \( \sqrt{n+1} \).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. क्योंकि ( \(\sqrt{n}\)2+12=n+1 ) / Because ( \(\sqrt{n}\)2+12=n+1 ). By Pythagoras, the square of the new hypotenuse is (n+1). Therefore the new hypotenuse is \( \sqrt{n+1} \).
Step 3
Exam Tip
पाइथागोरस प्रमेय से नए कर्ण का वर्ग (n+1) होता है। इसलिए नया कर्ण \( \sqrt{n+1} \) है।
Integer distances occur at perfect squares, and the next perfect square after (28) is (36). So the next integer distance is at \( \sqrt{36}=6 \).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. \( \sqrt{36} \) पर / At \( \sqrt{36} \). Integer distances occur at perfect squares, and the next perfect square after (28) is (36). So the next integer distance is at \( \sqrt{36}=6 \).
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक दूरी पूर्ण वर्गों पर मिलती है और (28) के बाद अगला पूर्ण वर्ग (36) है। इसलिए अगली पूर्णांक दूरी \( \sqrt{36}=6 \) पर मिलेगी।
B. यह (5) और (6) के बीच है/It is between (5) and (6)
Step 1
Concept
Because (25<32<36), \(5<\sqrt{32}<6\). Always compare with nearby perfect squares.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. यह (5) और (6) के बीच है / It is between (5) and (6). Because (25<32<36), \(5<\sqrt{32}<6\). Always compare with nearby perfect squares.
Step 3
Exam Tip
क्योंकि (25<32<36), इसलिए \(5<\sqrt{32}<6\)। हमेशा नजदीकी पूर्ण वर्गों से तुलना करें।
In the right triangle, ( \(\sqrt{7}\)2+12=8 ). This is a direct use of Pythagoras theorem.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. पाइथागोरस प्रमेय / Pythagoras theorem. In the right triangle, ( \(\sqrt{7}\)2+12=8 ). This is a direct use of Pythagoras theorem.
Step 3
Exam Tip
समकोण त्रिभुज में ( \(\sqrt{7}\)2+12=8 ) होता है। यह सीधे पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग है।
\( \sqrt{17} \) is close to (4) because (17) is only (1) more than (16). Look for the number closest to a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. \( \sqrt{17} \). \( \sqrt{17} \) is close to (4) because (17) is only (1) more than (16). Look for the number closest to a perfect square.
Step 3
Exam Tip
\( \sqrt{17} \) संख्या (4) के पास है क्योंकि (17), (16) से केवल (1) अधिक है। पूर्ण वर्ग के सबसे नजदीक संख्या देखें।
