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समीकरण के मूल (3) और (4) हैं, इसलिए दोनों समुच्चयों के सदस्य समान हैं। पहले हल निकालकर फिर समुच्चय मिलाएं। / The roots are (3) and (4), so both sets have the same elements. First solve, then compare the sets.
(18) के धनात्मक भाजक (1,2,3,6,9,18) हैं। सूची रूप में बदलकर सदस्य मिलाना सबसे अच्छा तरीका है। / The positive divisors of (18) are (1,2,3,6,9,18). Converting to roster form is the best way to compare elements.
शर्त में (-3) शामिल नहीं है और (2) शामिल है। अंतराल में खुले और बंद चिह्न ध्यान से पढ़ें। / The condition excludes (-3) and includes (2). Read open and closed endpoints carefully.
(2) निश्चित है, (4) बाहर है और (1,3,5) स्वतंत्र हैं। इसलिए \(2^3=8\) उपसमुच्चय बनेंगे। / Element (2) is fixed, (4) is excluded, and (1,3,5) are free. Hence \(2^3=8\) subsets are possible.
दोनों समुच्चयों में (2) पहले से समान है, इसलिए दूसरा सदस्य (5) होना चाहिए। समुच्चय में क्रम का महत्व नहीं होता। / Both sets already share (2), so the other element must be (5). Order does not matter in sets.
दोहराए गए सदस्य समुच्चय में अलग से नहीं गिने जाते। दोनों में केवल (1,2,3) सदस्य हैं। / Repeated elements are not counted separately in a set. Both sets contain only (1,2,3).
(1,2) निश्चित हैं और (3,4,5,6) वैकल्पिक हैं। इसलिए \(2^4=16\) समुच्चय मिलते हैं। / Elements (1,2) are fixed and (3,4,5,6) are optional. Thus \(2^4=16\) sets are possible.
(r,s) वैकल्पिक हैं लेकिन (X=A) नहीं होना चाहिए। इसलिए \(2^2-1=3\) उत्तर है। / Elements (r,s) are optional, but \(X\ne A\). Therefore the answer is \(2^2-1=3\).
तीन सदस्य चुनने की संख्या \(\binom{5}{3}=10\) है। उपसमुच्चय में क्रम नहीं गिना जाता। / The number of ways to choose three elements is \(\binom{5}{3}=10\). Order is not counted in subsets.
(1) निश्चित है, (5) निषिद्ध है और (2,3,4) स्वतंत्र हैं। इसलिए \(2^3=8\) है। / Element (1) is fixed, (5) is forbidden, and (2,3,4) are free. Hence \(2^3=8\).
कुल उपसमुच्चय (16) हैं और (a,b) दोनों को बाहर रखने वाले \(2^2=4\) हैं। इसलिए (16-4=12) है। / Total subsets are (16), and those excluding both (a,b) are \(2^2=4\). Hence (16-4=12).
घात समुच्चय में सभी उपसमुच्चय होते हैं, इसलिए संख्या \(2^4=16\) है। (A) के सदस्य और (\mathcal{P}(A)) के सदस्य अलग सोचें। / A power set contains all subsets, so the number is \(2^4=16\). Think separately about elements of (A) and elements of (\mathcal{P}(A)).
({0}) समुच्चय (A) का उपसमुच्चय है, इसलिए यह (\mathcal{P}(A)) का सदस्य है। घात समुच्चय के सदस्य हमेशा उपसमुच्चय होते हैं। / ({0}) is a subset of (A), so it is an element of (\mathcal{P}(A)). Elements of a power set are always subsets.
\(\emptyset\) (A) का सदस्य है और हर समुच्चय का उपसमुच्चय भी है। सदस्यता और उपसमुच्चय दोनों जांचें। / \(\emptyset\) is an element of (A) and also a subset of every set. Check both membership and subset relation.
({3}) का सदस्य (3) (A) में है, इसलिए यह उपसमुच्चय है। लेकिन ({3}) (A) में सदस्य के रूप में नहीं दिया है। / ({3}) is a subset because \(3\in A\). But ({3}) is not listed as an element of (A).
