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8 से छोटी धनात्मक सम संख्याएँ केवल 2, 4 और 6 हैं। इसलिए समुच्चय-निर्माण रूप में दिया गया समुच्चय \(B=\{2,4,6\}\) होगा, जो \(A\) के समान है। अतः \(A=B\) और विकल्प A सही है। विकल्प B तथा C गलत हैं, क्योंकि वे एक समुच्चय को दूसरे का सख्त उपसमुच्चय बताते हैं, जबकि दोनों में बिल्कुल समान तत्व हैं। विकल्प D भी गलत है, क्योंकि \(A\cap B=\{2,4,6\}\), न कि रिक्त समुच्चय। परीक्षा-सुझाव: समुच्चय-निर्माण रूप में दी गई शर्त को पहले उसके सभी तत्वों की सूची में बदलकर तुलना करें। / The positive even numbers less than 8 are 2, 4, and 6 only. Thus, the set-builder description gives \(B=\{2,4,6\}\), which is exactly the same as \(A\). Therefore, \(A=B\), so option A is correct. Options B and C are incorrect because they describe a strict subset relation, whereas the two sets have identical elements. Option D is also incorrect because \(A\cap B=\{2,4,6\}\), not the empty set. Exam tip: first expand a set-builder description into its list of elements, then compare the sets directly.
समीकरण से ((x-1)(x-3)=0), इसलिए \(A=\{1,3\}\)। बराबर समुच्चय में अवयव वही होते हैं, क्रम जरूरी नहीं। / The equation gives ((x-1)(x-3)=0), so \(A=\{1,3\}\). Equal sets have the same elements, order is not important.
समुच्चय में किसी अवयव की पुनरावृत्ति नहीं गिनी जाती। परीक्षा में पहले वास्तविक अलग-अलग अवयव लिखें। / Repeated elements are not counted in a set. In exams, first list the distinct elements.
18 के धनात्मक सम भाजक 2, 6 और 18 हैं। शर्तों को एक-एक करके जांचना परीक्षा में गलती कम करता है। / The positive even divisors of 18 are 2, 6 and 18. Checking each condition one by one reduces mistakes in exams.
(A) का हर अवयव (B) में है और (B) में एक अतिरिक्त अवयव है। इसलिए (A), (B) का उचित उपसमुच्चय है। / Every element of (A) is in (B), and (B) has one extra element. So (A) is a proper subset of (B).
(a) निश्चित है और (c) हटाया गया है, इसलिए (b,d,e) में से 2 चुनने हैं। संख्या \(\binom{3}{2}=3\) है। / (a) is fixed and (c) is excluded, so choose 2 from (b,d,e). The number is \(\binom{3}{2}=3\).
बराबर समुच्चयों में वही अवयव होने चाहिए, इसलिए 3 और 5 दोनों ओर होने चाहिए। ऐसे प्रश्नों में क्रम से भ्रमित न हों। / Equal sets must contain exactly the same elements, so 3 and 5 must appear on both sides. Do not be confused by order.
बराबर समुच्चय के लिए दोनों अवयव 4 और 6 ही होने चाहिए। (m=4) रखने पर ({m,m+2}={4,6}) मिलता है। / For equal sets, the two elements must be exactly 4 and 6. Substituting (m=4) gives ({m,m+2}={4,6}).
समुच्चय \(A\) में वे सभी पूर्णांक शामिल हैं जो \(x^2=4\) को संतुष्ट करते हैं। इस समीकरण के पूर्णांक हल \(x=2\) और \(x=-2\) हैं, इसलिए \(A=\{-2,2\}\)। यह समुच्चय \(B\) के समान है, अतः \(A=B\)। विकल्प C गलत है क्योंकि दोनों समुच्चयों के तत्व समान हैं; इसलिए \(B\) और \(A\) एक-दूसरे के उपसमुच्चय हैं, न कि एक-दूसरे के उचित उपसमुच्चय। परीक्षा-टिप: \(x^2=a\) हल करते समय दोनों मान \(\pm\sqrt{a}\) अवश्य जाँचें और दिए गए क्षेत्र, यहाँ \(\mathbb{Z}\), का ध्यान रखें। / Set \(A\) contains every integer satisfying \(x^2=4\). The integer solutions are \(x=2\) and \(x=-2\), so \(A=\{-2,2\}\), which is exactly set \(B\). Therefore, \(A=B\). Option C is incorrect because the two sets have identical elements; hence each set is a subset of the other, not a proper subset of the other. Exam tip: when solving \(x^2=a\), consider both values \(\pm\sqrt{a}\) and check the specified domain, here \(\mathbb{Z}\).
A. \({2}\in A\) और \({2}\subset A\) दोनों सत्य हैं/Both \({2}\in A\) and \({2}\subset A\) are true
Explanation
Simple Explanation
({2}) (A) का अवयव है और 2 भी (A) में है, इसलिए \({2}\subset A\) भी सत्य है। \(\in\) और \(\subset\) का अंतर ध्यान रखें। / ({2}) is an element of (A), and 2 is also in (A), so \({2}\subset A\) is also true. Keep the difference between \(\in\) and \(\subset\) clear.
