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समुच्चय-निर्माण नियम के अनुसार \(B\) में वे सभी धनात्मक सम संख्याएँ हैं जो 8 से छोटी हैं, अर्थात् \(B=\{2,4,6\}\). चूँकि \(A\) भी \(\{2,4,6\}\) है, इसलिए \(A=B\). विकल्प (B) और (C) गलत हैं क्योंकि वे कहते हैं कि एक समुच्चय दूसरे का सख्त उपसमुच्चय है (अर्थात् बराबर नहीं), पर यहाँ दोनों समान हैं। विकल्प (D) गलत है क्योंकि दो समुच्चयों का परिमिलन खाली नहीं है — वे सभी तत्व साझा करते हैं। परीक्षा-सुझाव: सेट-बिल्डर विवरण को हमेशा सूची में विस्तार करके लिखें ताकि तत्व स्पष्ट दिखें। / From the set-builder description, \(B\) contains all positive even numbers less than 8, so \(B=\{2,4,6\}\). Since \(A=\{2,4,6\}\) as well, we have \(A=B\). Options (B) and (C) are incorrect because they assert a strict subset relation (one set different from the other), which is not true here. Option (D) is wrong because the intersection is not empty — the sets share the same elements. Exam tip: convert set-builder notation into a list of elements to compare sets directly.
समीकरण से ((x-1)(x-3)=0), इसलिए \(A=\{1,3\}\)। बराबर समुच्चय में अवयव वही होते हैं, क्रम जरूरी नहीं। / The equation gives ((x-1)(x-3)=0), so \(A=\{1,3\}\). Equal sets have the same elements, order is not important.
समुच्चय में किसी अवयव की पुनरावृत्ति नहीं गिनी जाती। परीक्षा में पहले वास्तविक अलग-अलग अवयव लिखें। / Repeated elements are not counted in a set. In exams, first list the distinct elements.
18 के धनात्मक सम भाजक 2, 6 और 18 हैं। शर्तों को एक-एक करके जांचना परीक्षा में गलती कम करता है। / The positive even divisors of 18 are 2, 6 and 18. Checking each condition one by one reduces mistakes in exams.
(A) का हर अवयव (B) में है और (B) में एक अतिरिक्त अवयव है। इसलिए (A), (B) का उचित उपसमुच्चय है। / Every element of (A) is in (B), and (B) has one extra element. So (A) is a proper subset of (B).
(a) निश्चित है और (c) हटाया गया है, इसलिए (b,d,e) में से 2 चुनने हैं। संख्या \(\binom{3}{2}=3\) है। / (a) is fixed and (c) is excluded, so choose 2 from (b,d,e). The number is \(\binom{3}{2}=3\).
बराबर समुच्चयों में वही अवयव होने चाहिए, इसलिए 3 और 5 दोनों ओर होने चाहिए। ऐसे प्रश्नों में क्रम से भ्रमित न हों। / Equal sets must contain exactly the same elements, so 3 and 5 must appear on both sides. Do not be confused by order.
बराबर समुच्चय के लिए दोनों अवयव 4 और 6 ही होने चाहिए। (m=4) रखने पर ({m,m+2}={4,6}) मिलता है। / For equal sets, the two elements must be exactly 4 and 6. Substituting (m=4) gives ({m,m+2}={4,6}).
समस्या में परिभाषा के अनुसार \(A\) में वे पूर्णांक हैं जिनके लिए \(x^2=4\)। पूर्णांकों में इस समीकरण के हल \(-2\) और \(2\) हैं, अतः \(A=\{-2,2\}\) जो ठीक \(B\) के बराबर है। निकटतम भ्रामक विकल्प \(C\) इसलिए गलत है क्योंकि वह कहता है कि \(B\) केवल एक उचित उपसमुच्चय है—पर वास्तव में \(A\) में भी वही तत्व मौजूद हैं, इसलिए \(A\subset B\) भी सत्य है। परीक्छा-टिप: जब \(x^2=k\) जैसा समीकरण मिले तो दोनों चिह्न \(\pm\sqrt{k}\) परीक्षण में लें और दिए गए डोमेन (यहाँ \(\mathbb{Z}\)) की जाँच करें। / By definition, \(A\) contains integers satisfying \(x^2=4\). The integer solutions are \(-2\) and \(2\), so \(A=\{-2,2\}=B\). The closest distractor is (C): it incorrectly claims \(B\) is a proper subset of \(A\); since both sets have identical elements, each is a subset of the other, so neither is a proper subset. Exam tip: for equations of the form \(x^2=k\) always consider both signs \(\pm\sqrt{k}\) and check the domain (e.g. integers, reals) before listing elements.
A. \({2}\in A\) और \({2}\subset A\) दोनों सत्य हैं/Both \({2}\in A\) and \({2}\subset A\) are true
Explanation
Simple Explanation
({2}) (A) का अवयव है और 2 भी (A) में है, इसलिए \({2}\subset A\) भी सत्य है। \(\in\) और \(\subset\) का अंतर ध्यान रखें। / ({2}) is an element of (A), and 2 is also in (A), so \({2}\subset A\) is also true. Keep the difference between \(\in\) and \(\subset\) clear.
