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समीकरण के मूल (3) और (4) हैं, इसलिए दोनों समुच्चयों के सदस्य समान हैं। पहले हल निकालकर फिर समुच्चय मिलाएं। / The roots are (3) and (4), so both sets have the same elements. First solve, then compare the sets.
(18) के धनात्मक भाजक (1,2,3,6,9,18) हैं। सूची रूप में बदलकर सदस्य मिलाना सबसे अच्छा तरीका है। / The positive divisors of (18) are (1,2,3,6,9,18). Converting to roster form is the best way to compare elements.
शर्त \\(-3 < x \le 2\\) बताती है कि x पूर्णांक होना चाहिए और -3 को शामिल नहीं करते हुए 2 को शामिल करना चाहिए। पूर्णांकों में ऐसे मान केवल \\{-2,-1,0,1,2\\} हैं। विकल्प B में -3 अवैध रूप से शामिल है; विकल्प C में 2 गायब है; विकल्प D में -3 शामिल है और 2 गायब है। परीक्षा टिप: अंत-बिन्दुओं (open/closed) पर ध्यान दें — "<" मतलब शामिल नहीं और "\le" मतलब शामिल। / The condition \(-3 < x \le 2\) requires x to be an integer greater than -3 and at most 2. The integer values satisfying this are \{-2, -1, 0, 1, 2\}, so option A is correct. Option B wrongly includes -3; option C omits 2; option D both includes -3 and omits 2. Exam tip: Always test the endpoints — "<" excludes the endpoint while "\le" includes it; list a few integers to verify.
(2) निश्चित है, (4) बाहर है और (1,3,5) स्वतंत्र हैं। इसलिए \(2^3=8\) उपसमुच्चय बनेंगे। / Element (2) is fixed, (4) is excluded, and (1,3,5) are free. Hence \(2^3=8\) subsets are possible.
दो एक-सदस्यीय समुच्चय बराबर होने पर उनके अकेले तत्व बराबर होंगे। इसलिए \(\{a+2\} = \{9\}\) से \(a+2=9\) मिलता है और इससे \(a=7\) आता है। निकटतम भ्रामक विकल्पों में 11 उस गलती से आ सकता है जिसमें 2 जोड़ दिया गया हो (9+2=11), और 5 या 6 साधारण अंकगणितीय गलतियों के परिणाम हैं। परीक्षा टिप: एक-सदस्यीय समुच्चय बराबरी में सीधे तत्वों को बराबर मानें और फिर सरल समीकरण हल करें। / If two singleton sets are equal, their sole elements are equal. From \(\{a+2\} = \{9\}\) we get \(a+2=9\), hence \(a=7\). Common wrong answers: 11 comes from adding 2 to 9 instead of subtracting; 5 or 6 arise from arithmetic mistakes. Exam tip: For singleton sets equate the elements directly and solve the resulting simple equation.
दोनों समुच्चयों में (2) पहले से समान है, इसलिए दूसरा सदस्य (5) होना चाहिए। समुच्चय में क्रम का महत्व नहीं होता। / Both sets already share (2), so the other element must be (5). Order does not matter in sets.
समुच्चयों में किसी सदस्य की पुनरावृत्ति मायने नहीं रखती; प्रत्येक तत्व केवल एक बार गिना जाता है। इसलिए \(A\) के अलग-अलग सदस्य \(\{1,2,3\}\) हैं और \(B\) के भी अलग-अलग सदस्य \(\{1,2,3\}\) हैं। दो समुच्चय तब समान होते हैं जब प्रत्येक का हर तत्व दूसरे में भी हो — यह यहाँ सत्य है, इसलिए \(A=B\)। विकल्प (B) और (C) — "proper subset" तब होता यदि एक समुच्चय दूसरे का सख्त उपसमुच्चय हो (यानि दूसरे में अतिरिक्त तत्व हों), पर यहाँ कोई अतिरिक्त तत्व नहीं हैं; इसलिए वे गलत हैं। विकल्प (D) भी गलत है क्योंकि दोनों समुच्चय समान हैं। परीक्षात्मक सुझाव: किसी समुच्चय को लिखते समय पुनरावृत्तियों को हटाकर सूची बनाएं और तत्वों की तुलना उसी से करें। / In set theory repeated listing of an element does not change the set; elements are considered without multiplicity. So the distinct elements of \(A\) are \(\{1,2,3\}\), which equals the distinct elements of \(B\). Two sets are equal iff every element of one is an element of the other; that condition holds, hence \(A=B\). Options (B) and (C) assert a proper subset relation, which would require one set to have strictly fewer elements than the other — not true here. Option (D) is false because the sets are identical. Exam tip: remove repeated entries and compare the resulting distinct-element sets.)