12 के सभी धनात्मक गुणनखंड यही छह हैं। वर्णनात्मक रूप और सूची रूप एक ही समुच्चय दे रहे हैं। / These six numbers are exactly the positive factors of 12. Set-builder form and roster form give the same set.
सीमित समुच्चयों में यदि एक दूसरे का उपसमुच्चय हो और दोनों में समान संख्या में अवयव हों, तो वे बराबर होते हैं। यह बराबरी सिद्ध करने का उपयोगी नियम है। / For finite sets, if one is a subset of the other and both have the same number of elements, they are equal. This is a useful rule for proving equality.
समुच्चय \(A\) के तीन अवयव हैं: \(1\), \(2\) और \(\{3\}\)। यहाँ \(\{3\}\) पूरा एक समुच्चय है, जो \(A\) का एक अवयव है; संख्या \(3\) स्वयं \(A\) में अवयव के रूप में उपस्थित नहीं है। इसलिए \(\{3\}\in A\) सही है। विकल्प A गलत है क्योंकि \(3\notin A\)। विकल्प C गलत है क्योंकि \(A\) में \(3\) के स्थान पर \(\{3\}\) है। विकल्प D भी गलत है, क्योंकि \(\{3\}\subset A\) होने के लिए \(\{3\}\) के अवयव \(3\) का \(A\) में होना आवश्यक है। परीक्षा-सुझाव: \(x\in A\) का अर्थ है कि \(x\), \(A\) का अवयव है, जबकि \(\{x\}\subset A\) के लिए \(x\in A\) होना आवश्यक है। / The set \(A\) has three elements: \(1\), \(2\), and \(\{3\}\). Here, \(\{3\}\) is itself a set that appears as an element of \(A\); the number \(3\) is not directly an element of \(A\). Therefore, \(\{3\}\in A\) is correct. Option A is false because \(3\notin A\). Option C is false because \(A\) contains \(\{3\}\), not \(3\). Option D is also false: for \(\{3\}\subset A\), its only element, \(3\), would have to belong to \(A\). Exam tip: \(x\in A\) indicates membership, whereas \(\{x\}\subset A\) requires \(x\in A\).
4, (A) का अवयव नहीं है, इसलिए ({2,4}) उपसमुच्चय नहीं है। किसी भी विकल्प में बाहरी अवयव खोजें। / 4 is not an element of (A), so ({2,4}) is not a subset. Look for any outside element in the option.
यदि किसी समुच्चय में n अवयव हों, तो उसके प्रत्येक अवयव के लिए दो विकल्प होते हैं—उसे उपसमुच्चय में शामिल करना या नहीं करना। इसलिए कुल उपसमुच्चयों की संख्या \(2^n\) होती है। यहाँ n = 5 है, अतः \(2^5 = 32\)। इसलिए सही उत्तर 32 है। विकल्प 25, \(5^2\) का मान है और 120, \(5!\) का मान है; इनमें से कोई भी उपसमुच्चयों की संख्या का सूत्र नहीं है। परीक्षा टिप: उपसमुच्चयों की संख्या के लिए सीधे \(2^n\) का प्रयोग करें; इसमें रिक्त समुच्चय और स्वयं दिया गया समुच्चय दोनों शामिल होते हैं। / For each of the n elements, there are two choices: include it in a subset or leave it out. Therefore, the total number of subsets is \(2^n\). For n = 5, \(2^5 = 32\), so the correct answer is 32. Option 25 is \(5^2\), while 120 is \(5!\); neither represents the number of subsets. Exam tip: Use \(2^n\) directly, remembering that both the empty set and the original set are included.
किसी n-अवयवीय समुच्चय के कुल उपसमुच्चयों की संख्या \\(2^n\\) होती है। यहाँ \\(2^n=64\\) लेने पर \\(n=6\\) आता है, इसलिए समुच्चय में 6 अवयव हैं। नज़दीकी ग़लत विकल्प का कारण: उदाहरण के लिए \\(n=7\\) होने पर \\(2^7=128\\) उपसमुच्चय मिलेंगे, इसलिए 7 गलत है। परीक्षा-सूत्र: 64 को 2 के घातों के रूप में तुरन्त पहचानें (\\(64=2^6\\)). / For a set with n elements the number of all subsets is \\(2^n\\). So solve \\(2^n=64\\), giving \\(n=6\\). Thus A has 6 elements. Why a close distractor is wrong: if n=7 then \\(2^7=128\\) subsets, not 64. Exam tip: recognise common powers of two (32, 64, 128) or take log base 2 to find n quickly.