12 के सभी धनात्मक गुणनखंड यही छह हैं। वर्णनात्मक रूप और सूची रूप एक ही समुच्चय दे रहे हैं। / These six numbers are exactly the positive factors of 12. Set-builder form and roster form give the same set.
सीमित समुच्चयों में यदि एक दूसरे का उपसमुच्चय हो और दोनों में समान संख्या में अवयव हों, तो वे बराबर होते हैं। यह बराबरी सिद्ध करने का उपयोगी नियम है। / For finite sets, if one is a subset of the other and both have the same number of elements, they are equal. This is a useful rule for proving equality.
समुच्चय \(A\) के तत्व हैं 1, 2 और \(\{3\}\) (एक सेट जो स्वयं एक तत्व है)। संख्या 3 स्वयं \(A\) का अवयव नहीं है क्योंकि \(A\) में 3 मौजूद नहीं है — वहाँ केवल \(\{3\}\) नामक तत्व है। इसलिए \(\{3\}\in A\) सही है। विकल्प \(3\in A\) आम त्रुटि है और गलत है; विकल्प \(\{1,2,3\}=A\) भी गलत है क्योंकि \(A\) का तीसरा तत्व \(3\) नहीं बल्कि \(\{3\}\) है; और \(\{3\}\subset A\) भी गलत है क्योंकि \(\{3\}\) का एकमात्र सदस्य 3 है और 3, \(A\) का सदस्य नहीं है। परीक्षा-सुझाव: अवयव (element) और उपसमुच्चय (subset) को अलग तरह से नोट करें — \(x\in A\) बनाम \(\{x\}\subset A\)। / The elements of \(A\) are 1, 2 and \(\{3\}\) (i.e. a set which itself is an element). The number 3 is not an element of \(A\); instead the element is the set \(\{3\}\). Thus \(\{3\}\in A\) is correct. The statement \(3\in A\) is a common mistake and false. \(\{1,2,3\}=A\) is false because \(A\) does not contain 3 but contains \(\{3\}\). \(\{3\}\subset A\) is false since the only member of \(\{3\}\) is 3, and 3 \(\notin A\). Exam tip: clearly distinguish element (\(\in\)) from subset (\(\subset\)) when reading set expressions.
4, (A) का अवयव नहीं है, इसलिए ({2,4}) उपसमुच्चय नहीं है। किसी भी विकल्प में बाहरी अवयव खोजें। / 4 is not an element of (A), so ({2,4}) is not a subset. Look for any outside element in the option.
यदि किसी समुच्चय में n अवयव होते हैं तो उसके उपसमुच्चयों की संख्या \\(2^n\\) होती है क्योंकि प्रत्येक अवयव को या तो उपसमुच्चय में रख सकते हैं या नहीं — दो विकल्प प्रति अवयव। यहाँ n = 5 है, अतः कुल उपसमुच्चय होंगे \\(2^5 = 32\\)。
गलत विकल्पों का संक्षिप्त कारण: 10 किसी द्वि-चयन या संयोजन का सामान्य परिणाम नहीं है; 25 = 52 है जो यहाँ प्रयुक्त नहीं होता; 120 = 5! है (5 का गुणनफल) और यह क्रमपरिवर्तन/व्यवस्थित क्रम से संबंधित है, न कि उपसमुच्चयों से।
परीक्षा टिप: किसी समुच्चय के उपसमुच्चयों की गिनती के लिए तुरंत सूत्र \\(2^n\\) याद रखें और खाली समुच्चय तथा पूरा समुच्चय दोनों गिने जाते हैं। / A set with n elements has \\(2^n\\) subsets because each element has two choices (included or excluded), giving 2 multiplied n times. For n = 5 we get \\(2^5 = 32\\).
Why the other options are wrong: 10 is not derived from the subsets formula; 25 equals 52 which is irrelevant here; 120 equals 5! (permutations of 5) and relates to ordering, not counting subsets.
Exam tip: Recall the formula \\(2^n\\) and remember the empty set and the set itself are counted among the subsets.
किसी n-अवयवीय समुच्चय के कुल उपसमुच्चयों की संख्या \\(2^n\\) होती है। यहाँ \\(2^n=64\\) लेने पर \\(n=6\\) आता है, इसलिए समुच्चय में 6 अवयव हैं। नज़दीकी ग़लत विकल्प का कारण: उदाहरण के लिए \\(n=7\\) होने पर \\(2^7=128\\) उपसमुच्चय मिलेंगे, इसलिए 7 गलत है। परीक्षा-सूत्र: 64 को 2 के घातों के रूप में तुरन्त पहचानें (\\(64=2^6\\)). / For a set with n elements the number of all subsets is \\(2^n\\). So solve \\(2^n=64\\), giving \\(n=6\\). Thus A has 6 elements. Why a close distractor is wrong: if n=7 then \\(2^7=128\\) subsets, not 64. Exam tip: recognise common powers of two (32, 64, 128) or take log base 2 to find n quickly.