यदि \(\emptyset\) सदस्य है, तो (A) में कम से कम एक सदस्य है। इसे \(\emptyset\subseteq A\) से न मिलाएं। / If \(\emptyset\) is an element, then (A) has at least one element. Do not confuse it with \(\emptyset\subseteq A\).
इन शर्तों से \(A\subseteq C\) है। जब (A) (C) के अंदर हो, तो प्रतिच्छेद (A) होता है। / The conditions imply \(A\subseteq C\). When (A) lies inside (C), the intersection is (A).
मिलन (A) ही रहा, इसलिए (B) ने (A) के बाहर कोई सदस्य नहीं जोड़ा। अतः \(B\subseteq A\) है। / The union remains (A), so (B) adds no element outside (A). Hence \(B\subseteq A\).
साझा भाग पूरा (B) है, इसलिए (B) का हर सदस्य (A) में है। यही \(B\subseteq A\) है। / The common part is the whole of (B), so every element of (B) is in (A). This means \(B\subseteq A\).
(A) से (B) हटाने पर (A) ही बचा, यानी कोई साझा सदस्य नहीं था। इसलिए दोनों असंबद्ध हैं। / Removing (B) from (A) still leaves (A), so there was no common element. Hence they are disjoint.
(A) का हर उपसमुच्चय (B) का भी उपसमुच्चय होगा। इसलिए घात समुच्चय में भी यही दिशा रहती है। / Every subset of (A) is also a subset of (B). So the same direction holds for power sets.
(A) स्वयं (\mathcal{P}(A)) का सदस्य है, इसलिए (A) (\mathcal{P}(B)) में भी होगा। इसका अर्थ \(A\subseteq B\) है। / The set (A) itself is an element of (\mathcal{P}(A)), so it is also in (\mathcal{P}(B)). That means \(A\subseteq B\).
(\mathcal{P}(B)) में (8) और (\mathcal{P}(A)) में (4) सदस्य हैं। अंतर में (8-4=4) सदस्य होंगे। / (\mathcal{P}(B)) has (8) elements and (\mathcal{P}(A)) has (4). The difference contains (8-4=4) elements.
तीन विषम संख्याओं में से दो चुनें और तीन सम संख्याएँ वैकल्पिक हैं। संख्या \(\binom{3}{2}\times2^3=24\) है। / Choose two from the three odd numbers, and the three even numbers are optional. The count is \(\binom{3}{2}\times2^3=24\).
चार-सदस्यीय उपसमुच्चय \(\binom{5}{4}=5\) और पांच-सदस्यीय (1) है। कुल (5+1=6) है। / There are \(\binom{5}{4}=5\) four-element subsets and (1) five-element subset. Total is (5+1=6).
(a) को हटाकर (4) सदस्य बचते हैं, जिनके \(2^4=16\) उपसमुच्चय हैं। ये सभी (A) के उचित उपसमुच्चय हैं। / After excluding (a), (4) elements remain, giving \(2^4=16\) subsets. All of them are proper subsets of (A).
(2,3) के लिए दो वैध स्थितियां हैं और (1,4) स्वतंत्र हैं। इसलिए \(2\times2^2=8\) है। / There are two valid states for (2,3), and (1,4) are free. Hence \(2\times2^2=8\).
प्रतिच्छेद में केवल वे सदस्य आते हैं जो दोनों में हों। यहाँ साझा सदस्य (2) और (3) हैं। / Intersection contains only elements common to both sets. Here the common elements are (2) and (3).
\(A\subseteq B\) है और (B) में (A) के बाहर कोई सदस्य नहीं है। इसलिए दोनों बराबर हैं। / We have \(A\subseteq B\), and (B) has no element outside (A). Therefore the two sets are equal.
जब \(A\subseteq B\), तब सममित अंतर (B-A) ही होता है। इसलिए (B-A={7}) है। / When \(A\subseteq B\), the symmetric difference is just (B-A). Hence (B-A={7}).
(20) से छोटे धनात्मक गुणज (4,8,12,16) हैं। सीमा और धनात्मक शर्त दोनों जांचें। / The positive multiples less than (20) are (4,8,12,16). Check both the boundary and positivity condition.
\(A=\{2,3,5\}\) है और ({2,5}) इसके अंदर है पर बराबर नहीं है। इसलिए यह उचित उपसमुच्चय है। / Here \(A=\{2,3,5\}\), and ({2,5}) lies inside it but is not equal to it. Hence it is a proper subset.