अब \(A\) के तत्व \(1,2\) सभी संभावित \(X\) में निश्चित शामिल होंगे। बचते हुए तत्व \(B\setminus A=\{3,4,5,6\}\) हैं — प्रत्येक को या तो शामिल किया जा सकता है या नहीं। इसलिए कुल संभावनाएँ \(2^{4}=16\) हैं। विकल्प B (12) गलत है क्योंकि वह अनिवार्यताओं को गलत तरीके से गिनने का परिणाम है; यहाँ स्वतंत्र विकल्पों की संख्या \(|B|-|A|=4\) है। परीक्षा टिप: ऐसे सवालों के लिए सामान्य सूत्र याद रखें — संख्या = \(2^{|B|-|A|}\)। / The elements of \(A\), namely 1 and 2, must appear in every valid \(X\). The remaining elements are \(B\setminus A=\{3,4,5,6\}\); each of these four elements can be either included or excluded independently, giving \(2^{4}=16\) possible sets. Option B (12) is incorrect — it arises from miscounting the independent choices. Exam tip: use the formula \(2^{|B|-|A|}\) for the number of sets \(X\) with \(A\subseteq X\subseteq B\).
क्यों सही: \(A\subset X\subseteq B\) का अर्थ है कि \(X\) में कम-से-कम \(p,q\) हों और \(X\) केवल \(B\) के तत्व ही ले सकता है। बचे हुए स्वतंत्र तत्व हैं \(r\) और \(s\) — हर एक को शामिल/न शामिल करने के दो विकल्प हैं, यानी कुल \(2^2=4\) संभाव्य समुच्चय जो \(A\) को शामिल करते हैं। परन्तु सही होना चाहिए कि \(X\neq A\), इसलिए उस एक स्थिति (जब ना \(r\) और ना \(s\) लिया गया) को हटाना होगा। अतः कुल = \(2^2-1=3\)। नज़दीकी भ्रम: 4 चुनने वालों की गलती यह है कि वे \(X=A\) को भी गिन लेते हैं। परीक्षा टिप: "मुक्त तत्वों" की संख्या निकालें और \(2^n\) में से आवश्यकतः बराबरता की स्थिति घटाएँ। / Why correct: \(A\subset X\subseteq B\) means every \(X\) must contain \(p\) and \(q\) and may include each of the remaining elements \(r,s\) independently. That gives \(2^2=4\) choices for including/excluding \(r,s\). Since \(X\) must be a proper superset of \(A\), exclude the case where neither \(r\) nor \(s\) is chosen. So total = \(2^2-1=3\). Closest trap: 4 counts \(X=A\) as well. Exam tip: Count choices for elements outside \(A\) (here \(n=2\)), compute \(2^n\) and subtract 1 if a proper superset is required.
तीन सदस्य चुनने की संख्या \(\binom{5}{3}=10\) है। उपसमुच्चय में क्रम नहीं गिना जाता। / The number of ways to choose three elements is \(\binom{5}{3}=10\). Order is not counted in subsets.
किसी उपसमुच्चय को निर्धारित करने के लिए हर शेष तत्व के लिए शामिल/न शामिल — दो विकल्प होते हैं। यहाँ 1 को शामिल और 5 को बाहर रखना अनिवार्य है, इसलिए बचते हैं केवल तत्व 2, 3 और 4 — कुल 3 स्वतंत्र तत्व। प्रत्येक के दो विकल्प होने से कुल उपसमुच्चय होंगे \(2^3=8\)। विकल्प A (4) तब गलत होगा जब कोई केवल 2 स्वतंत्र तत्व मान ले; विकल्प D (16) तब गलती है जब चार स्वतंत्र तत्व मान लिए जाएँ। परीक्षा टिप: किसी भी शर्तित सदस्यता/अप्रविष्टता के बाद बचे स्वतंत्र तत्वों की संख्या गिनें और उत्तर \(2^{\text{बचे हुए}}") से निकालें। / Each element not fixed by the conditions can either be present or absent, giving 2 choices each. Here 1 must be included and 5 must be excluded, leaving elements 2, 3 and 4 free — three independent elements. Therefore the number of such subsets is \(2^3=8\). Option A (4) would be the result if only two elements were treated as free; option D (16) corresponds to incorrectly treating four elements as free. Exam tip: count the remaining free elements after applying inclusion/exclusion conditions and compute \(2^{\text{number of free elements}}\).
कुल उपसमुच्चयों की संख्या \(2^4=16\) है। कम से कम एक में से नहीं — यानी दोनों \(a\) और \(b\) को बाहर रखने वाले उपसमुच्चय केवल elementen \(\{c,d\}\) के किसी भी चयन से बनते हैं, उनकी संख्या \(2^2=4\) है। अतः कम से कम एक होने वाले उपसमुच्चय = \(16-4=12\)। नज़दीकी गलती: विकल्प D (14) तब मिलेगा जब कोई गलत तरीके से सोचे कि बाहर रखने वाले उपसमुच्चय केवल \(2\) हैं (यानि \(16-2\)) — पर वास्तविक में दोनों को बाहर रखने के \(2^2=4\) उपसमुच्चय होते हैं। परीक्षा युक्ति: कुल से पूरक गिनें — "कम से कम एक" गिनने के बजाय "दोनों नहीं" गिनकर घटाएँ; यह अक्सर सरल और तेज़ होता है। / Total number of subsets is \(2^4=16\). Subsets that exclude both \(a\) and \(b\) are exactly the subsets of \(\{c,d\}\), which number \(2^2=4\). Therefore subsets containing at least one of \(a\) or \(b\) = \(16-4=12\). About a common wrong answer: option D (14) comes from mistakenly subtracting \(2\) instead of \(4\) for the "exclude both" case (i.e. doing \(16-2\)), so it's incorrect. Exam tip: use the complement principle — count "neither a nor b" and subtract from the total; it avoids double counting.
