यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=3x-7) है, तो (f) के बारे में सही कथन चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=3x-7), choose the correct statement about (f).
#one-one-function
#linear-function
#relations-functions
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? Hint Small clue
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C केवल नियत फलन है / Only constant function
D परिभाषित नहीं है / Not defined
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Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
एकैकी जांचने के लिए मान लेते हैं कि (f(a)=f(b))। / To test one-one, assume (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
तब (3a-7=3b-7), इसलिए (a=b) मिलता है। / Then (3a-7=3b-7), so (a=b).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में रैखिक फलन (mx+c) में \(m\neq 0\) हो तो वह एकैकी होता है। / In exams, a linear function (mx+c) with \(m\neq 0\) is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=5) है, तो यह फलन कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=5), what type of function is it?
#constant-function
#one-one-function
#class-12-math
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? Hint Small clue
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C केवल व्युत्क्रमणीय है / Only invertible
D केवल सर्वत्र शून्य है / Only zero everywhere
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / Not one-one
Step 1
Concept
नियत फलन हर आगत को एक ही मान देता है। / A constant function gives the same value for every input.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=5) और (f(2)=5), लेकिन \(1\neq 2\)। / (f(1)=5) and (f(2)=5), but \(1\neq 2\).
Step 3
Exam Tip
यदि दो अलग आगतों का प्रतिबिंब समान मिले, तो फलन एकैकी नहीं होता। / If two different inputs have the same image, the function is not one-one.
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यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(f:A\to A\) को (f(1)=2), (f(2)=3), (f(3)=1) से परिभाषित किया गया है, तो (f) कैसा है?
If \(A=\{1,2,3\}\) and \(f:A\to A\) is defined by (f(1)=2), (f(2)=3), (f(3)=1), what is (f)?
#finite-set
#function-mapping
#one-one-function
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? Hint Small clue
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C फलन नहीं है / Not a function
D नियत फलन है / Constant function
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Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
दिए गए तीनों आगतों के प्रतिबिंब देखें। / Check the images of all three inputs.
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिबिंब (2), (3), (1) हैं और कोई मान दोहराया नहीं गया। / The images are (2), (3), and (1), with no repetition.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय में एकैकी जांचने के लिए प्रतिबिंबों की पुनरावृत्ति देखें। / For finite sets, check repetition in images to test one-one.
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यदि \(A=\{a,b,c\}\) और \(g:A\to{1,2}\) में (g(a)=1), (g(b)=2), (g(c)=2) है, तो (g) के बारे में सही कथन है।
If \(A=\{a,b,c\}\) and \(g:A\to{1,2}\) has (g(a)=1), (g(b)=2), (g(c)=2), choose the correct statement about (g).
#finite-function
#not-one-one
#mapping
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? Hint Small clue
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C परिभाषित नहीं है / Not defined
D पहचान फलन है / Identity function
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / Not one-one
Step 1
Concept
एकैकी होने के लिए प्रत्येक अलग आगत का प्रतिबिंब अलग होना चाहिए। / For one-one, every distinct input must have a distinct image.
Step 2
Why this answer is correct
यहां (g(b)=2) और (g(c)=2), जबकि \(b\neq c\)। / Here (g(b)=2) and (g(c)=2), while \(b\neq c\).
Step 3
Exam Tip
दोहराया हुआ प्रतिबिंब मिलते ही एकैकी होने से इंकार करें। / A repeated image immediately disproves one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x-3 ) है, तो (f) के लिए सही विकल्प चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-3 ), choose the correct option for (f).
#cubic-function
#one-one-function
#increasing-function
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A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C केवल धनात्मक मानों पर परिभाषित है / Defined only for positive values
D नियत फलन है / Constant function
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Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
मान लें (f(a)=f(b))। / Assume (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
तब \(a^3=b^3\), जिससे वास्तविक संख्याओं में (a=b) मिलता है। / Then \(a^3=b^3\), which gives (a=b) for real numbers.
Step 3
Exam Tip
घन फलन पूरे \(\mathbb{R}\) पर बढ़ता है, इसलिए वह एकैकी होता है। / The cube function is increasing on \(\mathbb{R}\), so it is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=|x|) है, तो यह एकैकी क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=|x|), why is it not one-one?
#modulus-function
#not-one-one
#counterexample
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि (f(3)=f(-3)) और \(3\neq -3\) / Because (f(3)=f(-3)) and \(3\neq -3\)
B क्योंकि (f(0)) मौजूद नहीं है / Because (f(0)) does not exist
C क्योंकि सभी प्रतिबिंब ऋणात्मक हैं / Because all images are negative
D क्योंकि डोमेन खाली है / Because domain is empty
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Correct Answer
A. क्योंकि (f(3)=f(-3)) और \(3\neq -3\) / Because (f(3)=f(-3)) and \(3\neq -3\)
Step 1
Concept
परम मान फलन धनात्मक और ऋणात्मक दोनों समान दूरी वाले आगतों को समान मान देता है। / The modulus function gives the same value to opposite inputs with equal distance from zero.
Step 2
Why this answer is correct
(f(3)=3) और (f(-3)=3), जबकि \(3\neq -3\)। / (f(3)=3) and (f(-3)=3), while \(3\neq -3\).
Step 3
Exam Tip
एक ही प्रतिबिंब देने वाली अलग जोड़ी खोजना सबसे तेज तरीका है। / Finding two distinct inputs with the same image is the fastest test.
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यदि \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}) और (f(x)=x-2 ) है, तो (f) के बारे में सही कथन चुनिए।
If \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=x-2 ), choose the correct statement about (f).