किसी n-अवयव वाले समुच्चय के कुल उपसमुच्चयों की संख्या \\(2^n\\) होती है। यहाँ n=4 होने पर कुल उपसमुच्चय \\(2^4=16\\) होंगे। पर उचित उपसमुच्चय की परिभाषा के अनुसार समुच्चय स्वयं शामिल नहीं होता, इसलिए उचित उपसमुच्चयों की संख्या \\((2^4)-1=15\\) है। विकल्प B (16) गलत है क्योंकि वह समुच्चय स्वयं को भी गिनता है; विकल्प C (8) गलत अनुमान लगता है—यह \\(2^{n-1}\\) का भ्रम हो सकता है; विकल्प D (14) किसी अवयव को और घटाकर मिली ग़लत गणना है। परीक्षा-सूचना: सामान्य नियम याद रखें—किसी n-अवयव वाले समुच्चय के उचित उपसमुच्चय = \\(2^n-1\\)। / The total number of subsets of an n-element set is \\(2^n\\). For n=4, total subsets = \\(2^4=16\\). A proper subset excludes the set itself, so the count of proper subsets = \\(2^4-1=15\\). Option B (16) is incorrect because it includes the set itself; option C (8) is a common mistake (confusing with \\(2^{n-1}\\) or half the power set); option D (14) is simply an incorrect subtraction. Exam tip: remember proper subsets = \\(2^n-1\\) for quick answers on any n.
4 तत्त्वों में से 2 तत्त्व चुनने की संख्या संयोजन से दी जाती है: \(\binom{4}{2}=\dfrac{4\times3}{2\times1}=6\)। उपसमुच्चयों में क्रम मायने नहीं रखता, इसलिए परमुटेशन न लें। विकल्प 4 गलत है — यह संभवतः कुल तत्त्वों से भ्रमित होने का परिणाम है; विकल्प 8 भी गलत है क्योंकि वह किसी मान्य संयोजन/परमुटेशन का परिणाम नहीं है। परीक्षा सुझाव: छोटे सेट के लिए पहले व्यवस्थित रूप से सभी जोड़े लिखकर जाँच करें या सीधे \(\binom{n}{r}\) सूत्र लागू करें। / The number of ways to choose 2 elements from 4 is given by combinations: \(\binom{4}{2}=\dfrac{4\times3}{2\times1}=6\). Order does not matter for subsets, so do not use permutations. Option 4 is incorrect — it likely confuses the answer with the total number of elements; option 8 is also incorrect since it does not follow from a valid combination/permutation here. Exam tip: For small sets list all 2‑element subsets systematically or use the \(\binom{n}{r}\) formula.
1 को निश्चित रखें और शेष 4 अवयवों को चुनना या न चुनना स्वतंत्र है। इसलिए \(2^4=16\) उपसमुच्चय मिलते हैं। / Fix 1, and each of the remaining 4 elements may be chosen or not. So there are \(2^4=16\) subsets.
कुल सेट में 6 अवयव हैं, इसलिए सभी उपसमुच्चयों की संख्या 26 = 64 है। यदि हम विशेष रूप से उन उपसमुच्चयों की गिनती करना चाहें जिनमें 2 मौजूद नहीं है, तो 2 को हटाने पर शेष 5 अवयवों के सभी उपसमुच्चय बनते हैं, यानी 25 = 32। इसलिए उत्तर 32 है। नोट: 16 = 24 तब मिलता यदि केवल 4 अवयव बचे होते; 64 में वे भी शामिल हैं जिनमें 2 हो (इसलिए वह सभी उपसमुच्चयों की संख्या है)। परीक्षा टिप: किसी निश्चित तत्व को शामिल न करने वाले उपसमुच्चयों की संख्या कुल उपसमुच्चयों का आधा होती है (यदि तत्व की उपस्थिति/अनुपस्थिति स्वतंत्र हो)। / The set has 6 elements, so total subsets = 26 = 64. Subsets that do not contain the element 2 are exactly the subsets of the remaining 5 elements, which number 25 = 32. Thus 32 is correct. Remarks on distractors: 16 = 24 would correspond to only 4 remaining elements; 64 counts all subsets including those with 2; 48 is not a power of two and cannot be the exact count of subsets. Exam tip: excluding one fixed element halves the total number of subsets, so use 2^(n-1).
a और b को शामिल करना अनिवार्य है, इसलिए वे 'फिक्स' हैं। शेष 3 तत्व (c, d, e) में से हर एक के लिए दो विकल्प हैं — शामिल हो या न हो — अतः कुल उपसमुच्चयों की संख्या
\(2^3=8\) है। गलत विकल्पों के बारे में: \(4\) तब होता यदि केवल 2 स्वतंत्र तत्व माने गए हों (भूल), और \(32\) पूरे सेट के सभी उपसमुच्चयों \(2^5\) का मान होगा। परीक्षा टिप: पहले अनिवार्य तत्वों को फिक्स कर लें, फिर बचे हुए \(n-k\) तत्वों के लिए \(2^{n-k}\) से गिनती करें। / Elements a and b are fixed to be included, so we only choose from the remaining 3 elements (c, d, e). Each of these 3 can either be present or absent, giving \(2^3=8\) possible subsets. About the distractors: 4 arises if one mistakenly treats only two elements as free, while 32 equals \(2^5\), the total number of subsets of A. Exam tip: fix required elements first, then count choices for the remaining \(n-k\) elements as \(2^{n-k}\).