घात समुच्चय में सभी उपसमुच्चय होते हैं, इसलिए संख्या \(2^4=16\) है। (A) के सदस्य और (\mathcal{P}(A)) के सदस्य अलग सोचें। / A power set contains all subsets, so the number is \(2^4=16\). Think separately about elements of (A) and elements of (\mathcal{P}(A)).
समुच्चयों के लिए सामान्य सूत्र है \(n(\mathcal{P}(A))=2^{n(A)}\)। यहाँ दिया है \(2^{n(A)}=32\)। क्योंकि \(32=2^5\), इसलिए \(n(A)=5\)। नज़दीकी विकर्षक क्यों गलत हैं: विकल्प A पर \(2^4=16\) होता है, विकल्प C पर \(2^6=64\) होता है, और विकल्प D पर \(2^{16}\) बहुत बड़ा है; इसलिए वे सभी 32 नहीं दे रहे। परीक्षा सुझाव: ऐसे प्रश्नों में सीधे बेस-2 के घात की पहचान करें या दोनों पक्षों का \(\log_2\) लें — यह गलत उत्तरों से तुरंत छुटकारा दिलाता है। / For sets the formula is \(n(\mathcal{P}(A))=2^{n(A)}\). Here \(2^{n(A)}=32\), and since \(32=2^5\), we get \(n(A)=5\). Why other choices are wrong: option A gives \(2^4=16\), option C gives \(2^6=64\), and option D corresponds to \(2^{16}\), none equal 32. Exam tip: recognize powers of 2 quickly or take \(\log_2\) of both sides to find \(n(A)\).
({0}) समुच्चय (A) का उपसमुच्चय है, इसलिए यह (\mathcal{P}(A)) का सदस्य है। घात समुच्चय के सदस्य हमेशा उपसमुच्चय होते हैं। / ({0}) is a subset of (A), so it is an element of (\mathcal{P}(A)). Elements of a power set are always subsets.
\(\emptyset\) (A) का सदस्य है और हर समुच्चय का उपसमुच्चय भी है। सदस्यता और उपसमुच्चय दोनों जांचें। / \(\emptyset\) is an element of (A) and also a subset of every set. Check both membership and subset relation.
({3}) का सदस्य (3) (A) में है, इसलिए यह उपसमुच्चय है। लेकिन ({3}) (A) में सदस्य के रूप में नहीं दिया है। / ({3}) is a subset because \(3\in A\). But ({3}) is not listed as an element of (A).
यदि \(\emptyset\) सदस्य है, तो (A) में कम से कम एक सदस्य है। इसे \(\emptyset\subseteq A\) से न मिलाएं। / If \(\emptyset\) is an element, then (A) has at least one element. Do not confuse it with \(\emptyset\subseteq A\).
दिए गए सम्बन्धों से ट्रान्जिटिविटी के कारण \(A\subseteq C\) होगा। इसका अर्थ है कि जिस भी तत्व का होना \(A\) में आवश्यक है, वह तत्व \(C\) में भी होगा। अतः \(A\) और \(C\) का प्रतिच्छेद उसी सेट के बराबर होगा जो \(A\) में पहले से है, यानी \(A\cap C= A\)। विकल्पों की जाँच: \(B\) सही नहीं क्योंकि \(B\) में ऐसे तत्व हो सकते हैं जो \(A\) में नहीं हैं; \(C\) सही नहीं क्योंकि \(C\) में \(A\) के अतिरिक्त भी तत्व हो सकते हैं; \(\emptyset\) तभी होगा जब \(A=\emptyset\), पर सामान्य स्थिति में यह आवश्यक नहीं है। परीक्षाई सुझाव: याद रखें—यदि \(X\subseteq Y\) हो तो \(X\cap Y=X\)। / By transitivity from the given relations we have \(A\subseteq C\). Every element of \(A\) is therefore an element of \(C\), so the intersection \(A\cap C\) contains exactly the elements of \(A\). Hence \(A\cap C=A\). Why other options fail: \(B\) may contain elements not in \(A\); \(C\) may be strictly larger than \(A\); \(\emptyset\) would only be correct if \(A=\emptyset\), which is not generally assumed. Exam tip: draw a small Venn diagram or use the rule “if \(X\subseteq Y\) then \(X\cap Y=X\)” to answer quickly.