#restricted-domain
#square-function
#one-one-function
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A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C फलन नहीं है / Not a function
D नियत फलन है / Constant function
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Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
इस डोमेन में केवल \(x\geq 0\) लिए जाते हैं। / In this domain, only \(x\geq 0\) is allowed.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(a^2=b^2\) और \(a,b\geq 0\), तो (a=b) ही होगा। / If \(a^2=b^2\) and \(a,b\geq 0\), then (a=b).
Step 3
Exam Tip
डोमेन बदलने से वही सूत्र एकैकी भी बन सकता है। / Changing the domain can make the same formula one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=2x-2 +1) है, तो (f) का एकैकीपन जांचिए।
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=2x-2 +1), check whether (f) is one-one.
#quadratic-function
#not-one-one
#even-power
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A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C केवल (x=0) पर परिभाषित है / Defined only at (x=0)
D प्रतिबिंब खाली है / Image is empty
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / Not one-one
Step 1
Concept
वर्ग वाले फलन में अक्सर (x) और (-x) समान प्रतिबिंब देते हैं। / In square-based functions, (x) and (-x) often give the same image.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=3) और (f(-1)=3), जबकि \(1\neq -1\)। / (f(1)=3) and (f(-1)=3), while \(1\neq -1\).
Step 3
Exam Tip
पूरे \(\mathbb{R}\) पर सम घात वाले फलनों में ऐसी जोड़ी जरूर जांचें। / For even powers on \(\mathbb{R}\), always test such pairs.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=7-4x) है, तो (f) के लिए सही निष्कर्ष क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=7-4x), what is the correct conclusion for (f)?
#linear-function
#one-one-test
#class-12
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A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C सिर्फ शून्य पर मान देता है / Gives value only at zero
D यह संबंध है पर फलन नहीं / It is a relation but not a function
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Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
मान लें (f(a)=f(b))। / Assume (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
तब (7-4a=7-4b), इसलिए (-4a=-4b) और (a=b)। / Then (7-4a=7-4b), so (-4a=-4b) and (a=b).
Step 3
Exam Tip
ढाल शून्य न हो तो रैखिक फलन एकैकी होता है। / A linear function with non-zero slope is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x-2 -6x+9) है, तो (f) एकैकी है या नहीं?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-2 -6x+9), is (f) one-one or not?
#quadratic-function
#perfect-square
#not-one-one
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A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C केवल धनात्मक डोमेन पर फलन है / Function only on positive domain
D किसी भी (x) पर मान नहीं देता / Gives no value for any (x)
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / Not one-one
Step 1
Concept
(x-2 -6x+9=(x-3)2 ) है। / (x-2 -6x+9=(x-3)2 ).
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=1) और (f(4)=1), लेकिन \(2\neq 4\)। / (f(2)=1) and (f(4)=1), but \(2\neq 4\).
Step 3
Exam Tip
पूर्ण वर्ग दिखे तो केंद्र के दोनों ओर बराबर दूरी वाले आगत जांचें। / When a perfect square appears, test inputs equally distant from its center.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x-3 +2) है, तो (f) के लिए सही विकल्प चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-3 +2), choose the correct option for (f).
#cubic-function
#translation
#one-one-function
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A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C केवल सम फलन है / Only even function
D नियत फलन है / Constant function
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Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
मान लें (f(a)=f(b))। / Assume (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
\(a^3+2=b^3+2\) से \(a^3=b^3\), इसलिए (a=b)। / From \(a^3+2=b^3+2\), we get \(a^3=b^3\), so (a=b).
Step 3
Exam Tip
किसी एकैकी फलन में समान संख्या जोड़ने से एकैकीपन नहीं बदलता। / Adding a constant to a one-one function does not change one-one nature.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=\sin x) है, तो (f) एकैकी नहीं है क्योंकि
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\sin x), (f) is not one-one because
#trigonometric-function
#sine-function
#not-one-one
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A (f(0)=f\(\pi\)) और \(0\neq \pi\) / (f(0)=f\(\pi\)) and \(0\neq \pi\)
B (f(0)\neq f\(\pi\))
C \(\sin x\) कभी परिभाषित नहीं होता / \(\sin x\) is never defined
D इसके सभी मान (2) से बड़े हैं / All its values are greater than (2)
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Correct Answer
A. (f(0)=f\(\pi\)) और \(0\neq \pi\) / (f(0)=f\(\pi\)) and \(0\neq \pi\)
Step 1
Concept
आवर्ती फलन में समान मान दोहरते हैं। / A periodic function repeats values.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sin 0=0\) और \(\sin \pi=0\), जबकि \(0\neq \pi\)। / \(\sin 0=0\) and \(\sin \pi=0\), while \(0\neq \pi\).
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय फलनों के लिए एकैकीपन जांचते समय आवर्तिता का ध्यान रखें। / For trigonometric functions, remember periodicity while checking one-one nature.
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यदि (f:\(-\infty,0]\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x-2 ) है, तो (f) कैसा है?
If (f:\(-\infty,0]\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-2 ), what is (f)?
#restricted-domain
#square-function
#injective
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A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C सिर्फ धनात्मक डोमेन पर है / It is only on positive domain
D नियत फलन है / Constant function
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Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
यहां डोमेन में केवल \(x\leq 0\) हैं। / Here the domain contains only \(x\leq 0\).
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(a^2=b^2\) और \(a,b\leq 0\), तो (a=b) ही होगा। / If \(a^2=b^2\) and \(a,b\leq 0\), then (a=b).