किसी n-अवयव वाले समुच्चय के कुल उपसमुच्चयों की संख्या \\(2^n\\) होती है। यहाँ n=4 होने पर कुल उपसमुच्चय \\(2^4=16\\) होंगे। पर उचित उपसमुच्चय की परिभाषा के अनुसार समुच्चय स्वयं शामिल नहीं होता, इसलिए उचित उपसमुच्चयों की संख्या \\((2^4)-1=15\\) है। विकल्प B (16) गलत है क्योंकि वह समुच्चय स्वयं को भी गिनता है; विकल्प C (8) गलत अनुमान लगता है—यह \\(2^{n-1}\\) का भ्रम हो सकता है; विकल्प D (14) किसी अवयव को और घटाकर मिली ग़लत गणना है। परीक्षा-सूचना: सामान्य नियम याद रखें—किसी n-अवयव वाले समुच्चय के उचित उपसमुच्चय = \\(2^n-1\\)। / The total number of subsets of an n-element set is \\(2^n\\). For n=4, total subsets = \\(2^4=16\\). A proper subset excludes the set itself, so the count of proper subsets = \\(2^4-1=15\\). Option B (16) is incorrect because it includes the set itself; option C (8) is a common mistake (confusing with \\(2^{n-1}\\) or half the power set); option D (14) is simply an incorrect subtraction. Exam tip: remember proper subsets = \\(2^n-1\\) for quick answers on any n.
4 तत्त्वों में से 2 तत्त्व चुनने की संख्या संयोजन से दी जाती है: \(\binom{4}{2}=\dfrac{4\times3}{2\times1}=6\)। उपसमुच्चयों में क्रम मायने नहीं रखता, इसलिए परमुटेशन न लें। विकल्प 4 गलत है — यह संभवतः कुल तत्त्वों से भ्रमित होने का परिणाम है; विकल्प 8 भी गलत है क्योंकि वह किसी मान्य संयोजन/परमुटेशन का परिणाम नहीं है। परीक्षा सुझाव: छोटे सेट के लिए पहले व्यवस्थित रूप से सभी जोड़े लिखकर जाँच करें या सीधे \(\binom{n}{r}\) सूत्र लागू करें। / The number of ways to choose 2 elements from 4 is given by combinations: \(\binom{4}{2}=\dfrac{4\times3}{2\times1}=6\). Order does not matter for subsets, so do not use permutations. Option 4 is incorrect — it likely confuses the answer with the total number of elements; option 8 is also incorrect since it does not follow from a valid combination/permutation here. Exam tip: For small sets list all 2‑element subsets systematically or use the \(\binom{n}{r}\) formula.
1 को निश्चित रखें और शेष 4 अवयवों को चुनना या न चुनना स्वतंत्र है। इसलिए \(2^4=16\) उपसमुच्चय मिलते हैं। / Fix 1, and each of the remaining 4 elements may be chosen or not. So there are \(2^4=16\) subsets.
कुल सेट में 6 अवयव हैं, इसलिए सभी उपसमुच्चयों की संख्या 26 = 64 है। यदि हम विशेष रूप से उन उपसमुच्चयों की गिनती करना चाहें जिनमें 2 मौजूद नहीं है, तो 2 को हटाने पर शेष 5 अवयवों के सभी उपसमुच्चय बनते हैं, यानी 25 = 32। इसलिए उत्तर 32 है। नोट: 16 = 24 तब मिलता यदि केवल 4 अवयव बचे होते; 64 में वे भी शामिल हैं जिनमें 2 हो (इसलिए वह सभी उपसमुच्चयों की संख्या है)। परीक्षा टिप: किसी निश्चित तत्व को शामिल न करने वाले उपसमुच्चयों की संख्या कुल उपसमुच्चयों का आधा होती है (यदि तत्व की उपस्थिति/अनुपस्थिति स्वतंत्र हो)। / The set has 6 elements, so total subsets = 26 = 64. Subsets that do not contain the element 2 are exactly the subsets of the remaining 5 elements, which number 25 = 32. Thus 32 is correct. Remarks on distractors: 16 = 24 would correspond to only 4 remaining elements; 64 counts all subsets including those with 2; 48 is not a power of two and cannot be the exact count of subsets. Exam tip: excluding one fixed element halves the total number of subsets, so use 2^(n-1).
a और b को शामिल करना अनिवार्य है, इसलिए वे 'फिक्स' हैं। शेष 3 तत्व (c, d, e) में से हर एक के लिए दो विकल्प हैं — शामिल हो या न हो — अतः कुल उपसमुच्चयों की संख्या
\(2^3=8\) है। गलत विकल्पों के बारे में: \(4\) तब होता यदि केवल 2 स्वतंत्र तत्व माने गए हों (भूल), और \(32\) पूरे सेट के सभी उपसमुच्चयों \(2^5\) का मान होगा। परीक्षा टिप: पहले अनिवार्य तत्वों को फिक्स कर लें, फिर बचे हुए \(n-k\) तत्वों के लिए \(2^{n-k}\) से गिनती करें। / Elements a and b are fixed to be included, so we only choose from the remaining 3 elements (c, d, e). Each of these 3 can either be present or absent, giving \(2^3=8\) possible subsets. About the distractors: 4 arises if one mistakenly treats only two elements as free, while 32 equals \(2^5\), the total number of subsets of A. Exam tip: fix required elements first, then count choices for the remaining \(n-k\) elements as \(2^{n-k}\).