ठीक 3 अवयव चुनने के तरीके \(\binom{4}{3}=4\) हैं। क्रम बदलने से नया उपसमुच्चय नहीं बनता। / The number of ways to choose exactly 3 elements is \(\binom{4}{3}=4\). Changing order does not create a new subset.
10 से छोटी अभाज्य संख्याएँ केवल \(2,3,5,7\) हैं। इसलिए \(A=\{2,3,5,7\}\) और यही सेट \(B\) भी है। दो सेट समान तब होते हैं जब उनके तत्व एक-से-एक समान हों। विकल्प (B) गलत है क्योंकि वह कहता है \(A\) उपसेट है पर भिन्न है — पर यहाँ दोनों सेट सटीक रूप से समान हैं। विकल्प (D) गलत है क्योंकि इसमें \(1\) शामिल किया गया है जबकि \(1\) अभाज्य नहीं है। परीक्षा टिप: याद रखें कि \(1\) को अभाज्य नहीं माना जाता; समान सेटों की पहचान उनके तत्वों की तुलना से करें। / The primes less than 10 are exactly \(2,3,5,7\). Hence \(A=\{2,3,5,7\}\), which is the same collection as \(B\); so \(A=B\). Two sets are equal only if they have precisely the same elements. Distractor (B) is wrong because it asserts \(A\) is a proper subset of \(B\), but here neither set misses any element of the other. Distractor (D) is wrong because it wrongly includes \(1\), and \(1\) is not a prime. Exam tip: Always check whether 1 is (incorrectly) listed — 1 is not prime. Also compare elements directly to test set equality versus proper subset.
दिया गया द्विघातीय व्यंजक \(x^2-5x+6\) को गुणनखंडों में लिखें: \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\)। इसलिए समीकरण \((x-2)(x-3)=0\) के हल \(x=2\) और \(x=3\) हैं। अतः \(A=\{2,3\}\) जो कि स्पष्टतः \(B\) के बराबर है, तो \(A=B\) सही है। अन्य विकल्प गलत हैं: \(A=\{6\}\) गलत है क्योंकि 6 कोई मूल नहीं है; \(B\subset A\) लेकिन \(A\ne B\) गलत है क्योंकि वास्तव में दोनों समुच्चय समान हैं; \(A=\varnothing\) गलत है क्योंकि समीकरण के वास्तविक हल मौजूद हैं। परीक्षा टिप: द्विघात को गुणनखंडों में लिखकर सीधे मूल निकालें या आवश्यकता हो तो द्विघात सूत्र का उपयोग करें और फिर समाधान समुच्चय स्पष्ट रूप से लिखें। / Factor the quadratic: \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\). So \((x-2)(x-3)=0\) gives solutions \(x=2\) and \(x=3\). Hence \(A=\{2,3\}=B\), so \(A=B\) is correct. Why the others are wrong: \(A=\{6\}\) is false because 6 is not a root; the statement "\(B\subset A\) but \(A\ne B\)" is false because the sets are equal; \(A=\varnothing\) is false because the equation has real solutions. Exam tip: always factor or use the quadratic formula to list the solution set before comparing sets.
x-2 = x को x(x−1) = 0 के रूप में लिखा जा सकता है, अतः समाधान x = 0 या x = 1 हैं। इसलिए B = {0,1} और यह A के समान है। विकल्प B गलत है क्योंकि A अपने दोनों तत्त्व B में मौजूद होने के कारण A ⊂ B परंतु A ≠ B नहीं हो सकता। विकल्प C गलत है क्योंकि B में 0 भी आता है, केवल 1 नहीं। विकल्प D गलत है क्योंकि A और B एक ही समुच्चय हैं, अतः उनका अन्तराल खाली नहीं बल्कि A स्वयं है। परीक्षा-टिप: समुच्चय को परिभाषित करने वाला समीकरण हल करके सभी संभावित हल लिखें और सीधे A से तुलना करें। / Solving x-2 = x gives x(x−1) = 0, so x = 0 or x = 1. Thus B = {0,1}, which equals A. Option B is incorrect because both elements of A are in B, so A is not a proper subset of B. Option C is wrong since B contains 0 as well as 1. Option D is false because A and B coincide, so their intersection is A (not empty). Exam tip: Solve the defining equation to list all elements of B and then compare element-wise with A.