Step 3
Exam Tip
वर्ग फलन आधे डोमेन पर एकैकी हो जाता है। / The square function becomes one-one on a half-domain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=|x-2|) है, तो कौन-सी जोड़ी दिखाती है कि (f) एकैकी नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=|x-2|), which pair shows that (f) is not one-one?
#modulus-function
#counterexample
#one-one-test
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A (x=1) और (x=3) / (x=1) and (x=3)
B (x=0) और (x=2) / (x=0) and (x=2)
C (x=2) और (x=4) / (x=2) and (x=4)
D (x=5) और (x=6) / (x=5) and (x=6)
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Correct Answer
A. (x=1) और (x=3) / (x=1) and (x=3)
Step 1
Concept
परम मान फलन अपने केंद्र से बराबर दूरी वाले आगतों को समान मान देता है। / A modulus function gives equal values to inputs equally distant from its center.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=1) और (f(3)=1), जबकि \(1\neq 3\)। / (f(1)=1) and (f(3)=1), while \(1\neq 3\).
Step 3
Exam Tip
(|x-a|) में (a) के दोनों ओर बराबर दूरी देखें। / In (|x-a|), check equal distances on both sides of (a).
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यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) और (f(n)=2n+1) है, तो (f) के बारे में सही कथन चुनिए।
If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) and (f(n)=2n+1), choose the correct statement about (f).
#integer-function
#linear-function
#one-one
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A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C हर पूर्णांक को (0) पर भेजता है / Sends every integer to (0)
D केवल प्राकृतिक संख्याओं पर परिभाषित है / Defined only on natural numbers
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Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
मान लें (f(m)=f(n))। / Assume (f(m)=f(n)).
Step 2
Why this answer is correct
(2m+1=2n+1) से (m=n) मिलता है। / From (2m+1=2n+1), we get (m=n).
Step 3
Exam Tip
पूर्णांकों पर भी रैखिक फलन का गुणांक शून्य नहीं हो तो एकैकीपन बनता है। / On integers also, a linear function with non-zero coefficient is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) और (f(n)=n+4) है, तो (f) का एकैकीपन क्या होगा?
If \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) and (f(n)=n+4), what is the one-one nature of (f)?
#natural-numbers
#one-one-function
#linear
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? Hint Small clue
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C फलन नहीं है / Not a function
D केवल (n=4) पर परिभाषित है / Defined only at (n=4)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
मान लें (f(m)=f(n))। / Assume (f(m)=f(n)).
Step 2
Why this answer is correct
(m+4=n+4), इसलिए (m=n)। / (m+4=n+4), so (m=n).
Step 3
Exam Tip
प्राकृतिक संख्याओं पर हर अलग संख्या में समान संख्या जोड़ने से अंतर बना रहता है। / Adding the same number to different natural numbers preserves their difference.
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यदि \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) और (f(n)=n-2 ) है, तो (f) के बारे में सही विकल्प चुनिए।
If \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) and (f(n)=n-2 ), choose the correct option about (f).
#natural-numbers
#square-function
#domain-effect
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A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C नियत फलन है / Constant function
D फलन नहीं है / Not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
प्राकृतिक संख्याएं धनात्मक दिशा में बढ़ती हैं। / Natural numbers move in the positive direction.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(m^2=n^2\) और \(m,n\in\mathbb{N}\), तो (m=n) होगा। / If \(m^2=n^2\) and \(m,n\in\mathbb{N}\), then (m=n).
Step 3
Exam Tip
वर्ग फलन \(\mathbb{R}\) पर नहीं, लेकिन \(\mathbb{N}\) पर एकैकी होता है। / The square function is not one-one on \(\mathbb{R}\), but it is one-one on \(\mathbb{N}\).
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) और \(f:A\to A\) में (f(1)=1), (f(2)=1), (f(3)=3), (f(4)=4) है, तो (f) कैसा है?
If \(A=\{1,2,3,4\}\) and \(f:A\to A\) has (f(1)=1), (f(2)=1), (f(3)=3), (f(4)=4), what is (f)?
#finite-set
#not-one-one
#mapping
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A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C सर्वसम फलन है / Identity function
D परिभाषित नहीं है / Not defined
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / Not one-one
Step 1
Concept
सभी आगतों के प्रतिबिंब देखें। / Check the images of all inputs.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=1) और (f(2)=1), लेकिन \(1\neq 2\)। / (f(1)=1) and (f(2)=1), but \(1\neq 2\).
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय में दो आगतों का समान प्रतिबिंब एकैकीपन को खत्म करता है। / In a finite set, the same image for two inputs destroys one-one nature.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=\frac{x+1}{2}) है, तो (f) के लिए सही निष्कर्ष चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\frac{x+1}{2}), choose the correct conclusion for (f).
#linear-fraction
#one-one-test
#functions
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? Hint Small clue
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C सिर्फ (x=1) पर फलन है / Function only at (x=1)
D नियत फलन है / Constant function
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Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
मान लें (f(a)=f(b))। / Assume (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{a+1}{2}=\frac{b+1}{2}\) से (a+1=b+1), इसलिए (a=b)। / From \(\frac{a+1}{2}=\frac{b+1}{2}\), we get (a+1=b+1), so (a=b).