ठीक 3 अवयव चुनने के तरीके \(\binom{4}{3}=4\) हैं। क्रम बदलने से नया उपसमुच्चय नहीं बनता। / The number of ways to choose exactly 3 elements is \(\binom{4}{3}=4\). Changing order does not create a new subset.
10 से छोटी अभाज्य संख्याएँ केवल \(2,3,5,7\) हैं। इसलिए \(A=\{2,3,5,7\}\) और यही सेट \(B\) भी है। दो सेट समान तब होते हैं जब उनके तत्व एक-से-एक समान हों। विकल्प (B) गलत है क्योंकि वह कहता है \(A\) उपसेट है पर भिन्न है — पर यहाँ दोनों सेट सटीक रूप से समान हैं। विकल्प (D) गलत है क्योंकि इसमें \(1\) शामिल किया गया है जबकि \(1\) अभाज्य नहीं है। परीक्षा टिप: याद रखें कि \(1\) को अभाज्य नहीं माना जाता; समान सेटों की पहचान उनके तत्वों की तुलना से करें। / The primes less than 10 are exactly \(2,3,5,7\). Hence \(A=\{2,3,5,7\}\), which is the same collection as \(B\); so \(A=B\). Two sets are equal only if they have precisely the same elements. Distractor (B) is wrong because it asserts \(A\) is a proper subset of \(B\), but here neither set misses any element of the other. Distractor (D) is wrong because it wrongly includes \(1\), and \(1\) is not a prime. Exam tip: Always check whether 1 is (incorrectly) listed — 1 is not prime. Also compare elements directly to test set equality versus proper subset.
दिया गया द्विघातीय व्यंजक \(x^2-5x+6\) को गुणनखंडों में लिखें: \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\)। इसलिए समीकरण \((x-2)(x-3)=0\) के हल \(x=2\) और \(x=3\) हैं। अतः \(A=\{2,3\}\) जो कि स्पष्टतः \(B\) के बराबर है, तो \(A=B\) सही है। अन्य विकल्प गलत हैं: \(A=\{6\}\) गलत है क्योंकि 6 कोई मूल नहीं है; \(B\subset A\) लेकिन \(A\ne B\) गलत है क्योंकि वास्तव में दोनों समुच्चय समान हैं; \(A=\varnothing\) गलत है क्योंकि समीकरण के वास्तविक हल मौजूद हैं। परीक्षा टिप: द्विघात को गुणनखंडों में लिखकर सीधे मूल निकालें या आवश्यकता हो तो द्विघात सूत्र का उपयोग करें और फिर समाधान समुच्चय स्पष्ट रूप से लिखें। / Factor the quadratic: \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\). So \((x-2)(x-3)=0\) gives solutions \(x=2\) and \(x=3\). Hence \(A=\{2,3\}=B\), so \(A=B\) is correct. Why the others are wrong: \(A=\{6\}\) is false because 6 is not a root; the statement "\(B\subset A\) but \(A\ne B\)" is false because the sets are equal; \(A=\varnothing\) is false because the equation has real solutions. Exam tip: always factor or use the quadratic formula to list the solution set before comparing sets.
x-2 = x को x(x−1) = 0 के रूप में लिखा जा सकता है, अतः समाधान x = 0 या x = 1 हैं। इसलिए B = {0,1} और यह A के समान है। विकल्प B गलत है क्योंकि A अपने दोनों तत्त्व B में मौजूद होने के कारण A ⊂ B परंतु A ≠ B नहीं हो सकता। विकल्प C गलत है क्योंकि B में 0 भी आता है, केवल 1 नहीं। विकल्प D गलत है क्योंकि A और B एक ही समुच्चय हैं, अतः उनका अन्तराल खाली नहीं बल्कि A स्वयं है। परीक्षा-टिप: समुच्चय को परिभाषित करने वाला समीकरण हल करके सभी संभावित हल लिखें और सीधे A से तुलना करें। / Solving x-2 = x gives x(x−1) = 0, so x = 0 or x = 1. Thus B = {0,1}, which equals A. Option B is incorrect because both elements of A are in B, so A is not a proper subset of B. Option C is wrong since B contains 0 as well as 1. Option D is false because A and B coincide, so their intersection is A (not empty). Exam tip: Solve the defining equation to list all elements of B and then compare element-wise with A.