P(A) अर्थात् power set में A के सभी उपसमुच्चय आते हैं — इनमें शून्य-समुच्चय (empty set) और स्वयं A भी शामिल हैं। यदि किसी समुच्चय में n अवयव हों तो उसके उपसमुच्चयों की संख्या देने का सूत्र है \(2^n\)। यहाँ n = 3 है, अतः उपसमुच्चयों की संख्या \(2^3=8\)। विकल्प B (6) अक्सर 3 के व्यतिक्रम (permutations) 3! = 6 से भ्रमित होने पर चुन लिया जाता है — पर वह उपसमुच्चयों की संख्या नहीं है। विकल्प D (9) केवल 3 का वर्ग है और तर्कसंगत नहीं; विकल्प A (3) मूल अवयवों की संख्या है न कि उपसमुच्चयों की। एक छोटा परीक्षा सुझाव: किसी समुच्चय के उपसमुच्चयों की त्वरित गिनती के लिए हमेशा सूत्र \(2^n\) याद रखें और खाली समुच्चय को गिनना न भूलें। / P(A), the power set of A, contains all subsets of A including the empty set and A itself. For a set with n elements the number of subsets is given by the formula \(2^n\). Here n = 3, so the count is \(2^3=8\). Option B (6) is a common distractor from 3! = 6 (permutations), which is unrelated to counting subsets. Option D (9) is just 3 squared and not relevant; option A (3) is the number of original elements, not the number of subsets. Exam tip: always apply \(2^n\) for the power set size and remember to include the empty subset.
यदि \(A\subseteq B\) है तो प्रत्येक तत्व जो \(A\) में है वह पहले से ही \(B\) में मौजूद है। संघ \(A\cup B\) उन दोनों सेटों के सभी तत्वों का समूह है; चूँकि \(A\) के तत्व \(B\) में हैं, संघ से कोई नया तत्व नहीं जुड़ता और परिणाम \(B\) ही होगा। निकट विकल्प \(A\cap B\) गलत है क्योंकि वह केवल दोनों में सामान्य तत्व देता है, न कि पूरे \(B\) को। परीक्छा सुझाव: जब शर्त \(A\subseteq B\) दी हो तो याद रखें \(A\cup B=B\) और इसी तरह \(A\cap B=A\)। / If \(A\subseteq B\), every element of \(A\) is already in \(B\). The union \(A\cup B\) contains all elements of both sets; since \(A\)'s elements are included in \(B\), the union adds nothing new and equals \(B\). The closest distractor \(A\cap B\) is incorrect because the intersection gives only common elements, not all elements of \(B\). Exam tip: with \(A\subseteq B\) remember \(A\cup B=B\) (and \(A\cap B=A\)).
(A) का हर अवयव (B) में है, इसलिए साझा अवयव पूरे (A) ही हैं। यह उपसमुच्चय का महत्वपूर्ण परिणाम है। / Every element of (A) is in (B), so the common elements are exactly (A). This is an important result of subset relation.
पावर सेट में सभी उपसमुच्चय अवयव के रूप में लिखे जाते हैं। इसलिए एकल अवयव भी ({1}) और ({2}) रूप में होंगे। / In a power set, all subsets are written as elements. Thus single elements appear as ({1}) and ({2}).
रिक्त समुच्चय हर समुच्चय का उपसमुच्चय है और (B) रिक्त नहीं है। इसलिए (A) उचित उपसमुच्चय है। / The empty set is a subset of every set, and (B) is not empty. Hence (A) is a proper subset.
धनात्मक 6 के गुणज जो \(x<20\) की शर्त पूरी करते हैं वे हैं 6, 12 और 18। अतः \(A=\{6,12,18\}=B\)। विकल्प C (\(B\subset A\) लेकिन \(A\ne B\)) भ्रमित करने वाला है क्योंकि वह मान लेता है कि \(A\) में और भी तत्व हैं — पर नहीं; विकल्प D गलत है क्योंकि \(A\) केवल तीन तत्वों वाला समुच्चय है, अनन्त नहीं। परीक्षा संकेत: सेट‑बिल्डर लिखते समय डोमेन (यहाँ “धनात्मक”) स्पष्ट करें और तत्व गिनकर लिख लें। / The positive multiples of 6 that satisfy \(x<20\) are 6, 12 and 18. Therefore \(A=\{6,12,18\}=B\), so \(A=B\). A tempting distractor is C (\(B\subset A\) but \(A\ne B\)), which would be true only if \(A\) had extra elements beyond 6,12,18 — it does not. D is wrong because \(A\) is finite (three elements), not infinite. Exam tip: when given a set‑builder description, list the elements explicitly under the stated domain (e.g. positive integers) before comparing sets.
(A) स्वयं (A) का उपसमुच्चय है, लेकिन अपना उचित उपसमुच्चय नहीं है। इसलिए \(A\subset B\) भी असत्य है। / (A) is a subset of itself, but it is not a proper subset of itself. Also \(A\subset B\) is false here.
8 से छोटी धनात्मक विषम संख्याएं 1, 3, 5 और 7 हैं। सूची और नियम दोनों समान समुच्चय देते हैं। / The positive odd numbers less than 8 are 1, 3, 5 and 7. The list and rule give the same set.