Step 3
Exam Tip
भिन्न रूप में भी गैर-शून्य गुणांक वाला रैखिक फलन एकैकी होता है। / Even in fractional form, a linear function with non-zero coefficient is one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x-4 ) है, तो (f) एकैकी नहीं है क्योंकि
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-4 ), (f) is not one-one because
#even-power
#not-one-one
#counterexample
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? Hint Small clue
A (f(1)=f(-1)) और \(1\neq -1\) / (f(1)=f(-1)) and \(1\neq -1\)
B (f(1)\neq f(-1))
C \(x^4\) हमेशा ऋणात्मक है / \(x^4\) is always negative
D यह कोई मान नहीं देता / It gives no value
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Correct Answer
A. (f(1)=f(-1)) और \(1\neq -1\) / (f(1)=f(-1)) and \(1\neq -1\)
Step 1
Concept
सम घात वाले फलन में (x) और (-x) का मान बराबर आता है। / In an even-power function, (x) and (-x) give equal values.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=1) और (f(-1)=1), जबकि \(1\neq -1\)। / (f(1)=1) and (f(-1)=1), while \(1\neq -1\).
Step 3
Exam Tip
पूरे \(\mathbb{R}\) पर सम घात देखकर तुरंत विपरीत आगत जांचें। / On all real numbers, test opposite inputs for even powers.
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यदि (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) और (f(x)=\frac{1}{x}) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?
If (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=\frac{1}{x}), what is the correct statement about (f)?
#reciprocal-function
#positive-domain
#one-one
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? Hint Small clue
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C नियत फलन है / Constant function
D डोमेन में कोई संख्या नहीं है / Domain has no number
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Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
मान लें (f(a)=f(b)), जहां (a,b>0)। / Assume (f(a)=f(b)), where (a,b>0).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}\) से (a=b) मिलता है। / From \(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}\), we get (a=b).
Step 3
Exam Tip
व्युत्क्रम फलन में समान प्रतिबिंब तभी होगा जब आगत समान हों। / In the reciprocal function, equal images occur only for equal inputs.
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यदि \(f:\mathbb{R}\setminus{0}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=\frac{1}{x-2 }) है, तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}\setminus{0}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\frac{1}{x-2 }), what is (f)?
#reciprocal-square
#not-one-one
#domain
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C केवल (x=0) पर परिभाषित है / Defined only at (x=0)
D सदैव शून्य है / Always zero
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / Not one-one
Step 1
Concept
\(x^2\) के कारण विपरीत आगत समान मान दे सकते हैं। / Because of \(x^2\), opposite inputs can give the same value.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=1) और (f(-1)=1), जबकि \(1\neq -1\)। / (f(1)=1) and (f(-1)=1), while \(1\neq -1\).
Step 3
Exam Tip
हर बार हर में \(x^2\) हो तो धनात्मक और ऋणात्मक आगत की जोड़ी जांचें। / Whenever the denominator has \(x^2\), test positive and negative input pairs.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=2x-3 -5) है, तो (f) का एकैकीपन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=2x-3 -5), what is the one-one nature of (f)?
#cubic-function
#injective
#one-one-test
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? Hint Small clue
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C सिर्फ सम फलन है / Only even function
D नियत फलन है / Constant function
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Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
मान लें (f(a)=f(b))। / Assume (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
\(2a^3-5=2b^3-5\) से \(a^3=b^3\), इसलिए (a=b)। / From \(2a^3-5=2b^3-5\), we get \(a^3=b^3\), so (a=b).
Step 3
Exam Tip
घन फलन में गुणा और स्थिर संख्या जोड़ने से एकैकीपन बना रहता है। / Multiplying a cubic function and adding a constant preserves one-one nature.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=\cos x) है, तो (f) एकैकी नहीं है क्योंकि
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\cos x), (f) is not one-one because
#cosine-function
#periodic
#not-one-one
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? Hint Small clue
A (f(0)=f\(2\pi\)) और \(0\neq 2\pi\) / (f(0)=f\(2\pi\)) and \(0\neq 2\pi\)
B (f(0)=0)
C \(\cos x\) का कोई मान नहीं होता / \(\cos x\) has no value
D \(\cos x\) हमेशा (5) होता है / \(\cos x\) is always (5)
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Correct Answer
A. (f(0)=f\(2\pi\)) और \(0\neq 2\pi\) / (f(0)=f\(2\pi\)) and \(0\neq 2\pi\)
Step 1
Concept
\(\cos x\) एक आवर्ती फलन है। / \(\cos x\) is a periodic function.
Step 2
Why this answer is correct
\(\cos 0=1\) और \(\cos 2\pi=1\), जबकि \(0\neq 2\pi\)। / \(\cos 0=1\) and \(\cos 2\pi=1\), while \(0\neq 2\pi\).
Step 3
Exam Tip
आवर्ती फलन पूरे \(\mathbb{R}\) पर सामान्यतः एकैकी नहीं होते। / Periodic functions on all real numbers are generally not one-one.
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यदि \(f:[0,\pi]\to\mathbb{R}\) और (f(x)=\cos x) है, तो (f) के बारे में सही निष्कर्ष चुनिए।
If \(f:[0,\pi]\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\cos x), choose the correct conclusion about (f).
#cosine-function
#restricted-domain
#one-one
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A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C नियत फलन है / Constant function
D परिभाषित नहीं है / Not defined
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Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
अंतराल \([0,\pi]\) पर \(\cos x\) लगातार घटता है। / On the interval \([0,\pi]\), \(\cos x\) is strictly decreasing.
Step 2
Why this answer is correct
घटते हुए फलन में अलग आगतों के मान अलग होते हैं। / A strictly decreasing function gives different values for different inputs.
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय फलनों में डोमेन सीमित करने से एकैकीपन मिल सकता है। / Restricting the domain of a trigonometric function can make it one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x-2 +2x) है, तो कौन-सी जोड़ी (f) को एकैकी नहीं दिखाती है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-2 +2x), which pair shows (f) is not one-one?