P(A) अर्थात् power set में A के सभी उपसमुच्चय आते हैं — इनमें शून्य-समुच्चय (empty set) और स्वयं A भी शामिल हैं। यदि किसी समुच्चय में n अवयव हों तो उसके उपसमुच्चयों की संख्या देने का सूत्र है \(2^n\)। यहाँ n = 3 है, अतः उपसमुच्चयों की संख्या \(2^3=8\)। विकल्प B (6) अक्सर 3 के व्यतिक्रम (permutations) 3! = 6 से भ्रमित होने पर चुन लिया जाता है — पर वह उपसमुच्चयों की संख्या नहीं है। विकल्प D (9) केवल 3 का वर्ग है और तर्कसंगत नहीं; विकल्प A (3) मूल अवयवों की संख्या है न कि उपसमुच्चयों की। एक छोटा परीक्षा सुझाव: किसी समुच्चय के उपसमुच्चयों की त्वरित गिनती के लिए हमेशा सूत्र \(2^n\) याद रखें और खाली समुच्चय को गिनना न भूलें। / P(A), the power set of A, contains all subsets of A including the empty set and A itself. For a set with n elements the number of subsets is given by the formula \(2^n\). Here n = 3, so the count is \(2^3=8\). Option B (6) is a common distractor from 3! = 6 (permutations), which is unrelated to counting subsets. Option D (9) is just 3 squared and not relevant; option A (3) is the number of original elements, not the number of subsets. Exam tip: always apply \(2^n\) for the power set size and remember to include the empty subset.
यदि \(A\subseteq B\) है तो प्रत्येक तत्व जो \(A\) में है वह पहले से ही \(B\) में मौजूद है। संघ \(A\cup B\) उन दोनों सेटों के सभी तत्वों का समूह है; चूँकि \(A\) के तत्व \(B\) में हैं, संघ से कोई नया तत्व नहीं जुड़ता और परिणाम \(B\) ही होगा। निकट विकल्प \(A\cap B\) गलत है क्योंकि वह केवल दोनों में सामान्य तत्व देता है, न कि पूरे \(B\) को। परीक्छा सुझाव: जब शर्त \(A\subseteq B\) दी हो तो याद रखें \(A\cup B=B\) और इसी तरह \(A\cap B=A\)। / If \(A\subseteq B\), every element of \(A\) is already in \(B\). The union \(A\cup B\) contains all elements of both sets; since \(A\)'s elements are included in \(B\), the union adds nothing new and equals \(B\). The closest distractor \(A\cap B\) is incorrect because the intersection gives only common elements, not all elements of \(B\). Exam tip: with \(A\subseteq B\) remember \(A\cup B=B\) (and \(A\cap B=A\)).
(A) का हर अवयव (B) में है, इसलिए साझा अवयव पूरे (A) ही हैं। यह उपसमुच्चय का महत्वपूर्ण परिणाम है। / Every element of (A) is in (B), so the common elements are exactly (A). This is an important result of subset relation.
पावर सेट में सभी उपसमुच्चय अवयव के रूप में लिखे जाते हैं। इसलिए एकल अवयव भी ({1}) और ({2}) रूप में होंगे। / In a power set, all subsets are written as elements. Thus single elements appear as ({1}) and ({2}).
रिक्त समुच्चय हर समुच्चय का उपसमुच्चय है और (B) रिक्त नहीं है। इसलिए (A) उचित उपसमुच्चय है। / The empty set is a subset of every set, and (B) is not empty. Hence (A) is a proper subset.
धनात्मक 6 के गुणज जो 20 से छोटे हैं वे हैं 6, 12 और 18। इसलिए \(A=\{6,12,18\}\) और वही सेट \(B\) है, अतः \(A\) और \(B\) समान हैं। विकल्प C (\(B\subset A\) परंतु \(A\ne B\)) गलत है क्योंकि \(A\) में कोई अतिरिक्त तत्व नहीं है; विकल्प D गलत है क्योंकि \(A\) के केवल तीन तत्व हैं, यह अनंत नहीं है। परीक्षा-टिप: सेट-बिल्डर व्यंजनों को स्पष्ट करने के लिए हमेशा पहले तत्व सूचीबद्ध करें। / The positive multiples of 6 less than 20 are 6, 12 and 18. Thus \(A=\{6,12,18\}\), which is exactly \(B\), so \(A\) and \(B\) are equal. Option C is incorrect because it claims \(A\) has extra elements beyond \(B\), which it does not; option D is wrong since \(A\) contains only three elements (finite). Exam tip: when a set is given in set‑builder form, list its elements (within the specified domain) to compare sets directly.
(A) स्वयं (A) का उपसमुच्चय है, लेकिन अपना उचित उपसमुच्चय नहीं है। इसलिए \(A\subset B\) भी असत्य है। / (A) is a subset of itself, but it is not a proper subset of itself. Also \(A\subset B\) is false here.
8 से छोटी धनात्मक विषम संख्याएं 1, 3, 5 और 7 हैं। सूची और नियम दोनों समान समुच्चय देते हैं। / The positive odd numbers less than 8 are 1, 3, 5 and 7. The list and rule give the same set.
2 निश्चित है और 11 निषिद्ध है, शेष 3 अवयव स्वतंत्र हैं। इसलिए \(2^3=8\) उपसमुच्चय हैं। / 2 is fixed and 11 is excluded, while the remaining 3 elements are optional. Hence \(2^3=8\) subsets.