क्योंकि \(A\subseteq B\) का अर्थ है कि \(A\) का हर तत्व भी \(B\) में है। इसलिए \(A\setminus B\) — अर्थात् उन तत्वों का समूह जो \(A\) में हैं पर \(B\) में नहीं — का कोई तत्व शेष नहीं रहेगा। अतः \(A\setminus B=\emptyset\) (रिक्त समुच्चय)। अक्सर भ्रामक विचार यह होता है कि \(A\setminus B= A\); यह गलत है क्योंकि उस कथन के लिए \(A\) के कुछ तत्वों का \(B\) के बाहर होना आवश्यक है, जो यहाँ संभव नहीं। परिक्षा सुझाव: किसी छोटा उदाहरण ले कर (उदा. \(A=\{1,2\},B=\{1,2,3\}\)) प्रतीकात्मक अर्थ की पुष्टि करें। / Since \(A\subseteq B\), every element of \(A\) is also an element of \(B\). Removing from \(A\) all elements that belong to \(B\) leaves nothing, so \(A\setminus B=\emptyset\). A common wrong thought is \(A\setminus B=A\), which would require elements of \(A\) lying outside \(B\); that is not the case here. Note that \(B\setminus A\) denotes elements of \(B\) not in \(A\) and may be nonempty. Exam tip: verify set-relations with a concrete small example (e.g. \(A=\{1,2\},B=\{1,2,3\}\)) to build intuition.
यदि \(A\cup B = A\), तब किसी भी तत्व \(x\) के लिए यदि \(x\in B\) तो \(x\in A\cup B\) होगा। पर दिया है कि \(A\cup B\) बराबर \(A\) है, अतः कोई भी \(x\in B\) भी \(x\in A\) होगा। यह परिभाषा के अनुसार \(B\subseteq A\) साबित करती है। विकल्प (B) गलत है क्योंकि \(A\subseteq B\) का अर्थ है हर तत्व A का B में भी होना — यह जरूरी नहीं है (उदाहरण: \(A=\{1,2\},B=\{1\}\)). विकल्प (D) भी हमेशा सत्य नहीं है; ऊपर के उदाहरण में \(A\cap B=\{1\}\) जो खाली सेट नहीं है। विकल्प (C) (पूरक) का कोई कारण नहीं है और सार्वभौमिक सेट के संबंध पर निर्भर है। परीक्षात्मक सुझाव: ऐसे प्रश्नों के लिए 'तत्व-पश्चात' (element-chasing) विधि अपनाएँ — किसी सामान्य तत्व \(x\) के सदस्यता को देखकर तर्क करें और विरोधाभास के उदाहरण से गलत विकल्प खारिज करें। / If \(A\cup B = A\), then for any element \(x\) if \(x\in B\) it must belong to \(A\cup B\), which equals \(A\). Hence every element of \(B\) is in \(A\), so \(B\subseteq A\). Option (B) is incorrect because \(A\subseteq B\) need not hold (e.g. \(A=\{1,2\},B=\{1\}\)). Option (D) is not always true — in the same example \(A\cap B=\{1\}\), not empty. Option (C) asserting complement equality is unrelated without specifying a universal set. Exam tip: use element-chasing (take an arbitrary \(x\) and follow membership) or a simple counterexample to disprove other choices quickly.
यदि \(A\cap B = B\) है तो हर \(x\in B\) के लिए \(x\in A\cap B\) होगा, अर्थात् हर \(x\in B\) साथ ही \(x\in A\) भी है। इसलिए \(B\subseteq A\) सत्य है। विकल्प B (\(A\subseteq B\)) गलत है क्योंकि इससे मिलती-जुलती स्थिति \(A\cap B = A\) बनेगी, न कि \(B\). विकल्प C (\(A = B^{c}\)) और D (\(A\cap B = \emptyset\)) परोक्ष रूप से विरोधाभासी या असंगत हैं क्योंकि वे दिए हुए समीकरण से लागू नहीं होते। परीक्षा-सुझाव: पहचानें कि \(X\cap Y = Y\) तभी और केवल तभी जब \(Y\subseteq X\) हो — यह पहचान प्रश्नों को जल्दी हल कर देती है। / If \(A\cap B = B\), then every \(x\in B\) belongs to \(A\cap B\), so every element of \(B\) is also in \(A\). Hence \(B\subseteq A\) is true. Option B (\(A\subseteq B\)) is incorrect because that relation would imply \(A\cap B = A\), not \(B\). Options C (\(A = B^{c}\)) and D (\(A\cap B = \emptyset\)) do not follow from the given equality and are inconsistent with it. Exam tip: Use the identity — \(X\cap Y = Y\) if and only if \(Y\subseteq X\) — to answer such questions instantly.
(A) से (B) हटाने पर (A) ही बचा, यानी कोई साझा सदस्य नहीं था। इसलिए दोनों असंबद्ध हैं। / Removing (B) from (A) still leaves (A), so there was no common element. Hence they are disjoint.
यदि \(X\in\mathcal{P}(A)\) है तो \(X\subseteq A\)। क्योंकि \(A\subseteq B\), इसलिए \(X\subseteq B\) भी होगा, अतः \(X\in\mathcal{P}(B)\)। यह दिखाता है कि हर तत्व (उपसमुच्चय) जो \(\mathcal{P}(A)\) में है, वह \(\mathcal{P}(B)\) में भी है, अर्थात् \(\mathcal{P}(A)\subseteq\mathcal{P}(B)\)। विकल्प B गलत है क्योंकि इसका सत्य होने के लिए आवश्यक है कि \(B\subseteq A\) भी हो (यानी \(A=B\))। विकल्प C तभी सही होगा जब \(A=B\)। परीक्षा सुझाव: समावेशन साबित करने के लिए किसी भी सामान्य तत्व \(X\in\mathcal{P}(A)\) को लेकर देखिए कि वह \(\mathcal{P}(B)\) में भी आता है — यह विधि अक्सर तेज और सुरक्षित रहती है। / Take any \(X\in\mathcal{P}(A)\). Then \(X\subseteq A\). Since \(A\subseteq B\), we get \(X\subseteq B\), so \(X\in\mathcal{P}(B)\). Hence every element of \(\mathcal{P}(A)\) lies in \(\mathcal{P}(B)\), i.e. \(\mathcal{P}(A)\subseteq\mathcal{P}(B)\). Option B is incorrect because it asserts the reverse inclusion, which holds only when \(A=B\). Option C is only true in the special case \(A=B\). Exam tip: to prove set inclusions, pick an arbitrary element of the left side and show it belongs to the right side — this direct-element method is reliable for power sets.