#quadratic-function
#counterexample
#not-one-one
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (x=0) और (x=-2) / (x=0) and (x=-2)
B (x=1) और (x=2) / (x=1) and (x=2)
C (x=2) और (x=3) / (x=2) and (x=3)
D (x=4) और (x=5) / (x=4) and (x=5)
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Correct Answer
A. (x=0) और (x=-2) / (x=0) and (x=-2)
Step 1
Concept
(x-2 +2x=(x+1)2 -1) है। / (x-2 +2x=(x+1)2 -1).
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=0) और (f(-2)=0), जबकि \(0\neq -2\)। / (f(0)=0) and (f(-2)=0), while \(0\neq -2\).
Step 3
Exam Tip
वर्गीय फलन में शिखर के दोनों ओर बराबर दूरी वाले आगत जांचें। / In a quadratic function, test inputs equally distant from the vertex.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=9x) है, तो (f) किस कारण एकैकी है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=9x), why is (f) one-one?
#linear-function
#multiplication
#one-one
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? Hint Small clue
A क्योंकि (9a=9b) से (a=b) मिलता है / Because (9a=9b) gives (a=b)
B क्योंकि सभी आगतों का प्रतिबिंब (9) है / Because all inputs have image (9)
C क्योंकि दो अलग आगत एक ही मान देते हैं / Because two different inputs give one value
D क्योंकि यह परिभाषित नहीं है / Because it is not defined
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Correct Answer
A. क्योंकि (9a=9b) से (a=b) मिलता है / Because (9a=9b) gives (a=b)
Step 1
Concept
एकैकी जांच में (f(a)=f(b)) मानते हैं। / For testing one-one, assume (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
(9a=9b) होने पर (a=b) मिलता है। / From (9a=9b), we get (a=b).
Step 3
Exam Tip
शून्य से अलग गुणक वाली सरल रैखिक अभिव्यक्ति एकैकी होती है। / A simple linear expression with a non-zero multiplier is one-one.
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यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(B=\{4,5,6,7\}\) है, तो \(f:A\to B\) को (f(1)=4), (f(2)=6), (f(3)=7) से दिया गया है। (f) कैसा है?
If \(A=\{1,2,3\}\) and \(B=\{4,5,6,7\}\), \(f:A\to B\) is given by (f(1)=4), (f(2)=6), (f(3)=7). What is (f)?
#finite-mapping
#one-one-function
#codomain
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? Hint Small clue
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C फलन नहीं है / Not a function
D नियत फलन है / Constant function
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Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
डोमेन के हर तत्व का एक प्रतिबिंब दिया गया है। / Each element of the domain has one image.
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिबिंब (4), (6), (7) अलग-अलग हैं। / The images (4), (6), and (7) are all distinct.
Step 3
Exam Tip
सहडोमेन में कोई तत्व छूट जाए तो भी एकैकीपन पर असर नहीं पड़ता। / Some codomain elements may be unused without affecting one-one nature.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=0x+8) है, तो (f) के बारे में सही विकल्प क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=0x+8), what is the correct option about (f)?
#constant-function
#linear-form
#not-one-one
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? Hint Small clue
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C सिर्फ (x=8) पर फलन है / Function only at (x=8)
D सर्वसम फलन है / Identity function
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / Not one-one
Step 1
Concept
(0x+8=8), इसलिए यह नियत फलन है। / (0x+8=8), so it is a constant function.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=8) और (f(2)=8), जबकि \(1\neq 2\)। / (f(1)=8) and (f(2)=8), while \(1\neq 2\).
Step 3
Exam Tip
रैखिक रूप में गुणांक (0) हो तो फलन एकैकी नहीं होता। / In a linear form, if the coefficient of (x) is (0), the function is not one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=\sqrt[3]{x}) है, तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\sqrt[3]{x}), what is (f)?
#cube-root
#one-one-function
#real-function
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? Hint Small clue
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C केवल \(x\geq 0\) पर परिभाषित है / Defined only for \(x\geq 0\)
D नियत फलन है / Constant function
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Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
घनमूल हर वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित है। / The cube root is defined for every real number.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{b}\), तो दोनों ओर घन करने पर (a=b)। / If \(\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{b}\), cubing both sides gives (a=b).
Step 3
Exam Tip
घनमूल फलन बढ़ता है, इसलिए एकैकी होता है। / The cube-root function is increasing, so it is one-one.
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यदि \(f:[2,\infty\)\to\mathbb{R}) और (f(x)=(x-2)2 ) है, तो (f) के बारे में सही कथन है।
If \(f:[2,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=(x-2)2 ), choose the correct statement about (f).
#restricted-domain
#quadratic-function
#one-one
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? Hint Small clue
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C सदैव ऋणात्मक है / Always negative
D फलन नहीं है / Not a function
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Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
इस डोमेन में \(x-2\geq 0\) रहता है। / In this domain, \(x-2\geq 0\).
Step 2
Why this answer is correct
यदि ((a-2)2 =(b-2)2 ) और \(a,b\geq 2\), तो (a-2=b-2), इसलिए (a=b)। / If ((a-2)2 =(b-2)2 ) and \(a,b\geq 2\), then (a-2=b-2), so (a=b).
Step 3
Exam Tip
वर्गीय फलन को शिखर से एक ओर सीमित कर दें तो वह एकैकी हो सकता है। / A quadratic can be one-one when restricted to one side of its vertex.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=(x+5)2 ) है, तो (f) एकैकी नहीं है। कौन-सी जोड़ी इसे सिद्ध करती है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=(x+5)2 ), (f) is not one-one. Which pair proves it?
