यदि \(A=\{x\in\mathbb{Z}\mid x^2\le 4\}\), तो \(A\) के उचित उपसमुच्चयों की संख्या कितनी है?

Correct Answer: B. 31. Explanation: पहला चरण सेट के सदस्य गिनना है। \(x^2\le4\) होने पर पूर्णांक समाधान हैं \(\{-2,-1,0,1,2\}\), अर्थात् \(n=5\)। किसी सेट के कुल उपसमुच्चयों की संख्या \(2^n\) होती है, अतः कुल उपसमुच्चय \(2^5=32\) होंगे। "उचित उपसमुच्चय" से तात्पर्य उस सेट के वे उपसमुच्चय हैं जो स्वयं मूल सेट के बराबर न हों; इसलिए मूल सेट को निकालकर बचते हैं \(2^5-1=31\) उचित उपसमुच्चय। निकटवर्ती विकर्षक: \(32\) गलत है क्योंकि वह समपूर्ण सेट को भी गिनता है (यह कुल उपसमुच्चयों की संख्या है, उचित उपसमुच्चयों की नहीं)। परीक्षात्मक सुझाव: पहले सेट के तत्वों की संख्या निश्चित कर लें, फिर तुरंत \(2^n\) और \(2^n-1\) के सूत्र लागू करें। / Count the elements first. Solutions of \(x^2\le4\) in integers are \(\{-2,-1,0,1,2\}\), so \(n=5\). A set has \(2^n\) total subsets, hence \(2^5=32\) subsets altogether. Proper subsets exclude the set itself, so there are \(2^5-1=31\) proper subsets. Closest distractor: 32 is incorrect because it includes the set itself (total subsets), not only proper ones. Exam tip: always determine \(n\) first, then use \(2^n\) for total subsets and \(2^n-1\) for proper subsets.