समुच्चय में चार अवयव हैं, तो कुल उपसमुच्चयों की संख्या
i.e. \\(2^4=16\\). "कम से कम एक अवयव" का अर्थ है सभी उपसमुच्चयों में से रिक्त समुच्चय को निकालना। इसलिए संख्या = \\(16-1=15\\)। विकल्प B (16) गलत है क्योंकि वह रिक्त समुच्चय को भी गिनता है; विकल्प C (8) और D (4) भी गलत हैं क्योंकि वे कुल उपसमुच्चयों की पूरी गिनती नहीं दे रहे। परीक्षा टिप: किसी n‑तत्व समुच्चय के गैर‑रिक्त उपसमुच्चयों की संख्या हमेशा \\(2^n-1\\) होती है। / A has 4 elements, so total subsets = \\(2^4=16\\). "At least one element" excludes the empty set, hence number = \\(16-1=15\\). Option B (16) is incorrect because it includes the empty set; options C (8) and D (4) undercount the subsets. Exam tip: for an n‑element set the number of nonempty subsets is always \\(2^n-1\\).
शर्त के अनुसार हम 5 को बाहर रख देते हैं और शेष तत्वों {1,2,3,4} में से ठीक 2 चुनने हैं। इसका योगात्मक सूत्र है \\(\binom{4}{2}=6\\)। इसलिए उत्तर 6 है। विकल्प A (4) गलत है क्योंकि कोई गलती से \\({4 \choose 1}\\) या किसी अन्य ग़लत गणना कर सकता है; विकल्प D (10) गलत है क्योंकि \\({5 \choose 2}=10\\) उन सभी जोड़ों की संख्या देता है जिसमें 5 शामिल हो सकता है — पर प्रश्न ने 5 को न रखने को कहा है। परीक्षा सुझाव: ऐसी समस्याओं में पहले प्रतिबंधित तत्वों को हटा दें और फिर सीधे \(nCk\) सूत्र लगाएँ। / Exclude 5 first; then choose exactly 2 elements from the remaining set {1,2,3,4}. The count is given by \\(\binom{4}{2}=6\\), so 6 is correct. Option A (4) is incorrect — some may mistakenly compute the wrong combination like \(4\) instead of \(\binom{4}{2}\). Option D (10) equals \(\binom{5}{2}\) which counts pairs including 5, so it violates the restriction. Exam tip: remove forbidden elements first, then apply the \(n\text{C}k\) formula to count k-element subsets.</explanation_english
समाधान: \(2x+1<10\) से \(2x<9\) और इसलिए \(x<4.5\). यदि हम सामान्य भारतीय पाठ्यक्रम के अनुसार \(\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}\) मानते हैं तो \(x\) के व्यवहार्य मान 1,2,3,4 हैं। अतः \(A=\{1,2,3,4\}\). निकटतम गलत विकल्पों का विश्लेषण: विकल्प B में 0 शामिल है — यह केवल तभी सही होगा जब प्रश्न में \(\mathbb{N}\) में 0 शामिल करने का स्पष्ट उल्लेख हो; विकल्प C में 5 है, परन्तु \(5\not<4.5\); विकल्प D में 1 की कमी है। परिक्षा-टिप: \(\mathbb{N}\) की परिभाषा (0 शामिल है या नहीं) परीक्षा के संदर्भ में याद रखें। / Solution: From \(2x+1<10\) we get \(2x<9\) so \(x<4.5\). Taking the standard convention in most Indian exams that \(\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}\), the natural-number solutions are 1,2,3,4. Thus \(A=\{1,2,3,4\}\). Why other options fail: B adds 0 (only valid if \(\mathbb{N}\) is defined to include 0, which is not assumed here); C wrongly includes 5 which does not satisfy \(x<4.5\); D omits 1. Exam tip: check the convention for \(\mathbb{N}\) in the exam — many problems assume \(\mathbb{N}\) starts at 1 unless stated otherwise.
A. \({1,2}\subset A\) और \({1,2}\in A\) दोनों सत्य हैं/Both \({1,2}\subset A\) and \({1,2}\in A\) are true
Explanation
Simple Explanation
(1) और (2) (A) में हैं, इसलिए \({1,2}\subset A\), और ({1,2}) भी एक अवयव है। यह मिश्रित notation का अच्छा उदाहरण है। / Since (1) and (2) are in (A), \({1,2}\subset A\), and ({1,2}) is also an element. This is a good mixed notation example.
गणितीय परिभाषा के अनुसार \(P(A)\) (A का पावर सेट) के अवयव A के सभी उपसमुच्चय होते हैं। \(\{1,2\}\) A का उपसमुच्चय है इसलिए यह \(P(A)\) का अवयव है। विकल्प A (1) केवल A का एक तत्व है, उपसमुच्चय नहीं; विकल्प C \(\{4\}\) में 4 A का तत्व नहीं है; विकल्प D \(\{1,4\}\) में 4 A में नहीं है इसलिए वह भी उपसमुच्चय नहीं। परीक्षा-सुझाव: किसी सेट के पावर सेट में तभी सदस्य होता है जब वह सेट A के सभी तत्व A में से ही लिए गए हों — प्रत्येक विकल्प को उपसमुच्चय होने की शर्त से जाँचें। / By definition, \(P(A)\), the power set of A, consists of all subsets of A. \(\{1,2\}\) is a subset of A, so it belongs to \(P(A)\). Option A (1) is an element of A but not a subset; option C \(\{4\}\) contains 4 which is not in A; option D \(\{1,4\}\) includes 4 and thus is not a subset. Exam tip: To check membership in \(P(A)\), verify every element of the candidate set is also an element of A (i.e., check subset relation).