#perfect-square
#not-one-one
#counterexample
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? Hint Small clue
A (x=-4) और (x=-6) / (x=-4) and (x=-6)
B (x=0) और (x=1) / (x=0) and (x=1)
C (x=2) और (x=5) / (x=2) and (x=5)
D (x=-5) और (x=5) / (x=-5) and (x=5)
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Correct Answer
A. (x=-4) और (x=-6) / (x=-4) and (x=-6)
Step 1
Concept
((x+5)2 ) का केंद्र (x=-5) है। / The center of ((x+5)2 ) is (x=-5).
Step 2
Why this answer is correct
(f(-4)=1) और (f(-6)=1), लेकिन \(-4\neq -6\)। / (f(-4)=1) and (f(-6)=1), but \(-4\neq -6\).
Step 3
Exam Tip
पूर्ण वर्ग में केंद्र के दोनों ओर बराबर दूरी वाले मान जल्दी उत्तर देते हैं। / In a perfect square, values equally distant from the center quickly give the answer.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x-5 ) है, तो (f) के बारे में सही विकल्प चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-5 ), choose the correct option about (f).
#odd-power
#one-one-function
#real-domain
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? Hint Small clue
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C नियत फलन है / Constant function
D केवल सम फलन है / Only even function
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Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
\(x^5\) विषम घात वाला फलन है और पूरे \(\mathbb{R}\) पर बढ़ता है। / \(x^5\) is an odd-power function and increases on \(\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(a^5=b^5\) होने पर (a=b) मिलता है। / If \(a^5=b^5\), then (a=b).
Step 3
Exam Tip
वास्तविक संख्याओं पर विषम घात वाले मूल रूप सामान्यतः एकैकी होते हैं। / Basic odd-power functions are generally one-one on real numbers.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x-2 +x) है, तो (f) के लिए सही निष्कर्ष चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-2 +x), choose the correct conclusion for (f).
#quadratic-function
#not-one-one
#counterexample
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? Hint Small clue
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C केवल धनात्मक मान देता है / Gives only positive values
D सर्वसम फलन है / Identity function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / Not one-one
Step 1
Concept
दो अलग आगतों पर मान जांचें। / Check values at two different inputs.
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=0) और (f(-1)=0), जबकि \(0\neq -1\)। / (f(0)=0) and (f(-1)=0), while \(0\neq -1\).
Step 3
Exam Tip
वर्गीय फलन पूरे \(\mathbb{R}\) पर अक्सर एकैकी नहीं होता। / A quadratic function on all real numbers is often not one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=4x+4) है, तो (f(a)=f(b)) से क्या निष्कर्ष निकलेगा?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=4x+4), what conclusion follows from (f(a)=f(b))?
#one-one-proof
#linear-function
#equality-method
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A (a=b)
B (a=-b)
C (a+b=4)
D \(a\neq b\) हमेशा / Always \(a\neq b\)
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Step 1
Concept
(f(a)=f(b)) लिखने पर (4a+4=4b+4) मिलता है। / Writing (f(a)=f(b)) gives (4a+4=4b+4).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों ओर से (4) घटाने और (4) से भाग देने पर (a=b)। / Subtracting (4) and dividing by (4) gives (a=b).
Step 3
Exam Tip
यही प्रक्रिया एकैकीपन सिद्ध करने की मानक विधि है। / This is the standard method to prove one-one nature.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=|2x|) है, तो (f) का एकैकीपन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=|2x|), what is the one-one nature of (f)?
#modulus-function
#not-one-one
#absolute-value
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A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C डोमेन खाली है / Domain is empty
D केवल (x=0) पर मान देता है / Gives value only at (x=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / Not one-one
Step 1
Concept
(|2x|) में भी (x) और (-x) समान मान देते हैं। / In (|2x|), (x) and (-x) still give the same value.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=2) और (f(-1)=2), जबकि \(1\neq -1\)। / (f(1)=2) and (f(-1)=2), while \(1\neq -1\).
Step 3
Exam Tip
परम मान के अंदर गुणक बदलने से पूरे \(\mathbb{R}\) पर एकैकीपन नहीं बनता। / A multiplier inside modulus does not make it one-one on all real numbers.
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यदि \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)) और (f(x)=\sqrt{x}) है, तो (f) कैसा है?
If \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)) and (f(x)=\sqrt{x}), what is (f)?
#square-root
#one-one-function
#increasing
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C सिर्फ ऋणात्मक संख्याओं पर है / Only on negative numbers
D नियत फलन है / Constant function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
\(\sqrt{x}\) अपने डोमेन \([0,\infty\)) पर बढ़ता है। / \(\sqrt{x}\) is increasing on its domain \([0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(\sqrt{a}=\sqrt{b}\), तो वर्ग करने पर (a=b)। / If \(\sqrt{a}=\sqrt{b}\), squaring gives (a=b).
Step 3
Exam Tip
बढ़ते हुए फलन में अलग आगतों के मान अलग होते हैं। / An increasing function gives different values for different inputs.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=\sqrt{x-2 }) है, तो (f) के बारे में सही कथन चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\sqrt{x-2 }), choose the correct statement about (f).
#square-root
#modulus
#not-one-one
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C सदैव ऋणात्मक है / Always negative
D सिर्फ (x=0) पर परिभाषित है / Defined only at (x=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / Not one-one
Step 1
Concept
\(\sqrt{x^2}=|x|\) होता है। / \(\sqrt{x^2}=|x|\).