(A) स्वयं (\mathcal{P}(A)) का सदस्य है, इसलिए (A) (\mathcal{P}(B)) में भी होगा। इसका अर्थ \(A\subseteq B\) है। / The set (A) itself is an element of (\mathcal{P}(A)), so it is also in (\mathcal{P}(B)). That means \(A\subseteq B\).
(\mathcal{P}(B)) में (8) और (\mathcal{P}(A)) में (4) सदस्य हैं। अंतर में (8-4=4) सदस्य होंगे। / (\mathcal{P}(B)) has (8) elements and (\mathcal{P}(A)) has (4). The difference contains (8-4=4) elements.
A में सम तत्व {2,4} हैं — कुल 2 तत्व। किसी भी n-तत्व वाले सेट के उपसमुच्चयों की संख्या का सूत्र है \(2^n\)। यहाँ \(n=2\) इसलिए उपसमुच्चयों की संख्या \(2^2=4\)। आम त्रुटियाँ: विकल्प A (2) गलत है क्योंकि वह केवल सम तत्वों की संख्या गिन रहा है, न कि उनके उपसमुच्चयों की संख्या। विकल्प D (8) गलत है — 8 का संबंध किसी तीसरे तत्व वाले सेट के \(2^3\) से हो सकता है और यह यहाँ प्रासंगिक नहीं है। परीक्षात्मक सुझाव: पहले सम तत्वों की संख्या गिनें और तुरंत \(2^n\) फार्मूला लागू करें; खाली सेट भी उपसमुच्चय माना जाता है। / The even elements of A are {2,4}, so there are 2 even elements. The number of subsets of a set with n elements is given by \(2^n\). Here \(n=2\), hence the number of subsets is \(2^2=4\). Common mistakes: option A (2) confuses the count of elements with the count of subsets. Option D (8) is incorrect — 8 would correspond to \(2^3\) and is unrelated here. Exam tip: count the allowed elements first, then apply \(2^n\); remember the empty set is a valid subset.
तीन विषम संख्याओं में से दो चुनें और तीन सम संख्याएँ वैकल्पिक हैं। संख्या \(\binom{3}{2}\times2^3=24\) है। / Choose two from the three odd numbers, and the three even numbers are optional. The count is \(\binom{3}{2}\times2^3=24\).
कम से कम 4 सदस्य वाले उपसमुच्चयों में या तो 4-सदस्यीय होंगे या 5-सदस्यीय होंगे। 4-सदस्यीय उपसमुच्चयों की संख्या है \(\binom{5}{4}=5\)। 5-सदस्यीय उपसमुच्चयों की संख्या है \(\binom{5}{5}=1\)। अतः कुल = \(5+1=6\)। सबसे नज़दीकी भ्रामक विकल्प 5 केवल 4-सदस्यीय उपसमुच्चयों की गिनती है और 10 तथा 16 अन्य आकारों के उपसमुच्चयों के मान हैं (उदा. \(\binom{5}{2}=10\) और \(2^4=16\) सम्बन्धित नहीं)। परीक्षा-सुझाव: आकार के अनुसार गिनती करें या सीधे बायनॉमियल योग (सम) का प्रयोग करें। / Subsets with at least 4 elements are those of size 4 or size 5. Number of 4-element subsets is \(\binom{5}{4}=5\), and number of 5-element subsets is \(\binom{5}{5}=1\). Therefore total = \(5+1=6\). The closest distractor 5 counts only the 4-element subsets; 10 equals \(\binom{5}{2}\) and 16 equals \(2^4\) (not relevant here). Exam tip: count by sizes using binomial coefficients or use complement counting when appropriate.
(a) को हटाकर (4) सदस्य बचते हैं, जिनके \(2^4=16\) उपसमुच्चय हैं। ये सभी (A) के उचित उपसमुच्चय हैं। / After excluding (a), (4) elements remain, giving \(2^4=16\) subsets. All of them are proper subsets of (A).
