यदि \(A=\{p,q\}\) और \(B=\{p,q,r,s\}\) हों, तो कितने ऐसे समुच्चय \(X\) हैं जिनके लिए \(A\subset X\subseteq B\) सत्य है?

Correct Answer: B. 3. Explanation: क्यों सही: \(A\subset X\subseteq B\) का अर्थ है कि \(X\) में कम-से-कम \(p,q\) हों और \(X\) केवल \(B\) के तत्व ही ले सकता है। बचे हुए स्वतंत्र तत्व हैं \(r\) और \(s\) — हर एक को शामिल/न शामिल करने के दो विकल्प हैं, यानी कुल \(2^2=4\) संभाव्य समुच्चय जो \(A\) को शामिल करते हैं। परन्तु सही होना चाहिए कि \(X\neq A\), इसलिए उस एक स्थिति (जब ना \(r\) और ना \(s\) लिया गया) को हटाना होगा। अतः कुल = \(2^2-1=3\)। नज़दीकी भ्रम: 4 चुनने वालों की गलती यह है कि वे \(X=A\) को भी गिन लेते हैं। परीक्षा टिप: "मुक्त तत्वों" की संख्या निकालें और \(2^n\) में से आवश्यकतः बराबरता की स्थिति घटाएँ। / Why correct: \(A\subset X\subseteq B\) means every \(X\) must contain \(p\) and \(q\) and may include each of the remaining elements \(r,s\) independently. That gives \(2^2=4\) choices for including/excluding \(r,s\). Since \(X\) must be a proper superset of \(A\), exclude the case where neither \(r\) nor \(s\) is chosen. So total = \(2^2-1=3\). Closest trap: 4 counts \(X=A\) as well. Exam tip: Count choices for elements outside \(A\) (here \(n=2\)), compute \(2^n\) and subtract 1 if a proper superset is required.