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=2) और (f(-2)=2), जबकि \(2\neq -2\)। / (f(2)=2) and (f(-2)=2), while \(2\neq -2\).
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{x^2}\) को परम मान समझकर प्रश्न हल करें। / Treat \(\sqrt{x^2}\) as modulus while solving.
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) और \(f:A\to A\) में (f(x)=x) है, तो (f) क्या है?
If \(A=\{1,2,3,4\}\) and \(f:A\to A\) has (f(x)=x), what is (f)?
#identity-function
#finite-set
#one-one
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C नियत फलन है / Constant function
D फलन नहीं है / Not a function
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
(f(x)=x) हर तत्व को उसी पर भेजता है। / (f(x)=x) sends every element to itself.
Step 2
Why this answer is correct
अलग-अलग तत्वों के प्रतिबिंब भी अलग-अलग रहेंगे। / Different elements keep different images.
Step 3
Exam Tip
सर्वसम फलन हमेशा एकैकी होता है। / The identity function is always one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=|x+1|+3) है, तो (f) एकैकी है या नहीं?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=|x+1|+3), is (f) one-one or not?
#modulus-shift
#not-one-one
#counterexample
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C केवल (x=-1) पर परिभाषित है / Defined only at (x=-1)
D सदैव शून्य है / Always zero
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / Not one-one
Step 1
Concept
परम मान का केंद्र (x=-1) है। / The center of the modulus is (x=-1).
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=4) और (f(-2)=4), जबकि \(0\neq -2\)। / (f(0)=4) and (f(-2)=4), while \(0\neq -2\).
Step 3
Exam Tip
बाहर स्थिर संख्या जोड़ने से समान प्रतिबिंब वाली जोड़ी नहीं बदलती। / Adding a constant outside does not remove equal-image pairs.
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यदि \(f:[1,\infty\)\to\mathbb{R}) और (f(x)=x-2 -2x+1) है, तो (f) के बारे में सही विकल्प है।
If \(f:[1,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=x-2 -2x+1), choose the correct option about (f).
#quadratic-restriction
#one-one-function
#domain
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? Hint Small clue
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C नियत फलन है / Constant function
D डोमेन खाली है / Domain is empty
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Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
(x-2 -2x+1=(x-1)2 ) है। / (x-2 -2x+1=(x-1)2 ).
Step 2
Why this answer is correct
डोमेन \(x\geq 1\) होने से \(x-1\geq 0\), इसलिए वर्ग बढ़ता है। / Since the domain is \(x\geq 1\), \(x-1\geq 0\), so the square increases.
Step 3
Exam Tip
शिखर से दाईं ओर वर्गीय फलन एकैकी होता है। / A quadratic is one-one on one side of its vertex.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x-2 -2x+1) है, तो उसी सूत्र के लिए पूरे \(\mathbb{R}\) पर निष्कर्ष क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-2 -2x+1), what is the conclusion for the same formula on all \(\mathbb{R}\)?
#quadratic-function
#domain-change
#not-one-one
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? Hint Small clue
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C सिर्फ (x=1) पर फलन है / Function only at (x=1)
D परास खाली है / Range is empty
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / Not one-one
Step 1
Concept
(f(x)=(x-1)2 ) है। / (f(x)=(x-1)2 ).
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=1) और (f(2)=1), जबकि \(0\neq 2\)। / (f(0)=1) and (f(2)=1), while \(0\neq 2\).
Step 3
Exam Tip
वही सूत्र अलग डोमेन पर अलग एकैकी परिणाम दे सकता है। / The same formula can have a different one-one result on a different domain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=\frac{3x-1}{5}) है, तो (f) के लिए सही कथन चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\frac{3x-1}{5}), choose the correct statement for (f).
#linear-rational
#one-one-proof
#functions
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? Hint Small clue
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C सदैव (0) है / Always (0)
D केवल (x=5) पर परिभाषित है / Defined only at (x=5)
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Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
मान लें (f(a)=f(b))। / Assume (f(a)=f(b)).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{3a-1}{5}=\frac{3b-1}{5}\) से (3a-1=3b-1), इसलिए (a=b)। / From \(\frac{3a-1}{5}=\frac{3b-1}{5}\), we get (3a-1=3b-1), so (a=b).
Step 3
Exam Tip
हर में स्थिर गैर-शून्य संख्या हो तो रैखिक एकैकीपन नहीं बदलता। / A non-zero constant denominator does not change the one-one nature of a linear function.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x-6 +1) है, तो (f) एकैकी नहीं है क्योंकि
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-6 +1), (f) is not one-one because
#even-power
#not-one-one
#counterexample
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? Hint Small clue
A (f(1)=f(-1)) और \(1\neq -1\) / (f(1)=f(-1)) and \(1\neq -1\)
B (f(1)\neq f(-1))
C यह केवल विषम घात है / It is only an odd power
D इसका कोई डोमेन नहीं है / It has no domain
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Correct Answer
A. (f(1)=f(-1)) और \(1\neq -1\) / (f(1)=f(-1)) and \(1\neq -1\)
Step 1
Concept
\(x^6\) सम घात है, इसलिए विपरीत आगत समान मान देते हैं। / \(x^6\) is an even power, so opposite inputs give equal values.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=2) और (f(-1)=2), जबकि \(1\neq -1\)। / (f(1)=2) and (f(-1)=2), while \(1\neq -1\).