2 निश्चित है और 11 निषिद्ध है, शेष 3 अवयव स्वतंत्र हैं। इसलिए \(2^3=8\) उपसमुच्चय हैं। / 2 is fixed and 11 is excluded, while the remaining 3 elements are optional. Hence \(2^3=8\) subsets.
किसी n-तत्व वाले समुच्चय के कुल उपसमुच्चयों की संख्या \(2^n\) होती है। यहाँ \(n=4\) इसलिए कुल उपसमुच्चय \(2^4=16\) हैं। "कम से कम एक अवयव" का अर्थ रिक्त समुच्चय को छोड़ना है, अतः संख्या \(16-1=15\) होगी। विकल्प B (16) गलती से रिक्त समुच्चय को भी गिनना है; विकल्प C (8) और D (4) सामान्य गलतियां हैं — 8 आधे उपसमुच्चय होने का भ्रम है और 4 केवल एक-तत्व वाले उपसमुच्चयों की संख्या है। परीक्षा-टिप: n तत्वों वाले समुच्चय के गैर-रिक्त उपसमुच्चय हमेशा \(2^n-1\) होते हैं। / The total number of subsets of an n-element set is \(2^n\). Here \(n=4\), so total subsets are \(2^4=16\). "At least one element" excludes the empty set, giving \(16-1=15\). Option B (16) mistakenly includes the empty set; option C (8) is a common halving error and option D (4) counts only singleton subsets. Exam tip: non-empty subsets of an n-element set = \(2^n-1\).
अवरोध 5 हटाएँ; शेष तत्व \(\{1,2,3,4\}\) में से ठीक 2 चुनने हैं। यह संख्या \(\binom{4}{2}=6\) है। विकल्प C (10) यह गलत धारणा है कि सभी 2-घटक वाले उपसमुच्चय (\(\binom{5}{2}=10\)) मान्य हैं — इसमें 5 शामिल हो सकते हैं। परीक्षा टिप: कोई भी निषिद्ध तत्व पहले हटा दें और फिर संयोजन नियम \(\binom{n}{r}\) लगाएँ। / Exclude the forbidden element 5; choose 2 elements from the remaining set \(\{1,2,3,4\}\). The number is \(\binom{4}{2}=6\). Option C (10) is the count of all 2-element subsets of A (\(\binom{5}{2}=10\)) and wrongly includes subsets containing 5. Exam tip: remove excluded elements first, then apply the combination formula \(\binom{n}{r}\).
समाधान: \(2x+1<10\) से \(2x<9\) और इसलिए \(x<4.5\)। प्राकृतिक संख्याओं (\(\mathbb{N}\)) में सामान्यतः 1,2,3,… आते हैं, अतः \(x<4.5\) होने पर संभव मान 1,2,3,4 होंगे। इसलिए सेट A = \(\{1,2,3,4\}\)। नज़दीकी गलत विकल्प B (\{0,1,2,3,4\}) तब सही होता जब प्रश्न में \(\mathbb{N}\) के भीतर 0 को शामिल माना गया हो — परीक्षा में \(\mathbb{N}\) की परिभाषा स्पष्ट करें। परीक्षा टिप: हमेशा स्पष्ट करें कि आपके पाठ्यक्रम में \(\mathbb{N}\) में 0 शामिल है या नहीं। / Working: From \(2x+1<10\) we get \(2x<9\) so \(x<4.5\). For natural numbers (\(\mathbb{N}\)) the integer values satisfying this are 1, 2, 3 and 4. Hence \(A=\{1,2,3,4\}\). Closest distractor B ({0,1,2,3,4}) would be correct only if the convention used includes 0 in \(\mathbb{N}\); C and D are wrong because C includes 5 which does not satisfy the inequality and D omits 1 which does satisfy it. Exam tip: always check the convention for \(\mathbb{N}\) in that exam or textbook.
A. \({1,2}\subset A\) और \({1,2}\in A\) दोनों सत्य हैं/Both \({1,2}\subset A\) and \({1,2}\in A\) are true
Explanation
Simple Explanation
(1) और (2) (A) में हैं, इसलिए \({1,2}\subset A\), और ({1,2}) भी एक अवयव है। यह मिश्रित notation का अच्छा उदाहरण है। / Since (1) and (2) are in (A), \({1,2}\subset A\), and ({1,2}) is also an element. This is a good mixed notation example.