पूर्णांक हल (-4) और (4) दोनों हैं। वर्ग वाले प्रश्नों में ऋणात्मक हल न छोड़ें। / The integer solutions are both (-4) and (4). Do not miss the negative solution in square equations.
(\mathcal{P}(A)) के सदस्य (A) के उपसमुच्चय हैं, और विकल्प A के सभी सदस्य ऐसे हैं। संख्या (1) को ({1}) से अलग समझें। / Elements of (\mathcal{P}(A)) are subsets of (A), and every member in option A is such a subset. Distinguish (1) from ({1}).
यहाँ ({2}) एक सदस्य के रूप में मौजूद है, लेकिन (2) स्वयं सदस्य नहीं है। नेस्टेड सेट में कोष्ठक बहुत महत्वपूर्ण हैं। / Here ({2}) is present as one element, but (2) itself is not an element. Brackets are very important in nested sets.
A. \(A\in B\) और \(A\subseteq B\) दोनों/Both \(A\in B\) and \(A\subseteq B\)
Explanation
Simple Explanation
(B) में \(A=\{1,2\}\) सदस्य के रूप में है और (1,2) भी (B) में हैं। इसलिए दोनों संबंध सही हैं। / (B) contains \(A=\{1,2\}\) as an element, and it also contains (1,2). Hence both relations are true.
उचित उपसमुच्चय में बड़े समुच्चय की सदस्य संख्या अधिक होनी चाहिए। इसलिए (n(B)=6) असंभव है। / For a proper subset, the larger set must have more elements. So (n(B)=6) is impossible.
सीमित सेट में उपसमुच्चय और बराबर सदस्य संख्या होने पर कोई अतिरिक्त सदस्य नहीं बचता। इसलिए सेट बराबर हैं। / For finite sets, a subset with equal cardinality leaves no extra element. Therefore the sets are equal.
(n=1,2,3,4) रखने पर \(B=\{2,4,6,8\}\) मिलता है। नियम वाले सेट को सूची रूप में बदलें। / Putting (n=1,2,3,4) gives \(B=\{2,4,6,8\}\). Convert rule form into roster form.
\(A=\{1,2,5,10\}\) है और (4) इसका सदस्य नहीं है। उपसमुच्चय जांचते समय हर सदस्य जांचें। / Here \(A=\{1,2,5,10\}\), and (4) is not its element. Check every element while testing a subset.
A. कथन और कारण दोनों सही हैं, कारण सही व्याख्या है/Both assertion and reason are true, and the reason explains it
Explanation
Simple Explanation
रिक्त समुच्चय में कोई विरोधी सदस्य नहीं होता। इसलिए यह हर समुच्चय का उपसमुच्चय है। / The empty set has no counterexample element. Therefore it is a subset of every set.
A. कथन और कारण दोनों सही हैं, कारण सही व्याख्या है/Both assertion and reason are true, and the reason explains it
Explanation
Simple Explanation
बराबर समुच्चय होने पर (A) का हर सदस्य (B) में होता है। इसलिए उपसमुच्चय संबंध तुरंत मिलता है। / When sets are equal, every element of (A) is in (B). So the subset relation follows directly.
D. कथन और कारण दोनों गलत हैं/Both assertion and reason are false
Explanation
Simple Explanation
सदस्य संख्या समान होने से सदस्य समान होना जरूरी नहीं है। जैसे ({1,2}) और ({3,4}) बराबर नहीं हैं। / Equal cardinality does not force identical elements. For example, ({1,2}) and ({3,4}) are not equal.
सम योग के लिए चुने गए विषम सदस्यों की संख्या सम होनी चाहिए। चार-सदस्यीय सेट में कुल (16) उपसमुच्चयों में आधे यानी (8) सम योग देते हैं। / For an even sum, the number of selected odd elements must be even. Among the (16) subsets, half, that is (8), give even sum.
हर सदस्य के लिए तीन विकल्प हैं: किसी में नहीं, केवल (Y) में, या दोनों में। इसलिए कुल \(3^3=27\) युग्म हैं। / Each element has three choices: in neither set, in (Y) only, or in both. Hence there are \(3^3=27\) pairs.