Step 3
Exam Tip
सम घात के साथ स्थिर संख्या जोड़ने से एकैकीपन नहीं बनता। / Adding a constant to an even-power function does not make it one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x-3 +x) है, तो (f) के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-3 +x), what is the correct conclusion about (f)?
#increasing-function
#cubic-plus-linear
#one-one
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A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C नियत फलन है / Constant function
D केवल (x=0) पर परिभाषित है / Defined only at (x=0)
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Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
मान लें (f(a)=f(b))। / Consider the function \(x^3+x\).
Step 2
Why this answer is correct
फलन \(x^3+x\) पूरे \(\mathbb{R}\) पर लगातार बढ़ता है क्योंकि (x) बढ़ने पर दोनों भाग साथ बढ़ते हैं। / It is strictly increasing on \(\mathbb{R}\) because both terms increase with (x).
Step 3
Exam Tip
बढ़ता हुआ फलन एकैकी होता है, इसलिए अलग आगत समान मान नहीं दे सकते। / A strictly increasing function is one-one, so different inputs cannot give the same value.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x-3 -x) है, तो (f) के बारे में सही कथन चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-3 -x), choose the correct statement about (f).
#cubic-function
#not-one-one
#counterexample
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A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C सदैव धनात्मक है / Always positive
D नियत फलन है / Constant function
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / Not one-one
Step 1
Concept
दो अलग आगतों पर मान जांचें। / Test values at two different inputs.
Step 2
Why this answer is correct
(f(-1)=0), (f(0)=0) और \(-1\neq 0\)। / (f(-1)=0), (f(0)=0), and \(-1\neq 0\).
Step 3
Exam Tip
घन वाला हर फलन अपने आप एकैकी नहीं होता, उदाहरण जांचना जरूरी है। / Not every cubic expression is automatically one-one, so checking examples is important.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=2|x|+1) है, तो कौन-सा कथन सही है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=2|x|+1), which statement is correct?
#absolute-value
#not-one-one
#modulus
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A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C केवल (x=1) पर मान देता है / Gives value only at (x=1)
D परिभाषित नहीं है / Not defined
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / Not one-one
Step 1
Concept
(|x|) में (x) और (-x) का मान समान होता है। / In (|x|), (x) and (-x) have the same value.
Step 2
Why this answer is correct
(f(3)=7) और (f(-3)=7), जबकि \(3\neq -3\)। / (f(3)=7) and (f(-3)=7), while \(3\neq -3\).
Step 3
Exam Tip
परम मान के बाहर गुणा या जोड़ करने से समान प्रतिबिंब वाली जोड़ी नहीं हटती। / Multiplying or adding outside the modulus does not remove equal-image pairs.
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यदि \(A=\{2,4,6\}\) और \(f:A\to\mathbb{N}\) को (f(x)=\frac{x}{2}) से परिभाषित किया गया है, तो (f) कैसा है?
If \(A=\{2,4,6\}\) and \(f:A\to\mathbb{N}\) is defined by (f(x)=\frac{x}{2}), what is (f)?
#finite-domain
#value-table
#one-one
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A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C नियत फलन है / Constant function
D फलन नहीं है / Not a function
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Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
डोमेन के मानों पर प्रतिबिंब निकालें। / Find the images of the domain elements.
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=1), (f(4)=2), (f(6)=3), और सभी प्रतिबिंब अलग हैं। / (f(2)=1), (f(4)=2), (f(6)=3), and all images are distinct.
Step 3
Exam Tip
सीमित डोमेन में सीधे तालिका बनाकर एकैकीपन जल्दी जांचा जा सकता है। / For a finite domain, a direct value table is a quick test for one-one nature.
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) और \(f:A\to\mathbb{N}\) को (f(x)=x \pmod{2}) के शेष से परिभाषित किया गया है, तो (f) कैसा है?
If \(A=\{1,2,3,4\}\) and \(f:A\to\mathbb{N}\) is defined by the remainder of \(x \pmod{2}\), what is (f)?
#modulo-function
#not-one-one
#finite-set
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A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C सर्वसम फलन है / Identity function
D केवल (x=2) पर परिभाषित है / Defined only at (x=2)
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / Not one-one
Step 1
Concept
सम और विषम संख्याओं के शेष देखें। / Check remainders for even and odd numbers.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=1) और (f(3)=1), जबकि \(1\neq 3\)। / (f(1)=1) and (f(3)=1), while \(1\neq 3\).
Step 3
Exam Tip
शेषफल आधारित फलनों में अक्सर कई आगत एक ही शेष देते हैं, इसलिए एकैकीपन सावधानी से जांचें। / Remainder-based functions often send many inputs to the same value, so test one-one nature carefully.
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यदि (f:\mathbb{R}\to\(0,\infty\)) और (f(x)=e^x) है, तो (f) के बारे में सही कथन चुनिए।
If (f:\mathbb{R}\to\(0,\infty\)) and (f(x)=e^x), choose the correct statement about (f).
#exponential-function
#one-one-function
#increasing-function
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A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C नियत फलन है / Constant function
D केवल (x=0) पर परिभाषित है / Defined only at (x=0)
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Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
घातीय फलन में (x) बढ़ने पर \(e^x\) भी लगातार बढ़ता है। / The exponential function \(e^x\) increases continuously as (x) increases.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(e^a=e^b\), तो समान आधार के कारण (a=b) होगा। / If \(e^a=e^b\), then the same base gives (a=b).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में लगातार बढ़ने वाला फलन अलग आगतों को अलग प्रतिबिंब देता है, इसलिए वह एकैकी होता है। / In exams, a strictly increasing function gives different images for different inputs, so it is one-one.
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