\(P(A)\) का अर्थ है उन सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय जो \(A\) के हैं। इसलिए \(P(A)\) के अवयव स्वयं \(A\) के उपसमुच्चय होते हैं। \(\{1,2\}\) स्पष्ट रूप से \(A\) का उपसमुच्चय है, इसलिए यह \(P(A)\) का अवयव है। विकल्प A (1) एक तत्व है पर उपसमुच्चय नहीं है — एक सदस्य और एक उपसमुच्चय में अंतर समझें। विकल्प C और D में 4 का समावेश है, जबकि \(4\notin A\), इसलिए वे \(A\) के उपसमुच्चय नहीं हो सकते। परीक्षा-टिप: ब्रेसेस \(\{\;\}\) देखें — ब्रेसेस मौजूद हैं तो सेट/उपसमुच्चय, वरना साधारण तत्व है। / By definition \(P(A)\) (the power set of \(A\)) consists of all subsets of \(A\). Thus elements of \(P(A)\) are subsets of \(A\). \(\{1,2\}\) is a subset of \(A\), so it belongs to \(P(A)\). Option A (1) is an element of \(A\) but not a subset, so it is not in \(P(A)\). Options C and D contain 4, but \(4\notin A\), so neither can be subsets of \(A\). Exam tip: check for braces — sets are written with \(\{\;\}\); an element without braces is not a subset.
सम संख्याएँ वे होती हैं जो 2 से पूर्णतया विभाज्य हों। दिए गए सेट \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) में ऐसे अवयव 2, 4 और 6 हैं, अतः \(B=\{2,4,6\}\) और \(B\subset A\)। विकल्प C गलत है क्योंकि इसमें 6 गायब है; विकल्प D गलत है क्योंकि उसमें विषम संख्याएँ भी शामिल हैं। परीक्षा टिप: किसी संख्या की समता जल्दी देखने के लिए उसे 2 से भाग दें — बाकी 0 होना चाहिए। / Even elements are those divisible by 2. For \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) the even elements are 2, 4 and 6, so \(B=\{2,4,6\}\) and \(B\subset A\). Option C is incorrect because it omits 6; option D is incorrect because it includes odd numbers. Exam tip: quickly test evenness by checking divisibility by 2 (remainder 0).
15 के धनात्मक भाजक हैं 1, 3, 5 और 15। इसलिए A में वही चार तत्व होंगे और A तथा B के सभी सदस्य एक‑समान हैं, अतः A = B ही सही कथन है। विकल्प B और C गलत हैं क्योंकि वे समुच्चयों के असमान होने का दावा करते हैं जबकि तत्व समान हैं; विकल्प D गलत है क्योंकि वह 1 और 15 को छोड़ देता है। परीक्षा‑सुझाव: किसी संख्या के धनात्मक भाजकों को सूचीबद्ध करने के लिए छोटे अभ्यास में 1 से 8टिप9 संख्या के गुणांक देख कर जल्दी पता लगाया जा सकता है। / The positive divisors of 15 are 1, 3, 5 and 15. Thus A contains exactly these four elements, so A and B have the same members and A = B. Options B and C are wrong because they assert a proper subset relation though the sets are equal; option D is wrong because it omits 1 and 15. Exam tip: To find positive divisors quickly, check factor pairs up to √n to list all divisors without missing any.
D. न तो \(A\subseteq B\) और न ही \(B\subseteq A\)/Neither \(A\subseteq B\) nor \(B\subseteq A\)
Explanation
Simple Explanation
सही उत्तर D है क्योंकि \(A=\{a,b,c\}\) में तत्व \(a\) है जबकि वह \(B\) में नहीं है (\(a\notin B\))—इसलिए \(A\subseteq B\) गलत है। उसी तरह \(B=\{b,c,d\}\) में तत्व \(d\) है पर \(A\) में नहीं है (\(d\notin A\))—इसलिए \(B\subseteq A\) भी गलत है। विकल्प B और C इसलिए गलत हैं क्योंकि वे एक सेट के दूसरे में पूर्ण समावेशन का दावा करते हैं, जिसे एक भी बाहरी तत्व न होने से झुठला दिया जा सकता है। परीक्षा-सुझाव: उपसमुच्चय सत्यापित करने के लिए हर तत्व की सदस्यता जाँचें; एक भी विरोधाभासी तत्व पर्याप्त है। / Answer D is correct because \(A=\{a,b,c\}\) contains element \(a\) which is not in \(B\) (\(a\notin B\)), so \(A\subseteq B\) is false. Similarly, \(B=\{b,c,d\}\) contains \(d\) which is not in \(A\) (\(d\notin A\)), so \(B\subseteq A\) is false. Options B and C are incorrect because each asserts one set is entirely contained in the other, which fails due to the missing element \(a\) or \(d\). Exam tip: To check subset relations, verify every element; a single counterexample disproves the subset claim.