सम अवधारणा: सम संख्या वे होते हैं जो 2 से पूरी तरह विभाज्य हों। सेट \(A\) के तत्वों में 2, 4 और 6 ऐसे हैं जो 2 से विभाज्य हैं। इसलिए सम अवयवों का समुच्चय \(B=\{2,4,6\}\) और यह स्पष्ट रूप से \(B\subset A\) है। निकटतम विचलन (विकल्प C) केवल 2 और 4 देता है और 6 को छोड़ देता है; विकल्प A विषम संख्याएँ हैं और विकल्प D में विषम भी शामिल हैं, इसलिए वे गलत हैं। परीक्षा टिप: हर तत्व पर "2 से विभाज्यता" की तेज जाँच से सम अवयव तुरंत मिल जाते हैं। / Core concept: even numbers are those divisible by 2. Among the elements of \(A\) only 2, 4 and 6 are divisible by 2, so the set of even elements is \(B=\{2,4,6\}\), and clearly \(B\subset A\). The closest distractor (option C) omits 6; option A lists odd numbers; option D is the whole set including odd elements, so they are incorrect. Exam tip: check divisibility by 2 for each element to identify even members quickly.
15 के धनात्मक भाजक हैं 1, 3, 5 और 15। इसलिए समुच्चय A के सभी तत्व ठीक वही हैं जो B में दिये गए हैं, अतः A = B। विकल्प (B) गलत है क्योंकि वह कहता है कि A, B का एक उचित उपसमुच्चय है (A⊂B) जबकि वास्तव में दोनों समुच्चय समान हैं; विकल्प (C) भी गलत है क्योंकि वह B को A का उचित उपसमुच्चय मानता है — यह भी सत्य नहीं। परिक्षा-टिप: किसी संख्या के सभी धनात्मक भाजक निकालने के लिए संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें और फिर गुणनखंडों से सभी संभावित गुणा-योग से भाजक बनाएं; 15 = 3×5 से भाजक 1,3,5,15 मिलते हैं। / The positive divisors of 15 are 1, 3, 5 and 15. Thus A contains exactly these elements and matches B, so A = B. Option B is incorrect because it claims A is a proper subset of B (A ⊂ B), but here A and B have the same elements; option C is also incorrect for the analogous reason. Exam tip: Factor the number (15 = 3×5) and list all combinations of prime factors (including 1 and the number itself) to get all positive divisors quickly.
D. न तो \(A\subseteq B\) और न ही \(B\subseteq A\)/Neither \(A\subseteq B\) nor \(B\subseteq A\)
Explanation
Simple Explanation
दो समुच्चयों के बराबर होने के लिए उनकी हर तत्व एक-दूसरे में होना आवश्यक है। यहाँ \(A\) में तत्व \(a\) है जो \(B\) में नहीं है, और \(B\) में \(d\) है जो \(A\) में नहीं है। अतः \(A= B\) गलत है। \(A\subset B\) तभी सही होगा जब हर तत्व \(A\) का \(B\) में भी हो — किन्तु \(a\) \(B\) में नहीं है, इसलिए यह भी गलत है। इसी प्रकार \(B\subset A\) भी गलत है क्योंकि \(d\) \(A\) में नहीं है। इसलिए सही कथन है कि न तो \(A\subseteq B\) और न ही \(B\subseteq A\)। परीक्षा-सुझाव: किसी भी समुच्चय-तुलना में हर तत्व की सदस्यता एक-एक जाँचें; किसी एक तत्व का अभाव उपसमुच्चय का तात्कालिक खंडन कर देता है। / For two sets to be equal they must have exactly the same elements. Here \(A\) contains \(a\) which is not in \(B\), and \(B\) contains \(d\) which is not in \(A\). So \(A= B\) is false. \(A\subset B\) would require every element of \(A\) to be in \(B\), but \(a\notin B\), so that is false; similarly \(B\subset A\) is false because \(d\notin A\). Thus neither \(A\subseteq B\) nor \(B\subseteq A\) holds. Exam tip: to test subset relations, verify membership of each element of the smaller-looking set in the other set; a single counterexample is sufficient to disprove a subset claim.
