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Subjects
Class 11 Mathematics Sets Expert Level 9

यदि \(A\subseteq B\) और \(B\subseteq C\), तो \(A\cap C\) किसके बराबर होगा?

If \(A\subseteq B\) and \(B\subseteq C\), what is \(A\cap C\) equal to?

Author: Muft Shiksha Editorial Team Published: Updated:
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Correct Answer

A. \(A\)

Explanation

Simple Explanation

दिए गए सम्बन्धों से ट्रान्जिटिविटी के कारण \(A\subseteq C\) होगा। इसका अर्थ है कि जिस भी तत्व का होना \(A\) में आवश्यक है, वह तत्व \(C\) में भी होगा। अतः \(A\) और \(C\) का प्रतिच्छेद उसी सेट के बराबर होगा जो \(A\) में पहले से है, यानी \(A\cap C= A\)। विकल्पों की जाँच: \(B\) सही नहीं क्योंकि \(B\) में ऐसे तत्व हो सकते हैं जो \(A\) में नहीं हैं; \(C\) सही नहीं क्योंकि \(C\) में \(A\) के अतिरिक्त भी तत्व हो सकते हैं; \(\emptyset\) तभी होगा जब \(A=\emptyset\), पर सामान्य स्थिति में यह आवश्यक नहीं है। परीक्षाई सुझाव: याद रखें—यदि \(X\subseteq Y\) हो तो \(X\cap Y=X\)। / By transitivity from the given relations we have \(A\subseteq C\). Every element of \(A\) is therefore an element of \(C\), so the intersection \(A\cap C\) contains exactly the elements of \(A\). Hence \(A\cap C=A\). Why other options fail: \(B\) may contain elements not in \(A\); \(C\) may be strictly larger than \(A\); \(\emptyset\) would only be correct if \(A=\emptyset\), which is not generally assumed. Exam tip: draw a small Venn diagram or use the rule “if \(X\subseteq Y\) then \(X\cap Y=X\)” to answer quickly.

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यदि \(A\subseteq B\) और \(B\subseteq C\), तो \(A\cap C\) किसके बराबर होगा? / If \(A\subseteq B\) and \(B\subseteq C\), what is \(A\cap C\) equal to?

Correct Answer: A. \(A\). Explanation: दिए गए सम्बन्धों से ट्रान्जिटिविटी के कारण \(A\subseteq C\) होगा। इसका अर्थ है कि जिस भी तत्व का होना \(A\) में आवश्यक है, वह तत्व \(C\) में भी होगा। अतः \(A\) और \(C\) का प्रतिच्छेद उसी सेट के बराबर होगा जो \(A\) में पहले से है, यानी \(A\cap C= A\)। विकल्पों की जाँच: \(B\) सही नहीं क्योंकि \(B\) में ऐसे तत्व हो सकते हैं जो \(A\) में नहीं हैं; \(C\) सही नहीं क्योंकि \(C\) में \(A\) के अतिरिक्त भी तत्व हो सकते हैं; \(\emptyset\) तभी होगा जब \(A=\emptyset\), पर सामान्य स्थिति में यह आवश्यक नहीं है। परीक्षाई सुझाव: याद रखें—यदि \(X\subseteq Y\) हो तो \(X\cap Y=X\)। / By transitivity from the given relations we have \(A\subseteq C\). Every element of \(A\) is therefore an element of \(C\), so the intersection \(A\cap C\) contains exactly the elements of \(A\). Hence \(A\cap C=A\). Why other options fail: \(B\) may contain elements not in \(A\); \(C\) may be strictly larger than \(A\); \(\emptyset\) would only be correct if \(A=\emptyset\), which is not generally assumed. Exam tip: draw a small Venn diagram or use the rule “if \(X\subseteq Y\) then \(X\cap Y=X\)” to answer quickly.