A. \(A-B=\{1,4\}\) और यह \(A\) का उपसमुच्चय है/\(A-B=\{1,4\}\) and it is a subset of \(A\)
Explanation
Simple Explanation
समुच्चय अंतर \(A-B\) का अर्थ है वे तत्व जो \(A\) में हैं पर \(B\) में नहीं हैं। यहाँ \(A\) के तत्व \{1,2,3,4\} में से \(2,3\) \(B\) में भी हैं, अतः \(A-B=\{1,4\}\)। यह स्पष्ट रूप से \(A\) का उपसमुच्चय है क्योंकि उसके दोनों तत्व \(A\) में मौजूद हैं। विकल्प B गलत है क्योंकि \(\{2,3\}\) वे तत्व हैं जो \(B\) में हैं, न कि \(A-B\)। विकल्प C तभी सही होता अगर \(B=\varnothing\) होता, जो यहाँ सत्य नहीं है। विकल्प D तब ही सत्य होगा जब \(A\subseteq B\) हो, जो इस उदाहरण में गलत है। परीक्षा टिप: हमेशा \(A-B\) को "A में से B के तत्व हटाएँ" के रूप में तेज़ी से लागू करें। / Set difference \(A-B\) means elements in \(A\) that are not in \(B\). From \(A=\{1,2,3,4\}\) remove the elements \(2,3\) (which are in \(B\)), leaving \(\{1,4\}\). Thus \(A-B=\{1,4\}\), and clearly this is a subset of \(A\). Option B is incorrect because \(\{2,3\}\) are the elements of \(B\), not the elements remaining after removing \(B\) from \(A\). Option C would require \(B\) to be empty, and option D would require \(A\) to be contained in \(B\); neither condition holds here. Exam tip: compute set difference by crossing out all elements of \(B\) from \(A\) and list the leftover elements.
हर अवयव अपने ही समुच्चय में होता है, इसलिए \(A\subseteq A\) सत्य है। इसे reflexive property की तरह याद रखें। / Every element of a set is in the same set, so \(A\subseteq A\) is true. Remember it like a reflexive property.
\(A\subset B\) उचित उपसमुच्चय को दर्शाता है, इसलिए बराबरी संभव नहीं। प्रतीक \(\subset\) और \(\subseteq\) में अंतर रखें। / \(A\subset B\) denotes a proper subset, so equality is not possible. Distinguish \(\subset\) from \(\subseteq\).
कुल 16 उपसमुच्चय हैं और जिनमें न 1 है न 2, वे ({3,4}) के \(2^2=4\) उपसमुच्चय हैं। इसलिए (16-4=12)। / There are 16 total subsets, and those containing neither 1 nor 2 are the \(2^2=4\) subsets of ({3,4}). Hence (16-4=12).
1 निश्चित है और 2 नहीं लेना है, शेष 3 अवयव स्वतंत्र हैं। इसलिए \(2^3=8\) उपसमुच्चय होंगे। / 1 is fixed and 2 is excluded, while the remaining 3 elements are optional. Thus \(2^3=8\) subsets.
दोनों परिभाषाएँ वही तत्व देती हैं: यदि हम मानें कि \(\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}\), तो \(A=\{1,2,3,4\}\) और \(B=\{1,2,3,4\}\). पर्यवेक्षक रूप से प्राकृतिक संख्या के लिए \(x\le 4\) और \(x<5\) समतुल्य हो जाते हैं क्योंकि कोई प्राकृतिक संख्या 4.5 नहीं हो सकती। इसलिए \(A=B\)। निकटतम भ्रामक विकल्प \(A\subset B\) पर गलत धारणा यह है कि \(x<5\) अधिक तत्व देगा — परन्तु प्राकृतिक संख्याओं के लिए यह सच नहीं है। परीक्षा सुझाव: असमानताओं को स्पष्ट करने के लिए दोनों सेटों के तत्व गिनकर लिखें। / Both descriptions produce the same elements: assuming \(\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}\), we get \(A=\{1,2,3,4\}\) and \(B=\{1,2,3,4\}\). For natural numbers the conditions \(x\le 4\) and \(x<5\) are equivalent, so \(A=B\). The common mistaken choice \(A\subset B\) wrongly assumes \(x<5\) yields extra elements; it does not for natural numbers. Exam tip: list elements of each set or test whether each defining inequality admits the same integers.
कोई उपसमुच्चय \(A\) को समाहित करने के लिए अवश्य 1, 2 और 3 को शामिल करेगा — ये तिहरा निश्चित है। \(B\) में बचे हुए तत्त्व केवल 4 और 5 हैं; प्रत्येक के लिए दो विकल्प हैं (शामिल करें या न करें)। इसलिए कुल विकल्प = \(2\times2=2^2=4\)। सबसे नजदीकी भ्रामक विकल्प 8 होता है, जो तब सही होता अगर \(B\setminus A\) में तीन तत्त्व होते; यहाँ केवल दो तत्त्व हैं इसलिए 8 गलत है। परीक्षात्मक सुझाव: हमेशा पहले \(B\setminus A\) के तत्वों की संख्या गिनें और उत्तर \(2^{|B\setminus A|}\) से दें। / To contain \(A\), a subset of \(B\) must include 1, 2 and 3 — these are fixed. The remaining elements of \(B\) are 4 and 5; each may be either included or excluded, giving \(2\) choices each. Thus the total number of such subsets is \(2\times2=2^2=4\). The closest wrong option, 8, would correspond to three optional elements in \(B\setminus A\); here there are only two, so 8 is incorrect. Exam tip: count the elements in \(B\setminus A\) and compute \(2^{|B\setminus A|}\).