हिसाब इस प्रकार है: जोड़े {2,3} के केवल दो वैध स्थितियाँ हैं — दोनों शामिल (2 और 3 दोनों मौजूद) या दोनों बाहर (दोनों अनुपस्थित)। शेष अवयव 1 और 4 स्वतंत्र हैं और प्रत्येक के लिए दो‑दो विकल्प हैं, कुल मिलाकर
दोनों स्थितियों × 22 = \(2\times2^2=8\) उपसमुच्चय। सामान्य गलती: कुछ छात्र दोनों शामिल के लिए 4 मान लेते हैं पर दोनों बाहर के साथ 2 जोड़कर 6 लिख देते हैं — पर वास्तव में दोनों बाहर होने पर भी 1 और 4 के लिए 4 विकल्प होते हैं। परीक्षा‑टिप: किसी जोड़े को एक इकाई मानकर या 'मामला‑विग्रह' करके गिनती करना तेज और कम त्रुटिपूर्ण होता है। / Count by cases on the pair {2,3}. The pair has two allowed states: both present or both absent. The remaining elements 1 and 4 are independent, giving 22 choices. Therefore total = 2×22 = \(2\times2^2=8\). Common mistake: treating the 'both absent' case as contributing fewer choices than the 'both present' case, which is incorrect because 1 and 4 still each have two options. Exam tip: treat a constrained pair as one unit or use casework to avoid double counting.
प्रतिच्छेद में केवल वे सदस्य आते हैं जो दोनों में हों। यहाँ साझा सदस्य (2) और (3) हैं। / Intersection contains only elements common to both sets. Here the common elements are (2) and (3).
\(A\subseteq B\) का अर्थ है हर तत्व जो \(A\) में है वह \(B\) में भी है। \(B - A = \emptyset\) का अर्थ है \(B\) में ऐसा कोई तत्व नहीं है जो \(A\) में न हो — यानी हर \(B\) का तत्व \(A\) में भी है। इसलिए दोनों दिशाओं में समावेशन सत्य हैं और \(A = B\)। विकल्प B (\(A \subsetneq B\)) गलत है क्योंकि उसके लिए \(B\) में कम-से-कम एक तत्व होना चाहिए जो \(A\) में न हो, पर दिया गया है कि ऐसा कोई तत्व नहीं है। परीक्षात्मक टिप: सेट-बराबरी जाँचने के लिए दोनों समावेशन \(A\subseteq B\) और \(B\subseteq A\) को प्रमाणित/निराडित करें या सेट-भेद \(B-A\) की शून्यता देखें। / \(A\subseteq B\) means every element of \(A\) is in \(B\). \(B - A = \emptyset\) means there is no element of \(B\) that is not in \(A\), i.e. every element of \(B\) is in \(A\). Thus \(A\subseteq B\) and \(B\subseteq A\) both hold, so \(A = B\). Option B (\(A \subsetneq B\)) is wrong because it requires at least one element in \(B\) outside \(A\), which contradicts \(B - A = \emptyset\). Exam tip: use element-wise definitions or check set-difference zero to decide equality quickly.
परिभाषा के अनुसार \(A\triangle B=(A-B)\cup(B-A)\)। यदि \(A\subseteq B\) है तो \(A-B=\emptyset\) होगा, अतः \(A\triangle B=B-A\)। दिया गया है कि \(A\triangle B=\{7\}\), इसलिए \(B-A=\{7\}\)। विकल्प (B) गलत है क्योंकि symmetric difference खाली नहीं है; विकल्प (C) गलत है क्योंकि \(B-A\) और \(A\) आपस में विषम होते हैं यदि \(A\subseteq B\) हो; विकल्प (D) गलत है क्योंकि \(B\) में \(A\) भी शामिल हो सकता है और केवल \(\{7\}\) के बराबर नहीं। परीक्षा-सूत्र: जब \(A\subseteq B\) दिया हो तो \(A\triangle B\) को सीधे \(B-A\) मानकर समस्या सरल बनाएं। / By definition, \(A\triangle B=(A-B)\cup(B-A)\). If \(A\subseteq B\) then \(A-B=\emptyset\), so \(A\triangle B=B-A\). Given \(A\triangle B=\{7\}\), it follows that \(B-A=\{7\}\). Option (B) is wrong because the symmetric difference is nonempty; (C) is wrong because elements in \(B-A\) are not in \(A\) when \(A\subseteq B\); (D) is wrong because \(B\) may contain all of \(A\) plus the element 7 and thus need not equal \{7\}. Exam tip: whenever \(A\subseteq B\), replace \(A\triangle B\) by \(B-A\) to simplify.
(20) से छोटे धनात्मक गुणज (4,8,12,16) हैं। सीमा और धनात्मक शर्त दोनों जांचें। / The positive multiples less than (20) are (4,8,12,16). Check both the boundary and positivity condition.
\(A=\{2,3,5\}\) है और ({2,5}) इसके अंदर है पर बराबर नहीं है। इसलिए यह उचित उपसमुच्चय है। / Here \(A=\{2,3,5\}\), and ({2,5}) lies inside it but is not equal to it. Hence it is a proper subset.