A. \(A-B=\{1,4\}\) और यह \(A\) का उपसमुच्चय है/\(A-B=\{1,4\}\) and it is a subset of \(A\)
Explanation
Simple Explanation
परिभाषा के अनुसार \(A-B=\{x\in A:\;x\notin B\}\)। यहाँ \(A\) के वे तत्व जो \(B\) में नहीं हैं वे 1 और 4 हैं, अतः \(A-B=\{1,4\}\)। किसी भी सेट के लिए \(A-B\) हमेशा \(A\) का उपसमुच्चय होता है क्योंकि हम \(A\) के भीतर से कुछ तत्व हटा रहे होते हैं। विकल्प (B) गलत है क्योंकि \{2,3\} तो \(B\) के तत्व हैं और वे \(A-B\) में नहीं आते; विकल्प (C) तभी सत्य होगा जब \(A\) और \(B\) का कोई समान तत्व न हो; विकल्प (D) तब ही होगा जब \(A\subseteq B\)। परीक्षा-सुझाव: पहले \(A-B\) के लिए \(A\) के हर तत्व की सदस्यता \(B\) में जांच लें — यही तेज और सुरक्षित तरीका है। / By definition \(A-B=\{x\in A:\;x\notin B\}\). The elements of \(A\) that are not in \(B\) are 1 and 4, so \(A-B=\{1,4\}\). Also, for any sets \(A\) and \(B\), \(A-B\) is always a subset of \(A\) because we remove some (or none) of \(A\)'s elements. Option (B) is incorrect because \{2,3\} are elements of \(B\) and thus not in \(A-B\); (C) would be true only if \(A\cap B=\varnothing\); (D) would hold only if \(A\subseteq B\). Exam tip: check each element of \(A\) against membership in \(B\) to form \(A-B\) quickly and accurately.
हर अवयव अपने ही समुच्चय में होता है, इसलिए \(A\subseteq A\) सत्य है। इसे reflexive property की तरह याद रखें। / Every element of a set is in the same set, so \(A\subseteq A\) is true. Remember it like a reflexive property.
\(A\subset B\) उचित उपसमुच्चय को दर्शाता है, इसलिए बराबरी संभव नहीं। प्रतीक \(\subset\) और \(\subseteq\) में अंतर रखें। / \(A\subset B\) denotes a proper subset, so equality is not possible. Distinguish \(\subset\) from \(\subseteq\).
कुल 16 उपसमुच्चय हैं और जिनमें न 1 है न 2, वे ({3,4}) के \(2^2=4\) उपसमुच्चय हैं। इसलिए (16-4=12)। / There are 16 total subsets, and those containing neither 1 nor 2 are the \(2^2=4\) subsets of ({3,4}). Hence (16-4=12).
1 निश्चित है और 2 नहीं लेना है, शेष 3 अवयव स्वतंत्र हैं। इसलिए \(2^3=8\) उपसमुच्चय होंगे। / 1 is fixed and 2 is excluded, while the remaining 3 elements are optional. Thus \(2^3=8\) subsets.
दोनों सेट-बिल्डर व्यंजनों को रोस्टर रूप में लिखें: \(x\le 4\) और \(x<5\) प्राकृतिक संख्याओं के लिए एक ही तत्वों का समूह देते हैं। मानक परिभाषा \(\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}\) लेकर, दोनों सेट \(\{1,2,3,4\}\) हैं, इसलिए \(A=B\)। निकटतम भ्रामक विकल्प \(A\subset B\) गलत है क्योंकि यहाँ समुच्चय समतुल्य हैं — यह एक समानता है, न कि समुच्चय का सख्त भाग। परीक्षा टिप: समुच्चय-निर्देशों को शीघ्रता से सदस्य-रूप में बदलकर किसी भी असमानता का तुलनात्मक अर्थ जाँचे। / Write both set-builder descriptions in roster form. For natural numbers, the conditions \(x\le 4\) and \(x<5\) pick out the same elements. Under the usual convention \(\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}\), both sets are \(\{1,2,3,4\}\), so \(A=B\). The closest distractor, \(A\subset B\) but \(A\ne B\), is wrong because the sets are equal rather than one being a proper subset of the other. Exam tip: convert set-builder notation to roster notation to compare sets quickly; note that for integers \(x\le 4\) is equivalent to \(x<5\).
चूँकि उपसमुच्चय में \(A\) के सभी तत्व (1, 2, 3) अनिवार्य रूप से होने चाहिए, इसलिए ये तीन तत्व निश्चित हैं। सेट \(B\) में शेष तत्व \{4,5\} हैं और हर एक को शामिल या न शामिल किया जा सकता है। अतः संभावनाएँ \(2^{2}=4\) हैं। निकटतम भ्रामक विकल्प (8) तब गलत होगा जब कोई सोच ले कि A के तत्व वैकल्पिक हैं और कुल 3 अतिरिक्त तत्व हैं; यह गलत है। परीक्षा टिप: सामान्य सूत्र — यदि \(|B|=n\) और \(|A|=k\) तथा \(A\subseteq B\), तो ऐसे उपसमुच्चयों की संख्या \(2^{n-k}\) होती है। / All elements of \(A\) (1, 2, 3) must be present, so they are fixed. The remaining elements of \(B\) are \{4,5\}, each of which may be either included or excluded independently, giving \(2^{2}=4\) subsets. The closest distractor (8) would correspond to wrongly treating three elements as optional (i.e. \(2^{3}\)), which is incorrect because elements of \(A\) are not optional. Exam tip: if \(|B|=n\) and \(|A|=k\) with \(A\subseteq B\), the count is \(2^{n-k}\).