पहला चरण सेट के सदस्य गिनना है। \(x^2\le4\) होने पर पूर्णांक समाधान हैं \(\{-2,-1,0,1,2\}\), अर्थात् \(n=5\)। किसी सेट के कुल उपसमुच्चयों की संख्या \(2^n\) होती है, अतः कुल उपसमुच्चय \(2^5=32\) होंगे। "उचित उपसमुच्चय" से तात्पर्य उस सेट के वे उपसमुच्चय हैं जो स्वयं मूल सेट के बराबर न हों; इसलिए मूल सेट को निकालकर बचते हैं \(2^5-1=31\) उचित उपसमुच्चय। निकटवर्ती विकर्षक: \(32\) गलत है क्योंकि वह समपूर्ण सेट को भी गिनता है (यह कुल उपसमुच्चयों की संख्या है, उचित उपसमुच्चयों की नहीं)। परीक्षात्मक सुझाव: पहले सेट के तत्वों की संख्या निश्चित कर लें, फिर तुरंत \(2^n\) और \(2^n-1\) के सूत्र लागू करें। / Count the elements first. Solutions of \(x^2\le4\) in integers are \(\{-2,-1,0,1,2\}\), so \(n=5\). A set has \(2^n\) total subsets, hence \(2^5=32\) subsets altogether. Proper subsets exclude the set itself, so there are \(2^5-1=31\) proper subsets. Closest distractor: 32 is incorrect because it includes the set itself (total subsets), not only proper ones. Exam tip: always determine \(n\) first, then use \(2^n\) for total subsets and \(2^n-1\) for proper subsets.
समाधान के लिये \(x^2=16\) को पूराांकों पर हल करें। इससे \(x=4\) और \(x=-4\) मिलते हैं, अतः \(A=\{-4,4\}\)। चूँकि \(B\) भी \(\{-4,4\}\) है, इसलिए \(A=B\) सत्य है। विकल्प (B) गलत है क्योंकि वह \(-4\) को छोड़ देता है; विकल्प (C) गलत है क्योंकि \(B\) किसी उचित उपसमुच्चय के रूप में नहीं बल्कि बराबर है; विकल्प (D) गलत है क्योंकि शून्य समाधान नहीं हैं। परीक्षा टिप: द्विघात समीकरणों में धनात्मक और ऋणात्मक दोनों जड़ें जांचें, खासकर जब_DOMAIN\(\mathbb{Z}\) हो। / Solve \(x^2=16\) over the integers: the solutions are \(x=4\) and \(x=-4\), so \(A=\{-4,4\}\). Since \(B\) is exactly \(\{-4,4\}\), we have \(A=B\). Option (B) misses the solution \(-4\); option (C) is false because \(B\) is not a proper subset but equal to \(A\); option (D) is false because there are nonzero solutions. Exam tip: for even powers check both ± roots and note the specified domain (here \(\mathbb{Z}\)).
(\mathcal{P}(A)) के सदस्य (A) के उपसमुच्चय हैं, और विकल्प A के सभी सदस्य ऐसे हैं। संख्या (1) को ({1}) से अलग समझें। / Elements of (\mathcal{P}(A)) are subsets of (A), and every member in option A is such a subset. Distinguish (1) from ({1}).
यहाँ ({2}) एक सदस्य के रूप में मौजूद है, लेकिन (2) स्वयं सदस्य नहीं है। नेस्टेड सेट में कोष्ठक बहुत महत्वपूर्ण हैं। / Here ({2}) is present as one element, but (2) itself is not an element. Brackets are very important in nested sets.
A. \(A\in B\) और \(A\subseteq B\) दोनों/Both \(A\in B\) and \(A\subseteq B\)
Explanation
Simple Explanation
(B) में \(A=\{1,2\}\) सदस्य के रूप में है और (1,2) भी (B) में हैं। इसलिए दोनों संबंध सही हैं। / (B) contains \(A=\{1,2\}\) as an element, and it also contains (1,2). Hence both relations are true.
यहाँ \(A\subset B\) का अर्थ है कि A एक proper subset है यानी A में मौजूद हर तत्व B में है और दोनों बराबर नहीं हैं। इसलिए सदस्यों की संख्या के लिए \(n(A)<n(B)\) होना चाहिए। चूँकि \(n(A)=6\), इसलिए \(n(B)\) अंततः 6 नहीं हो सकता। आसन्न विकल्प 7, 8 या 10 संभव हैं — उदाहरण के लिए B में A के तत्वों के अलावा एक अतिरिक्त तत्व होने पर \(n(B)=7\) होगा। परीक्षा-सुझाव: सवाल पढ़ते समय जांचें कि \("\subset"\) को proper subset के रूप में लिया गया है या नहीं; वही तय करता है कि बराबर होने की अनुमति है या नहीं। / Here \(A\subset B\) is interpreted as a proper subset, meaning every element of A is in B and A ≠ B. Hence cardinalities satisfy \(n(A)<n(B)\). Given \(n(A)=6\), it is impossible for \(n(B)\) to be 6. The other choices (7, 8, 10) are all possible—for example adding one new element to A gives \(n(B)=7\). Exam tip: always confirm whether the subset symbol denotes a proper subset or allows equality, since that changes the inequality for cardinalities.
सीमित सेट में उपसमुच्चय और बराबर सदस्य संख्या होने पर कोई अतिरिक्त सदस्य नहीं बचता। इसलिए सेट बराबर हैं। / For finite sets, a subset with equal cardinality leaves no extra element. Therefore the sets are equal.
\(B\) में दिए नियम में \(n=1,2,3,4\) रखने पर \(B=\{2,4,6,8\}\) प्राप्त होता है। यह ठीक वही सदस्य हैं जो \(A\) में हैं, अतः \(A=B\)। विकल्प B और C गलत हैं क्योंकि वे 'उचित उपसमुच्चय' बताते हैं जबकि दोनों सेट समान हैं; विकल्प D गलत है क्योंकि प्रतिच्छेद खाली नहीं है (उदा.: 2)। परीक्षा-सुझाव: सेट-बिल्डर को पहले सूची रूप में बदलें और सदस्य-तुलना करें। / Putting \(n=1,2,3,4\) gives \(B=\{2,4,6,8\}\), which is exactly the set \(A\). Hence \(A=B\). Options B and C are incorrect because they claim a proper subset relation while the sets are equal; option D is incorrect because the intersection is not empty (e.g. 2). Exam tip: Convert set-builder notation to roster form and compare elements to decide equality or subset relations quickly.
उपसमुच्चय की परिभाषा के अनुसार किसी सेट \(B\) को \(A\) का उपसमुच्चय तभी कहा जाएगा जब \(B\) के हर सदस्य \(A\) में भी उपस्थित हों। यहाँ \(A=\{1,2,5,10\}\)। विकल्प A, B और C के सभी तत्व \(A\) में हैं, अतः वे उपसमुच्चय हैं। विकल्प D में तत्व 4 भी है, पर 4 \(A\) का सदस्य नहीं है, इसलिए \({2,4}\) \(A\) का उपसमुच्चय नहीं है। परीक्षा टिप: किसी सेट को उपसमुच्चय जाँचना हो तो उसके हर तत्व को मूल सेट में एक‑एक करके चेक करें। / By definition, B is a subset of A only if every element of B belongs to A. Here \(A=\{1,2,5,10\}\). All elements of options A, B and C are contained in A, so they are subsets. Option D contains 4, which is not an element of A, therefore \({2,4}\) is not a subset of A. Exam tip: when checking subsets list the elements of A (e.g. divisors of 10) first and verify each candidate element individually.
कथन: \(\emptyset\subseteq A\) हर समुच्चय \(A\) के लिए सत्य है। कारण: \(\emptyset\) में ऐसा कोई तत्त्व नहीं है जो \(A\) में न हो। नीचे दिए गए विकल्पों में सही चुनिए।
A. कथन और कारण दोनों सही हैं, और कारण कथन की सही व्याख्या करता है/Both assertion and reason are true, and the reason correctly explains the assertion
Explanation
Simple Explanation
परिभाषा के अनुसार \(B\subseteq A\) तभी होगा जब प्रत्येक तत्त्व जो \(B\) में है वह \(A\) में भी हो। \(\emptyset\) में कोई तत्त्व नहीं है, अतः "प्रत्येक तत्त्व \(\emptyset\) का \(A\) में होना" सत्य है (vacuous truth)। कारण वही तथ्य सीधे बताता है: \(\emptyset\) में कोई विरोधी तत्त्व नहीं है, इसलिए यह हर समुच्चय का उपसमुच्चय है। निकटतम विचलन (विकल्प D) गलत इसलिए है कि कारण वास्तव में कथन की व्याख्या करता है; वह कोई अलग तर्क नहीं दे रहा। परीक्षा-सुझाव: उपसमुच्चय की परिभाषा को हमेशा "हर तत्त्व के लिए" के रूप में पढ़ें — खाली समुच्चय के लिए यह शून्य विरोधी देता है। / By definition, \(B\subseteq A\) iff every element of \(B\) is an element of \(A\). Since \(\emptyset\) has no elements, the statement "every element of \(\emptyset\) belongs to \(A\)" is vacuously true. The reason restates this absence of a counterexample, so it correctly explains the assertion. Closest distractor (option D) is wrong because it denies that the reason explains the assertion, whereas here the reason is exactly the justification. Exam tip: translate subset claims into "for all x in B, x in A"; for \(\emptyset\) such universal claims are always true (vacuous truth).
A. कथन और कारण दोनों सही हैं, कारण सही व्याख्या है/Both assertion and reason are true, and the reason explains it
Explanation
Simple Explanation
बराबर समुच्चय होने पर (A) का हर सदस्य (B) में होता है। इसलिए उपसमुच्चय संबंध तुरंत मिलता है। / When sets are equal, every element of (A) is in (B). So the subset relation follows directly.
D. कथन और कारण दोनों गलत हैं/Both assertion and reason are false
Explanation
Simple Explanation
सदस्य संख्या समान होने से सदस्य समान होना जरूरी नहीं है। जैसे ({1,2}) और ({3,4}) बराबर नहीं हैं। / Equal cardinality does not force identical elements. For example, ({1,2}) and ({3,4}) are not equal.
सम योग के लिए चुने गए विषम सदस्यों की संख्या सम होनी चाहिए। चार-सदस्यीय सेट में कुल (16) उपसमुच्चयों में आधे यानी (8) सम योग देते हैं। / For an even sum, the number of selected odd elements must be even. Among the (16) subsets, half, that is (8), give even sum.
हर सदस्य के लिए तीन विकल्प हैं: किसी में नहीं, केवल (Y) में, या दोनों में। इसलिए कुल \(3^3=27\) युग्म हैं। / Each element has three choices: in neither set, in (Y) only, or in both. Hence there are \(3^3=27\) pairs.
